Ruuduks nim. võrdsete kölgedega ja täisnurkadega nelinurka. Ristkülik on nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad. Trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed. Võrdhaarne trapets on nelinurk, mille kaks haara on paralleelsed ja võrdsed. Täisnurkne trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed ja üks nurk on 90 kraadi. Kolmnurgaks nimetatakse kolme punktiga määratud kinnist murdjoont koos tasandi osaga, mida see murdjoon piirab. Võrdkülgne kolmnurk, mille kõik kolm külge on võrdsed. Võrdhaarne on kolmnurk, mille vähemalt kaks külge on võrdsed. Erikülgne on kolmnurk, mille kõik küljed on erineva pikkusega. Täisnurkne on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. Nürinurkne on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk, s.o suurem kui 90o. Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o väiksemad kui 90o Rööpkülik ehk rööpnelinurk on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed ning võrdsed. Rombiks nim
Milline peab olema definitsioon? Lühike, tabav ja täpne. Adekvaatne ning ei tohi defineeritavaga sõnaliselt kattuda. Milline peab olema algmõiste? Ei vaja selgitust, on sobiv klassifitseerimiseks. Mis on aksioom? Väide, mille tõesuses pole kahtlust. Teoreem-lause, mille õigsus tõestatakse faktidele tuginedes arutluse kaudu. Millest koosneb teoreem? Eeldus ja väide Nurk-geomeetriline kujund, mille moodustavad 2 ühest ja samast punktist väljuvat kiirt. Sirgnurk-nurk, mille haarad moodustavad sirgjoone Kõrvunurgad-2 nurka, millel 1 haar on ühine ja mille teised haarad moodustavad sirge Tippnurgad-ühe nurga haarad on teise nurga haarade pikendused üle nende ühise tipu Täisnurk-nurk, mis on 90 kraadi Nürinurk-nurk, mis on suurem kui 90 kraadi, kuid väiksem kui 180 kraadi Teravnurk-nurk, mis on väiksem kui 90 kraadi Tipunurk-võrdhaarse kolmnurga haarade vaheline nurk Harilik murd-näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on võetud
arvuga Arvu absoluutväärtus-selle arvu kujutava punkti kaugusega nullpunktist Üks protsent- üks sajandik osa Nurk-geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks ühest ja samast punktist väljuvat kiirt. Sirgnurk-nurk, mis on 180 kraadi Teravnurk-nurk, mis on väiksem kui 90 kraadi Nürinurk- nurk, mis on suurem kui 90kraadi ja väiksem kui 180 kraadi Täisnurk- nurk, mis on 90kraadi Kõrvunurgad- nurgad, millel on üks ühine haar ja teised haarad moodustavad sirge Tippnurgad- nurgad, kus ühe nurga haarad on teise haaradke pikenduseks üle nende ühise tipu Põiknurgad- nurgad, mille sisepiirkonnad asuvad teine teiselpool lõikajat ja haarad lõikajal on suunatud teineteisele vastu Lähisnurgad- nurgad, mille sisepiirkonnda asuvad ühel ja samal pool lõikajat ja haarad lõikajal on suunatud teineteisele vastu Ristuvad sirged- sirged, mis omavahel lõikudes moodustavad täisnurga
1. Teoreemid ja mõisted kolmnurgast 2. Mediaanlõik - Kolmnurga mediaaniks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik nad lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. Jaotab tipupoolse osa suhtes alumise osaga 2:1. 3. Kesklõik - Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4
TEEMA: DEFINEERIMINE JA TÕESTAMINE Defineerimine mõiste täpne ja lühike määratlus Algmõiste mõiste, mida ei defineerita (punkt, sirge, tasand, ruum, hulk, arv, suurus) Ülesanne: defineeri ja õpi selgeks järgmised mõisted: 1. Lõik, murdjoon, hulknurk 2. Nelinurk, rööpkülik, ristkülik, ruut, romb, trapets. 3. Ristuvad ja lõikuvad sirged, paralleelsed sirged. 4. Täis-, nüri- ja teravnurkne kolmnurk; võrdhaarne ja võrdkülgne kolmnurk. 5. Kolmnurga kõrgus. 6. Ring ja ringjoon, diameeter, raadius, kõõl. 7. Alg- ja kordarv, naturaalarv, täisarv. 8. Liig- ja lihtmurd. 9. Murru taandamine ja laiendamine. 10. Nurk, sirgnurk, täisnurk, kõrvunurgad, tippnurgad. 11. Üks- ja hulkliige, sarnased üksliikmed. 12. Võrrand, võrre, võrratus. 13. Protsent. 14. Ristsumma. 15. Aritmeetiline keskmine. 16. Aksioom.
Algarv- algarvuks nimetatakse ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid arvuga 1 ja iseendaga. Kordarv- positiivne naturaalarv,mis jagub peale 1 ja iseenda veel mõne naturaalarvuga. Murru taandamine- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama arvuga. Murru laiendamine- murru lugeja ja nimetaja korrutamine 1 ja sama arvuga. Liigmurd- harilik murd mille lugeja on suurem või võrdne kui nimetaja. Lihtmurd- harilik murd. Mille lugeja on väiksem, kui nimetaja. Sirgnurk- on nurk, mille haarad moodustavad sirge. Kõrvunurgad- on nurgad, millel on 1 ühine haar ja teised haarad moodustavad sirge. Tippnurgad- on nurgad, millel on ühine tipp ja haarad moodustavad sirged. Täisnurk- on pool sirgunurgast väiksemad nurgad. Teravnurgad- on täisnurgast väiksemad nurgad. Nürinurk- on täisnurgast suuremad nurgad. Lõikuvad sirged- on tasandil asuvad sirged, millel on ühine punkt. Ristuvad sirged- on lõikuavd sirged, mille lõikumisel tekivad täisnurgad.
Lõikuvad sirged Sirged, millele on üks ühine punkt. Ristuvad sirged Sirged, mi,s lõikuvad 90 kraadise nurga all. Kolmnurga kõrgus Lõik, mis on joonestatud kolmnurga tipust vastasküljeni ja mis on sellega risti. Ruut Nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad ja küljed on võrdsed. Ringjoone diameeter Lõik, mis läbib kahte punkti ringjoonel ja keskpunkti. Täisnurkne kolmnurk Kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. Algarv Arv, mis jagub ainult 1 ja iseendaga. Kordarv Arv, millel on rohkem kui kaks tegurit. Liigmurd Murd, mille lugeja on nimetajast suurem Lihtmurd Murd, mille nimetaja on lugejast suurem Sirgnurk Nurk, mis on 180 kraadi Paralleelsed sirged Sirged, millel puudub ühine punkt Romb Nelinurk, mille küljed on võrdsed. Naturaalarvu tegur Arv, millega naturaalarv jagub Naturaalarvu kordne Arv, mis jagub naturaalarvuga.
Kaht sirget , millel on ainult üks ühine punkt nim. ___1___ . Sirgeid , mille lõikumisel tekib täisnurk nim . ___2___ . ______3_____ on sirged , millel ei ole ühtki ühist punkti . Kolmnurga tipust vastasküljeni tõmmatud ristlõiku nim. ___4___ . Kolmnurka , mille üks nurk on täisnurk nim . ____5____ kolmnurgaks . Kolmnurk , mille kõik küljed on erineva pikkusega nim __6_. Kolmnurk , mille kaks külge on ühe pikkusega on __7___ . Ruut on ___8___ , mille kõiik nurgad on __9__ . ___10___ on rööpkülik , mille kõik küljed on võrdsed. Ringjoone diameetriks nim lõiku , mis ühendab ringjoone__11___ ja ___12___ . Joon , mille iga punkt asetseb ringjoone keskpunktist võrdsel kaugusel on __13__ . Naturaalarvu , millel on ainult kaks tegurit ( 1 ja see arv ise ) nim ___14___ . Naturaalarvu , millel on
16. Astendamine 1. võrdsete tegurite korrutise leidmine, kus an on aste, a astme alus ehk astendatav ja n astendaja ehk astmenäitaja. 2. negatiivse astendaja korral a-n =1/an. 17. Biruutvõrrand neljanda astme võrrand kujul ax4+bx2+c=0. 18. Diagonaal hulknurga kaht mitte ühele küljele kuuluvat tippu ühendav lõik või sirge. Hulknurga kaht mitte ühele tahule kuuluvat tippu ühendav lõik. 19. Diameeter ringjoone keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab ringjoone kaht punkti. Sfääri keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab sfääri kaht punkti. 20. Diskriminant avaldis, mis on ruutvõrrandi lahendivalemis juuremärgi all. 21. Eukleidese teoreem täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega : a2=fc ja b2=gc 22. Geomeetriline keskmine ruutjuur kahe positiivse arvu korrutisest. 23
Antsla Gümnaasium DEVIA PAAP MARILIN NIILUS 8A klass KOLMNURKADE LIIGITAMINE Referaat Juhendaja: õpetaja SIGNE KINNAS Antsla 2008 1 Sisukord Sissejuhatus..........................................................................................................................................3 1. Kolmnurk..........................................................................................................................................4 1.1. Kolmnurga nurgad.........................................................................................................................5 1.2. Kolmnurga küljed..........................................................................................................................6 2. Täisnurkne kolmnurk................................................
5. Teen kontrolli esialgse võrrandi süsteemi põhjal 6. Kirjutan vastuse · Defineerimine ja tõestamine 1. Kaht sirget, millel on ainult üks ühine punkt nimetatakse lõikuvateks sirgeteks. 2. Kolmnurga tipust vastasküljeni tõmmatud ristlõiku nimetatakse kolmnurga kõrguseks. 3. Ruuduks nimetatakse võrdsete lähiskülgedega ja võrdsete lähisnurkadega nelinurka. 4. Ringjoone diameetriks nimetatakse lõiku, mis läbib ringjoone keskpunkti ja ühendab ringjoone kaht punkti. 5. Ringjoone diameetriks nimetatakse lõiku, mis poolitab ringjoone. 6. Kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk nimetatakse täisnurkseks kolmanurgaks. 7. Algarvuks nimetatakse naturaalarvu, millel on ainult kaks tegurit. 8. Kordarvuks nimetatakse naturaalarvu, millel on ainult kaks tegurit. 9. Harilikku murdu, mille lugeja on suurem või sama suur nimetatakse liigmurruks. 10. Sirgnurgaks nimetatakse nurka, mille haarad moodustavad sirgjoone. 11
nimetatakse trapetsiks?" NB vaja selleks, et küsimustele võmalikult lihtsalt ja selgelt vastata 6.Definitsioon - lause; annab täpse ja Ül.585,588 lühikese vastuse küsimusele "Mida Lõikuvateks sirgeteks nimetatakse sirgeid, nimetatakse...?" või "Mis on...?" millel on ainult üks ühine punkt. Sirgnurgaks nimetatakse nurka, mille NB vaja selleks, et õppiks tundma mõisteid haarad moodustavad sirge. Murdjooneks nimetatakse järjestikku ühendatud lõike, mis ei asu ühel sirgel. 7.Algmõiste - mõiste, mida ei defineerita; punkt, sirge, tasand, ruum, arv, suurus, vaja teiste mõistete defineerimisel hulk 8.Aksioom - väide, mis loetakse tõeseks 1)arv 0 on vähim naturaalarv ilma põhjendamata 2)igale naturaalarvule järgneb vahetult
2+3=3+2=5 a+b=b+a Nt. 2 Korrutamise jaotuvusseadus : Summa korrutamiseks mingi arvuga võib korrutada selle arvuga iga liidetava ja tulemused liita. Ühes reas on 3 + 5 ringi, kahes reas on 2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5 = 16 ringi. Punaseid ringe on 2 · 3, valgeid ringe on 2 · 5. Kokku on 2 · 3 + 2 · 5 = 16 ringi. a · (b + c) = a · b + a · c Diameeteriks nimetatakse niisugust sirglõiku, mis ühendab kaht ringjoone punkti ja läbib ringi keskpunkti, samuti sellise sirglõigu pikkust. Diameeter on raadiusest 2 korda pikem. Ruutjuurealust avaldist (b² - 4ac) nimetatakse ruutvõrrandi ax² + bx + c = 0 diskriminandiks ja tähistatakse tähega D. Näide 1 Kui D > 0, siis on ruutvõrrandil 2 reaalarvulist lahendit. Näide 2 Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil 2 ühtivat (võrdset) reaalarvulist lahendit. Näide 3 Kui D < 0, siis ruutvõrrandil ei ole reaalarvulisi lahendeid. Eratosthenese sõel meetod algarvude leidmiseks. Selgitus :
d = a2 +b2 Ümbermõõt: P = 2( a + b ) Pindala: S = ab 1/6 PLANIMEETRIA KORDAMINE RUUT Ruut on võrdsete külgedega ristkülik või romb mille nurgad on täisnurgad. Ruudul on kõik rööpküliku, ristküliku ja rombi omadused. d =a 2 1 r= a 2 1 2 R= d = a 2 2 Ümbermõõt: P = 4a Pindala: S = a 2 = pr TRAPETS Trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed (alused) ja kaks mitteparalleelsed (haarad). a +b Trapetsi kesklõik ( q ) on alustega paralleelne ning võrdub aluste poolsummaga. q = 2 Ümbermõõt: P = a + b + c + d a +b Pindala: S = h = qh 2 Võrdhaarset trapetsil
o o o NB saab kasutada piirdenurga leidmiseks r=(180 -140 ):2=20 võrdhaarse kolmnurga kesknurga abil või kesknurga leidmiseks alusnurk piirdenurga abil 5.Piirdenurga omaduse tõestamine - esitada kolmes osas vastavalt sellele, kas ringi keskpunkt on 1)piirdenurgaga ühel haaral, 2)piirdenurga sees või 3)väljaspool piirdenurka; 1)piirdenurga üks haar on diameeter ja teine haar kõõl; joonestada raadius nii, et tekib võrdhaarne kolmnurk; kasutada kolmnurga välisnurga omadust (kolmnurga välisnurk võrdub temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga), välisnurk on kesknurk ja vastavad sisenurgad on piirdenurgad kui võrdhaarse kolmnurga alusnurgad; järelikult kesknurk on võrdne kahe piirdenurgaga ja vastupidi, piirdenurk on võrdne poolega kesknurgast NB kõik ühele ja samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed 6
4. Pindala valemid. ch ab sin a +b +c S= ; S= ; S = p ( p - a )( p -b)( p -c ) ; p= ; 2 2 2 abc S = pr ; S= 4R 5. Kolmnurga kõrgus (h on ristlõik külje ja selle vastastipu vahel) , mediaan (m on lõik külje keskpunkti ja selle vastastipu vahel. Mediaanid lõikuvad ühes punktis ja see lõikepunkt jaotab mediaani osadeks, mis suhtuvad nagu 2:1, lähtudes tipust) ja nurgapoolitaja (k on lõik, mis poolitab sisenurga ja nurgapoolitaja iga punkt asetseb nurga haaradest võrdsel kaugusel) 6. Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) 7. Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1
ch ab sin abc S ; S ; S p ( p a )( p b)( p c) ; p ; 2 2 2 abc S pr ; S 4R 5. Kolmnurga kõrgus (h on ristlõik külje ja selle vastastipu vahel) , mediaan (m on lõik külje keskpunkti ja selle vastastipu vahel. Mediaanid lõikuvad ühes punktis ja see lõikepunkt jaotab mediaani osadeks, mis suhtuvad nagu 2:1, lähtudes tipust) ja nurgapoolitaja (k on lõik, mis poolitab sisenurga ja nurgapoolitaja iga punkt asetseb nurga haaradest võrdsel kaugusel) 6. Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) 7. Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1
1. Teoreemid ja mõisted kolmnurgast 2. Mediaanlõik - Kolmnurga mediaaniks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik nad lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. Jaotab tipupoolse osa suhtes alumise osaga 2:1. 3. Kesklõik - Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4
Geomeetria algkursus Nurkade liigitus Sirgnurk nurk, mille haarad moodustavad sirge Täisnurk pool sirgnurgast Teravnurk täisnurgast väiksem nurk Nürinurk täisnurgast suurem nurk Teravnurk Kaks haara moodustavad nurga. Nurga mõõtühik on kraad. Teravnurk on alati väiksem kui täisnurk Täisnurk Täisnurk on pool sirgnurgast. Täisnurk on alati 90 kraadi. Nürinurk A Nürinurk on alati suurem kui täisnurk. O B Nurkade suurused Sirgnurk 180° Täisnurk 90° Teravnurk < 90° Nürinurk > 90° Kaks sirget Kõrvunurgad · Kaks haara moonustavad nurga · Pikendades nurga ühte haara tekib selle kõrvale uus nurk · Nurki ja nimetatakse kõrvunurkadeks
Mõisted ja valemid 1. Kaht sirget, millel on ainult üks ühine punkt, nimetatakse lõikuvateks sirgeteks. 2. Kolmnurga tipust vastasküljeni tõmmatud ristlõiku nimetetakse kolnurga kõrguseks. 3. Ruuduks nimetatakse võrdsete lähiskülgedega ja võrdsete lähisnurkadega nelinurka. 4. Ringjoone diameetriks nimetatakse lõiku, mis ühendab ringjoone kaht punkti ja mis peab läbima ringjoone keskpunkti. 5. Ringjoone kõõluks nimetatakse lõiku, mis ühendab ringjoone kaht punkti. 6. Kolmnurka, mille üks nurk on täisnurk nimetatakse täisnurkseks kolmnurgaks. 7. Algarvuks nimetatakse naturaalarvu, millel on ainult kaks tegurit. 8. Kordarvuks nimetatakse naturaalarvu, millel on enam kui kaks tegurit. 9. Hariliku murdu, mille lugeja on nimetajast suurem, nimetatakse liigmurruks. 10. Sirgnurgaks nimetatakse nurka, mille haarad moodustavad sirgjoone. 11
14. Teoreem ja aksioom. Eeldus ja väide. Pöördteoreem. Põhitõdesid, mida ei saa tõestada, nimetatakse aksioomideks. Teoreem on lause, mille õigsust tõestatakse arutluse abil. Teoreem koosned eeldusest ja väitest. Kui vahetame ära eeldus ja väite, saame pöördlause: v => e Antud lause pöördlause võib olla nii tõene kui ka väär. Kui pöördlause on tõene, siis nimetame seda pöördteoreemiks. 15. Kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekkivad nurgad. Nurki, mille haarad lõikajal on vastassuunalised ja mis asuvad ühel pool lõikajat, nimetatakse lähisnurkadeks. Nurki, mille haarad lõikajal on vastassuunalised ja mis asuvad teine teisel pool lõikajat, nimetatakse põiknurkadeks, 16. Kahe sirge paralleelsuse tunnused. Kui kahe sirge lõikamisel kolmandaga tekivad võrdsed põiknurgad, siis on need sirged paralleelsed. Kaks sirget on paralleelsed, kui nende lõikamisel kolmanda sirgega tekkinud lähisnurkade summa on 180º.
Pindala: S=ab Ümbermõõt: Ü=2(a+b) Omadused: 1. Ristkülikul on kõik rööpküliku omadused. 2. Kõik nurgad on täisnurgad 3. Diagonaalid on võrdsed 4. Ristkülikul on ümberringjoon, mille keskpunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O) ning raadiuseks pool diagonaali. 5. Ristkülikul on kaks sümmeetriatelge ja sümmeetriakeskpunkt. Ruut: Mõiste: Ruutu võib defineerida, kui a) ristkülikut, mille lähisküljed on võrdsed b) rombi, mille üks nurk on täisnurk c) rööpkülikut, mille lähisküljedon võrdsed ja üks nurk on täisnurk. Pindala: S=a² Ümbermõõt: Ü=4a Omadused: 1. Ruudul on nii ristküliku kui ka rombi omadused 2. Ruudu küljed on võrdsed 3. Ruudu nurgad on täisnurgad 4. Ruut on korrapärane nelinurk 5. Ruudul on siseringjoon, mille keskpunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O) ning raadiusekspool külje pikkust. 6. Ruudul on ümberringjoon, mille keskpunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O)
mille pikkusedon 15 cm ja 20 cm. 3.Täisnurkse kolmnurga kaatetid suhtuvad nagu 5:6 ja hüpotenuus on 122 cm. Arvuta lõigud, milleks kõrgus jaotab hüpotenuusi. 4. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 8 cm ja 6 cm. Täisnurga tipust on tõmmatud ristlõik hüpotenuusile, leia selle pikkus. 5. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 16 cm ja 12 cm. Arvutada sise- ja ümberringjoone raadius. 6. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 15 dm ja 20 dm. Arvutada siseringjoone keskpunkti kaugus hüpotenuusioe joonestatud kõrgusest. 7. Täisnurkse kolmnurga üks kaatet on 15 cm ja siseringjoone raadius 3 cm. Leia selle kolmnurga pindala. 8. Täisnurkse kolmnurga siseringjoon jaotab puutepunktis hüpotenuusi osadeks 5 cm ja 12 cm. Arvutada kolmnurga kaatetid. 9. Ringi ümber on joonestatud täisnurkne kolmnurk, mille hüpotenuus on 26 cm. Arvutada kolmnurga ümbermõõt, kui ringi raadius on 4 cm. 10. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on a ja b. Avaldada täisnurga poolitaja. 11
Planimeetria kordamiseks Kõrvunurgad 2 nurka, millel on üks ühine haar ja teised haarad moodustavad sirge. 180° Tippnurgad nurgad, mis on ühe ja sama nurga kõrvunurkadeks. Tippnurgad on võrdsed. Kahe sirge lõikamine kolmandaga kaasnurgad, põiknurgad, lähisnurgad. Kahe paralleelse sirge lõikamisel kolmandaga: 1. kaasnurgad võrdsed; 2. põiknurgad võrdsed; 3. kahe lähisnurga summa on 180°.
KOLMNURKADE LIIGITAMINE NURKADE JÄRGI Kolmnurki liigitatakse nurkade järgi teravnurkseteks, nürinurkseteks ja täisnurkseteks kolmnurkadeks. Teravnurkse kolmnurga kõik nurgad on teravnurgad. Nürinurkse kolmnurga üks nurk on nürinurk, ülejäänud nurgad on teravnurgad. Täisnurkse kolmnurga üks nurk on täisnurk, ülejäänud kaks teravnurgad. Ühegi kolmnurga nurkade hulgas ei saa olla kahte nürinurka ega kahte täisnurka. Täisnurkse kolmnurga puhul nimetatakse ühte külge hüpotenuusiks ja kahte ülejäänud külge - täisnurga lähiskülgi - kaatetiteks. Mille alusel saab kolmnurki veel liigitada? 1. Kirjuta iga kolmnurga juurde, kas ta on terav-, nüri- või täisnurkne kolmnurk. .............Teravnurkne........................Teravnurkne.........................................
2 ruutvõrrandi x +px+q=0 lahendid. x1=3 x2=10 NB pöördteoreem võimaldab lihtsamaid x1 x2=30 seega vabaliige on 30 ruutvõrrandeid ka peast lahendada x1+x2=13 seega lineaarliikme kordaja on 2 -13 võrrand x -13x+30=0 5.ptk Ringjoon ja korrapärane kolmnurk TAGASI Õpitulemused Näited 1.Ringjoone kaar ja kõõl - kaar: ringjoone osa, Ül.1060 saadakse vähemalt kahe punkti märkimisel Ringjoone punktist on joonestatud kaks ringjoonele; tähistamine: kirjuatatakse raadiusega võrdset kõõlu. Leida kõõlude otspunktide tähised (vajadusel lisatakse veel vaheline nurk.
nimetatakse esialgse teoreemi pöördlauseks. Kui teoreemi pöördlause on tõene, siis nimetatakse seda pöördlauset pöördteoreemiks. Teoreemi Kui kujund on ruut, siis tema d: lähisküljed on võrdsed. Kui kaks sirget on paralleelsed, siis neil ühiseid punkte ei ole. 6 Kõrvunurgad ja tippnurgad Kõrvunurkadeks nimetatakse kahte nurka, millel on üks ühine haar ja mille teised haarad moodustavad sirge. Omadus: Kõrvunurkade summa võrdub sirgnurgaga. Kaht nurka nimetatakse tippnurkadeks, kui neil on ühine kõrvunurk. Omadus: Tippnurgad on 7 Kahe sirge lõikamine sirgega 1 1 1 1 Kui üks paar põiknurki on võrdsed, siis on
A B = {2;5;9} 21.Hulkade ühend Kõigi elementide hulka, mis kuuluvad vähemalt ühte kahest hulgast, nimetatakse nende hulkade ühendiks. Hulkade ühendit tähistatakse sümboliga . Ühend on hulk, kus on kõik hulga A elemendid ja lisaks veel hulgast B need elemendid, mida hulgas A ei ole. N: on hulgad : A = {2;3;4;5;8} B = {2;3;7} A B = {2;3;4;5;7;8} 22.Lähisnurgad Lähisnurkadeks nimetatakse kaht nurka, mis asetsevad ühel pool lõikajat ja haarad lõikajal on vastupidised. Lähisnurgad on 4 ja 6 ; 2 ja 5 . 23.Põiknurgad Põiknurkadeks nimetatakse kaht nurka, mis asetsevad teine teisel pool lõikajat ja haarad lõikajal on vastupidised. Põiknurgad on 4 ja 5 ; 2 ja 6 . 24. Kahe sirge paralleelsus 1.Kui kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekib paar võrdseid kaasnurki, siis need sirged on paralleelsed. 2
30. Romb:Rööpkülikud,mille kõik küljed on võrdsed(Näide28) S = ah (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Omadused: 1)romb on sümmeetriline oma diagonaalide suhtes 2)Rombi diagonaalid on teineteisega risti ja nad poolitavad rombi nurgad 31.Trapets:nelinurk mille kaks külge on paralleelsed ja kaks külge mitte paralleelsed(Näide29) S = (a + b)/2 *h (pindala = alus1; + alus2 : 2 x kõrgus) P=a+b+c+d Omadus:trapetsi haara lähinurkade summa on 180' 32.(Näide30) Kolmnurk: S = a*h /2 P=a+b+c S=a*b/2 Võrdhaarne on kolmnurk, mille kaks külge on võrdse pikkusega. Võrdhaarne kolmnurk on sümmeetriline oma tipunurga poolitaja suhtes, seega selle sirge suhtes, mille joonestasid. Sümmeetriast järelduvad võrdhaarse kolmnurga omadused: * võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed ja * võrdhaarse kolmnurga tipunurga poolitaja poolitab ka aluse ja on sellega risti.
vastavalt võrdsed teise kolmnurga külgedega ja ühe kolmnurga kõik küljed on vastavalt võrdsed teise kolmnurga nurkadega. 4) Nurgapoolitaja iga punkt on nurga mõlemast haarast ühel ja samal kaugusel. 5) Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed. 6) Võrdhaarse kolmnurga tipunurga poolitaja poolitab kolmnurga aluse ja on alusega risti. Lõik 1) Sirget, mis on risti lõigugaja läbib lõigu keskpunkti, nimetatakse selle lõigu keskristsirgeks. 2) Lõigu keskristsirhe iga punkt on selle lõigu mõlemast otspunktist ühel ja samal kaugusel. Nurgad Sirgnurk - 180° Täisnurk 90° Nürinurk Üle 90° Teravnurk Alla 90° Pikkusühikud 1 kilomeeter 1000 meetrit 1 sentimeeter 10 millimeetrit 1 meeter 100 sentimeetrit Pinnaühikud 1 ruutkilomeeter 100 hektarit (ha) 1 000 000 ruutmeetrit 1 hektar 100 aari (a) 1 aar 100 ruutmeetrit (m²)
sektori kaare pikkus l x xr 2 xr 2 lr sektori pindala S 2 2 Kolmnurk P abc c ah ab sin b S h 2 2 abc Heroni valem S p p a p b p c , p
6x + 3 p 3p 2 cos sin =0 · 2 2 sin3(x+p)=sin3x; sin3(x+p)-sin3x =0 32. Ühe ja sama mõiste kahe omaduse tarvilikkuse ja piisavuse seos, näide · Ühe omaduse eksisteerimine või puudumine toob kaasa teise omaduse eksisteerimise või puudumise. Öeldakse, et need omadused on tarvilikkuse ja piisavuse seoses. · Mõiste rööpkülik. Omadused: täisnurga olemasolu ja diagonaalide võrdsus. · Kolmnurk: nurkade võrdsus, külgede võrdsus. 33. Ühe ja sama mõiste kahe omaduse sõltumatuse seos, näide · Ühe omaduse olemasolu ei mõjuta teise omaduse olemasolu. Öeldakse, et omadused on sõltumatuse seoses. · Mõiste rööpkülik. Omadused: kõikide külgede võrdsus, diagonaalide võrdsus. · Kolmnurk: nürinurga olemasolu, kahe nurga võrdsus. 34. Ühe ja sama mõiste kahe omaduse vasturääkivuse seos, näide- · Ühe omaduse olemasolu välistab teise olemasolu
Tõusu tähistatakse tavaliselt tähega k (k=tan a). Kolmnurga lahendamine tähendab kolmnurga puuduvate nurkade ja külgede leidmist. 4.14 Teravnurga siinuse, koosinuse ja tangensi vahelised seosed Trigonomeetria põhivalemid on: Trigonomeetria II 5.1 Positiivsed ja negatiivsed nurgad Vastupäeva pöörlemine on positiivne, päripäeva negatiine. Kiire asend, millest pöörlemine algab, on alghaar e liikumatu haar, kiire lõppasend on lõpphaar e liikuv haar. Iga nurk on esitatav kujul 5.2 Nurkade liigitamine · Võtteks aluseks pöörlemise suuna positiivsed (a>0), negatiivsed (a<0) ja nullkraadised (a=0) · Nurga suurus 360-st väiksemad nurgad, ülinürinurgad, nürinurgad, teravnurgad, 360-st suuremad nurgad · I veerandi nurgad, II veer, III veer, IV veer 5.3 Mis tahes nurga sin, cos, tan Nurga a sin nimetatakse nurga lõpphaara mis tahes punkti ordinaadi suhet selle punkti kaugusesse koordinaatide alguspunktis
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
