Tehetest ligikaudsete arvudega Ligikaudsete arvudega korrutises ja jagatises tuleb säilitada nii mitu tüvenumbrit, kui mitu on neid vähima tüvenumbrite arvuga komponendis. Ligikaudsete arvude summa ja vahe tuleb ümardada kõigi komponentide ühise madalaima järguni. Näide: 2,40+18,879=21,279 ehk 21,28 Hulkliige Üksliikmete summat nimetatakse hulkliikmeks. Üksliikmeid, mille liitmisel hulkliige moodustub, nimetatakse hulkliikme liikmeteks ja nende kordajaid- hulkliikme kordajateks. Näide: 4c -3c+8c-c =
Kui ümardatav arv on teada, saame öelda millised on tüvenumbrid. Nt sajalisteni 27013 ~27000 Selles arvus on sajaliste kohal seisev null tüvenumber. Ligikaudse täisarvu tüvenumbreid loetakse kõik selle arvu numbrid v.a lõpus olevad nullid (kui ümardamisel tekkinud).Ligikaudse kümnendmurru tüvenumbriteks peetakse kõiki numbreid v.a avanulle, mis on arvu alguses. Arvutamine ligikaudsete arvudega Ligikaudsete arvude korrutises ja jagatises tuleb säilitada nii mitu tüvenumbrit, kui mitu on antud vähima tüvenumbritega arvuga lähteandmetes. 400/7= 5.194805195 ~5,2 4,32*0,3456= 1,499904 ~1,50 Ligikaudsete arvude summas ja vahes säilitatakse kõige madalam järk, mis kõigis lähteandmetes teada. 23,4+123=146,4 ~146 234,34-209,345=24,995 ~25,00 Ligikaudsed arvud mitme tehtega ülesannetes nt 5,67/9,8 + 3,56*23 Jagatis tuleks leida kahe tüvenumbriga, kuid vahepeal on mõtekas säilitada üks number
[1 lk 34] Ebamäärsust ligikaudsete täisarvude kirjutamisel saab vältida, kui kasutada stardandkuju (näiteks 30 m = 3,0 · 10 m) [1 lk 35] Ligikaudse arvutuse eeskirjad Kui arvutuse tulemus tuleb näiteks 5,194805195 (saadud tehtest 400 : 77) , siis sellisele kujule pole vastust mõtet jätta, sest lähteandmed on antud vastavalt 3 ja 2 tüvenumbriga. Seega ei ole loomulik, et vastuses on 10 tüvenumbrit. Sellise olukorra vältimiseks on kokku lepitud, et ligikaudsete arvude korrutises ja jagatises tuleb säilitada nii mitu tüvenumbrit, kui mitu on neid vähima tüvenumbritega arvuga lähteandmetes. Näide: 4,67 · 0,4356 = 2,034252 2,03 Ligikaudsete arvude summas ja vahes säilitatakse kõige madalam järk, mis on kõigis lähteandmetes teada. Näide: 23,4 + 123 = 146,4 146 (sest teine liidetav on antud üheliste täpsusega) 234,34 209,345 = 24,995 25,00 (sest teine liidetav on ühe sajandiku täpsusega)
arvu ümardati. Näiteks arv 50 000 võib olla saadud arvust 49,876. Kui aga ümardatav arv on teada, siis saab täpselt teada, milline lõpunullidest on tüvenumber ja milline mitte. Näiteks : 27 015 27 000 Ligikaudse täisarvu tüvenumbriteks loetakse selle arvu kõik numbrid, välja Arvatud ümardamisel tekkinud nullid. Ligikaudse kümnendmurru Tüvenumbrid on kõik selle arvu nullid, välja arvatud alguses olevad nullid. 4. Arvutamine ligikaudsete arvudega. Ligikaudsete arvude korrutises ja jagatises tuleb säilitada nii mitu tüvenumbrit, kui mitu on neid vähima tüvenumbritega arvuga lähteandmetes. Näiteks : Alfred läbis võistlustel staadioniringi (400m) 77 sekundiga. Leides Alfredo keskmist kiirust jagame 400 : 77 = 5,194805...m/s Seega kuna lähteandmetes on vähima tüvenumbrite arvuga 77, siis ümardame keskmise kiiruse 2 tüvenumbrini , 5,194805... 5,2 m/s. Ligikaudsete arvude summas ja vahes säilitatakse kõige madalam järk, mis on Lähteandmetes teada.
5,6+5,6+5,6+5,6+5,6+5,6+5,6+5,6+5,6+5,6+5,6+5,6=67,2 Madalaima ühise järgu reegli kohaselt peab olema summa kümnendiku täpsusega. Seda summat võib aga vaadelda, kui täpse arvu 12 ja ligikaudse arvu 5,6 korrutist. Kuna ligikaudsel arvul on kaks tüvenumbrit, siis ka korrutisel peab olema kaks tüvenumbrit. 12·5,6=67,2~67 Siinsel juhul esimene reegel ei kehti, sest liidetavate arv on suur. Teine reegel annab aga õige tulemuse, sest korrutises on vaid kaks tegurit. Näide: 4,3+4,3+4,3+4,3+4,3+4,3+4,3+4,3+4,3+4,3+4,3+4,3+4,3=55,9 13·4,3=55,9~56
Ligikaudsed arvud Igapäevaelus kohtame ligikaudseid arve igal pool. Näiteks mõõtmistulemused antakse alati ligikaudsete arvudega. Ligikaudsete arvude korral tuleb teada, millise veaga need on antud. Meie vaatame selliseid arve, mille korral järeldub arvu kirjutisest kohe ka arvu vea ülemmäär. See tähendab seda, et arv kirjutatakse õigete numbritega. Õigeks loetakse numbrit, mille kümnendkohale vastav ühik on suurem vea ülemmäärast. Ligikaudse arvu tüvenumbriteks nimetatakse selle arvu kirjutises olevaid õigeid numbreid, välja arvatud kümnendmurru alguses olevad nullid ehk avanullid. Tüvenumbrid moodustavad arvu tüve. Niisiis, tüvenumbrid algavad alati nullist erineva numbriga. Viimasele tüvenumbrile vastav kümnendjärk määrab ligikaudse arvu vea ülemmäära. Arvu tüvenumbrid ei muutu siis, kui: **muuta koma asukohta arvus **korrutada arvu 10 mingi astmega **jaga...
. 1,43642857 = 1400 : 2011 = (10³ 1,4) : 2011 (4 .kaks, seega jääb tulemusse kaks tüvenumbrit 5 NB! Kui mõni lähteandmetest on antud täpse arvuna, siis seda arvu eeltoodud reeglites ei arvestata. Näiteks kui ligikaudne arv korrutatakse või jagatakse täpse arvuga, siis .tulemusse võetakse nii mitu tüvenumbrit, kui mitu on neid ligikaudsel arvul Seega, kui korrutises 14 · 4,2824 = 59,9536 on arv 14 täpne, peab tulemus olema viie .tüvenumbriga : 14 · 4,2824 = 59,9536 59,953 Keerulisemate arvutuste korral, mis koosnevad mitmest tehtest, tuleb teha vahepealseid arvutusi. Kui iga vahepealse arvutuse tulemus ümardada eeltoodud reeglite kohaselt, siis võib juhtuda, et tulemuse viimane tüvenumber osutub ümardamisvigade kuhjumise tõttu valeks
3. AVALDISTE TEISENDUSI. LINEAARVÕRRAN D Koostajad: Gerli Savila, Janek Käsper, Erik Mandel, Marek Käsper. 3.1 KORRUTISE LIHTSUSTAMINE • Korrutamise vahetuvuse ja ühenduvuse seaduste kohaselt võetakse kõik arvulised tegurid omaette ja tähelised tegurid omaette rühma. 5 x a x (-3) x b x c = -3 x 5 x abc = -15abc • Kordaja 1 jäetakse korrutises kirjutamata. abc • Kordaja -1 asemele kirjutatakse ainult miinusmärk. - abc ÜLESANNE 1: LIHTSUSTA KORRUTIS JA LEIA KORDAJA 1) 5a●(-3)bc= 2) 4x●(-2)= 3) 10●(-a)●0.1= 4) 5a● (-0.2)●b = 5) 3,5●(-2x) ●(- 1)= ÜLESANNE 1: VASTUSED • 1) VASTUS: 5a●(-3)bc=-15abc , kordaja -15 • 2) VASTUS: 4x●(-2)=-8x , kordaja -8 • 3) VASTUS: 10●(-a)●0
Ühe nende punktide puudumisel puudub ka motivatsioon. Võrreldes Jacobit V. Vroomi teooriaga näeme, et hüvituse atraktiivsus võiks nagu olemas olla. Samuti tundub mulle, et hüvituse tõenäosus on olemas. Puudu aga jääb toimetuleku tõenäosusest, Jacob on ebakindel ja ei usu, et saab ette antud ülesannetega hakkama. Selle pärast käibki ta kaastöötajate ja ülemuse jutul iga väikse probleemiga. Kuna Vroomi teooria korrutises on üks tegur 0, seega puudub motivatsioon. Selleks, et Jacobil oleks motivatsiooni peab Jacobit enesekindlamaks muutma, et ta ei tunneks saamatust ja tuleks toime edasiste ülesannetega. Selleks peavad teda innustama nii töökaaslased kui ka ülemus. Nagu eelpool mainitud kaasata teda rühmatöödes ja loomulikult muutuks Jacob enesekindlamaks peale täiendavate teadmiste omastamist. 10 KOKKUVÕTE
N: 20000 = 2 *10 4 5000000000 = 5 * 10 9 9.Ligikaudse arvu tüvenumbrid Ligikaudse täisarvu tüvenumbriteks loetakse selle arvu kõik numbrid, välja arvatud lõpus olevad nullid. N: 1234 = 1,234*10 3 12,34 = 1,234*10 1 10.Ligikaudsete arvude summa ja vahe. Ligikaudsete arvude summa ja vahes säilitatakse kõige madalam järk, mis on kõigis lähteandmetes teada. N: 23,4 + 123 = 146,4 146 1999 + 2,989 = 2001,989 2002 11.Ligikaudsete arvude korrutis ja jagatis Ligikaudsete arvude korrutises ja jagatises tuleb säilitada nii mitu tüvenumbrit, kui neid on vähima tüvenumbritega arvuga lähteandmetes. N: 234*23.45 = 5478,3 5480 2300 / 0,13 = 17692,30769 18000 12.Kaksliikmete korrutamine Kaksliikme korrutamisel kaksliikmega korrutame ühe kaksliikme kummagi liikme teise kaksliikme kummagi liikmega ja saadud korrutised liidame. N: (a + b) * (c + d) = ac + ad + bc + bd 13.Kahe üksliikme summa ja vahe korrutis
Mitmesuguseid peastarvutamine, õpik lk 6268 *oskab korrutada ja jagada Kontrolltöö 12.märts- ülesandeid. Kordamine. suuline küsitlus, kahekohalise arvuga nr 9 16.märts 5. Kontrolltöö. kirjalik arvutamine, Interaktiivsed *oskab leida puuduvat rühmatöö, paaristöö, töölehed liiget korrutises ja jagatises iseseisev töö, nuputamisülesanded, matemaatilised mängud VAHEAEG VAHEAEG VAHEAEG VAHEAEG VAHEAEG Teemad Õppekirjandus
2. Kuidas korrutamisel nimetatakse ühte tegurit ja kuidas nimetatakse teist tegurit? 3. Milline/kumb korrutatav 2ndarv on soovitav valida korrutajaks? 4. Mis on osakorrutis? 5. Kuidas paiknevad liidetavad osakorrutised üksteise suhtes, kui neid osakorrutisi on palju? 6. Millised numbrid korrutatavate 2ndarvude koosseisus võib ära jätta, ilma et see mõjutaks korrutamise tulemust? 7. Kui korrutatakse 2ndmurdarve, siis kuidas määratakse koma õige koht korrutises? 8. Kas murdarvude korrutamisel võib tegurite koosseisust koma jätta (korrutamise ajaks) ära? 9. Kas murdarvude liitmisel vaadeldakse/käsitletakse/töödeldakse täisosa ja murdosa teineteisest eraldi? 10. Kas murdarvude korrutamisel vaadeldakse/käsitletakse/töödeldakse täisosa ja murdosa teineteisest eraldi? POSITIIVSETE ARVUDE KAHENDARITMEETIKA: LIITMINE LAHUTAMINE KORRUTAMINE JAGAMINE KAHENDSÜSTEEMIS 1. Milline number järgneb 2ndsüsteemis numbrile 1? 2
. . + ain bnj = ais bsj s=1 T¨ ahelepanek 1) Korrutise AB eksisteerimiseks peab maatriksi A veergude arv v~orduma maatriksi B ridade arvuga. Seda korrutise ek- siteerimise eeldust v~oib nimetada tegurite j¨ arkude koos~ ola tingimuseks. 2) Korrutises AB on samapalju ridu kui maatriksis A ja sama- palju veerge kui maatriksis B. II. Maatriksarvutus 7 N¨ aide: erinevat j¨ arku maatriksite korrutis 2 1 3 -1 2 3·2-1·0-2·1 3·1-1·2+2·0 4 1 0 2 = 0·2+1·0-4·1 0·1+1·2+4·0 = 0 1 4 -4 2 -1 0 2 1 0 2 3 -1 2 =
Def 5.1 esimest järku dif.võr on lineaarne kui sel on lineaarne funktsioon y ja selle tuletise y' suhtes y ja y' esinevad vaid esimeses astmes ja nende kordajad sõltuvad vaid x-ist. (5.1) Siin , sest vastasel juhul pole dif.võr. Jagades võrrandi (5.1) mõlemad pooled läbi a(x)-ga, saame: (5.1)' , kus Leiame võrrandi lahendi, otsime korrutist kujul: (5.2) Diferentseerides saame Asendades võrrandisse (5.1)' leiame, et . Võttes ühise teguri sulgude ette, saame: , Et ühe teguri selles korrutises võime vabalt valida, valime selle nii, et: See on eralduvate muutujatega võrrand. Leiame erilahendi See erilahend vastab tingimustele , asendades leitud erilahendi u algsesse võrrandisse, saame: , siit , seega 6. Näited protsessidest, mida kirjeldavad esimest järku dif.võr. Kui mingis protsessid vaadeldav suurus, kasvab või kahaneb kiirusega, mis on võrdne selle suurusega, siis saame võrrandi: (6.1)
, kus q c ij =∑ aik bkj =ai 1 b1 j +a i2 b2 j+ ⋯+ aiq b qj , iga i ja j korral. k=1 Korrutise AB eksiteerimiseks peab maatriksi A veergude arv võrduma maatriksi B rideade arvuga. Seda korrutie ekisteerimie eeldust võib nimetada tegurite järkude kooskõla tingimuseks Korrutises AB on sama palju ridu kui maatriksis A ja sama palju veerge kui maatriksis B Maatrikskorrutamise omadused: Maatriksite korrutamine on assotiatiivne, st mistahes kolme ruutmaatriksi X,Y,Z korral (XY)Z=X(YZ) Mistahes ruutmaariksi X ning vastava ühikmaatriksi E korral XE=EX=X Mistahes kolme ruutmaatriksi X,Y,Z korral
korrutismaatriksi i-nda rea k-ndat elementi, tuleb esimese teguri i-s reavektor korrutada skalaarselt teise teguri k-nda veeruvektoriga, mis koordinaatides saadakse kui samanimeliste koordinaatide korrutiste summa. MÄRKUS 1. Maatriksite korrutamine ei ole üldiselt kommutatiivne, st kui AB eksisteerib, siis BA ei tarvitse eksisteerida ja isegi kui ta eksisteerib, siis sageli AB BA. Erijuhtudel võivad maatriksid olla kommuteeruvad, st tegurid korrutises on vahetatavad ja tulemused osutuvad võrdseteks (vt märkus 3). MÄRKUS 2. Maatriksite hulgas leiduvad NULLITEGURID, st sellised nullist erinevad maatriksid, mille korrutis on nullmaatriks: lühidalt AB=0, A 0, B 0. NB! Arvude hulgas on selline olukord võimatu. MÄRKUS 3. Ühikmaatriks E etendab maatriksite hulgas ÜHIKU osa, st Em×m Am×n = Am×n , Am×n En×n = Am×n . Lühidalt EA = AE = A. 10
korrutismaatriksi i-nda rea k-ndat elementi, tuleb esimese teguri i-s reavektor korrutada skalaarselt teise teguri k-nda veeruvektoriga, mis koordinaatides saadakse kui samanimeliste koordinaatide korrutiste summa. MÄRKUS 1. Maatriksite korrutamine ei ole üldiselt kommutatiivne, st kui AB eksisteerib, siis BA ei tarvitse eksisteerida ja isegi kui ta eksisteerib, siis sageli AB BA. Erijuhtudel võivad maatriksid olla kommuteeruvad, st tegurid korrutises on vahetatavad ja tulemused osutuvad võrdseteks (vt märkus 3). MÄRKUS 2. Maatriksite hulgas leiduvad NULLITEGURID, st sellised nullist erinevad maatriksid, mille korrutis on nullmaatriks: lühidalt AB=0, A 0, B 0. NB! Arvude hulgas on selline olukord võimatu. MÄRKUS 3. Ühikmaatriks E etendab maatriksite hulgas ÜHIKU osa, st Em×m Am×n = Am×n , Am×n En×n = Am×n . Lühidalt EA = AE = A. 10
Olgu kahest kehast koosnev süsteem. Saadud tulemus on kahe vektori vektorkorrutis. Vektorite järjestuse korrutises saame jooniselt. at keha otsida. Kui on keha, siis on ka jõud.
kus Pn on hulga { 1, 2, ... , n} kõigi kaheelemendiliste hulkade hulk. Tõestus. Vaatleme korrutist n l-k k , l =1; k < l il - ik . (3) Selles korrutises esinevad lugejas teguritena kõikvõimalikud vahed t - s , kus s < t ja s , t = 1, 2, ... , n . Korrutise (3) nimetajas esinevad iga s < t ja s , t = 1, 2, ... , n jaoks aga tegurid kujul ± ( t - s ) . Siin märk " - " tekib vaid juhul, kui paar t, s moodustab inversiooni substitutsioonis i1 , i2 , ... , in . Seega tekib korrutisest (3) pärast taandamisi korrutis, kus teguritena esinevad arvud 1 ja 1 teatav arv kordi
positiivsed) faktorid on omavahel ortogonaalsed. Mõned indeksid püüavad vähendada signaalis atmosfääri mõju. Lineaarne indeks nt wetness, greeness ja brightness arvutatakse kõigi TM kanalite kaudu, mida rohkem nt rohelust, seda suurem greeness peab tulema. Wetness mida märjem on pind, seda suurem on neeldumine ja st on TM5 ja TM7 negatiivsed. Kui liidame 1 kanalite korrutised ja teiste kanalite korrutised, siis saame 0-i. Kui korrutises, siis saame 1-e. St on need ortogonaalsed. Lineaarsed multispektraalsed indeksid iga paari kohta peaks olema teada sirge tõus. NDVI mida suurem on väärtus NIR kanalis ja mida väiksem punases kanalis, seda suurem on rohelisus. Küllastub suurte tiheduste juures, nagu on enamus Eesti taimestikke. Stabiilne mõõtnusvigade suhtes. Oluline on teada, millised on punase ja lähisinfrapunase kanali lainepikkused.
Peamised põhjused: väga hea kasutegur (olenevalt käikude arvust ja mootori pöördemomendi karakteristikust); on vahend hüperboolse veokarakteristiku saamiseks, lihtne valmistamise tehnoloogia. 129. Selgita traktori veoratta pöördemomendi arvutustehnoloogiat Vedavale võllile kantava pöördemomendi korrutan konstantse väärtusega 0.985 ja ülekande arvuga i. Saan uue pöördemomendi ja seda kasutan järgmises korrutises jne. 130. Defineeri ratta osad ja kirjelda rehvi ehitust 131. Selgita rehvil olevaid kirjeid 132. Defineeri rehvil 165/70R13 79T olevaid kirjeid ja arvuta ratta diameeter 165- rehvi laius mm ; 70- näitab mitu protsenti on rehvi kõrgus laiusest(profiiliindeks mm); 13 näitab velje diameetrit tollides(siseläbimõõt tollides); 79-on koormusindeks ja T on kiirusindeks 133. Kirjelda MacPhersoni
b31 b32 3 × 2 a b + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12 b22 + a13b32 = 11 11 a 21b11 + a 22 b21 + a 23b31 a 21b12 + a 22b22 + a 23b32 2 × 2 . 1 -1 2 3 - 3 A = , B = . Näide 7: Leida AB ja BA, kui 0 4 5 - 4 0 Lahendus: Siin korrutis AB ei ole määratud, kuna korrutises ,,esimese" maatriksi A veergude arv A(3) ei ole võrdne ,, teise" maatriksi B ridade arvuga B (2). Samal ajal korrutis BA eksisteerib: esimese maatriksi veergude arv B(2) on võrdne teise maatriksi ridade arvuga A(2), ning see korrutis on: 3 - 3 1 - 1 2 3 1 + ( -3) 0 3 (-1) + (-3) 4 3 2 + (-3) 5 B A = = = - 4 0 0 4 5 (-4) 1 + 0 0 (-4) ( -1) + 0 4 (-4) 2 + 0 5
Näide 7: Leida AB ja BA, kui A = , B = - 4 . 0 4 5 0 Lahendus: -4- Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina Siin korrutis AB ei ole määratud, kuna korrutises ,,esimese" maatriksi A veergude arv A(3) ei ole võrdne ,, teise" maatriksi B ridade arvuga B (2). Samal ajal korrutis BA eksisteerib: esimese maatriksi veergude arv B(2) on võrdne teise maatriksi ridade arvuga A(2), ning see korrutis on: 3 - 3 1 -1 2 3 1 + (-3) 0 3 (-1) + (-3) 4 3 2 + ( -3) 5 B A = = =
SELECT perenimi SELECT osakonna_nr SELECT osakonna_nr FROM Tootaja FROM Osakond FROM Osakond WHERE palk < 5000 MINUS INTERSECT UNION SELECT osakonna_nr SELECT osakonna_nr SELECT perenimi FROM Tootaja; FROM Tootaja; FROM Tootaja WHERE palk > 9000; Relatsioonialgebra operatsioon "Cartesiuse ristkorrutis" Kahe tabeli korrutises on päringu tulemusel saadud andmed on koond kahe andmehulga (andmetabeli) andmetest, mis on ühendatud. Kõik read esimesest andmehulgast on ühendatud kõigi ridadega teisest andmehulgast. Ntx: SELECT Tootaja.perenimi, Osakond.osakonna_nimi FROM Tootaja CROSS JOIN Osakond; Relatsioonialgebra operatsioon "Theta join" SQL'i vana süntaks (1) : 10 FROM Tabel1, Tabel2 WHERE Tabel1
annaabi.ee 
