5 100 1,826 3 0,466 0,092 2,3 0,222 Kokku 25 25,0 0,333 vabadusastmete arv k = m 1 r = 5 1 2 = 2. (r = 2, sest normaaljaotusel on kaks parameetrit) Et hüpotees vastu võetaks peab . Seega võib hüpoteesi vastu võtta ning järeldada, et üldkogumi jaotuseks on normaaljaotus. 4.2 Põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus Eksponentjaotuse parameeter: k xm ni F0(m) pi n' 1 20 5 0,351 0,351 8,784 1,630 2 40 6 0,579 0,228 5,698 0,016 3 60 6 0,727 0,148 3,696 1,437 4 80 5 0,823 0,096 2,397 2,826 5 100 3 0,885 0,062 1,555 1,343
5 100 1,658 6 0,452 0,098 2,460 5,094 summa 25 25 6,772 vabadusastmete arv . (r = 2, sest normaaljaotusel on kaks parameetrit) Et hüpotees vastu võetaks peab seega hüpoteesi ei võeta vastu ning võib järeldada, et üldkogumi jaotuseks on mingi muu jaotus. 4.2 Põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus Eksponentjaotuse parameeter 1 20 7 0,354 0,354 8,852 0,387 2 40 5 0,583 0,229 5,718 0,090 3 60 5 0,731 0,148 3,693 0,462 4 80 2 0,826 0,095 2,386 0,062 5 100 6 0,888 0,062 1,541 12,904 summa 25 22,189 13,906
Summa: 1,00 25 0,096 vabadusastmete arv f = k h 1 = 5 2 1 = 2. ( h = 2, kuna normaaljaotusel on kaks parameetrit ja ) Et nullhüpotees vastu võetaks peab . Seega võin nullhüpoteesi vastu võtta ning järeldada, et üldkogumi jaotuseks on normaaljaotus. 4.2 Põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus, mille parameeter on . Eksponentjaotuse parameeter: Vahemi Katsed k F0(m) ni pi ni' xm 1 20 0,351 5 0,351 8,784 1,630 2 40 0,579 6 0,228 5,698 0,016 3 60 0,727 6 0,148 3,696 1,437 4 80 0,823 5 0,096 2,397 2,826
vabadusastmete arv k = m 1 r = 5 1 2 = 2. (r = 2, sest normaaljaotusel on kaks parameetrit) ( ) Et hüpotees vastu võetaks peab , kuid siin see nii ole. Seega peab hüpoteesi tagasi lükkama ning järeldama, et üldkogumi jaotuseks on mingi teine jaotus. 4.2 Põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus Eksponentjaotuse parameeter: 3 Arvutusgraafiline töö | Mihkel Heinmaa | ( )
1,26 2 = 1,26 Vabadusastmete arv f=k-h-1=5-2-1=2. h=2, sest jaotust hindavate parameetrite arv on kaks (keskväärtus ja dispersioon). Kriitiline kvantiili väärtus on 2kr (0,10;2)=4,605. Hüpotees võetakse vastu, kui 2 2kr, ning et 1,26<4,605, võtan nullhüpoteesi vastu. Üldkogumi jaotuseks on normaaljaotus. 4.2 põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus. Eksponentjaotuse parameeter: 1 1 = = = 0, 022 x 46, 2 Teststatistiku arvutamise valemid: k (nm - nm~ ) 2 = 2 m =1 nm~ nm~ = N pm~ pm~ = F0 (vm ) - F0 (vm-1 ) F0 (vm ) = 1 - e - xm k xm-1 xm nm F0(vm) F0(vm-1) p~m n~m
Kokku 25 24,248 3,287724 vabadusastmete arv k = m 1 r = 5 1 2 = 2. (r = 2, sest normaaljaotusel on kaks parameetrit) Et hüpotees vastu võetaks peab ²kr > ², antud juhul 4,605 > 3,288, seega hüpoteesi võib vastu võtta ning järeldada, et tegemist on normaaljaotusega. 4.2. Põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus Eksponentjaotuse parameeter: = = 0,022 k xm ni F0(m) pi 1 20 7 0,356 0,143 3,568 3,301 2 40 5 0,585 0,229 5,731 0,093 3 60 5 0,733 0,148 3,691 0,464
Kokku 25 25 5,207 vabadusastmete arv k = m 1 r = 5 1 2 = 2 (r = 2, sest normaaljaotusel on kaks parameetrit) Et hüpotees vastu võetaks peab ²kr>². Seega peab hüpoteesi tagasi lükkama ja järeldama, et üldkogumi jaotus ei ole normaaljaotus. 4.2 Põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus Eksponentjaotuse parameeter: k xm ni F0 pi ni' (ni-ni')2/ni' 1 20 4 0,290 0,290 7,254 1,459 2 40 5 0,496 0,206 5,149 0,004 3 60 1 0,642 0,146 3,655 1,929 4 80 7 0,746 0,104 2,595 7,480
11,1682 3 Funktsiooni väärtuse kohal ti arvutan valemist (tähistan muutuja x- ga): 2 vabadusastmete arv on Exceli arvutuskeskkonnas: Kuna , siis lükatakse tagasi, st. Normaaljaotus ei sobi. 4.2 Põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus (parameeter tuleb hinnata valimi järgi) Arvutan eksponentjaotuse hinnangulise parameetri: N=25 Intervall m 0-20 0,29 4 7,25 1,459 20-40 0,21 5 5,15 0,004 40-60 0,15 1 3,66 1,929 60-80 0,10 7 2,59 7,480 20,59 80-100 0,07 8 1,84 1 25 31,46 4 2 vabadusastmete arv on
²=9,17 vabadusastmete arv k = m 1 r = 5 1 2 = 2 (r = 2, sest normaaljaotusel on kaks parameetrit) Et hüpotees vastu võetaks peab ²kr>². Selleks. Seega peab hüpoteesi tagasi lükkama ja järjeldama, et üldkogumi jaotus ei ole normaaljaotus. 4.2 pohikogumi jaotuseks on eksponentjaotus (mille parameeter hinnatakse valimi jargi Eksponentjaotuse parameeter: N=25 Intervall pi ni n'i Fo 020 0,2 2040 0,5118 4 12,795 6,045488 0,4 4060 0,35 8 8,75 0,064286 0,6
8201 25 24,33 3,7196 Funktsiooni väärtuse kohal ti arvutan valemist (tähistan muutuja x- ga): 2 vabadusastmete arv on Exceli arvutuskeskkonnas: Kuna . Seega võib hüpoteesi vastu võtta ning järeldada, et üldkogumi jaotuseks on normaaljaotus. 4.2 Põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus (parameeter tuleb hinnata valimi järgi) Arvutan eksponentjaotuse hinnangulise parameetri: N=25 Intervall m 0-20 0,763 7 7,25 7,6 1 459 71 20-40 0,491 4 5,15 5,5 4 874 01 40-60 0,316 6 3,66 0,4 5 622 63 60-80 0,203 4 2,59 0,2
14 0,05 0,002 25 0,00 (x) - vasak telg f(x) - parem telg 0,000 153 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95100 45352 53 714 Eksponentjaotuse jaotustihedus ja histogramm 133 0,186 4 0,35 0,020 20 0,30 0,25 0,015 0,20 0,010 0,15
sündmuste arv m teatud intervallis. Sündmused toimuvad: juhuslikult ja üksteisest sõltumata, harva, kindlas intervallis(ajaline või ka ruumiline intervall) Nt: perearsti külastamine Eksponentjaotus – sellele allub ajavahemik kahe sõltumatult toimuva samaliigilise järjestikuse sündmuse vahel. Ajavahemik kahe järjestikuse: kliendi saabumise vahel, telefonikõne vahel, veebilehelt tehtud päringu vahel. Mõnikord ka mingi tegevuse aeg: kliendi teenindamine, detaili eluiga. Eksponentjaotuse jaotustihedus – Eksponentjaotuse keskväärtus - µ=1/ λ POISSONI JA EKSPONENTJAOTUSE KASUTAMINE: Järjekorrateoorias (massteeninduse teooria), Logistikas, Kaubavarude juhtimisel, Infotehnoloogias Normaaljaotus - Juhuslik suurus allub normaaljaotusele, kui see on mõjutatud paljude faktorite poolt, iga üksikfaktori mõju on väike, puudub domineeriv faktor. Normaaljaotuse jaotustihedus - Määratud ära kahe parameetriga: Keskväärtus µ määrab ära
Kokku 25 23,49 6,31 vabadusastmete arv k = m – 1 – r = 5 – 1 – 2 = 2. (r = 2, sest normaaljaotusel on kaks parameetrit) Et hüpotees vastu võetaks peab χ²kr > χ², antud juhul 4,605 < 6,31 Seega peab hüpoteesi tagasi lükkama ning järeldama, et üldkogumi jaotuseks on mingi teine jaotus. 4.2. Põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus Eksponentjaotuse parameeter: k xm ni F0(m) pi 1 20 6 0,32 0,32 8,01 0,50 2 40 3 0,54 0,22 5,44 1,10 3 60 3 0,69 0,15 3,70 0,13 4 80 9 0,79 0,10 2,51 16,73
60-80 80 5 3 2 5 0,0070 0,01 0,0038 80-100 100 3 5 2 5 0,0026 0,01 0,0025 kokku 25 26 23 25 5.1 Empiirilise jaotuse histogramm graafik 5.2 hüpoteesile 4.1 vastava normaaljaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 5.3 hüpoteesile 4.2 vastava eksponentjaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 5.4 hüpoteesile 4.3 vastava ühtlase jaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik. Kõik jaotustiheduse ja empiirilise esinemissageduse graafikud ühes teljestikus 6. Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 7
80 0,20 0,000 100 0,20 0,032 0,080 2 = 0,80 f = k h 1 = 5 0 -1 = 4 2kr = 20.90(4) = 7.779 Kuna 2 < 2kr, siis võtame H0 vastu. 5.1. Empiirilise jaotuse histogrammi graafik on toodud punktis 4 5.2. Hüpoteesile 4.1 vastava normaaljaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 5.3. Hüpoteesile 4.2 vastava eksponentjaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 5.4. Hüpoteesile 4.3 vastava ühtlase jaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 6. Koostada samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on
4 2 0 1 3 5 b0 b1 1.93 2.085 12.355 9.521 2.73 2.08 13.13 14.75 ül. 5 5.1 Empiirilise jaotuse histogramm graafik 8 7 6 5 4 Empiiriline 3 2 1 0 20 40 60 80 100 5.3 hüpoteesile 4.2 vastava eksponentjaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi g Eksponentjaotus 9 0.0160 8 0.0140 7 0.0120 6 ni(exp) 0
3 2 1 0 20 40 60 80 100 5.2 hüpoteesile 4.1 vastava normaaljaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik Normaaljaotus 8.0 0.0150 6.0 ni(norm) 0.0100 f(norm) 4.0 0.0050 2.0 0.0 0.0000 20 40 60 80 100 5.3 hüpoteesile 4.2 vastava eksponentjaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik Eksponentjaotus 10 0.0160 0.0140 8 0.0120 ni(exp) 6 0.0100 f(exp) 0.0080 4 0.0060 0.0040 2
1 = => = => = 2 2 Dispersioon: ( )= ∫ = ( |+ ∫ )= ∫ = ( )= ( )= ( ) ( )= ( ) = = ( ) 19. Eksponentjaotuse rakendused a. Sündmuste vaheline aeg lihtsa sündmuste voo korral b. Patarei ja lambipirni eluiga c. Tulude jaotus absoluutselt reguleerimata ühiskonnas d. I järku protsesside juures dy/dt = aeg 20. Tuletada 2 sündmuse vahelise aja jaotus lihtsa sündmuste voo korral Toimugu meil sündmused lihtsa sündmuste voo eelduste kohaselt. Olgu ( ) sündmuste voo intensiivsus ja X sündmuste arv lõigul [t;t+τ]. T – kahe sündmuse vaheline aeg
5 8 80-100 10 3 0,12 2 2 5 0,00192 0,00236 0,01 0 4 kokku 25 1 25 24 25 5.1 empiirilise jaotuse histogrammi graafik 5.2 hüpoteesile 4.1 vastava normaaljaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 5.3 hüpoteesile 4.2 vastava eksponentjaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 5.4 hüpoteesile 4.3 vastava ühtlase jaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik. 6 Konstrueerida (samas teljestikus) järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik. 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil ... hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane
f (vabadusaste) 0,20 4 21-(f) 7,779 0,15 2 kriitiline kvantiili väärtus > 7,779 H0,10 0 hüpotees vastuvõetud, sest 0,160 < 7,779 0,05 0,00 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 3639 42 45 48 51 54 5760 63 66 69 72 75 7881 84 87 90 93 96 (x) - vasak telg f(x) - parem telg Eksponentjaotuse jaotustihedus ja histogramm 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 (x) - vasak telg f(x) - parem telg Ühtlase jaotuse jaotustihedus ja histogramm 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 3639 42 45 48 51 54 5760 63 66 69 72 75 7881 84 87 90 93 96
ν 2 ν 1 ν ¿ ¿ 2 D ( X )=E ( X )−E2 ( X ) = 2 −¿ 2 ν 18. Eksponentjaotuse rakendused a. Sündmuste vaheline aeg lihtsa sündmuste voo korral b. Patarei ja lambipirni eluiga c. Tulude jaotus absoluutselt reguleerimata ühiskonnas d. I järku protsesside juures dy/dt = aeg 19. Tuletada 2 sündmuse vahelise aja jaotus lihtsa sündmuste voo korral Toimugu meil sündmused lihtsa sündmuste voo eelduste kohaselt. Olgu 1 ν ( ) sündmuste voo intensiivsus ja X sündmuste arv lõigul [t;t+τ]. T – t
4 0.008 3 0.006 2 0.004 1 0.002 0 0.000 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 5.3 Eksponentjaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik Eksponentjaotus 9 0.014 8 0.012 7 0.010 6 5 ni (eksp) F eksponent 0.008
2N ühikutes t(i) = 2N/(k*(k-1)) Keskmine TMRCA ehk puu sügavus: Generatsioonides: 2N ühikutes: TMRCA = 2*(1-1/k) Kui koalestsentsi tõenäosus igas põlvkonnas on 1/2N, siis keskmiselt tuleb oodata 2N põlvkonda kuni 2 liini koalestseeruvad. Koalestsentsiaegade standardhälve on samuti 2N põlvkonda. Koalestseerumise aeg on ennustatav suurte veapiiridega. Jaotuse hajuvus on suur. Koalestsentsiajad jaotuvad eksponentjaotuse/geomeetrilise jaotuse järgi (ja sellepärast ongi suur hajuvus). Ehk mida sügavamale seda suurem hajuvus. 5. Kirjelda liinide koalestseerumist populatsiooni kasvamise/kahanemise korral! Kuidas see mõjutab genealoogia puu kuju? Koalestseerumised jagunevad selliselt, et esmalt toimub lühikese ajajooksul palju koalestseerumisi ning siis võivad viimased liinid väga pikalt koos eksisteerida enne, kui ühises eellasgeenis kokku saavad. Kasvava populatsiooni korral:
annaabi.ee 
