Teoreem: Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega.Kehtivad võrdused: . Eeldus: On antud ABC, küljed a,b,c ja küljed ,,. Väide: =2R Tõestus: 1)Avaldame ABC pindala kolmel erineval viisil: Sabc=absin ; Sabc=bcsin ; Sabc=acsin Pindala väärtus valitud valemist ei olene : Sabc=absin = Sabc=bcsin ?= Sabc=acsin |: Absin=bcsin=acsin | : abc = Kui arvud on võrdes on võrdsed ka nende pöördarvud: 2) Näitan, et = 2R 1. Joonestan tipust C diameetr CD=d=2R 2. Ühendan punktid B ja A 3. D=A= 4. Saan DBC=90kraadi 3)ABC: sin= ja saan 2R= (võrde välisliikmeid võib vahetada)
valuutaindeksi kaudu. Valuuta väärtus määratakse mingi teise maailmariigiühiku suhtes. Noteeritud kurss- nim raha väärtuse hinnangut teatud ajahetkel Noteeringud jagunevad: · Otsene noteering- valuutakursina antakse välisraha ühikule ( 1 USD ) vastava kodumaise raha hulk ( näide ) · Pöördnoteering- kodumaisele rahaühikule antakse vastav välisraha hulk Pariteetsed- otsene- ja pöördnoteering on teineteise pöördarvud Risttabel- valuuta väärtuste võrdlemist hõlbustav tabel nn ( kus esitatakse nii otsesed kui ka pöördkursid) Inflatsioon Inflatsioon- üldine hinnataseme tõus ( inflatsiooni tulemusel saab ühe euro eest vähem kaupa osta ehk euro on varasemast väärtusest väiksem Hüperinflatsioon- väga kiire inflatsioon kui kaupade või teenuste hinnad tõusevad lühikese aja jooksul mitmekordseks Devalveerimine ehk devalvatsioon- on valuuta väärtuse vähendamine teiste rahaühikute suhtes
a = 4; a = 3 4 1 1 b)lahendite absoluutväärtused on võrdsed. a = 3 , a = 2 2 2 55)Lahenda võrrand ( a -1) x - ( 3a -1) x + 6 = 0 . Leia a mille korral 2 a)üks lahend on teise kahekordne b)lahendid on teineteise pöördarvud. 2 56)Lahenda võrrand ( a - 2 ) x 2 + ( - 2a + 3) x + 2 = 0 . Leia a, mille korral a)lahendid on teineteise pöördarvud ( a = 4) 1 4± 2 b)üks lahend on teise ruut. a = 2 a = 2
Nurkkiirus näitab kui suur pöördenurk läbitakse ühes ajaühikus (W=l/t= l/rt=v/r ; w- nurkkiirus rad/s). Joonkiirus on ringliikumisel läbitud teepikkuse ja liikumisaja suhe(v=l/t , (m/s)). Ringliikumise perioodiks nim ajavahemikku, mille jooksul läbitakse 1 täisring(T;T=2pii/w). Ringliikumise periood on seotud nurkkiirusega. Ringliikumise sageduseks nim ajaühikus tehtavate täisringide arvu(f), on seotud nurkkiirusega(w=2piif e f=w/2pii; 1Hz=1/s). Periood ja sagedus on teineteise pöördarvud(f=1/T). ringliikumise kiirendus- kiiruse suund muutub ringliikumisel pidevalt, ning kui see muutub, muutub ka kiirusvektor. Kui aga kiirusvektor muutub, on tegemist kiirendusega. Kiirendus esineb ka siis, kui kiiruse arvväärtus ei muutu. Kesktõmbekiirendus- suunamuutusest tingitud kiirendus on suunatud alati keha traj kõveruskekspunkti poole, seega kiirusvektoriga risti (ak=v²/r; ak=w²r). võnkumine on 1 osa perioodiliselt korduvatest liikumistest.Võnkumisel kordub liikumine
;-12;...;3;...;-4;...;-½;0)
irratsionaalarvud J=(...;π;...;erinevad ruutjuured)
Arvuhulgad
● Murdudega seoses oleme kasutanud veel järgmisi
mõisteid :
harilik murd - ½ (a-lugeja, b-nimetaja)
lihtmurd - (a
Näited: 2 = 2 : 5 = 0,4 See on lõplik kümnendmurd, kuna, selle murru nimetajas on algtegur 5. 5 7 = 7 : 9 = 0,77777 See on lõpmatu ehk perioodiline murd, kuna selle murru nimetajas 9 on algteguriks 3 Ülesandeid: 47 9 · Teisenda kümnendmurdudeks: 1) 2) + 4,15 100 10 11. Pöördarvud Kaht arvu, mille korrutis on võrdne ühega, nimetatakse teineteise pöördarvudeks. 7 2 Näide: ja 2 7 4 7 3 8 5 14 Pöördarvud on näiteks ja , ja , ja . 7 4 8 3 14 5 Hariliku murru pöördarv saadakse, kui vahetatakse ära selle murru lugeja ja nimetaja.
l=2r; =2. Ühtlasel ringjoonelisel liikumisel joonkiiruse v arvväärtus ei muutu, muutub vaid suund. Sageli kasutatakse ringjoonelise liikumise iseloomustamiseks nurkkiirust = /t; 1rad/s Ühtlaselt ringjoonel liikuva punkti nurkkiiruseks nimetatakse punktini tõmmatud raadiuse pöördenurga ja selle moodustamiseks kulunud ajavahemiku suhet. Joonkiiruse ja nurkkiiruse seos =v/r. Pöörlemissageduse e. pöörete arvu ajaühikus ja nurkkiiruse seos v= 2r. Pöörlemisperiood jasagedus on pöördarvud T=1/n; n=1/T. Ühtlasel ringjoonelisel liikumisel on kehal kiirendus, sest ta kiiruse suund muutub. Kiirendus on suunatud ringjoone keskpunkti. Kiirenduse valem ühtlasel sirgjoonelisel liikumisel a=v2/r Newtoni I seadus Taustkeha ja sellega seotud koordinaadistik ja ajamõõtmise süsteem moodustavad kokku taustsüsteemi. On olemas sellised taustsüsteemid, mille suhtes kehad säilitavad oma kiiruse jäävana, kui neile ei mõju teised
60. Perioodiline kümnendmurd kümnendmurd, mille murdosa mingist kindlast kohast alates teatav numbrite rühm lõpmatult kordub. 61. Piirdenurk nurk ringjoone ühise otspunktiga kõõlude vahel. Piirdenurk võrdub poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast. 62. Prisma hulktahukas, mille kaks tahku on vastavalt paralleelsete ja võrdsete külgedega hulknurgad ning ülejäänud tahud rööpkülikud, millel on kummagi hulknurgaga üks ühine külg. 63. Pöördarvud kaks arvu, mille korrutis võrdub ühega. 64. Pöördkeha keha, mis tekib tasandilise kujundi pöörlemisel mingi fikseeritud sirge, nn. telje ümber. 65. Pöördteoreem antud teoreemist p -> q eelduse ja väite vahetamisel saadav teoreem q -> p. 66. Pöördvõrdeline seos niisugune seos kahe suuruse x ja y vahel, mille korral nende suuruste korrutis on konstant a : xy = a. 67. Püramiid hulktahukas, mille üks tahk on hulknurk ja kõik ülejäänud tahud on ühise
· Paarisfunktsioonid on näiteks kõik funktsioonid kujul
· y=ax2+b, y=ax2k+b (k on täisarv)
·
+
24. Eksponentfunktsioon, graafik y = a , kus a R ja a 1
x
· .
· Määramispiirkond kõik reaalarvud
· Muutumispiirkond positiivsed reaalarvud
· Graafik läbib punkti (0;1)
· Kui kahe eksponentfunktsiooni astendatavad on teineteise pöördarvud, siis
nende funktsioonide graafikud on sümmeetrilised y-telje suhtes
· Kasvav kogu määramispiirkonnas, kui a>1. Kahanev, kui 0
piirväärtust mitteomavat jada hajuvaks. (Jada, millel on lõplik piirväärtus, nimetatakse koonduvaks jadaks.) 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim ||= . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos. Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos.Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Kehtib järgmine väide. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/ on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suuruse definitsioon. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu. Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x-> a, kus x ei võrdu a, läheneb funktsiooni graafku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b
sooritatavate täisringide arvuga: Aja t jooksul sooritatud täisringide arv on siis N = ft. Et igale täisringile vastab pöördenurk 2π rad, siis saame, et millest vastavalt nurkkiiruse definitsioonile ω = φ/tsaame sagedusega seose valemiks Näeme, et nurkkiirus on võrdeline sagedusega. Seepärast nimetatakse seda suurust mõnikord ka nurksageduseks või ringsageduseks. Teades, et periood ja sagedus on teineteise pöördarvud, on lihtne näha, et nurkkiirus sõltub ringliikumise perioodist pöördvõrdeliselt: Trajektoori kõveruskeskpunkti suunatud jõudu, mis põhjustab ringliikumist, nimetatakse kesktõmbejõuks ehk tsentripetaaljõuks. Kesktõmbejõudu saab leida Newtoni II seadust kasutades kesktõmbekiirenduse kaudu: Taevakehad tiirlevad tänu gravitatsioonijõule. Oletame, et planeedil massiga M on kaaslane massigam, mis tiirleb selle ümber ringorbiidil raadiusega r
7 -3 x +14 =3 x -2 x 33. 11 -4 7 x -12 =3 27. Leidke parameetri a väärtus nii, et võrrandil ax - 4 = 2( x + 7 ) puuduksid lahendid. 28. Kuidas avaldub ruutvõrrandi ax 2 + bx + c = 0 lahendite summa x1 + x2 ja lahendite korrutis x1 x2 ? 29. Millise parameetri k väärtuse korral on võrrandil 2 x + k = 3 - x 2 kaks võrdset lahendit? 30. Milliste parameetri a väärtuste korral on võrrandi 2 x 2 - 5 x + a = 0 lahendid teineteise pöördarvud? 31. Leidke võrrandit x 2 - 5 x + 6 = 0 lahendamata selle võrrandi lahendite ruutude summa x1 + x 2 . 2 2
Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Neid võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. 8. Muutuvat suurust nim lõpmatult väikeseks e lõpmatult kahanevaks, kui lim=0. Muutuvat suurust nim lõpmatult kasvavaks, kui lim||=. Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos.Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Teoreem lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos : Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suuruse def. : *0 10. Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega. Liitfunktsiooni piirväärtuse valem: 11. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine: 1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse suurusi ja sama
ühikmaatriks. Kui maatriksi A pöördmaatriks eksisteerib, siis pöördmaatriksit tähistame A-1. Regulaarne maatriks Me nimetame n-järku maatriksit A regulaarseks (singulaarseks), kui |A| 6= 0 (|A| = 0) Pöördmaatriksi omadused. 1. Kui n-järku maatriksil A leidub pöördmaatriks, siis nii maatriks A kui ka tema pöördmaatriks on regulaarsed. 2. Maatriksi ja pöördmaatriksi determinandid on teineteise pöördarvud, s.t. |A| · |A−1| = 1 3. Kui ruutmaatriksil on olemas pöördmaatriks, siis on ta määratud üheselt. 4. Regulaarsete n-j¨arku maatriksite A ja B korral kehtib valem (AB)−1 = B−1A−1 5. Maatriksi A−1 pöördmaatriks on maatriks A, s.o (A−1)−1 = A 6. Ühikmaatriksi E pöördmaatriksiks on tema ise, s.o. E−1 = E 7. Maatriksi transponeerimine ja pöördmaatriksi leidmise operatsioon on vahetatavad ehk kommuteeruvad, s.o. (AT)−1 = (A−1)T
Sellise piirprotsessi tähistusviis on x - või lim x = -. Koonduvad ja hajuvad jadad - Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. Lõpmatult kahanevad ja kasvavad suurused - Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim || = . Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suurused on teineteise pöördarvud. Funktsiooni piirväärtuse denfitsioon - Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises 3 piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust x = a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. limxa f(x) = b geomeetriline sisu - Kui funktsioonil f(x)on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x a,
=6 19. Pakkefaktori väärtus HTP rakus? PF=0.74 20. Mis on suundade perekonnad? Ekvivalentsed suunad moodustavad perekonna. 21. Mis on Miller'i indeksid? pöördväärtused lõikudest, mida antud tasapind teeb kristallograafilistele x, y, z telgedele. Kuidas leida kristallograafilise tasapinna Miller'i indeksid? 1. valime tasapinna, mis ei läbi punkti (0, 0, 0); 2. määrame selle tasapinna lõikumispunktid x, y, z teljega elementaarses kuubis. 3. moodustame pöördarvud neist lõikepunktide väärtustest; 4. leiame vähimate täisarvude kombinatsiooni, mis omab sama suhet kui saadud lõikude pikkused. Need täisarvud moodustavad kristallograafilise tasapinna Milleri indeksid ja nad esitatakse sulgudes ilma komadeta. 22. Mis on Miller Bravais indeksid? 23. Millisele aatomjärjestusele vastab PTK kristallstruktuur? 24. Millisele aatomjärjestusele vastab THK kristallstruktuur?
Matemaatiline analüüs I I KT 1. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on maaratud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid parameetreid saab punktidele teljel märkida kõik reaalarvud. Igale reaalarvule vastab arvteljel ainult üks koht ja vastupidi. Absoluutväärtus on punkti kaugus koordinaatide alguspunktist. |a| =a kui a 0 -a kui a < 0 . Absoluutväärtuste omadused 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist lõiku (a-;a+), kus >0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub a ümbrusesse siis ja ainult siis, kui punkti x kaugus a- st on väiksem ümbruse raadiusest | x-a| < Suuruse lõpmatus ümbrust nimetatakse suvalist vahemikku (M; ), kus M>0. Arv x kuulub lõpmatuse ümbrusesse kui x>M Suuruse miinus lõpmatus ümbrust nimetat...
A−1= ( | A| A 21 A 22 ) 54.regulaarne maatriks- n-järku maatriks A on regulaarne kui | A|≠ 0 55.singulaarne maatriks- n-järku maatriks A on singulaarne kui | A|=0 56.pöördmaatriksi omadused: Kui n-järku maatriksil A leidub pöördmaatriks, siis nii maatrik A kui ka tema pöördmaatrik on regulaarsed Maatriksi ja pöördmaatriksi determinandid on teineteie pöördarvud st. | A|∙| A−1|=1 Kui ruutmaatriksil on olemas pöördmaatriks, siis on ta määratud üheselt Regulaarsete n-järku maatriksite A ja B korral kehtib valem ( AB)−1=B−1 A−1 A −1 Maatriksi A pöördmaatriks on maatrik A, s.o. (¿¿−1)−1= A
võrdset sp^3 hübriidset orbitaali. Hübridatsioon on energiat vähendav protsess. 5.Millised variatsioonid kristallstruktuuris on võimalikud kuubilises kristallsüsteemis? Lihtne-,pindtsentreeritud- ja ruumtsentreeritud kuubiline elementaarrakk. 6.Kuidas leida kristallograafilise tasapinna Milleri'i indeksit? a)valime tasapinna mis ei läbi punkti (0,0,0) b)määrame tasapinna lõikepunktid x,y,z telgedega c)moodustame pöördarvud nendest lõikepunktidest d)leiame lähimate täisarvude kombinatsiooni, mis omab sama suhet kui saadud lõikude pikkused. 7.Millest sõltub aine anisotroopsuse aste? Anisotroopsuse aste ja suurus sõltuvad kristallstruktuuri sümmetriast ja suureneb sümmeetria vähenemisega 8.Millele põhineb dislokatsioonide ,,ilmutamine"? Dislokatsioonide ilmutamise meetodid pühinevad asjaolul, et dislokatsioonil esinevad
Lõplikku piirväärtust omavat jada nim. koonduvaks, vastasel juhul nim. jada hajuvaks. 9) · Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse definitsioon Muutuvat suurust a nim. Lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim a = 0. Muutuvat suurust a nim. Lõpmatult kasvavaks, kui lim |a|=. · Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos ja teoreem Lõpmatult kahanev ja kasvav suurus on omavahel pöördarvud. Teoreem: Suurus a on lõpmatult kasvav siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kahanev. · Tõkestatud suuruse definitsioon Muutuvat suurust a nim tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. · Lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutise teoreem Kui suurus a on lõpmatult kahanev ja suurus B on tõkestatud, siis nende korrutis aB on lõpmatult kahanev. 10)
Lõplikku piirväärtust omavat jada nim. koonduvaks, vastasel juhul nim. jada hajuvaks. 9) · Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse definitsioon Muutuvat suurust a nim. Lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim a = 0. Muutuvat suurust a nim. Lõpmatult kasvavaks, kui lim |a|=. · Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos ja teoreem Lõpmatult kahanev ja kasvav suurus on omavahel pöördarvud. Teoreem: Suurus a on lõpmatult kasvav siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kahanev. · Tõkestatud suuruse definitsioon Muutuvat suurust a nim tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. · Lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutise teoreem Kui suurus a on lõpmatult kahanev ja suurus B on tõkestatud, siis nende korrutis aB on lõpmatult kahanev. 10)
nii,et moodustuvad 4 täiesti võrdset sp^3 hübriitset orbitaali.Hübridatsioon on energiat vähendav protsess 5. Millised variatsioonid kristallstruktuuris on võimalikud kuubilises kristallsüsteemis? Lihtne-, pindsentreeritud-ja ruumtsentreeritud kuubiline elementaarrakk 6. Kuidas leida kristallograafilise tasapinna Miller'i indeksid? a) Valime tasapinna mis ei labi punkti (0,0,0) b) Maärame tasapinna lôikepunktid x, y, z telgedega. C) Moodustame pöördarvud nendest lõikepunktidest. D) Leiame lähimate täisarvude kombinatsiooni, mis omab sama suhet kui saadud lõikude pikkused. 7.Millest sõltub aine anisotroopsuse aste? Anisotroopsuse aste ja suurus sõltuvad kristallstruktuuri summeetriastja suureneb sümmeetria vähenemisega. 8.Millele põhineb dislokatsioonide "ilmutamine"? Dislokatsioonide ilmutamise meetodid põhinevad asjaolul, et dislokatsioonil esinevad sidemed on liigse energiaga,
Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid: Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim || = . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos (sõnastada vastav teoreem): Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos. Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Kehtib järgmine väide. Vaata lk 31 tõestust. Tõkestatud suuruse definitsioon: Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutisest: Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. Vaata tõestust lk 32. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu: Funktsioonil f on piirväärtus b
· Jada piirväärtus Arvu a nimetame jada piirväärtuseks, kui kuitahes väikese positiivse arvu korral saame näidata sellist jada elementi millele kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks, vastasel juhul hajuvaks. 8. · Lõpmatult kasvav suurus kui · Lõpmatult kahanev suurus kui Lõpmatult kasvavad ja kahanevad suurused on üksteise pöördarvud. Teoreem Suurus a on lõpmatult kahanev ainult siis, kul 1/a on lõpmatult kasvav · Tõkestatud suurus - Suurust nimetame tõkestatuks, kui tema määramispiirkond on tõkestatud Teoreem Kui suurus a on lõpmatult kahanev ja suurus b on tõkestatud siis nende korrutis ab on lõpmatult kahanev 9. · Funktsiooni piirväärtuse definitsioon Funktsioonil on piirväärtus b punktis a siis
või . Lõplikku piirväärtust nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse hajuvaks. 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim=0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim|| = . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos: Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos. Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Kehtib järgmine väide: Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kasvav. Tõestus: Tõestame selle väite esimese poole, so: kui on lõpmatult kahanev, siis on lõpmatult kasvav (vastupidine väide tõestatakse analoogiliselt). Olgu lõpmatult kahanev, . Peame tõestama, et suurus on lõpmatult kasvav, . Vastavalt selle piirprotsessi definitsioonile tuleb meil näidata et suvalise kuitahes suure positiivse arvu M korral
PÖÖRDMAATRIKS: Pöördmaatriks Me nimetame n-järku maatriksi A pöördmaatriksiks sellist n-järku maatriksit X, mis rahuldab kahte maatriks võrrandit: AX=E ja XA = E Regulaarne (Singulaarne) maatriks - Me nimetame n-järku maatriksit Y regulaarseks (singulaarseks), kui |Y| 0, (|Y |= 0). OMADUSED: *Kui n-järku maatriksil A leidub pöördmaatriks, siis nii maatriks A kui ka tema pöördmaatriks on regulaarsed *Maatriksi ja tema pöördmaatriksi determinandid on teineteise pöördarvud *Kui ruutmaatriksil on olemas pöördmaatriks, siis ainult üks. * Regulaarsete n-järku maatriksite A ja B korral kehtib valem (AB)-1 = B-1A-1. * Maatriksi A-1 pöördmaatriksiks on maatriks A, s. t.(A- 1)-1 = A. *Ühikmaatriksi E pöördmaatriks on ta ise, s. t. E-1 = E. * Maatriksi transponeerimine ja pöördmaatriksi leidmiseoperatsioon on kommuteeruvad ehk vahetatavad, s. t.(AT )-1= (A-1)T . VEKTORRUUM (ÜLE REAALARVUDE HULGA): Mittetühja hulka V nimetame vektorruumiks üle
Lause. Kui maatriksil A on pöördmaatriks A-1 olemas, siis maatriks A on regulaarne. Tõestus. Eelduse kohaselt A -1 nii et AA-1 = E . Kuna maatriksite korrutise determinant võrdub maatriksite determinantide korrutisega (omadus 8), siis det E = det( AA-1 ) = det A det A-1 = 1. Siit järeldub, et det A-1 = 1 / det A = (det A) -1 0. Muuhulgas saime lause tõestamisel järgmise omaduse: Omadus 1. Maatriksi ja pöördmaatriksi determinandid on teineteise pöördarvud e. det A -1 = (det A) -1. Vaatleme ka teised pöördmaatriksi omadused. -1 Omadus 2. Maatriksi A pöördmaatriksi pöördmaatriks ( A-1 ) langeb kokku maatriksiga A: -1 -1 Tõestus. Selleks, et kehtiks ( A ) = A , peab kehtima AA -1 = A -1 A = E . See võrdus on aga rahuldatud, kuna A-1 on A pöördmaatriks. Omadus 3
Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos (sõnastada vastav teoreem). Tõkestatud suuruse definitsioon. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutisest. Lõpmatult kahanevad ja kasvavad suurused. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim || = . Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos. Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Teoreem 2.1. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1 / on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suurused. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Teoreem 2.2. Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. 9. Funktsiooni piirväärtuse denfitsioon. ( )
tasapind teeb kristallograafilistele x, y, z telgedele. Seejuures ühikmõõduks on kuubilise võre elementaarraku mõõtmed. Milleri indeksite määramine mingile kristallograafilisele tasapinnale kuubilises võres toimub järgnevalt(joonis 3.20): 1. valime tasapinna, mis ei läbi punkti (0, 0, 0); 2. määrame selle tasapinna lõikumispunktid x, y, z teljega elementaarses kuubis. Need lõikepunktid võivad olla ka murdosad; 3. moodustame pöördarvud neist lõikepunktide väärtustest; 35 4. leiame vähimate täisarvude kombinatsiooni, mis omab sama suhet kui saadud lõikude pikkused. Need täisarvud moodustavad kristallograafilise tasapinna Milleri indeksid ja nad esitatakse sulgudes ilma komadeta. Üldiselt esitatakse Milleri indeksid kujul (h k l) kus h, k ja l on Milleri indeksid kuubilises kristallis x, y ja z teljele vastavalt . Joonisel 3
annaabi.ee 
