Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Nähtavuse lahendamine kiivsirgete puhul". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
asetseva, kumb, eestvaates, pealtvaates, lõikepunkt, pealtvaade, kiivsirged, kaksvaade, konkureerivate, esitage, eestpooltÜlesanne 2. KIIVSIRGED. NÄHTAVUS Antud on kiivsirgete a ja b kaksvaade (joonis 1). Lahendada sirgete a ja b varjumine konkureerivate punktide määramise teel. Esitage lahenduskäigu kirjeldus kirjalikult. Joonis 1 Vastus: Et otsustada, kumb sirge läheb teisest üle, vaatlen sirgete a ja b ja punkte 1 ja 2, mis asetsevad ühel ja samal põhikiirel. Nende punktide ühiseks pealtvaateks on sirgete a ja b pealtvaadete lõikepunkt 1`ühtib 2`. Tõmmates sidejoone läbi selle punkti näen eestvaatel, et sirgel b asetsev punkt 1`on kõrgemal kui sirgel a asetsev punkt 2`. Järelikult ülalt vaadates on punkt 1`vaatlejale lähemal kui punkt 2`, seetõttu läheb sirge b sirgest a üle ehk sirge b on pealtvaates nähtav. Analoogiliselt otsustan, kumb sirge on joonise eestvaatel katkestatud. Vaatlen sirgete a ja b ja punkte 3 ja 4, mille ühiseks eestvaateks on sirgete a ja b eestvaadete lõikumispunkt 3``ühtib 4``
Ülesanne 2. KIIVSIRGED. NÄHTAVUS Antud on kiivsirgete a ja b kaksvaade (joonis 1). Lahendada sirgete a ja b varjumine konkureerivate punktide määramise teel. Esitage lahenduskäigu kirjeldus kirjalikult. Joonis 1 Vastus: Sirgete a'' ja b'' nähtavus. Kõigepealt tõmban a'' ja b'' ristumispunktist sidejoone, risti kaksvaate teljega, mis lõikab a' ja b' ( sirge a ja b projektsioon põhiekraanil). Mõõdan kvoote ja pikema põhikvoodiga sirge on eespool ehk b''( sirge b projektsioon põhiekraanil) asub eespool kui a''(sirge a projektsioon põhiekraanil). Sirgete a' ja b' nähtavus
x y x0 A A0 y0 Joon. 5 1.3. Mongei meetod 4 Meetod kasutab kaht risti olevat ekraani, millele tehakse objektist ristprojektsioonid. Seejärel pööratakse ekraanid koos kujutisega ühele tasapinnale - joonise pinnale. 1.3.1. Punkti kaksvaade Vtame 1 = xy-tasapind - phiekraan; 2 = xz-tasapind - esiekraan; Pärast ekraanide lahtipööramist saame punkti A kaksvaate (joon. 6), kus x 1 × 2 - kaksvaate telg; AA x - sidejoon; A ( xA ; yA ) - punkti A pealtvaade; A ( xA ; zA ) - punkti A eestvaade. Punkti A kaksvaade AA määrab punkti asukoha ekraanide suhtes üheselt. Kui punkt on antud kaksvaatega, kirjutatakse A (A,A).
nädalal KT Kujutav geomeetria, loeng 2 Mongei meetod, sirge jälgpunktid, eriasendilised sirged, sirglõigu pikkus ja kaldenurgad, kahe sirge vastastikused asendid Sirgjoone jälgpunktid Sirge jälgpunktiks (jäljeks) nim sirgjoone ja ekraani lõikepunkti. Üldasendilisel sirgel on kolm jälge: *lõikepunkt põhiekraaniga -põhijälgpunkt *esiekraaniga- esijälgpunkt *külgjälg- külgjälgpunkt Põhijälg ja tema pealtvaade asetsevad põhiekraanil ja sirge pealtvaatel, põhijälje eestvaade aga x-teljel ja sirge eestvaatel. Esijälg ja tema eestvaade asetsevad esiekraanil ja sirge eestvaatel, esijälje pealtvaade aga x-teljel ja sirge pealtvaatel. Üldasendiline sirge Üldasendiline sirge ei ole paralleelne ühegi ekraaniga ega asetse sellel. Tunnus: kõik 3 sirge projektsiooni on kaldu ekraanide suhtes. Sirglõigu ristprojektsioonid on sirglõigust enesest lühemad. Sirgjoone kaldenurgad ei esine
Kujutav geomeetria, loeng 2 Mongei meetod, sirge jälgpunktid, eriasendilised sirged, sirglõigu pikkus ja kaldenurgad, kahe sirge vastastikused asendid Sirgjoone jälgpunktid Sirge jälgpunktiks (jäljeks) nim sirgjoone ja ekraani lõikepunkti. Üldasendilisel sirgel on kolm jälge: *lõikepunkt põhiekraaniga -põhijälgpunkt *esiekraaniga- esijälgpunkt *külgjälg- külgjälgpunkt Põhijälg ja tema pealtvaade asetsevad põhiekraanil ja sirge pealtvaatel, põhijälje eestvaade aga x-teljel ja sirge eestvaatel. Esijälg ja tema eestvaade asetsevad esiekraanil ja sirge eestvaatel, esijälje pealtvaade aga x-teljel ja sirge pealtvaatel. Üldasendiline sirge Üldasendiline sirge ei ole paralleelne ühegi ekraaniga ega asetse sellel. Tunnus: kõik 3 sirge projektsiooni on kaldu ekraanide suhtes. Sirglõigu ristprojektsioonid on sirglõigust enesest lühemad. Sirgjoone kaldenurgad ei esine
Y-koordinaatlõiguga. 21) Missugust joont punkti kaksvaatel nimetatakse sidejooneks? Projektsioone ühendavat sirget. 22) Kus asub punkt A, kui A=A", ja punkt B, kui B=B'? Punkt A asub esi- ja punkt B põhiekraanil. 23) Sõnastage kolmvaate peaomadus. Pealtvaate kaugus x-teljest = külgvaate kaugus z-teljest. 24) Joonestada punkti A(x;y;z) kolmvaade. 25) Joonestada punkti A kolmvaade, kui selle kaugus põhiekraanist on a, esiekraanist b ja külgekraanist c mm. 26) Mis on teljevaba kaksvaade? Nagu tavalise objekti kaksvaade, kuid sellel puudub x-telg ja seega pole võimalik mõõta objekti punktide kaugusi põhi- ja esiekraanist, kuid saab alati kindlaks teha kauguseste vahesid ekraanidest. 27) Milles seisneb aksonomeetria meetodi olemus? Aksonomeetria on kujutamisviis, milles kujutis konstrueeritakse punktide ristkoordinaatide järgi. 28) Mis on sirgjoone põhi-, esi- ja külgjälg?
Kaksvaate teljega risti olev joon, mille kaudu avaldub kujutiste vaheline projektsiooniline seos. 16. Sõnastage kolmvaate peaomadus. Külgvaate kaugus z-teljest võrdub pealtvaate kaugusega X-teljest, sest kumbki kaugus võrdub punkti kaugusega esiekraanist. 17. Joonestada punkti A(x;y;z) kolmvaade. 18. Joonestada punkti A kolmvaade, kui tema kaugus põhiekraanist on a, esiekraanist b ja külgekraanist c mm. 19. Mis on sirgjoone põhi-, esi- ja külgjälg? Sirge lõikepunkt vastava ekraaniga. 20. Missugust sirget nimetatakse üldasendiliseks? Sirge, mis pole paralleelne ühegi ekraaniga ega asetse sellel. 21. Missugust sirget nimetatakse 1) horisontaaliks, 2) frontaaliks ja mis on tema tunnus kaksvaate alusel? -põhiekraaniga paralleelne sirge: nivoosirge põhiekraani suhtes. Pealtvaates esineb täispikkuses, eestvaatel punktina (erijuht). -esiekraaniga paralleelne sirge: nivoosirge esiekraani suhtes. Pealtvaates paralleelne x-teljega,
22. Kus asub punkt A, kui A A", ja punkt B, kui B B' ? A asub esiekraanil, B põhiekraanil. 23. Sõnastage kolmvaate peaomadus. külgvaate kauguszteljest = pealtvaate kaugusega Xteljest, sest kumbki kaugus=punkti kaugusega esiekraanist. 24. Joonestada punkti A(x;y;z) kolmvaade. 25. Joonestada punkti A kolmvaade, kui tema kaugus põhiekraanist on a, esiekraanist b ja külgekraanist c mm. 26. Mis on teljevaba kaksvaade? kui joonisel kujutatavate 2 vaate vahele ei ole tõmmatud telge. Võib kasutada juhul, kui kujutatava objekti kaugus ekraanidest ei ole oluline nt tehniliste jooniste puhul kasutatatkse seda. 27. Milles seisneb aksonomeetria meetodi olemus? * aksonomeetria meetod (obj. seotakse ristteljetsikuga, kusjuures konstrueeritakse esialgu teljestiku rist või kaldprojektsioon, mille baasil tuletatakse objekti kujutis objekti koordinaatide abil.) saadakse piltkujutis objektist. 28
0=
Ülesanne 2. KIIVSIRGED. NÄHTAVUS Antud on kiivsirgete a ja b kaksvaade (joonis 1). Lahendada sirgete a ja b varjumine konkureerivate punktide määramise teel. Esitage lahenduskäigu kirjeldus kirjalikult. Joonis 1 Vastus: Näiteks võtame punkti põhiekraanil sirge a ja b lõikumiskohas (punkti nimeks paneme A) ja ühendame esiekraanil mõlema sirgega nii, et see joon oleks risti x teljega. Saame sirgetel kaks punkti (A1 ja A2) erinevatel kõrgustel. Vaatame, millisel punktil on suurem kvoot põhiekraanil. Selle punkti mille kvoot on põhiekraanist suurem on põhiekraanil peal pool (jämejoon)
Sidejooneks nimetatakse punkti projektsioone ühendavat sirget. 15. Sõnastage kolmvaate peaomadus. Punkti esikvoot ehk peakvoot esineb kolmvaates kaks korda pealtvaate kaugusena x-teljest ja külgvaate kaugusena z-teljest. 16. Missugustele koordinaatlõikudele vastavad põhi-, esi- ja külgkvoot? Põhikvoot z-telg, esikvoot y-telg, külgkvoot x-telg 17. Mis on sirgjoone põhi-, esi- ja külgjälg? Sirgjoone põhijälg on sirge ja põhiekraani lõikepunkt, sirgjoone esijälg on sirge ja esiekraani lõikepunkt, sirgjoone külgjälg on sirge ja külgekraani lõikepunkt. 18. Missugust sirget nimetatakse horisontaaliks (frontaaliks) ja mis on tema tunnus kaksvaate alusel? Horisontaaliks nimetatakse põhiekraaniga paralleelset nivoosirget. Tema tunnus kaksvaate alusel: h1 h"x A'B'=AB (Frontaaliks nimetatakse esiekraaniga paralleelset nivoosirget. Tema tunnus kaksvaate alusel: f1 f'x A"B"=AB). 19
*ellipsiks, kui ring on paralleelne ekraaniga (kaldprojekteerimisel) 13. Nimetage objekti määravate jooniste saamise meetodid. 1) Monge'i meetod, 2) kvooditud ristprojektsiooni meetod, 3) aksonomeetria meetod. 14. Missugust joont punkti kaksvaatel nimetatakse sidejooneks? Sidejooneks nim joont, mis ühendab punkti projektsioone ekraanidel. 15. Sõnastage kolmvaate peaomadus. Nii kaugel kui on punkti pealtvaade x-teljest, nii kaugel asub ka sama punkti vasakult vaade z-teljest. 16. Missugustele koordinaatlõikudele vastavad põhi-, esi-, ja külgkvoot? põhikvoot z-koordinaatlõik esikvoot y-koordinaatlõik külgkvoot x-koordinaatlõik 17. Mis on sirgjoone põhi-, esi- ja külgjälg? 1. Põhijälg - sirge ja põhiekraani lõikepunkt P 2
ja külgvaate kaugusena z-teljest. 3) Tunnus: AxA' = AzA''' = A''A 16. Missugustele koordinaatlõikudele vastavad põhi-, esi- ja külgkvoot? 1) x-koordinaatlõik (külgkvoot= kaugus külgekraanist). 2) y-koordinaatlõik (esikvoot= kaugust esiekraanist). 3) z-koordinaatlõik (põhikvoot= kaugus põhiekraanist). 17. Mis on sirgjoone põhi-, esi- ja külgjälg? (Jälgpunkt ehk jälg on sirgjoone ja ekraani lõkepunkt) 1) Põhijälg – Lõikepunkt põhiekraaniga P=s*e1 2) Esijälg – Lõikepunkt esiekraaniga E=s*e2 3) Külgjälg – Lõikepunkt külgekraaniga K=s*e3 18.1 Missugust sirget nimetatakse horisontaaliks ja mis on tema tunnus kaksvaate alusel? Horisontaaliks nim. sirget kui see on: 1) x-teljega paralleelne 2) esikaldenurk projekteerub põhiekraanile tõelises suuruses 3) esijälg on, põhijälg puudub Tunnus - paralleelne või ühtiv x-teljega 18
pealtvaate kaugusena x-teljest AxA' ja külgvaate kaugusena z-teljest AzA'''. 16. Missugustele kordinaatlõikudele vastavad põhi-, esi-, ja külgkvoot? põhikvoot z-koordinaatlõik esikvoot y-koordinaatlõik külgkvoot x-koordinaatlõik 17. Mis on sirgjoone põhi-, esi- ja külgjälg? 1. Põhijälg- sirge ja põhiekraani lõikepunkt P 2. esijälg- sirge ja esiekraani lõikepunkt E 3. külgjälg- sirge ja külgekraani lõikepunkt K 18. Missugust sirget nim horisontaaliks (frontaaliks) ja mis on tema tunnus kaksvaate alusel? 1. Horisontaal (h) põhiekraaniga paralleelne sirge h"||x; AB=|AB|; h||1; erijuht h2 h"=E"=E. 2. Frontaal (f) esiekraaniga paralleelne sirge f'||x; AB=|A"B"|; f||2; erijuht f1 f'=P'=P. 3. Profiilsirge (r) külgekraaniga paralleelne sirge r'x ja r"x; r||3. 19
24. Sõnastage kahe sirge paralleelsuse tunnus kaksvaate alusel. Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid pole risti kaksvaateteljega. 25. Sõnastage kahe sirge lõikumise tunnus kaksvaate alusel. Kui kahe sirge samanimeliste projektsioonide lõikepunktid asetsevad ühel ja samal sidejoonel ning kummagi sirge mõlemad vaated pole rist x-teljega. 26. Skitseerige kahe kiivsirge (a ja b) kaksvaade (lahendada varjumine). 27. Nimetage kõik tasapinna määramisvõimalused. a) kolme punktiga, mis ei asetse ühel sirgel b) punkt ja sirge, mis ei läbi seda punkti c) kaks lõikuvat sirget d) kaks paralleelset sirget e) mistahes tasapinnalise kaksvaatega või tasapinna jälgedega 28. Missugust tasandit nimetatakse: a) üldasendiliseks? Tasapinda, mis on kaldu kõikide ekraanide suhtes. b) eriasendiliseks
..... 12 TEINE OSA. KUJUTAVA GEOMEETRIA ALUSED JA PROJEKTSIOONJOONESTAMINE ............................................................................................................ 14 Kujutamise üldised põhimõtted........................................................................................................................ 14 4. Punkti ja sirge projekteerimine ................................................................................................................ 14 Punkti kaksvaade.............................................................................................................................................. 14 Punkti kolmvaade............................................................................................................................................. 15 Sirglõigu kaksvaade ......................................................................................................................................... 16 Sirglõigu kolmvaade ...........
A,A' = A"A - esikvoot olenevaltjiirgmisi objekti mddravatejooniste saamisemeetodeid. (kauguse2-st). 1) Monge'i(loe:monZ)meetod; 2) aksonomeetria meetod; 3) kvooditudristprojektsiooni meetod. Kujutava geomeetria kursuses kasutatakse p6hiliseltkahteesimestmeetodit. 2. MONGE-IMEETOD 2.1 Monge'imeetodiolemus.Punkti kaksvaade loon.2.1 Objektist tuletatakse mitu ristprojektsiooni ekraanidel,mis on tiksteisegaristi. Seejdrel Kaksvaate tehtsam ad p66ratakseekraanid koos kujutistegauhele omadused: tasandile- joonisepinnale. Niiviisi saadud joonist,mis koosnebmitmestomavahelseotud 1. Sidejoon on alati risti kaksvaate teljega (A'A" I x) ja tema kaudu avaldub kujutiste-
tasandi võrrand viidav alati kujule ax+ by+ cz+ d =0, kus D= - Ax0- By0 – Cz0 87.Tasandi riht- Riht on eukleidilises ja afiinses geomeetrias tasandite paralleelsust iseloomustav mõiste: kahel tasandil on sama riht, kui nad on paralleelsed 88.Normaalvektor - Tasandi võrrand on normaalvektori abil esitatav r⃗ −⃗ r0 kujul, ⃗n ∙¿ )=0, kus on tasandil asetseva punkti kohavektor. See võrrand kehtib iga tasandi punkti jaoks. Seega, kui teame, et on mingi punkt tasandil, siis peab kehtima . Et vektorite skalaarkorrutis on null parajasti siis, kui vektorid on risti, siis ütleb viimane võrrand, et tasand on selline pind, mis läbib punkti ja mille suvalist kaht punkti ühendav vektor on risti vektoriga . 89.Tasandi üldvõrrand - D= - Ax0- By0 – Cz0 90
Kaksvaate teljega risti olev joon , mille kaudu avaldub kujutiste vaheline projektsiooniline seos. 16. Sõnastage kolmvaate peaomadus. Külgvaate kaugus z-teljest= pealtvaate kaugusega x-teljest, sest kumbki kaugus= punkti kaugusega esiekraanist 17. Joonestage punkti A (x;y;z) kolmvaade. 18. Joonestada punkti A kolmvaade, kui tema kaugus põhiekraanist on a, esikraanist b ja külgekraanist c mm. 19. Mis on sirgjoone põhi-, esi- ja külgjälg? Sirge lõikepunkt vastava ekraaniga 20. Missugust sirget nimetatakse üldasendiliseks? Kui sirge ei ole paralleelne ega asetse ühelgi ekraanidest 21. Missugust sirget nimetatakse 1) horisontaaliks, 2) frontaaliks ja mis on tema tunnuse kaksvaate alusel? Põhiekraaniga paralleelne sirge: kujutis esiekraanil üldjuhul x-teljega paralleelnesirge, erijuhul punkt, esikaldenurk projekteerub põhiekraanile tõelises suuruses.
23. Sõnastage kolmvaate peaomadus. Punkti esi- ehk peakvoot esineb kolmvaates kaks korda: pealtvaate kaugusena x-teljest ja külgvaate kaugusena z-teljest. (AA``=AxA ´=AzA```) 27. Milles seisneb aksonomeetria meetodi olemus? Kujutise konstrueeritakse objekti punktide ristkoordinaatide järgi teljestiku kujutise baasil. 28. Mis on sirgjoone põhi-, esi- ja külgjälg? Põhijälg sirge ja põhiekraani lõikepunkt Esijälg sirge ja esiekraani lõikepunkt Külgjälg - sirge ja külgekraani lõikepunkt. 30. Missugust sirget nimetatakse üldasendiliseks Üldasendiliseks sirgeks nim. Sellist sirget, mis ei ole paralleelne ühegi ekraaniga ega asetse ühelgi ekraanil. 31. Missugust sirget nimetatakse 1) horisontaaliks, 2) frontaaliks ja mis on tema tunnus kaksvaate alusel? Horisontaal - sirge, mis on paralleelne põhiekraaniga. Tunnus : lõigud
Tasand võrrandiga Ax+By+Cz+D=0 ei läbi koordinaatide alguspunkti siis ja ainult siis kui vabaliige D0. Tasand ei ole paralleelne ühegi koordinaatteljega siis ja ainult siis kui A0, B0, ja C0. x/a+y/b+z/c=1- nim tasandi võrrandiks telglõikudes, arve a b ja c nim telglõikudeks. Telglõikude abil on võimalik anda teatud ettekujutus tasandi orientatsioonist ruumis, kui tasandi ja koordinaattelgede lõikepunktid ühendada sirglõikudega, mis eraldavad tasandist ühe kolmnurga. Sirge ja tasandi lõikepunkt Sirge ja tasandi lõike punkt asub nii sirgel kui tasandil. Seega peavad tema koordinadid rahuldama üheaegselt nii sirge kui ka tasandi võrrandeid. Teist järku jooned Teist järku joone üldine võrrand Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 Siin vähemalt üks kordajatest peab A, B või C peab olema nullist erinev. X²+y²+Dx+Ey+F=0 võrrand on teist järku algebralise joone võrrand. Siinjuures ruutliikmete kordajad on võrdsed ühega ja tundmatute x ja y korrutisega liige puudub. Ellips
MAATRIKS: Maatriks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksi mõõtmed Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- maatriksiks ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks Mat(n,n) nim. n-järku maatriksiks. Maatriksi elemendid nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat(m, n) abil. Ruutmaatriks maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m=n Ristkülikmaatriks maatriks, mille ridade arv
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused eksamiks 1. Kahe vektori skalaar- ja vektorkorrutis Vektoriks nim suunaga ja pikkusega sirglõiku. Tähistatakse , kus A ja B tähistavad vastavalt vektori algus- ja lõpp-punkti. Vektori mooduliks nim vektori pikkust. Tähistatakse . Ühikvektoriks nim vektorit, mille pikkus võrdub ühega. . Nullvektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ja lõpppunkt ühtivad. . Vabavektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ei ole fikseeritud, st vektori asendit võib paralleellükke abil muuta. Kahte vektorit nim võrdseks, kui nad on võrdsete moodulitega ning samasuunalised. Vektorite võrdsus erineb lõikude võrdsusest. Vektoreid nim kollineaarseteks, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel ja samal sirgel. Võivad olla sama või vastassuunalised. . Vektoreid nim komplanaarseteks, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel ja samal tasand
sihivektori abil ning teisendatakse sirgeid üldkujule. Eks iga õpetaja otsustab ise, kas ta tuletab need võrrandid eraldi või võtab kõik koos korraga ette. Kitsas kursuses võiks seda teha ükshaaval. Laias kursuses võib kasutada ka sirge tõusu väljakirjutamist mitmel erineval viisil. Joonis 6 Olen oma praktikas seda kasutanud. Joonistan ühe sirge (joonis 6) ja kannan sinna kõik sirgete võrrandite koostamiseks vajalikud andmed (2 punkti, tõusunurk, sihivektor, sirge suvaline punkt, lõikepunkt y-teljega). Märkame koos õpilastega, et sirge tõusu saab esitada mitmel moel. Sirge tõusuks on tõusunurga tangens, mida saab avaldada kõigist joonisele tekkinud kolmnurkadest ja ka sihivektori koordinaatide abil. Saame, et y - y1 y 2 - y1 y s k = tan = = = x - x1 x 2 - x1 x s (1.) (2.) (3.) (4.) (5.) Kui neid nüüd 2-kaupa kokku panna, saame kõikvõimalikud sirgete võrrandid. Näiteks
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 8. Süsteemi lahen
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij = aij + bij. ·
1.Vektorruumis on ainult üks nullelement tõestus: Olgu V vektorruum 2 omadus ütleb, et leidub . Olgu meil vektorruumis 1 ja2 vektorruumid. Vastavalt 2 saame seosed x+ 1 =x, 1 +x =x iga xV, y+ 2 =y, 2+y=y iga yV. Valime teises seoses x= 2 ja kolmandad seoses y= 1 Saame 1+ 2= 2 ja 1 +2= 1 oleme saanud 1=1 +2 =2 , et 1 ja 2 olid V nullelemendid, siis on kõik V nullelemendid omavahel võrdsed, st. Saab olla vaid üks nullelement. 2.Sirgete kimp, mis sisaldab teineteisest erinevaid sirgeid üldvõrranditega s: A1x1+A2x2+A3=0; t: B1x1+B2x2+B3=0; koosneb parajasti nendest sirgetest, mille üldvõrrand avaldub kujul (A1x1+A2x2+A3)+(B1x1+B2x2+B3)=0; kus ja on vabalt valitud reaalarvud, mis ei ole korraga nullid. Tõestus: 1) On vaja näidata, et uus võrrand kirjeldab alati antud kimpu kuuluvat sirget: Olgu P(p1,p2) antud kibu keskpunkt, st Ps ja Pt, mistõttu P koordinaadid peavad rahuldama mõlemat võrradit- A1P1+A2P2+A3=0 ja B1P1+B2P2+B3=0. Olgu ,R, siis (A1P1+A2P2+A3)+(B1P1+B2P2+B3)
x A'' B' A' p 45. Joonestada kolmnurk ABC, mille tasapind on risti põhiekraaniga (esiekraaniga). *Seda peaks igaüks oskama 46. Sõnastage sirge tasapinnal asetsemise tingimused. * 1) Sirge on tasandil, kui tema kaks punkti on sellel tasandil. * 2) Kui ta läbib tasandi punkti ning on paralleelne tasandil asetseva sirgega. 47. Mis on tasapinna horisontaal (frontaal) ja mis on tema tunnus kaksvaatel? * 1) Tasandi horisontaaliks nim sirget, mis asetseb sellel tasandil ning on paralleelne põhiekraaniga, tunnus: h''||x ja h'||p. * 2) Tasandi frontaaliks nim sirget, mis asetseb sellel tasandil ja on parall esiekraaniga, tunnus: f'||x ja f''||e. 48. Joonestada tasapinnal (p;e) horisontaal h(h';h") (frontaal f(f';f")), mille kaugus põhi(esi)ekraanist on 20 mm.
vabaliikmed pole); kaks sirget on risti, kui nende tõusude korrutis on -1 või nende sihivektorite skalaarkorrutis on 0. kaks sirget lõikuvad, kui tõusud pole võrdsed; kui sihivektorid pole kollineaarsed kaks sirget ühtivad, kui nende sihivektorid on kollineaarsed ja sirgetel on ühine punkt; kui tõusud on võrdsed (ja vabaliikmed on võrdsed) kahe sirge vastastikused asendid ruumis: Kiivsirged kolm vektorit a, b ja AB ei ole komplanaarsed Lõikuvad sirged kolm vektorit a, b ja AB on komplanaarsed, sihivektorid a ja b ei ole kollineaarsed Paralleelsed sirged kolm vektorit a, b ja AB on komplanaarsed, ainult sihivektorid a ja b on kollineaarsed Ühtivad sirged kolm vektorit a, b ja AB on komplanaarsed, vektorid on paarikaupa kollineaarsed 23. Sirge kanoonilised ja parameetrilised võrrandid ruumis. kanooniline võrrand: parameetriline võrrand: 24
ANALÜÜTILINE GEOMEETRIA RUUMIS, VEKTORID VEKTORI MÕISTE, MOODUL JA SUUND Neid suurusi, mida on võimalik iseloomustada ühe arvuga, nimetatakse skalaarseteks (temperatuur, mass, töö). Suurusi, mille iseloomustamiseks on vaja arvu ja suunda, nimetatakse vektoriaalseteks (jõud, kiirus, kiirendus). Definitsioon. (Geomeetriliseks) vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku, lõiku, millel tehakse vahet alguse ja lõpu vahel. Kui vektori algus on punktis A ja lõpp punktis B, siis tähistatakse AB , a . Vektor on kindla sihi, suuna ja pikkusega lõik. Siht on teda kandva sirge siht. Suund on alguspunktist lõpp-punkti poole. Definitsioon. Vektori mooduliks nimetatakse tema pikkust, see on lõigu AB pikkust ja tähistatakse AB AB , a a . Vektori moodul on skalaarne mittenegatiivne suurus. Definitsioon. Nullvektoriks nimetatakse vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kok
Eksami kordamisküsimused Lineaaralgebra ja analüütiline geomeetria (2015- 2016 aasta sügis) Ristkoordinaadid. Kui ruumis on antud ristkoordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määrastud ristkoordinaatidega x, y, z, kus x on punkti P ristprojektsioon abstsissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaatteljele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaateljele. Kirjutame P(x, y, z). Kahe punkti vaheline kaugus. Kui P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) on ruumi punktid, siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga Vektori mõiste Vektor on suunatud lõik alguspunktiga punktis A ja lõpp-punktiga punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikkus Vektori pikkuseks lo
Matemaatika eksami teooria Reaalarvud 1.1. Naturaal-, täis- ja ratsionaalarvud · Naturaalarvude hulk N (ainult positiivsed täisarvud) · Naturaalarvu n vastandarv -n defineeritakse selliselt, et n+(-n)=0 · Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z (jaguneb pos ja neg) · Iga kahe täisarvu vahe on alati täisarv · Kui arv a ei jagu arv b-ga, siis on tegemist murdarvuga. Kõik täisarvud ja positiivsed ning negatiivsed murdarvud moodustavad kokku ratsionaalarvude hulga Q. Ratsionaalarv on arv, mis avaldub jagatisena a/b, kus a Z, b Z ja b 0. · Iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. 1.2 Irratsionaal- ja reaalarvud · Arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, on irratsionaalarv. · Arvutamisel piirdutakse ligikaudsete väärtustega e lähenditega, nt pii=3,14 · Kuna iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioo
2 = = =1 2 2 2 2 Relatiivne viga (suhteline viga) = a Relatiivseks veaks nimetatakse lähendi absoluutse vea ja lähendi jagatist. Näiteks: Kumb ligikaudsetest arvudest 125(±4) ja 25(±1) on suhteliselt täpsem? 4 1 1 = = 0, 032 ja 2 = = 0, 04 Seega esimene on täpsem, kuna suhteline viga on 125 25 väiksem. Arvu tüvenumbrid Ligikaudse arvu tüvenumbriteks loetakse kõiki õigeid numbreid, v.a. kümnendmurru alguses olevad nullid ning täisarvu lõpus olevad numbrid. Näiteks:
annaabi.ee 
