Trigonomeetriliste avaldiste teisendamine Trigonomeetria põhivalemid sin 2 + cos 2 = 1 sin tan = cos 1 1 + tan = 2 cos 2 cos cot = sin Taandamisvalemid Taandamisvalemite rakendamiseks piisab järgmise reegli teadmisest: nurkade - , + ja 2 - korral teiseneb nende siinus avaldiseks sin , koosinus avaldiseks cos ja tangens avaldiseks tan , mille ees olev märk ("+" või "-") sõltub sellest, milline on vastavalt siinuse, koosinuse või tangensi märk veerandis, kuhu kuulub esialgne nurk - , + ja 2 - Märgi määramisel loetakse nurk teravnurgaks. Kui nurk on kirjutatud kujul / 2 ± või 3 / 2 ± , siis muutub, sin cos tan cot cos sin cot tan. märgi määramise reegel jääb endiseks. Trigonomeetriliste funktsioonide märgid + + _ +
Üks- ja hulkliikmed © T. Lepikult, 2010 Matemaatiline avaldis Matemaatiliseks ehk analüütiliseks avaldiseks nimetatakse eeskirja, mis määrab teatava skalaarse suuruse (ehk avaldise väärtuse) leidmiseks konstantide ja muutujatega sooritatavad tehted ning nende sooritamise järjekorra. Näited 1) 2 52 on matemaatiline avaldis, mille väärtus on 27. 2) r2 on matemaatiline avaldis, mille väärtuse leidmiseks tuleb esmalt leida muutuja r väärtuse ruut ja seejärel korrutada tulemust arvuga = 3,14... 3) log( 5 x 2 sin x)
platineerimata plaatinaelektrood, ühendatakse elektroodinõu hõbe-hõbekloriidelektroodiga ning mõõdetakse elemendi elektromotoorjõud. Lahuse pH saab arvutada, lähtudes elemendi emj. ja indikaatorelektroodi potentsiaali avaldisest. Valemid kn= kn0+ loga2H+= kn0-0,059pH, millest pH= edasi tuleb võtta mõõdetud galvaanielemendi elektromotoorjõu avaldis: E= kn- Ag/AgCl, millest kn=E+ Ag/AgCl. Asendades selle ülaltoodud valemisse, saame pH avaldiseks: pH= Katseandmed E=0,212V Katsetemperatuur t=24°C Arvutused küllastatud hõbe-hõbekloriidelektroodi potentsiaal katsetemperatuuril hõbe-hõbekloriid = 0,199 1,01 ·10-3 (24 -25)=0,20001 V kinhüdroonelektroodi normaalpotentsiaal katsetemperatuuril kn0 = 0,699 - 0,00074 (24 - 25)=0,69979 arvutatud pH = = 4,87 Tegelik pH oli aga 4,0 Katsevea arvutus: P=*100%=21,75% Järeldus: Mina sain katse ja arvutuste tulemusena uuritava lahuse pH-ks 4,87. Tegelik pH oli aga 4,0.
y+e (see on ristlõikepinna staatilise momendi R+ y dA = 0 ning edA = eA = S NJ absoluutväärtus nulljoone suhtes: e on loetud A A positiivseks suuruseks); · paindemomendi avaldiseks M =E S NJ ; Kõvera varda M suhteline = saadakse: S NJ E nurkdeformatsioon:
voolukiiruse otsitavaga v2 , saame laeva absoluutkiiruseks pärivoolu liikumisel v1 + v2 , vastuvoolu aga v1 - v2 . Ülesanne 2 (2) Lahendus jätkub ... Esimesel korral pärivoolu sõitmiseks kulunud aja leidmiseks tuleb teepikkus jagada kiirusega (vt. valem (3)): päri 100 t1 = , v1 + v2 ja vastuvoolu liikumiseks kulunud aja avaldiseks saame: vastu 64 t1 = . v1 - v2 Kokku kulus esimesel korral 9 tundi, seega 100 64 + = 9. v1 + v2 v1 - v2 Ülesanne 2 (3) Lahendus jätkub ... Ka teisel etapil kulus laeval sõitmiseks kokku 9 tundi, üksnes
kehtivus on tõestatav ka nende võrduste parema poole avaldise n x y = (x y)( y x) = . . . . . . = x ¯ ¯y w xy I teisendamise teel vasaku poole avaldiseks. Arvestades, et x w x ¯ = 1 saame distributiivsusseaduse (sulgude x y = x ¯y w x ¯y lahtikorrutamise) abil ja neeldumise x w x y = x abil teisendada: x w y = ( x w y) 1 = ( x w y) ( x w ¯
(võimsus) ühikulise pindala kohta kasvab võrdeliselt temperatuuri neljanda astmega: R = T4. Võrdetegurit kutsutakse Stefan-Boltzmanni konstandiks ning selle väärtuseks on saadud . Planck suutis aastal 1900 leida teoreetilise avaldise tasakaalulise kiirguse spektri kirjeldamiseks (Plancki kiirgusseadus), millest muuseas järeldub ka Stefan-Boltzmanni seadus. Konstandi teoreetiliseks avaldiseks tuleb , kus k on Boltzmanni konstant, c on valguse kiirus vaakumis ning h on Plancki konstant. Energia jaotus spektris- energia jaotust spektris saab uurida bolomeetri abil (joonis1). Kiirguse energiat uutitakse termopaari abil. Selleks, et uurida infrapunast osa ei tohi prismat ja läätse valmistada mitte tavalisest klaasist vaid kivisoolast (haliit) ehk NaCl. Minnes üle lühema lainepikkus poole, hakkab energia spektris vähenema
Tema liikumiskiirus on v . Et jääda tiirlema ringikujulisele orbiidile, peab temale mõjuv gravitatsioonijõud olema tasakaalustatud tiirlemisest põhjustatud kesktõukejõu poolt, s.t. nende jõudude moodulid peavad olema võrdsed. Fkt = Fg . Kesktõukejõu saame valemist (3.7), gravitatsioonijõu valemist (4.1). Võrdsustame need: mv 2 GMm = . r r2 Pärast taandamist ja kiiruse avaldamist saame esimese kosmilise kiiruse avaldiseks GM v1kosm = . (4.5) r v > 2v1kosm - hüperbool v = 2v1kosm - parabool 2v1kosm > v > v1kosm - ellips v = v1kosm - ringjoon v < v1kosm - ellips Ülaltoodud joonis kujutab selliste proovikehade trajektoorid, millele on antud taevakeha läheduses
suhtes saab arvutada järgnevate valemitega: Ix=ʃʃΩ(y2+z2)γ(x,y,z)dS Iy=ʃʃΩ(x2+z2)γ(x,y,z)dS Iz=ʃʃΩ(x2+y2)γ(x,y,z)dS 17. II liiki pindintegraal, selle arvutamine ja omadused, näide DEF. Olgu pinnal Ω määratud kolm funktsiooni f(x,y,z), g(x,y,z) ja q(x,y,z), siis üldiseks II liiki pindintegraaliks nimetatakse summat: ʃʃΩfdxdy+gdxdz+qdydz= ʃʃΩfdxdy + ʃʃΩgdxdz + ʃʃΩqdydz Avaldist fdxdy+gdxdz+qdydz nimetatakse integraalialuseks avaldiseks. Kui pind Ω on sile ja funktsioon f on pidev sellel pinnal, siis eksisteerivad selle funktsiooni II pindintegraalid üle pinna Ω. OMADUSED II liiki pindintegraalide omadused on põhiliselt samad, mis I liiki pindintegraalidel(aditiivne, lineaarne, monotoonne) Lisaks nendele on II liiki pindintegraalidel veel kaks omadust: 1)Kui pind Ω on risti xy-tasandiga, siis ʃʃΩf(x,y,z)dxdy=0. Analoogiline lahendus on ka xz- ja yz projektsioonidel
kõikjal 0, siis funktsioon on konstantne) on F2 ( x ) - F1 ( x ) = const m.o.t.t. Def Funktsiooni y = f(x) määramata integraaliks nimetatakse avaldist y = f ( x) dx = F(x) + C, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja C konstant, mida nimetatakse integreerimiskonstandiks. Muutujat x nimetatakse integreerimismuutujaks. Integraali märgi all olevat funktsiooni f(x) nimetatakse integreeritavaks funktsiooniks. Integraalialuseks avaldiseks nimetatakse avaldist f(x)dx. Näide: 2 xdx = x +C 2 1. MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED 1. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava funktsiooniga [ f ( x) dx ] = f ( x ) 2. Diferentsiaal määramata integraalist võrdub integraalialuse avaldisega: d f ( x ) dx = f ( x ) dx 3. Määramata integraal mingi funktsiooni tuletisest võrdub selle funktsiooniga pluss suvaline integreerimiskonstant: F ( x ) dx = F ( x ) +C 4
kõikjal 0, siis funktsioon on konstantne) on F2 ( x ) - F1 ( x ) = const m.o.t.t. Def Funktsiooni y = f(x) määramata integraaliks nimetatakse avaldist y = f ( x) dx = F(x) + C, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja C konstant, mida nimetatakse integreerimiskonstandiks. Muutujat x nimetatakse integreerimismuutujaks. Integraali märgi all olevat funktsiooni f(x) nimetatakse integreeritavaks funktsiooniks. Integraalialuseks avaldiseks nimetatakse avaldist f(x)dx. Näide: 2 xdx = x +C 2 1. MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED 1. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava funktsiooniga [ f ( x) dx ] = f ( x ) 2. Diferentsiaal määramata integraalist võrdub integraalialuse avaldisega: d f ( x ) dx = f ( x ) dx 3. Määramata integraal mingi funktsiooni tuletisest võrdub selle funktsiooniga pluss suvaline integreerimiskonstant: F ( x ) dx = F ( x ) +C 4
11.9) selgub, et: · varda ristlõigetes tekitavad paindemomente kolme liiki koormused üksikmomendid (M), üksikjõud (F) ja joonkoormused (p); · lõikemeetodi rakendamisel arvutatakse ristlõike paindemoment vaid lõikest ühele poole (vasakule või paremale) jäävate koormuste (aktiivkoormused ja toereaktsioonid) järgi; · lõikest vasakule jäävate koormuste järgi saab paindemomendi avaldiseks varda ristlõikes (x - a p )2 (koordinaadiga x): M = 0 M (x ) = - M + F (x - a F ) + p 2 ; Priit Põdra, 2004 171 Tugevusanalüüsi alused 11
järgi koostatud avaldisteni. Sel juhul on otstarbekas uurida nende avaldiste a1 üldisi omadusi. c b y° a2 ¡¡ 1 1 ±± b2 y c2 a1 korrutame võrrandi pooli a1-ga Üheks selliseks avaldiseks on kahe korrutise vahe. ¢ a1 ² a c a1c2 a2 c1 Näide 1: Kui neli arvu a, b, c ja d on võrdelised, s.t. , siis a·d = b·c a2c1 a2b1y + a1b2y = c2a1 y . (*)
kui x = ( t ) . Ositi integreerimise valem: u dv = uv - v du , kus u = u ( x ) ja v = v ( x ) on diferentseeruvad funktsioonid. 4.13 Määratud integraal 38 b Funktsiooni f ( x ) määratud integraaliks rajades a-st b-ni ehk avaldiseks f ( x ) dx a nimetatakse piirväärtust b n -1 f ( x ) dx = lim max xi 0 f ( ) x ,
4mn 3 4mn 3n 12mn 4 3 3. Teisenda ühenimelisteks. 2 4 ja a) 3 5 Lahendus: Ühiseks nimetajaks on iga korrutis, mille tegurite hulka kuuluvad antud nimetajate kõik tegurid. Selliseid korrutisi on aga lõpmata palju. Lihtsaim ühine nimetaja saadakse, kui võetakse selle tegureiks ühe nimetaja kõik tegurid ja neile lisatakse teisest nimetajast need, mis eelnevas puuduvad. Praegu on selliseks avaldiseks korrutis 3 . 5. Saame 2 2 ( 5 2 5 10 ; 3 3 3 5 15 4 4 ( 3 4 3 12 . 5 5 5 3 15 a m ja b) b n Lahendus: Ühine nimetaja on bn. a a ( n a n an ; b b b n bn m m ( b m b bm . n n nb bn ab xy 2 ja c) c d c2 Lahendus: Ühine nimetaja on c2d
oleks • Piisab ühest viidast pinu tipule, et temaga peamisi operatsioone teha • Ei pea paiknema füüsiliselt järjestikku, vaid järgnevusseose määravad viidad • Elemendid võiksid viidata olemasoleva pinu poole (nö alla poole) 6. Postfiks avaldis ehk Pööratud Poola kuju (Reverse Polish Notation). Mis see on, kuidas teisendatakse tavaliseks infiks avaldiseks ja vastupidi. Nii loogika kui ka aritmeetikaavaldisi saab kirja panna kolmel erineval kujul: prefiks (+ab , Poola kuju, operandid on avaldises ees.), postfks (ab+ , pööratud poola kuju, operandid järel) ja infiks (a+b) kujul. 6.1 Postfiks avaldis ehk pööratud Poola kuju – (ab+) viis kuidas panna kirja loogikaavaldisi sulge kasutamata. Operatorid pannakse operandide järele. Avaldise postfiks kujule teisendamine (teisendusalgoritm eeldab, et kõigi tehete järjekord on määratud
Termodünaamilisi protsesse, kus termodünaamiline keha protsessi käigus saab tagasi algoleku, nimetatakse ringprotsessideks. Termodünaamilise protsessi käiku väljendatakse tavaliselt kahe olekuparameetri vahelise seosena, mis antakse kas analüütiliselt või graafiliselt. Näiteks, kui mingit termodünaamilist protsessi väljendada rõhu ja erimahu vahelise seosena, siis funktsioon p=f(v) on vaadeldava termodünaamilise protsessi analüütiliseks avaldiseks. 2.2. Gaaside kineetiline teooria. Ideaalne gaas. Ainete molekulaar-kineetiline teooria on tänapäeval üksikasjaliselt välja arendatud ainult gaaside kui kõige lihtsama ehitusega kehade kohta. Gaaside molekulid (nende arv mahuühikus on väga suur) on pidevas omavahelises kaootilises liikumises. Iga gaasimolekul liigub sirgjooneliselt seni, kuni ta põrkub kokku järgmise molekuli või gaasi piirava pinnaga. Molekulide põrked vastu gaasi piiravaid pindu (anuma seinu) põhjustavad rõhu
Ositi integreerimise valem: u dv uv v du , kus u u x ja v v x on diferentseeruvad funktsioonid. 4.13 Määratud integraal 38 b Funktsiooni f x määratud integraaliks rajades a-st b-ni ehk avaldiseks f x dx a nimetatakse piirväärtust b n 1 f x dx lim max xi 0 f x ,
masskeskmega praktiliselt ühte. Et jääda tiirlema ringikujulisele orbiidile, peab proovikehale mõjuv gravitatsioonijõud olema tasakaalustatud tiirlemisest põhjustatud kesktõukejõu poolt, s.t. nende jõudude moodulid peavad olema võrdsed. Fkt = Fg . Kesktõukejõu saame valemist (3.7), gravitatsioonijõu valemist (4.1). Võrdsustame need: mv 2 GMm = . r r2 Pärast taandamist ja kiiruse avaldamist saame esimese kosmilise kiiruse avaldiseks GM v1kosm = . (4.5) r Kui proovikehale anda selline kiirus, jääb ta ringikujulisel orbiidil ümber taevakeha tiirlema. Tuleb arvestada, et valemit (4.5) saab kasutada vaid piisavalt suurel kõrgusel taevakeha pinnast, kus atmosfäär on küllaldaselt hõre ja me võime jätta arvestamata proovikehale mõjuva õhutakistuse. Maa puhul on selleks kõrguseks vähemalt 200 kilomeetrit. Sellel
fdydz lim 0 f Pi S yz i i 1 Definitsioon. Olgu pinnal määratud kolm funktsiooni f x, y, z , g x, y, z ja q x, y, z . Siis üldiseks teist liiki pindintegraaliks nimetatakse järgmist pindintegraalide summat fdxdy gdxdz qdydz fdxdy gdxdz qdydz. Avaldist fdxdy gdxdz qdydz nimetatakse integraalialuseks avaldiseks. II liiki pidintegraali olemasolu saab kindlaks teha järgmise piisava tunnuse järgi Teoreem 13. Kui pind on sile ja funktsioon f on pidev sellel pinnal, siis eksisteerivad selle funktsiooni II liiki pindintegraalid üle . 3.2.1 Teist liiki pindintegraali omadused II liiki pindintegraalil on samad omadusd kui kahekordsel integraalil, s.t. I liiki pindintegraal on aditiive, lineaarne, monotoonne.
15 Et leida 15% arvust x, tuleb leida 100 arvust x ehk 0,15x. Küllalt tihti kasutatakse protsentülesannete lahendamisel võrdust = 100% kus p on esitatud protsentides ja see näitab, mitu protsenti arv b moodustab arvust a. Kuna aga 100% = 1, võib paremal pool jagamise 100% -ga ära jätta ja me saame avaldiseks = Näide 4-1 Protsendi leidmine Töötaja kulutab oma 7500 kroonisest kuu sissetulekust 500 kr transpordi peale. Mitu protsenti oma sissetulekust kulutab töötaja transpordile? Lahendus: 500 0,0667 = 6,67% 7500
Definitsioon 1. Funktsiooni muudu avaldise (2.7) lineaarset osa f (x)x ninetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja t¨ahistatakse dy. Seega definitsiooni kohaselt dy = f (x)x. Kui funktsioon ja argument langevad u ¨hte, st y = x, siis y = 1 ja dy = dx = 1 · x. J¨arelikult s~oltumatu muutuja x korral dx = x, st s~otlumatu muutuja jaoks langevad diferentsiaali ja muudu m~oisted kokku. J¨arelikult saame funktsiooni diferentsiaali avaldiseks dy = f (x)dx (2.8) N¨aide 1. Leiame funktsiooni y = arctan x diferentsiaali avaldise. Liitfunktsiooni tuletise leidmise reegli kohaselt 1 1 y = 1+x2 x ja (2.8) j¨argi 1 1 dx dy = dx = .
lauseid saab tõlkida sümbolkeelde. Loomulikus keeles on eituse tunnusteks (indikaatoriteks) väljendid ,,pole tõsi, et ...", ,,ei ole nii, et...". Nt ,,Pole nii, et auto sõidab", ,,Pole tõsi, et päike paistab". Indikaatoriteks võib kontekstist sõltuvalt olla veel väljendeid, levinumad on ei, pole ja mitte. Tavakeeles on see probleem, et indikaatoritega saab moodustada kahemõttelisi lauseid, 6 mille tõlkimine lausearvutuse sümbolkeele ühemõtteliseks avaldiseks võib olla raskendatud. Ka lausearvutuse sümbolkeeles käsutavad eri autorid eituse märkimiseks erinevaid sümboleid. Järgnevalt esitame eituse levinumad tähistused, kusjuures esimesena ja poolpaksus kirjas esitatu võtame allpool kasutusele: ¬p, ~p, p̅, not p. Eitamine annab tulemile operandile vastupidise tõeväärtuse. Eituse tõeväärtustabel kahel samaväärsel kujul. p ¬p p ¬p tv10 vt01 Eitatud lause eitamine annab tulemiks eitusele vastupidise tõeväärtuse, st tulem on
väljendid ,,pole tõsi, et ...", ,,ei ole nii, et...". Nt ,,Pole nii, et auto sõidab", ,,Pole tõsi, et päike paistab". Indikaatoriteks võib kontekstist sõltuvalt olla veel väljendeid, levinumad on ei, pole ja mitte. Tavakeeles on see probleem, et indikaatoritega saab moodustada kahemõttelisi lauseid, 6 mille tõlkimine lausearvutuse sümbolkeele ühemõtteliseks avaldiseks võib olla raskendatud. Ka lausearvutuse sümbolkeeles käsutavad eri autorid eituse märkimiseks erinevaid sümboleid. Järgnevalt esitame eituse levinumad tähistused, kusjuures esimesena ja poolpaksus kirjas esitatu võtame allpool kasutusele: ¬p, ~p, p , not p. Eitamine annab tulemile operandile vastupidise tõeväärtuse. Eituse tõeväärtustabel kahel samaväärsel kujul. p ¬p p ¬p
annaabi.ee 
