põhielementaar-funktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja
liitfunktsioonide moodustamise tulemusena.
Tõkestatud funktsiooniks nimetatakse funktsiooni f(x) piirkonnas A tõkestatuks,
kui leidub reaalarv k, nii et |f(x)|<= k iga X kuulub hulka A korral.
Monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni , mis kogu oma
määramispiirkonnas on mittekasvav(monotoonselt kasvav) või
mittekahanev(monotoonselt kahanev).
Paarisfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(x) , kui f(x)=f(-x) iga x korral
määramispiirkonnast X.
Paarituks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(x), kui f(-x)=-f(x) iga x korral
määramispiirkonnast X.
Punkti E ümbruseks nimetakse arvtelje vahemikku a kuni a+E.
Arvu a nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks kohal a, kui iga arvu E>0 korral
leidub niisugune arv b>0 , et kehtib võrratus |f(x)-A|
X ja f (x + T) = f (x) ja antiperioodiliseks, kui leidub T, nii et f(x+T)=-f(x) korral.
4*(Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid) Funktsiooni
y = f (x) (x X ) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x = f -1 (y ) , mis igale arvule y Y = f (X )
seab vastavusse arvu x X , kusjuures y = f (x).
*Monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekasvav või
mittekahanev.
*Rangelt monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on kasvav või
kahanev.
*Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1,x2 X korral, mis rahuldavad võrratust
x1
x1 , x2∈ A FUNKTSIOON (Ühene) ühe reaalmuutuja f-n – hulga X ⊂ R igale elemendile vastab element y hulgast Y ⊂ R. Mitmene f-n – hulga X igale elemendilt vastab vähemalt üks element hulgas Y ja vähemalt ühele hulga X elemendile Mittekahanev(monotoonselt kasvav): piirkonnas A⊂X , kui iga korral vastab mitu elementi hulgast Y. Määramispiirkond – hulk X. Muutumispiirkond – hulk Y. f ( X )={ y| y=f ( x ) ˄ x ∈ X } ⊆Y
arvule y ∈ Y = f (X) seab vastavusse arvu x ∈ X, kusjuures y = f(x), st y f (−1→) x ⇔ x (f→) y. on diferentseeruvad ka funktsioonid cf(x), f(x) + g(x), f(x)g(x) ja taiendaval eeldusel g(x) =/= 0 ka Monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on f(x)/g(x), kusjuures mittekahanev (monotoonselt kasvav funktsioon) või mittekasvav (monotoonselt kahanev funktsioon). Rangelt monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on kasvav või kahanev. Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1 ∈ X ja x2 ∈ X korral, mis rahuldavad võrratust x1< x2, kehtib võrratus f(x1) < f(x2). 1. Naidata, et hulgal X pidevate funktsioonide ruumis C(X) sobib normiks (rahuldab normi
Pidevaks nimetatakse juhuslikku suurust, mille jaotusfunktsioon on pidev. Graafiliselt tähendab see, et juhuslik punkt X asetseb juhuslikust suurusest x alati vasakul. Omadused. 1. Kuna jaotusfunktsioon on defineeritud tõenäosuse abil, siis 0 ≤ F(x) ≤ 1. 2. Tõenäosus, et juhuslik suurus omandaks väärtusi lõigul , , on võrdne jaotusfunktsiooni muuduga sellel lõigul P X = F(β) - F(α). 1. Jaotusfunktsioon on mittekahanev funktsioon. Kui x1 < x2, siis F(x1) ≤ F(x2). 2. F( - ) = 0, kuna A = (X < - ) on võimatu sündmus ja F( + ) = 1, kuna B = (X < + ) on kindel sündmus. 2.4 Pideva juhusliku suuruse jaotustihedus Juhusliku suuruse jaotustiheduseks on funktsioon f(x), mis on tuletis jaotusfunktsioonist F(x). F ( x) f(x) = F´(x) = lim . x Omadused: 1
enne mõõtmist või katset ei ole teada. 7. Kuidas on defineeritud jaotusfunktsioon? Jaotusfunktsiooni skitseerimine, graafikult lugemine (kvantiil, kvartiil, mediaan, täiendkvantiil). · Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooni väärtus argumendi x kohal on sellest väiksemate väärtuste esinemise suhteline sagedus (tõenäosus) F(x) = P(X < x). · 0 F(x) 1 ehk jaotusfunktsiooni piirväärtused on 0 ja 1. · F(x) on mittekahanev ja pidev. · P(a < X b) = F(b) F(a) 8. Mis on juhusliku suuruse p-kvantiil? Mis on juhusliku suuruse q-täiendkvantiil? p-kvantiil - Arvrea väärtus, millest väiksemate ja sama suurte väärtuste osakaal on p. Nt 0,3 kvantiil on tunnuse selline väärtus, millest väiksemaid väärtuseid on variatsioonreas 30%. Täiendkvantiiliks nimetatakse juhusliku suuruse q-täiendkvantiili suuruse sellist väärtust xq, millest võrdsete või suuremate väärtuste esinemise tõenäosus on q. 9
Vähimat pos.arvu T mille korral f(x+T)=f(x) nim. funktsiooni
perioodiks.
DEF 8. Funktsiooni f nim. kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1X ja
x2X korral, mis rahuldavad võrratust x1
x 0 x f ( x + x ) - f ( x ) f ( x ) = lim x 0 x Avaldist f'(x)x nimetatakse funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse dy või df Liitfunktsiooniks nim funktsiooni z=g(f(x)) Monotoonne funktsioon on kogu oma määramispiirkonnas kas mittekahanev(monotoonselt kasvav) või-mittekasvav Polaarraadius-punkti x,y kohavektori pikkus, punkt mis moodustatakse x-teljega positiivses suunas-polaarnurk
funktsioonid) Funktsiooni y = f (x) (x ∈ X ) pöördfunktsiooniks nimetatakse 8*(Monotoonsed jadad. Monotoonse ja tõkestatud jada koonduvuse seos. funktsiooni x = f −1 (y ) , mis igale arvule y ∈ Y = f (X ) seab vastavusse arvu x ∈ X , Osajadad. Bolzano-Wierstrassi)Monotoonseks jadaks nimetatakse jada, mis on kogu kusjuures y = f (x). ulatuses mittekasvav või mittekahanev. *Monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on *Bolzano- Weierstrassi teoreem: Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva mittekasvav või mittekahanev. osajada. *Rangelt monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas *Jada {Xn} osajadaks {Yn} nim. jada, mis on saadud jadast {Xn} lõpliku või lõpmatu
võrdub nulliga.
2. Defineerida pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon.
Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis annab tõenäosuse, et
juhuslik suurus X on väiksem funktsiooni argumendi väärtusest x. F ( x )=P( X ≤ x)
3. Millega võrdub jaotusfunktsioon juhusliku suuruse väärtuste piirjuhul.
Jaotusfunktsioon võrdub juhusliku suuruse väärtuste piirjuhul: argumendi x lähenemisel
- on 0 ja lähenedes on 1.
4. Näidata, et jaotusfunktsioon on mittekahanev. Leida eeskiri juhusliku suuruse
vahemikku langemise tõenäosuse arvutamiseks.
Jaotusfunktsioon on mittekahanev a ja b korral kui a < b ehk F(b) ≥ F(a). Selle tõestuseks
jagame vaadeldavad arvuvahemikud sündmustega: A, et X≤a; B, et a
Adiabaatiline protsess: Protsess, mille jooksul soojusvahetus väliskeskkonnaga puudub Q = 0 TD II seadus: Soojus ei saa iseenesest minna külmemalt kehalt soojemale Suletud süsteemis toimuvad iseeneslikud protsessid alati süsteemi korratuse suunas Entroopia: Saadud soojushulga ja absoluutse temperatuuri suhet nimetatakse entroopia muuduks Ei ole otseselt mõõdetav termodünaamiline suurus Suletus süsteemis mittekahanev suurus Suletud süsteemis ei saa entroopia väheneda Korrapäratus, puudub energeetiline ühik, võimalik vähendada – korrastatuse suurendamine Soojusmasin: Muudab soojusenergia mehaaniliseks tööks Soojusmasina kasutegur Mida suurem on soojushulkade vahe, seda rohkem mehaanilist tööd saab süsteem teha
kraanajuhile. Posti vertikaalasendit kontrollitakse kõigepealt vesiloodiga (2 m), pärast seda reguleerib paigaldusinsener mutrid. Pärast ligikaudset reguleerimist tehakse vajalik jäigastamine ja loodimine. Alles seejärel võib tõsteseadme eemaldada. Täpset reguleerimist kontrollitakse teodoliidiga ja lõpetatatksee mutrite kinnikeeramisega. Vuukide täitmine mördiga tuleb teha võimalikult kohe pärast paigaldust. Vähemalt enne ülemiste konstruktsioonide paigaldust. Mört peab olema mittekahanev ja vastama üldnõuetele. 4 K R A A N A T A L A D TÕSTMINE RIHTIMINE 3. MONTAAŽITÖÖD 16 KINNITUS 5 T U G I F E R M I D TÕSTMINE, RIHTIMINE JA KINNITUS 6 K A T U S E F E R M I D TÕSTMINE 3. MONTAAŽITÖÖD 17 AJUTINE KINNITUS
Kasvav funktsioon - Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1 ∈ X ja x2 ∈ X korral, mis rahuldavad võrratust x1< x2, kehtib võrratus f (x1) < f(x2). Kahanev funktsioon - Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui iga x 1 ∈ X ja x2 ∈ X korral, mis rahuldavad võrratust x1 < x2, kehtib võrratus f (x1) > f(x2). Monotoonne funktsioon - funktsioon, mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekahanev (monotoonselt kasvav funktsioon) või mittekasvav (monotoonselt kahanev funktsioon). Pöördfunktsioon - Funktsiooni y = f(x) (x ∈ X) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x=f -1 (y), mis igale arvule y ∈ Y = f (X) seab vastavusse arvu x ∈ X, kusjuures y = f(x). Reaalmuutuja ühene funktsioon - Kui hulga X ⊂ R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y
-soojus ei saa iseenesest minna külmemalt kehalt soojemale; 2 -suletud süsteemis toimuvad iseeneslikud protsessid alati süsteemi korratuse suunas; ENTROOPIA, S -saadud soojushulga ja absoluutse temperatuuri suhet nim. entroopia muuduks; - see ei ole otseselt mõõdetav termodünaamiline suurus võimalik arvutada juurdekasv, aga mitte hetkväärtus; -suletud süsteemis mittekahanev suurus iseeneslike protsesside puhul kasvav; mõnikord muutumatu; entroopia kasv väljendab energia kadu. Suletud süsteemis ei saa entroopia väheneda! Väljendab korrapäratust, segadust Puudub energeetiline ühik Võimalik vähendada-korrastatuse suurendamine Soojusenergia ei saa täielikult üle minna mehaaniliseks energiaks! Universiumi ,,soojussurma" teooria- lõpuks ühtlustub kogu universiumi
Funktsi-ni f nim. kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui iga x1 X ja x2 X on tõkestatud sellel lõigul st selle fun-ni väärtuste hulk sellel lõigul Y = {f(x)| x [a, b]} on korral, mis rahuldavad võrratust x1 < x2, kehtib võrratus f(x1) > f(x2). tõkestatud. Monotoonseks fun-ks nim. fun-ni, mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekahanev Hulga (null kriipsuga) X R vähimat ülemist tõket nim-kse hulga X ülemiseks rajaks ja (monotoonselt kasvav fun-n) või mittekasvav (monotoonselt kahanev fun-n). tähistatakse sup X. Rangelt monotoonseks fun-ks nim. fun-ni, mis kogu oma määramispiirkonnas on kasvav või Hulga X R suurimat alumist tõket nim-kse hulga X alumiseks rajaks ja tähistatakse inf kahanev
Jaotusf.on üks juhusliku suuruse jaotuse esitusviise. Iseloomustab täielikult juhusliku suuruse väärtuste jaotumist nende esinemise tõenäosuse järgi. Kui jaotusf.F(x) on teada siis iga x korral on võimalik leida, kui tõenäone on, et juhusliku suuruse väärtused on väiksemad kui x. OMADUSED: kuna jaotusf. on oma olemuselt tõenäosus, siis on tal kõik tõenäosuse omadused, st jaotusfunkts.väärtused saavad olla vahemikus 0≥F(x)≤1. ; Jaotusfunktsioon on mittekahanev funktsioon; F(-∞)=0; F(+∞)=1. Jaotusfunktsiooni graafik sõredate suuruste korral on trepiastmete kujuline. Pidevate juhuslike suuruste korral on sujuvalt ülesminev, mitte astmik. 22. Juhusliku suuruse tihedusfunktsioon – nimetatakse jaotusfunktsiooni esimest tuletist, st P(x)=F’(x). OMADUSED: Tihedusfunkts.on ainult pidevatel juhuslikel suurustel!; mittenegatiivne funktsioon p(x)≥0, st tihedusf
Kui y'(x)>0 funktsioon on kasvav 2) ta on diferentseeruv vahemikus (a,b); G'(x)=f'(x)(g(b)- y/x=y'(x)+(x)>0 kui x on piisavalt väike. g(a))-(f(b)-f(a))g'(x) Funktsioon on mittekahanev y'(x)0 Analoogselt 3) G(a)=G(b)=0 Funktsioon on kahanev y'(x)0 Vastavalt Rolle'i teoreemile leidub vähemalt üks niisugune Kui y'(x)<0 funktsioon on kahanev Funktsioon on punkt c (a,b), et G'(c)=0
Termodünaamika 2. seadus Termodünaamika 2. seadus: Soojus ei saa iseenesest minna külmemalt kehalt soojemale. Suletud süsteemis toimuvad iseeneslikud protsessid alati süsteemi korratuse suunas. Määrab ära soojusülekande suuna ning soojusmasinate efektiivsuse. Entroopia, S: Saadud soojushulga ja absoluutse temperatuuri suhet nimetatakse entroopia muuduks. Ei ole otseselt mõõdetav termodünaamiline suurus. Võimalik arvutada juurdekasv, aga mitte hetkväärtus. Suletud süsteemis mittekahanev suurus • iseeneslike protsesside puhul kasvav • mõnikord muutumatu • entroopia kasv väljendab energia kadu Suletud süsteemis ei saa entroopia väheneda! Väljendab korrapäratust, segadust. Võimalik vähendada – korrastatuse suurendamine. Soojusfüüsika Soojusmasin: Muudab soojusenergia mehaaniliseks tööks. Soojusmasina areng: Aurumasin→Sisepõlemismootor→Auruturbiin→Reaktiivmootor Soojusmasina kasutegur, η (eeta) on tehtud töö ja soojendist saadud soojushulga suhe
dy = du du Sellest, kas me kirjutame ta sõltumatu muutuja x suhtes või sõltuva muutuja u suhtes... © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 20 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Rolle'i teoreem (tõestusega). Definitsioon 1 Vaatleme funktsiooni y = f (x) vahemikus (a, b) Olgu x1 < x 2 , x1 , x 2 (a, b) 1) kui f ( x1 ) < f ( x2 ) f ( x) on kasvav; 2) kui f ( x1 ) f (x2 ) f ( x) on mittekahanev; 3) kui f ( x1 ) > f (x2 ) f ( x) on kahanev; 4) kui f ( x1 ) f (x2 ) f ( x) on mittekasvav. Olgu f (x) kasvav vahemikus (a, b) x = x 2 - x1 Sel juhul on sama märgiga y = f ( x 2 ) - f ( x1 ) y y > 0 lim = y' 0 x x 0 x Funktsioon on kasvav y ' ( x) 0 Kui y ' ( x) > 0 funktsioon on kasvav
dy = du du Sellest, kas me kirjutame ta sõltumatu muutuja x suhtes või sõltuva muutuja u suhtes... © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 20 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Rolle'i teoreem (tõestusega). Definitsioon 1 Vaatleme funktsiooni y = f (x) vahemikus (a, b) Olgu x1 < x 2 , x1 , x 2 (a, b) 1) kui f ( x1 ) < f ( x2 ) f ( x) on kasvav; 2) kui f ( x1 ) f (x2 ) f ( x) on mittekahanev; 3) kui f ( x1 ) > f (x2 ) f ( x) on kahanev; 4) kui f ( x1 ) f (x2 ) f ( x) on mittekasvav. Olgu f (x) kasvav vahemikus (a, b) x = x 2 - x1 Sel juhul on sama märgiga y = f ( x 2 ) - f ( x1 ) y y > 0 lim = y' 0 x x 0 x Funktsioon on kasvav y ' ( x) 0 Kui y ' ( x) > 0 funktsioon on kasvav
~ ~ x1 < x2 , kehtib vorratus f (x1 ) > f (x2 ). ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 23 / 25 Funktsioon Definitsioon (Monotoonne funktsioon) Monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma ma¨ aramispiirkonnas ¨ on mittekahanev (monotoonselt kasvav ~ mittekasvav (monotoonselt kahanev funktsioon). funktsioon) voi Definitsioon (Rangelt monotoonne funktsioon) Rangelt monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma ma¨ aramispiirkonnas ¨ ~ kahanev. on kasvav voi ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 24 / 25
N¨aites 9 on esitatud kasvav funktsioon. Definitsioon 9. Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui iga x1 X ja x2 X korral, mis rahuldavad v~orratust x1 < x2 , kehtib v~orratus f (x1 ) > f (x2 ). N¨aidetes 4 ja 5 on esitatud kahanevad funktsioonid. 15 Definitsioon 10. Monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma m¨ a¨ aramispiirkonnas on mittekahanev (monotoonselt kasvav funktsioon) v~oi mit- tekasvav (monotoonselt kahanev funktsioon). N¨aidete 4, 5, 8, 9 funktsioonid ja N¨aite 7 funktsioon [x] on monotoonsed funktsioonid. Definitsioon 11. Rangelt monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma m¨ a¨ aramispiirkonnas on kasvav v~oi kahanev. N¨aidetes 4, 5 ja 9 on antud rangelt monotoonsed funktsioonid. N¨aites 1 esitatud
4) rangelt kahanevaks, kui võrratusest x < x′ hulgas X järeldub võrratus f (x) > f (x′ ) . Kui on täidetud üks neist neljast tingimusest, siis kõneleme vastavalt monotoonsest või ran- gelt monotoonsest funktsioonist. Märkus. Funktsiooni monotoonsusomadustega seotud sõnu kasutatakse eri allikates eri tähenduses. Ranget võrratust sisaldava tingimusega funktsiooni kohta öeldakse mõnikord hoopis „kasvav“, mitterange juht on sel juhul „mittekahanev“ või „monotoonselt kasvav“. Lause 3.18 Kui f on rangelt kasvav (rangelt kahanev) funktsioon hulgas D, siis tal on pöördfunktsioon g := f −1 , mis on hulgas R rangelt kasvav (rangelt kahanev). Tõestus. Funktsiooni f rangest monotoonsusest tuleneb, et f (x1 ) 6= f (x2 ) , kui x1 , x2 ∈ D ja x1 6= x2 ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 67 (kontrollida!)z
annaabi.ee 
