- . . . . . . . - yR 1)D - N= 1 2 . f ( x, y )dxdy g ( x, y r1 × r2 . . . - D=D(f) n2) y . . - 3) - . f:R R y=f(P) P=(x1,x2, ...,xn) . - . . . (S ) (S ) .2: f:y=f(P) P0,PD(f) f(P)-f(P 0)=f(P0) (. -
Olgu selles piirkonnas antud pidev funktsioon z=f(x,y). Jagame piirkonna D n osapiirkannaks, mille pindalad tähistame ΔS1, ΔS2 … ΔSn. Võtame igas piirkonnas punkti PiЄ ΔSi. Siis summat Vn=Σni=1f(Pi)ΔSi nimetame funktsiooni z=f(x,y) integraalsummaks. Kui eksisteerib piirväärtus, mis ei sõltu piirkonna D osadeks jagamise viisist ega punktide Pi valikust osapiirkonnas, siis seda nimetatakse funktsiooni z=f(x,y) kahekordseks int-ks ja tähistatakse: ʃʃDf(P)dS=ʃʃDf(x,y)dxdy Omadused: Aditiivsus: Kui D=D1UD2, siis ʃʃDf(x,y)dxdy=ʃʃD1f(x,y)dxdy+ʃʃD2f(x,y)dxdy Lineaarsus: Kui funktsioonid z=f(x,y) ja z=g(x,y) on integreeruvad, siis ka funktsioon z=af(x,y)+bg(x,y) on integreeruv ja kehtib võrdus ʃʃD[af(x,y)+bg(x,y)]dxdy = aʃʃDf(x,y)dxdy + bʃʃDg(x,y)dxdy Monotoonsus: Kui funktsioonid z=f(x,y) ja z=g(x,y) on integreeruvad ja f(x,y) on suurem kui g(x,y) iga (x,y)ЄD korral, siis on ka f(x,y) integraal väiksem kui g(x,y)
lähenemisel ja n lõpmatul kasvamisel piirväärtus, mis on üks ja sama iga jada puhul, s.t. ta ei sõltu piirkonna D osapiirkondadeks si jaotamise viisist ega punkti Pi valikust piirkoonas si. Seda piirväärtust nimetatakse funktsioonif (x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse sümboliga f ( P)ds ehk D n f ( x, y)dxdy s.t lim diamsi 0 f ( P )s = f ( x, y )dxdy Piirkonda D nimetatakse i =1 i i D D integreerimispiirkonnaks. Teoreem 2. Kahe funktsiooni summa ( x, y ) + ( x, y ) kahekordne integraal üle piirkonna D võrdub summaga, mille liidetavateks on funktsioonide ( x, y ) ja
Muutuja vahetus kahekordses integraalis x = x(u; v) f ( x, y )dxdy 1)need on ühesed; 2)võrrandisüst. On üheselt avaldatav u ja v suhtes; 3)f-nid y = y(u; v) D peavad olema pidevad; 4)peavad olema pidevad osatuletised mõlema muutuja järgi. (joon) f ( x; y ) = f [ x (u; v ); y (u; v )] = F (u; v ) * f ( x; y ) dxdy = F (u; v) J dudv D xu xv J = Jacobi determinant e jakobiaan. yu yv Kahekordne integraal polaarkoordinaatides x = cos f ( x; y )dxdy = f ( cos; sin ) dd
f P i S i nimetame funktsiooni z f x, y integraalsummaks. Kui piirkonna D igas punktis f 0, siis see summa kujutab xyz-ruumi kõversilindrite summat Definitsioon. Kui eksisteerib piirväärus lim max S i 0 V n , mis ei sõltu piirkonna D osadeks jagamise viisist ega punktide P i valikust osapiirkonnas, siis seda nimetatakse funktsiooni z f x, y kahekordseks integraaliks ja tähiststakse f P dS f x, y dxdy. D D Kui kahe muutuja funktsioonil z f x, y on olemas kahekordne integraal, nimetetakse funktsiooni f integreeruvaks. Seega n f x, y dxdy lim max Si 0 i 1 f Pi Si. D On selge, et n max S i 0 . Piirkonda D nimetatakse integreeruvuspiirkonnaks.
asuvad sellel sirgel või selle läheduses. Kahekordse integraali mõiste Kui integraalsummal eksisteerib piirväärtus protsessis n läheneb lõpmatusse, mis ei sõltu piirkonna D osadeks jaotamise viisist ja punkti Pi valikust neis osades, siis nim funktsiooni w=f(x,y) integreeruvaks piirkonnas D ja integraalsumma piirväärtust nim selle funktsiooni kahekordseks integraaliks üle piirkonna D. lim=f(x,y)dxdy n> D Lause: Kui funk. on tõkestatud piirkonnas D, siis ta on integreeruv. Kahekordse integraali omadusi Lineaarsus: [f ( x, y ) + g ( x, y )]dxdy = f ( x, y )dxdy + g ( x, y )dxdy D D D Adatiivsus: kui D = D1 D2 ; D1 , D2 ei oma ühiseid sisepunkte, siis f ( x, y)dxdy = f ( x, y)dxdy + f ( x, y)dxdy D D1 D2
kõrguseks f(Pi). Summa Vn on nimetatud elementaarsete silindrite ruumalade summa. o Kui funktsioon f(x; y) on kinnises piirkonnas D pidev, siis integraalsummade jadal leidub osapiirkondade si maksimaalse läbimõõdu nullile lähenemisel ja n lõpmatu kasvamisel piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x; y) kahekordseks integraaliks üle piirkonda D ja tähistatakse sümboliga f (x , y)dxdy D Kahekordse integraali rakendusi (tasandilise kujundi mass, massikese, inertsimomendid) o Tasandilise kujundi pindala. Olgu xy-tasandil asetsev kujund D kinnine ja mõõtuv. Selle kujundi D pindala SD avaldub valemiga: SD = dxd y D o Kujundi ruumala
n lim f ( Pi )Si = f ( P ) dS = f (on funktsiooni f(p ,y) integraalsumma lõigul [c,d]. Olgu =max{y , integraalsumma, seega D a 1 ( x) yx,...,y , y )},dxdy i l 1 siis piirväärtus Kui piirkond D on regulaarne x-telje suhtes ja antud võrratustega
Olgu argumendi xi (1 i m ) muut xi . Täisdiferentsiaal df on fikseeritud x1 ,..., x m korral funktsioon. Def. Kui funktsioon df on diferentseeruv, siis täisdiferentsiaali d (df ) nimetatakse funktsiooni f teist järku (teiseks) täisdiferentsiaaliks. Tähistame: d 2 f = d (df ) Üldiselt: Funktsiooni f n-järku täisdiferentsiaal avaldub kujul d n f = d d n -1 f . ( ) 2-muutuja funktsiooni 2. täisdiferentsiaal: d 2 f = f xx dx 2 + 2 f xy dxdy + f yy dy 2 n n n z 2-muutuja funktsiooni n-is täisdiferentsiaal: d n z = n - k k dx n - k dy k k = 0 k x y 10. Tuletis antud suunas Olgu antud funktsioon z = f ( x, y ) . Fikseerime punkti P = ( x, y ) . Rakendame punktist P r vektori s = PR
16. Kahekordse integraali mõiste ja omadusi Kinnises tõkestatud piirkonnas DR2 määratud pideva funktsiooni f(x,y) integraaliks antud piirkonnas D nimetatakse funktsiooni f(x,y) integraalsummasumma n Vn = f ( Pi )Si , i =1 kus Si on hulga D tükeldamisel n osahulgaks S1, S2, ..., Sn saadud osahulk ning Pi punkt, kusjuures PiSi, piirväärtust protsessis n0, kus n=max{d1, d2,...,dn}, kus di tüki Si diameeter: n lim f ( Pi )Si = f ( P ) dS = f ( x, y )dxdy n0 i =1 D D ( f ( P) + g ( P))dS = f ( P)dS + g ( P)dS D D D Cf ( P)dS = C f ( P)dS D D 3) D=D1D2, kusjuures D1 ja D2 ei oma ühiseid sisepunkte f ( P)dS = f ( P)dS + f ( P)dS D D1 D2 4) Olgu piirkonna D pindala S, siis kehtib valem S = dS D
..U Zn ruumala. Silindrite ühend Z on treppkeha, mille ülemine pind on tükiti tasapinnalineomades hüppeid erinevate kõrgustega naaber silindrite liitekohtades. 2. Kahekordse integraali mõiste ja geomeetriline sisu. · Kui on pidev piirkonnas D, siiis on integraalsummal V n taolises piirprotsessis lõplik väärtus. Seda piirväärtust nim funktsiooni kahekordseks integraaliks piirkonnas D ja tähistatakse (x,y)dxdy · Olgu (x,y)0. Vaatleme keha Q, mis on ülalt piiratud pinnaga z = (x,y) alt tasandiga z = 0 ja küljelt silindriga, mille moodustajad on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon. Saadud treppkeha Z ruumala läheneb keha Q ruumalale, kui piirkonna D tükeldus muutub järjest peenemaks, st n 0. Eelnevalt nägime, et treppkeha Z ruumala on võrdne integraalsummaga Vn. Järelikult kahekordse integraali defnitsiooni
Kõversilindri ruumala Kõverjoonelise silindri ruumala on võrdne kahekordse integraaliga funktsioonist f(x,y)>=0 üle piirkonna D, kui silinder on pealt piiratud pinnaga z=f(x,y) ja alt pinnaga D Tasandilise kujundi pindala Tasandilise kujundi D pindala SD= dxdy D Tasandilise kujundi Kui tasandilise kujundi pindtihedus on antud pideva funktsiooniga (x,y), kus mass (x,y) D, siis tasandilise kujundi D mass avaldub kahekordse integraalina üle piirkonna D: mD= ( x , y )dxdy D
2 3 0 3 g f Greeni valem f ( x; y)dx g ( x; y)dy x y dxdy , L D kus teist liiki joonintegraal üle kinnise kontuuri L. Kinnise kontuuri L läbimise positiivseks suunaks loetakse
tasandiga z = 0 ja küljelt silindriga, mille moodustajad on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon. Saadud treppkeha Z ruumala läheneb keha Q ruumalale, kui piirkonna D tükeldus muutub järjest peenemaks, st єn →0. Eelnevalt nägime, et treppkeha Z ruumala on võrdne ƒ integraalsummaga Vn. Järelikult kahekordse integraali defnitsiooni põhja Q ruumala= Lim Vn = ∫∫ ƒ(x,y)dxdy єn →0 D Kahekordse integraali omadusi 1. Kui funktsioon f(x,y) on pidev piirkonnas D, siis ta on ka integreeruv piirkonnas D 2. Piirkonnas D konstantne funktsioon 1 on selles piirkonnas integreeruv, kusjuures 3. Kui eksisteerib integraal ja c ϵ R, siis eksisteerib ka integraal , kusjuures 4. Kui eksisteerivad integraalid , siis eksisteerib ka integral , kusjuures
Kui eksisteerib piirväärtus Mis ei sõltu joone osakaarteks jaotamise viisist ega punkti Qj valikust osakaares Pj-Pj-1(j=1,...,n), siis nim. seda piirväärtust teist liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks projektsioonide järgi funktsioonist F=(X,Y,Z) mööda joont ja tähistatakse GREEN Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon on tükiti sile, siis kehtib Greene valem: dx + Ydy = Yx Xy)dxdy, kusjuures rajajoont läbitakse positiivses suunas. Kui Yx = Xy , siis II liiki joonintegraal punktide P0 ja P vahel ei sõltu neid punkte ühendava joone valikust. Tõestus: Kõigepealt näitame, et: dx= - ydxdy 1. Olgu D normaalne piirkond x-telje suhtes, st D={(x,y)} (a x b) ( (x) (x))}. Rajajoont läbime positiivses suunas. Saame: dx = dx + dx + dx + dx = = (x, (x))dx + 0 + (x,(x))dx + 0 = = - X(x,(x)) X(x, (x)))dx. Siis dx = - ydxdy. 2
reaalarvu s Mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal Olgu antud funktsioon u = u ( x, y , z ,...) . Funktsiooni u osadiferentsiaal muutuja x suhtes: u x dx , dx argumendi x muut. Funktsiooni u täisdiferentsiaal: du = u x dx + u y dy + u z dz + ... Olgu antud funktsioon z = f ( x, y ) . 2. järku funktsiooni z täisdiferentsiaal: d z = d ( dz ) = z xx dx + 2 z xy dxdy + z yy dy . 2 2 2 3. järku funktsiooni z täisdiferentsiaal: d z = z xxx dx + 3 z xxy dx dy + 3 z xyy dxdy + z yyy dy . 3 3 2 2 3 Olgu antud funktsioonid u = u ( x, y , z ,...) , x = x( t ) , y = y ( t ) , ... 1. järku täisdiferentsiaali invariantsus: du = u x dx + u y dy + u z dz + ...
Teisendust (u,v) (x,y) nimetatakse regulaarseks, kui Greeni valem: Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon Ta on üksühene. on tükiti sile, siis Xdx + Ydy = D(Yx Xy)dxdy kusjuures rajajoont läbitakse positiivses suunas. Osatuletised xu,xv,yu ja yv on pidevad piirkonnas . Teisenduse jakobiaan : J(u,v) := |xu xv| <> 0, (u,v) c Diferentsiaalvõrrandi mõiste. Üldlahend. Erilahend.
Teoreem (Greeni valem). Kui funktsioonid X(x, y), Y (x, y), ja x X on pidevad kinnise sileda joone poolt L piiratud regulaarses piirkonnas y D ja L l¨abitakse positiivses suunas, siis Y X X(x, y)dx + Y (x, y)dy = - dxdy (7.14) x y L D 12 y F L (x )
joonintegraal sõltub integreerimise AB läbimise suunast. ❑ ❑ ∫ fds=∫ f ( x , y ) ds I liiki joonintegraal AB AB β ∫ ( f ( x ( t ) , y ( t ) )∗x ' + g ( x ( t ) , y ( t ) )∗y ' ) dt II liiki joonintegraal α 23.Green’i valem(mis seose annab Green’i valem?) ❑ ❑ ∬ ( g x −f y ) dxdy =∫ fdx+ gdy Annab seose, kahekordselt D L integraalilt üle minna I liiki joonintegraaliks. 24.Joonintegraali rakendusi Kaare AB pikkuse arvutamine Tasandilise joone massi määramine Tasandilise kujundi D pindala arvutamine Jõuvälja poolt tehti töö kaarel arvutamine Vedeliku stabiilne tasandiline liikumine Elektrivoolu ja magneti vaheline toime 25
dx Fy z F z Fy F (x,y,z) = 0 = x = x Fz y Fz 2 z 2 z 2 z Teist järku diferentsiaal d z =dx 2 + 2 dxdy + 2 dy 2 2 x 2 xy y u u u u u Suunatuletis = cos + cos + cos = grad u cos s x y z s z z u u u u
dx Fy z F z Fy F (x,y,z) = 0 = x = x Fz y Fz 2 z 2 z 2 z Teist järku diferentsiaal d z =dx 2 + 2 dxdy + 2 dy 2 2 x 2 xy y u u u u u Suunatuletis = cos + cos + cos = grad u cos s x y z s z z u u u u
z z dz = dx + dy x y 2 2 ( dz ) dx + ( dz ) dy = z2 dx + z dy dx + z dx + z2 dy dy = 2 2 d 2 z = d ( dz ) = x y x yx xy y 2 z 2 2 z 2 z 2 = dx + 2 dxdy + dy x 2 xy y 2 Saab näidata analoogselt, et 3z 3z 3z 3z 3 d 3 z = 3 dx 3 + 3 2 dx 2 dy + 3 dxdy 2 + dy x x y xy 2 y 3 10. Tuletis antud suunas ja gradient. ? Olgu antud kolme muutuja funktsioon u = f ( x, y, z ) ja vektor s = { s1 , s 2 , s3 } .
liikumist ei toimu. Eeldatakse, et pinnas on ühtlane ja isotroopne, st veejuhtivus kõigis suundades ühesugune. Samuti eeldatakse, et pinnase poorsus ei muutu ja vesi on kokkusurumatu. Joonis 3.17 Vee voolamine läbi pinnastammi Joonisel 3.17 toodud näites tekib rõhkude vahe tõttu vee vool läbi pinnase kõrgema veetasemega veekogust madalamasse. Vaadeldes pinnase elementaarmahus q z q z dxdy + dxdydz z q x dzdy q x dz q x dzdy + dxdydz x q x dzdy dx Joonis 3.18 Vee vool elementaarmahus vee voolamise tingimusi (joon 3.18), võib kirjutada seose elementaarmahtu voolava hulga kohta
6 2 3 74. (X; Y) x + y, x [0;1], y [0;1], f ( x, y ) = 0, x [0;1], y [0;1]. rxy. . cov( X , Y ) rxy = , x y cov( X , Y ) - , cov( X , Y ) = M [ XY ] - x y ; x, y X Y. 1 1 1 1 M [ XY ] = xyf ( x. y)dxdy = xy( x + y)dxdy = x y + xy dxdy = 2 2 - - 0 0 0 0 1 1 1 x3 x2 2 1 1 1 y2 y3 1 1 1 = y + y dy = y + y 2 dy = + = + = . 0 3 2 0 0 3 2 6 6 0 6 6 3
f ( x , y ) dy=¿ ∫ x f 1 ( x ) dx=E ( X ) −∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ f ( x , y) ∫ φ2 ( y ) f 2 ( y ) dy= ∫ ∫ x f 1 ( x| y ) dx f 2 ( y ) dy=∫ ∫ x f ( y ) f 2 ( y ) dxdy =∫ x dx ∫ ¿ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 2 −∞ −∞ . ∞ Analoogiliselt ∫ φ1 ( x ) f 1 ( x ) dx=E(Y ) −∞ 31. Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika kui teineteise pöördteadused. Demonstreerida seda ühe näite abil matemaatiline statistika
Samuti eeldatakse, et pinnase poorsus ei muutu ja vesi on kokkusurumatu. Joonisel 3.17 J o o n is 3 .1 7 V e e v o o la m in e lä b i p in n a sta m m i toodud näites tekib rõhkude vahe tõttu vee vool läbi pinnase kõrgema veetasemega veekogust madalamasse. Vaadeldes pinnase elementaarmahus vee voolamise tingimusi (joon 3.18), q z q z dxdy + dxdydz z q x dzdy q x dz q x dzdy + dxdydz x q x dzdy dx J o o n is 3 .1 8 V e e v o o l e le m e n ta a r m a h u s
annaabi.ee 
