11. Pinna puutujatasand ja selle võrrand. Puutujatasandi seos pinna lõikejoonte puutujatega. Pinna normaalvektor ja normaalsirge ning selle võrrand. Tuletada vastavad võrrandid kahe- või mitmemuutuja juhul. Sirget, mis läbib punkti P(x(to)), y(to), z(to) ja on vektori (x(to), y(to), z(to)) sihiline, nimetatakse joone X(t)=(x(t), y(t), z(t)) puutujaks punktis P. Tasandit, millel asuvad kõik pinna punkti P läbivate joonte puutujad nimetatakse puutujatasandiks punktis P. Normaalsirgeks punktis P nimetatakse punkti P läbivat sirget, mis on risti puutujatasandiga punktis P. Kui P(a; b; c) on võrrandiga F(x; y; z) = 0 esitatud pinna punkt ja funktsiooni F(x; y; z) kõik esimest järku osatuletised on pidevad punktis P(a; b; c) ning Puutujatasandi normaalvektor n on risti joone X puutuja sihivektoriga (x'(t0); y'(t0); z'(t0)) kui skalaarkorrutis (n, (x'(t0); y'(t0); z'(t0)) = n1x'(t0) + n2y'(t0) + n3z'(t0) = 0:
korral (tõestusi ei küsita). 17. Joone puutuja definitsioon. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x) (vt joonis 3.2, puutuja on seal tähistatud s-ga). Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). Joone normaalsirge definitsioon. Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis )) A = (a, f (a (tõestust ei küsi). Diferentseeruvuse geomeetriline sisu.
nimetatakse tuletise f(a) ja argumendi muudu x = x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy = f(a)x . 16.1 19. Joone puutuja definitsioon - Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Joone normaalsirge definitsioon - Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. 19.1 Joone y=f(x) puutuja võrrand punktis A(a,f(a)) : y f(a)=f'(a) Joone y=f(x) normaalsirge võrrand punktis A=(a,f(a)) : Diferentseeruvuse geomeetriline sisu : Argumendi väärtusel x=a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis A=(a,f(a)) sile joon, mille puutuja tõusunurk ei ole /2. 1. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on määratud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund
Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). Joone normaalsirge definitsioon. Joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). Olgu tasandil -teljestikus antud joon = ! . Joone = ! puutujaks punktis nimetatakse tema lõikaja % piirsirget, mis tekib punti % lähenemisel punktile mööda joont =! . Joone puutuja võrrand punktis = , ! kujul - ! = n - , kus n on tõus. Joone = ! normaalsirgeks punktis nimetatakse sirget, mis läbib punti ja ristub joone =! puutujaga selles punktis. ) Punkti = , ! läbiva normaalsirge võrrand on - ! =- h - . f +
3.(f/g)= fg-fg/g2 . 4. (Cf)' = C'f + C f' = 0 f + C f' = C f' 5. (f - g)' = [f + (-1)g]' = f' + [(-1)g]' = f' + (-1)g' = f' g' 6. {g[f(x)]}' = g'[f(x)] f'(x) Joone puutuja definitsioon - Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). y - f(a) = f (a)(x - a) Joone normaalsirge ja selle võrrand. Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. y - f(a) = - 1/f(a)(x - a), kui f(a) = 0 5
Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). Joone normaalsirge definitsioon. Joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)): y − f(a) = p(x − a) Joone y = f(x) normaalsirgeks punk tis A nimetatakse sirget, mis l¨abib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)): y − f(a) = - 1 f ' (a) (x-a)
on . Seega on lõikaja tõus p=tan . Vaatleme nüüd piirprotsessi x->a. Kui x->a, siis P läheneb punktile A mööda joont y=f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja joone y=f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p. Järelikult tuletise definitsiooni põhjal Avaldame puutuja võrrandi Viimane valem kehtib juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f'(a) on määratud. Def. Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub jone y=f(x) puutujaga selles punktis. Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan . Kuna =+ ja tan =f'(a), siis Seega punkti A=(a,f(a)) läbiva normaalsirge võrrand on Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. Geomeetriliselt funktsiooni diferentsiaal tähendab punktis x võetud puutuja muutu, so lõigu AB pikkust.
on . Seega on lõikaja tõus p=tan . Vaatleme nüüd piirprotsessi x->a. Kui x->a, siis P läheneb punktile A mööda joont y=f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja joone y=f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p. Järelikult tuletise definitsiooni põhjal Avaldame puutuja võrrandi Viimane valem kehtib juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f'(a) on määratud. Def. Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub jone y=f(x) puutujaga selles punktis. Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan . Kuna =+ ja tan =f'(a), siis Seega punkti A=(a,f(a)) läbiva normaalsirge võrrand on Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. Geomeetriliselt funktsiooni diferentsiaal tähendab punktis x võetud puutuja muutu, so lõigu AB pikkust.
JÄrelikult (t) = Analoogiliselt saame funktsiooni y = (t), mille argument on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose (t) = . Kasutades neid valemeid arvutame: f(x) = = = 22. Joone puutuja. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x) Joone normaalsirge. Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Kui funktsiooni graafik on punktis A = (a, f(a)) sile (so mittemurduv), siis on lõikaja AP piirsirge punktis A Üheselt määratud, sõltumata sellest kummalt poolt punktiga P punktile A lähenetakse. Seega on sel juhul punktis A puutuja Üheselt määratud. Kui puutuja tõusunurk = /2 , siis on arvutatav ka puutuja tõus ehk funktsiooni tuletis f(a). Kui aga punktis A
. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid. · Tasandid, mille võrrandiks on z=(a,b ) + 'x( a, b ) (x - a )+'y( a,b ) ( y b ), nimetatakse pinna z = (x,y) puutujatasandiks punktis B=(a,b, (a,b)). · Pinna z=f(x,y) normaalvektoriks punktis B nim. vektorit, mis ristub puutujatasandiga selles punktis. · Pinna z= (x,y) normaalsirgeks punktis B nim. sirget, mis läbib punkti B ja ristub puutujatasandiga selles punktis. · Kui tasand on antud võrrandiga C1x+C2y+C3z+C4=0, siis temaga ristuva vektori koordinaadid on C1, C2, C3 ning temaga ristuva ja punkti (x1, y1, z1) läbiva sirge kanoonilised võrrandid on ((x-x1)/C1=((y-y1)/C2)=((z-z1)/C3). Puutujatasandi võrrand on z = (a,b)+ 'x(a,b)(x-a)+ 'y(a,b)(y-b). Viies selles võrrandis
. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid. · Tasandid, mille võrrandiks on z=(a,b ) + 'x( a, b ) (x - a )+'y( a,b ) ( y b ), nimetatakse pinna z = (x,y) puutujatasandiks punktis B=(a,b, (a,b)). · Pinna z=f(x,y) normaalvektoriks punktis B nim. vektorit, mis ristub puutujatasandiga selles punktis. · Pinna z= (x,y) normaalsirgeks punktis B nim. sirget, mis läbib punkti B ja ristub puutujatasandiga selles punktis. · Kui tasand on antud võrrandiga C1x+C2y+C3z+C4=0, siis temaga ristuva vektori koordinaadid on C1, C2, C3 ning temaga ristuva ja punkti (x1, y1, z1) läbiva sirge kanoonilised võrrandid on ((x-x1)/C1=((y-y1)/C2)=((z-z1)/C3). Puutujatasandi võrrand on z = (a,b)+ 'x(a,b)(x-a)+ 'y(a,b)(y-b). Viies selles võrrandis
Vaatleme piirprotsessi x a. Kui x a, siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal p = p = = f ` (a) Valemitest y f (a) = p(x - a) ja p = limp = = f (a) Lõpp võetud vanast konspektist ja lim p õige kirjapilt jäi mulle arusaamatuks. Normaalsirge. Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub funktsiooni y = f(x) graafiku puutujaga selles punktis. Punkti A = (x0 ,y0) läbiva normaalsirge võrrand: y y0 = - Võrrandi tuletamine: Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan . Kuna = + ja tan = f (a), siis p = tan = tan( +) = - = - Punkti A = (a, f(a)) läbiva normaalsirge võrrand on järgmine: y - f(a) = - · (x - a) 5. Diferentsiaal kui funktsiooni muudu peaosa
0 38) Saamegi puutuja v~orrandi y - f (a) = f (a)(x - a) , mis kehtib juhul, kui puutuja t~ous p ehk 0 tuletis f (a) on m¨a¨aratud. 0 39) Kui puutuja t~ousunurk on siis ei ole f (a) m¨a¨aratud ja puutuja v~orrand on x = a. c) Joone normaalsirge definitsioon Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nim. sirget, mis läbib punkti A ning ristub joone y=f(x) puutujaga selles punktis. Võrrand: d) Tuletada joone y=f(x) normaalsirge võrrand punktis A=(a,f(a)) 40) Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan . Kuna = + 0 ja tan = f (a), siis p = tan = tan( + )= 1/tan = 1/f 0(a)
0 38) Saamegi puutuja v~orrandi y - f (a) = f (a)(x - a) , mis kehtib juhul, kui puutuja t~ous p ehk 0 tuletis f (a) on m¨a¨aratud. 0 39) Kui puutuja t~ousunurk on siis ei ole f (a) m¨a¨aratud ja puutuja v~orrand on x = a. c) Joone normaalsirge definitsioon Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nim. sirget, mis läbib punkti A ning ristub joone y=f(x) puutujaga selles punktis. Võrrand: d) Tuletada joone y=f(x) normaalsirge võrrand punktis A=(a,f(a)) 40) Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan . Kuna = + 0 ja tan = f (a), siis p = tan = tan( + )= 1/tan = 1/f 0(a)
Seega läheneb ka lõikaja tõus p(kriipsuga) puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal p = lim(xa) p(kriips) = lim(xa) (f(x)-f(a))/x-a=f'(a)(3.4) Valemitest (3.3) ja (3.4) saamegi puutuja võrrandi y- f(a) = f'(a)(x - a) : (3.5) Valem (3.5) kehtib juhul kui puutuja tõus p ehk tuletis f'(a) on määratud. Kui puutuja tõusunurk on /2 siis ei ole f'(a) määratud ja puutuja võrrand on x = a. Normaal: Joone normaalsirge ja tema võrrand. Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget n mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Joonisel 3.4 on kujutatud joone y = f(x) puutuja s ja normaalsirge on koos oma tõusunurkadega alfa ja beta. Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan beta. Kuna beta = alfa + pi/2 ja tan alfa = f'(a) siis p = tan beta = tan (alfa + pi/2) = -1/tanalfa =-1/f'(a) (3.6) Valemite (3.6) ja (3
Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal Valemitest (3.10) ja (3.11) saamegi puutuja võrrandi Valem (3.12) kehtib juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f(a) on määratud. Kui puutuja tõusunurk on /2 , siis ei ole f(a) määratud ja puutuja võrrand on x = a. Joone normaalsirge definitsioon: Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Tuletada joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) : Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan . Kuna = + /2 ja tan = f(a), siis Valemite (3.13) ja (3.9) põhjal on punkti A = (a, f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine: Muidugi kehtib selline võrrand juhul, kui f(a) = 0. Kui f(a) = 0, siis on normaalsirge y - telje
Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y=f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p(puutuja). Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal: Järeldub puutuja võrrand: Valem kehtib juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f'(a) on määratud. Kui puutuja tõusunurk on , siis ei ole f'(a) määratud ja puutuja võrrand on x=a. c. Joone normaalsirge definitsioon Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y=f(x) puutujatega selles punktis. d. Tuletada joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) JOONIS Joonisel on kujutatud joone y=f(x) puutuja s ja normaalsirge n koos oma tõusunurkadega ja . Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p=tan. Kuna =a+ ja tan=f'(a), siis Eelneva valemi ning valemi y-b=p(x-a) põhjal on punkti A=(a,f(a)) läbiva
mööda joont Tuletame puutuja s võrrandi. Märgime, et valemi korral avaldub puutuja s võrrand punktis kujul kus p on s tõus. Vaatleme piirprotsessi . Kui siis läheneb P punktile A mööda joont . Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus puutuja tõusule p. Valemid · Joone normaalsirge ja selle võrrand Joone normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone puutujaga selles punktis. Arvutame normaalsirge leidmiseks tõusu kuna ja siis Punkti läbiva normaalsirge võrrand on järgmine: , kui · Diferentseeruvuse geomeetriline sisu - Argumendi väärtusel diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis sile joon mille puutuja tõusunurk ei ole 23.
Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal . Eelnevatest valemitest saamegi puutuja võrrandi See valem kehtub juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f ` (a) on määratud. Kui puutuja tõusunurk on , siis ei ole f ` (a) määratud ja puutuja võrrand on x = a. JOONE NORMAALSIRGE DEFINITSIOON Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse, sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Tuletada joone normaalsirge võrrand punktis A = (a,f(a)). Joonisel on kujutatud joone y = f(x) puutuja s ja normaalsirge n koos oma tõusunurkadega ja . Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu . Kuna ja , siis . Valemite põhjal on punkti A = (a,f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine: . Võrrand kehtib juhul, kui f `(a) 0
Kui x a, siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal (3.11) Valemitest (3.10) ja (3.11) saamegi puutuja võrrandi y - f(a) = f'(a)(x - a) Joone normaalsirge definitsioon Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Joone y f (x) normaalsirge võrrand punktis A (a, f (a)) Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan Kuna = + ja tan = f'(a), siis (3.13) Valemite (3.13) ja (3.9) põhjal on punkti A = (a, f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine: Diferentseeruvuse geomeetriline sisu
gradiendisuunaline
3. Gradient gradf(A) on skalaarvälja f nivoopinna normaalvektor punktis A.
Teiste sõnadega: vektor grad f(A) ristub punkti A läbiva nivoopinna
f(x,y,z)=C puutujatasandiga punktis A
12. Pinna puutujatasand ja normaalsirge
Pinna puutujatasand ja tema võrrand
Tasandit z=f(a,b)+f'x(a,b)(x-a)+f'y(a,b)(y-b) nimetatakse pinna z=f(x,y)
puutujatasandiks punktis B(a,b,f(a,b))
Pinna z=f(x,y) normaalsirgeks punktis B nimetatakse sirget, mis läbib punkti B ja
ristub puutujatasandiga selles punktis
13. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumid. Lokaalse ekstreemumi tarvilik
tingimus
Punkti (x0,y0) nim funktsiooni z=f(x,y) maksimumpunktiks, kui punkti (x0,y0) küllalt
läheduses on f(x0,y0)>f(x,y), ja miinimumpunktiks, kui f(x0,y0)
Kui x → a, siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal (3.11) Valemitest (3.10) ja (3.11) saamegi puutuja võrrandi y − f(a) = f’(a)(x − a) Joone normaalsirge definitsioon Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Joone y f (x) normaalsirge võrrand punktis A (a, f (a)) Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan φ Kuna φ = α + ja tan α = f’(a), siis (3.13) Valemite (3.13) ja (3.9) põhjal on punkti A = (a, f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine: Diferentseeruvuse geomeetriline sisu
. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid. Tasandit, mille v~orrandiks on (6.32), nimetatakse pinna z = f (x, y) puutu- jatasandiks punktis B = (a, b, f (a, b)). z = f (a, b) + fx (a, b)(x - a) + fy (a, b)(y - b) . (6.32) Pinna z = f (x, y) normaalvektoriks punktis B nimetatakse vektorit, mis ristub puutujatasandiga selles punktis. Pinna z = f (x, y) normaalsirgeks punk- tis B nimetatakse sirget, mis l¨abib punkti B ja ristub puutujatasandiga selles punktis. Puutujatasandi T v~orrand on (6.32). Viies selles v~orrandis muutuja z paremale poole ja avades sulud saame fx (a, b)x + fy (a, b)y - z + f (a, b) - fx (a, b)a - fy (a, b)b = 0 . Siit n¨aeme, et puutujatasandi v~orrand on esitatav kujul C1 x+C2 y +C3 z +C4 = 0, kus C1 = fx (a, b) , C2 = fy (a, b) , C3 = -1 ,
p = limp = lim f (x) f (a)/ x - a= f ` (a) xa xa Valemitest y f (a) = p(x - a) ja p = limp = lim f (x) f (a)/ x - a= f (a) xa xa saamegi puutuja võrrandi y - f(a) = f (a)(x - a) , kui puutuja tõus p ehk tuletis f(a) on määratud, nt. Kui kui f(a) = /2 . Joone normaalsirge ja selle võrrand. Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan . Kuna = + /2 ja tan = f (a), siis p = tan = tan( +/2)= - 1/tan = - 1/f(a) Punkti A = (a, f(a)) läbiva normaalsirge võrrand on järgmine: y - f(a) = - 1/f(a)(x - a), kui f(a) = 0. Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. Argumendi väärtusel x = a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis
(3.11) xa xa x-a Valemitest (3.10) ja (3.11) saamegi puutuja v~orrandi y - f (a) = f (a)(x - a) . (3.12) Valem (3.12) kehtib juhul, kui puutuja t~ous p ehk tuletis f (a) on m¨a¨aratud. Kui puutuja t~ousunurk on 2 , siis ei ole f (a) m¨a¨aratud ja puutuja v~orrand on x = a. Joone normaalsirge ja selle v~ orrand. Joone y = f (x) normaalsirgeks punk- tis A nimetatakse sirget, mis l¨abib punkti A ja ristub joone y = f (x) puutujaga selles punktis. Joonisel 3.4 on kujutatud joone y = f (x) puutuja s ja normaal- sirge n koos oma t~ousunurkadega ja . Normaalsirge v~orrandi tuletamiseks peame arvutama tema t~ousu p = tan . Kuna = + 2 ja tan = f (a), siis ( ) 1 1 p = tan = tan + =- =- . (3.13)
(3.11) xa xa x-a Valemitest (3.10) ja (3.11) saamegi puutuja v~orrandi y - f (a) = f (a)(x - a) . (3.12) Valem (3.12) kehtib juhul, kui puutuja t~ous p ehk tuletis f (a) on m¨a¨aratud. Kui puutuja t~ousunurk on 2 , siis ei ole f (a) m¨a¨aratud ja puutuja v~orrand on x = a. Joone normaalsirge ja selle v~ orrand. Joone y = f (x) normaalsirgeks punk- tis A nimetatakse sirget, mis l¨abib punkti A ja ristub joone y = f (x) puutujaga selles punktis. Joonisel 3.4 on kujutatud joone y = f (x) puutuja s ja normaal- sirge n koos oma t~ousunurkadega ja . Normaalsirge v~orrandi tuletamiseks peame arvutama tema t~ousu p = tan . Kuna = + 2 ja tan = f (a), siis 1 1 p = tan = tan + =- =- . (3.13)
L¨ahtume tuntud faktist, et kui sirge l¨abib punkti P0 (x0 ; y0 ) ja sirge t~ous on k, siis sirge v~orrand on y - y0 = k(x - x0 ). Funktsiooni y = f (x) graafiku punkti, mille abstsiss on x0 , ordinaadiks on f (x0 ). Puutuja t~ous selles punktis on f (x0 ). Seega on puutuja v~orrandiks y - f (x0 ) = f (x0 )(x - x0 ). (2.10) Definitsioon. Joone normaalsirgeks ehk normaaliks antud punktis ni- metatakse joone selles punktis t~ommatud puutuja ristsirget. Kui kaks sirget on risti, siis teise sirge t~ous k2 avaldub esimese sirge t~ousu 1 1 k1 kaudu k2 = - . J¨arelikult on normaali t~ousuks - ja normaalsirge k1 f (x0 ) v~orrandiks 1
annaabi.ee 
