Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "ALGEBRA KONKURSS". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
algebra, konkurss, lihtsustaRuutfunktsioon Sissejuhatav kordamine 1. Teosta tehted. Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest. 3 1 2 3 1 a) 2 a b c 3 Lahendus: ; 1 4 2 s 3 t b) 4 5 3 4 s t Lahendus: . 2. Lihtsusta avaldis. a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) Lahendus: xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) = = x2y + 3xy2 + x3 2x2y xy2 + x2y 2xy2 y3 = = x 3 y3 = = (x y)(x2 + xy + y2) b) (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) Lahendus: (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) = 9a2 12a + 4 + 4 9a2 = = 8 12a 3. Lahenda võrrand. a) 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111 Lahendus: 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111;
(16) 8 - 1 1 x 2 1 - x y - xy + y 2 82) Lihtsusta avaldis : 12 -12 - x - xy -2 y x+ y . ( y )
…….. 5 2.7 Näited tehete kohta ratsionaalarvudega ……………………….……. 6 2.8 Protsent ja promill …………………………………………….……. 8 2.9 Näited protsentarvutusest …………………………………………... 9 2.10 Arvu absoluutväärtus ………………………………………………. 10 2.11 Ülesanded ……………………………………………………….….. 11 3. ALGEBRA …………………………………………………….……. 12 3.1 Astmed ……………………………………………………………… 12 3.2 Juured ………………………………………………………………. 14 3.3 Näited astendamisest ja juurimisest ………………………………… 15 3.4 Korrutamise abivalemid …………………………………………….. 17 3
y= 4 ja otsitav arv oleks 24. Kontroll: 1) 4 - 2 = 2 1 2) 2 × 4 = × 24 3 24 8= 3 8 =8 Vastus: otsitav kahaekohaline arv on 24. Tehted hulkliikmetega (Alg. murdude taandamine) 362 Lihtsusta avaldis: 4a 3 × 3a 5 = 12a 8 c) 7c 2 × (-5c 3 ) = -35c 5 e) - 4 xy 2 × 3 x 2 y 2 = -12 x 3 y 4 2 3 xy 2 9x 2 y 4 m) - 3 = a a6 363 Lihtsusta avaldis 2 a) 10 a 3 b 2 = 2ab 5a 2 b 3 x2 c) 6 x2 y2z2 = -3 x 2 z 2 - 2 xy 2 3 a8 b2 10 21 a b c 6 3a 8 b 2 7
Kontroll: 1) 4 2 2 1 2) 2 4 24 3 24 8 3 88 Vastus:otsitav kahaekohaline arv on 24. Tehted hulkliikmetega (Alg. murdude taandamine) 362 Lihtsusta avaldis: 4a 3 3a 5 12a 8 c) 7c 2 (5c 3 ) 35c 5 e) 4 xy 2 3 x 2 y 2 12 x 3 y 4 2 3 xy 2 9x 2 y 4 m) a3 a6 363 Lihtsusta avaldis 2 a) 10 a 3 b 2 2ab 5a 2 b 3 x2 c) 6 x2 y2z2 3 x 2 z 2 2 xy 2 3 a8 b2 21 a 10 b 7 c 6 3a 8 b 2 e)
Kontroll: 1) 4 2 2 1 2) 2 4 24 3 24 8 3 88 Vastus:otsitav kahaekohaline arv on 24. Tehted hulkliikmetega (Alg. murdude taandamine) 362 Lihtsusta avaldis: 4a 3 3a 5 12a 8 c) 7c 2 (5c 3 ) 35c 5 e) 4 xy 2 3 x 2 y 2 12 x 3 y 4 2 3 xy 2 9x 2 y 4 m) a3 a6 363 Lihtsusta avaldis 2 a) 10 a 3 b 2 2ab 5a 2 b 3 x2 c) 6 x2 y2z2 3 x 2 z 2 2 xy 2 3 a8 b2 21 a 10 b 7 c 6 3a 8 b 2 e)
Kordamine III 1. Lihtsusta avaldis ja arvuta seejärel kirjalikult selle täpne väärtus, kui a = 5,5 3a - 6 2 - a - 36 a + 6 2 2. Lihtsusta avaldis ja arvuta seejärel kirjalikult selle täpne väärtus, kui x = -4,5 4x + 8 3 - x - 16 x - 4 2 1 1 2 3. Lihtsusta avaldis - : m + n m - n mn - n 2 1 1 ab + b 2 4. Lihtsusta avaldis - a -b a +b 2 2 4 4 2 5. Lihtsusta avaldis : - + 2 3x - 6 x - 2 x + 2 x - 4 2 2 4 2 6. Lihtsusta avaldis - + 2 :
3. AVALDISTE TEISENDUSI. LINEAARVÕRRAN D Koostajad: Gerli Savila, Janek Käsper, Erik Mandel, Marek Käsper. 3.1 KORRUTISE LIHTSUSTAMINE • Korrutamise vahetuvuse ja ühenduvuse seaduste kohaselt võetakse kõik arvulised tegurid omaette ja tähelised tegurid omaette rühma. 5 x a x (-3) x b x c = -3 x 5 x abc = -15abc • Kordaja 1 jäetakse korrutises kirjutamata. abc • Kordaja -1 asemele kirjutatakse ainult miinusmärk. - abc ÜLESANNE 1: LIHTSUSTA KORRUTIS JA LEIA KORDAJA 1) 5a●(-3)bc= 2) 4x●(-2)= 3) 10●(-a)●0.1= 4) 5a● (-0.2)●b = 5) 3,5●(-2x) ●(- 1)= ÜLESANNE 1: VASTUSED • 1) VASTUS: 5a●(-3)bc=-15abc , kordaja -15 • 2) VASTUS: 4x●(-2)=-8x , kordaja -8 • 3) VASTUS: 10●(-a)●0.1=-a , kordaja -1 • 4) VASTUS: 5a● (-0.2)●b =-ab , kordaja -1 • 5) VASTUS: 3,
VÕRRANDID Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Tundmatu väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks (tõeseks arvvõrduseks), nimetatakse võrrandi lahendiks. Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Lahendada võrrand tähendab leida tundmatu kõik need väärtused, mis rahuldavad võrrandit (st tundmatu asendamisel lahendiga muutub võrrand samasuseks). Võrrandi lahendamisel püütakse võrrandit teisendada nii, et iga uus võrrand oleks eelmisega samaväärne. Lubatud teisendused (võrrandi põhiomadused) on järgmised: 1) võrrandi pooli võib vahetada; 2) võrrandi mõlemale poolele võib liita või mõlemast poolest lahutada ühe ja sama arvu või muutujat sisaldava avaldise (mis omab mõtet võrrandi kogu määramis- piirkonnas), see annab sisuliselt teisenduse, mida tuntakse kui võrrandi liikmete teisele poole
1) Koonda sarnased liikmed a) 2a - 5a + 8a - 7a = ................... f) 7x - 9x -2 + 3 = ................................... b) 5x + 3x + 6x - 2x = ................... g) 15x + y - 3x - 7y - 3 = ........................... c) 11y - 5y + 6y - 7y = ..................______ h) 2x - 5xy - 3y - 3x + 2xy = ...................... d) 22c - 13c + 8c - 7c = ................ i) 11 - 3a + 7b - 2a + 4b = ........................ e) 3a - 5b + 9a - 7b = ...................._____ j) 13u + 7v + 8u - 8u - 11v + 21 = ............. 1. Lahenda järgmised võrrandid: a) 5 - 4x + 9 = 2x - 10 ....................... e) 24x = 17 + 9x + 42 + 1 .................. ................................................... ................................................... ................................................... ................................................... b) 5 - 8y = - 23 + y + 1 ....................... f) 87x -
5+ 2 7. 4. ( a a -b 2 ) 3 2 a -b a 17. Lihtsusta avaldis 1. c 2 m +3 c m -3 -12 - 1 2 a + b 2
4 7 3. cos2a, kui sin a ; a 5 2 25 cos a 1 4. tan a tan , kui on teada (0,5) cos a 3 cos 2a 1 tan a 5. Lihtsusta (0) 1 sin 2a 1 tan a 6. Leia sin 6300 + cos21500 cot 2250 (-1,25) sin a cos 3 a A 7. Leia A väärtus, mille korral sin a 3 cos a 1 cos a oleks tõene.(1) 2 2
Algebraliste murrud © T. Lepikult, 2010 Algebraliste murdude korrutamine Kahe algebralise avaldise jagatist nimetatakse algebraliseks murruks. Tehteid algebraliste murdudega sooritatakse nagu harilike murdudega: Kahe murru korrutiseks on murd, mille lugejaks on teguriteks olevate murdude lugejate korrutis, ja nimetajaks on teguriteks olevate murdude nimetajate korrutis: a c ac b d bd Näide x y 3x z ( x y ) (3x z ) . 3a y 5 x 5 x (3a y ) algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Algebraliste murdude korrutamine ja jagamine Kahe murru jagatiseks on murd, mille lugejaks on jagatava lugeja korrutis jagaja nimetajaga, ja nimetajaks on jagatava nimetaja korrutis jagaja lugejaga: a c ad :
Korrutamise abivalemid (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b ) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) a 3 - b 3 = ( a - b)( a 2 + ab + b 2 ) (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 Näiteid · Lahutada tegureiks : 1. 6z 7 3z 5 = 3 z 5 (2z2 -1) 2. 5a (a + b ) 2b ( a + b) = (a + b)( 5a 2b) 3. 2a ( x +y) x y = 2a ( x +y) (x + y ) = ( x + y)(2a -1) 4. x4 n x3 n = x3 n ( x n -1) 5. 25 c2 = (5 c)(5 + c) 6. (v + b)2 n 2 = ((v + b) +n)((v + b) n )= ( v +b + n)(v + b n ) 7. m 2 +6m + 9 = (m + 3)2 8. 9a 2 6a + 1 = (3a -1)2 9. 27s 3 8d 3 = (3s 2d)(9s 2 + 6 s d + 4d 2) 10. 64 + f 3 = (4 + f )(16 4f + f 2) b · Kaksliikmes a + b tuua sulgu
Teosta tehted ksliikmetega 0 -4m^{2}np^{3}*5m^{3}n^{4}p^{2} Teosta tehted ksliikmetega 0 16m^{3}n^{5}:(8m^{2}n^{3}) Teosta tehted ksliikmetega 0 -27x^{7}y^{5}z^{6}:(-3x^{5}y^{5}z) Teosta tehted ksliikmetega 0 (-s^{3}t^{6})^{6} Teosta tehted ksliikmetega 0 (-2m^{3}n^{2})^{5} Lihtsusta 0 (m^{3})^{3}*(m^{4})^{2} Lihtsusta 0 (v^{3})^{6}:(v^{4})^{2} Lihtsusta avaldis 0 (2x+y)^{2}+(x-2y)(x+2y)-4x(x+y) Teosta tehted 0 (18u^{7}v^{2}-9u^{5}v^{4}+12u^{4}v^{3}):(3u^{3}v^{2}) Ava sulud ja lihtsusta 0 -(2a+b)(2a-b) Ava sulud ja lihtsusta 0 5*(-2a+b)*(4a^{2}+b^{2})*2*(-2a-b) Ava sulud ja lihtsusta 0 5*(2a+b)*(2c+d)*2*(2a-b) Ava sulud ja lihtsusta 0 5*(2a+b)*(2c+d)*2*(a-b) Ava sulud ja lihtsusta 0 (2a-3bc^{3})^{3} Ava sulud ja lihtsusta 0 2*2(2a^{3}-3bz)^{2} Ava sulud ja lihtsusta 0 2+(-a-b)^{2}*2a Ava sulud ja lihtsusta 0 2-(-a+b)^{2} Ava sulud ja lihtsusta 0 -(a+b)^{2} Ava sulud ja lihtsusta 0 (a+b)^{2}
ARVUTAMINE JA ALGRBRALINE TEISENDAMINE Esmalt oleks vaja tuletada meelde järgmised valemid ja reeglid: Tähega N tähistatakse naturaalarvude hulka, st. arvud, mida saame loendamise teel (1, 2, 3, …..). Vahel arvatakse ka arv 0 naturaalarvude hulka. Tähega Z tähistatakse kõikide täisarvude hulka (… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …) Tähega Q tähistatakse kõikide ratsionaalarvude hulka. Tähega I tähistatakse kõikide irratsionaalarvude hulka (mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud). Tähega R tähistatakse kõikide reaalarvude hulka. R Q I 1) Arvu aste. a) a n a a ......... a a, kui n N n tegurit b) a a a m n m n Näide: x 8 x 5 x13 c) a m : a n a m n Näide: y 9 : y 3 y 6 d) a n b n a b n Näide: x 5 y 5 xy
VÕRRANDITE NÄIDISKONTROLLTÖÖ 1. Kas järgmised võrrandid on samaväärsed? 3 3 1) 3x + 2 = 2x 7 ja x = -9; 2) x + = - 2 ja x = -2; x+2 x+2 x +1 3) = 0 ja x + 1 = 0. x-2 2. Lahenda võrrandid 3 x + 13 3(2 x - 3) 2(4 - x) 3( x - 11) 5 x + 6 1 - x 3(9 - x) 1) - = -7; 2) - = - ; 8 5 3 5 15 4 10 2 1 x-2 3) 3 x 4 - 28 x 2 + 9 = 0 ; 4) 2 + 2 = 2 ; x -1 x - x x +x x 2 20
3 3 7 3. Lihtsusta avaldis. 1) x 2 x 5 5) a 12 : a 4 ( ) 9) a 2 -3 ( - 2) 4
KONTROLLITUD Test nr. 2. 1 a 1,5 + 27b 1,5 1. Arvuta avaldise 1 1 - 2b 2 , kui a = 9 ja b = 16. a - 3a b + 9b 2 2 1) 7 2) 11 3) 13 4) 1 2. Lihtsusta avaldis a b , kui a < 0 ja b > 0. 6 4 1 1) - a 2 b 3 2) a 3 b 2 3) - a 3 b 2 4) -a b 3 3. Arvuta log 0, 25 0,64 + log 0,5 10
Matemaatika eksam 1. Tehted astmetega Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita. Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahutada. Korrutise astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused korrutada. Jagatuse astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused jagada. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. 2. Arvu standardkuju Arvu standardkuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegusrist ja kümne mingist astmest. Näited. 7250 = 7,25 ∙ 10³; arvu tüvi on 7,25 ja arvu järk 10. 4000 = 4 ∙ 10³ 3. Korrutise ja jagatise astendamine, astme astendamine Mis tahes aluse nullis aste on 1. Negatiivse astendajaga aste on võrdne absoluutväärtuselt sama suure positiivse arvu astendajaga astme pöördväärtusega. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita. Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahutada. Korrutise astendamiseks
Üks- ja hulkliikmed © T. Lepikult, 2010 Matemaatiline avaldis Matemaatiliseks ehk analüütiliseks avaldiseks nimetatakse eeskirja, mis määrab teatava skalaarse suuruse (ehk avaldise väärtuse) leidmiseks konstantide ja muutujatega sooritatavad tehted ning nende sooritamise järjekorra. Näited 1) 2 52 on matemaatiline avaldis, mille väärtus on 27. 2) r2 on matemaatiline avaldis, mille väärtuse leidmiseks tuleb esmalt leida muutuja r väärtuse ruut ja seejärel korrutada tulemust arvuga = 3,14... 3) log( 5 x 2 sin x) - selle matemaatilise avaldise väärtuse leidmiseks tuleb 1) leida siinus nurgast, mille suurus radiaanides on x; 2) leida muutuja x väärtuse ruut ja korrutada see viiega jne. 4) 32 - lihtsaimaks matemaatiliseks avaldiseks on konstant (arv). algusesse eelmine sl
KODUNE KONTROLLTÖÖ Lihtsustage avaldised 1 x x x 3 + - : = x( x - 1) x - 1 x + 1 x - 1 1. 2ab b 2a - 3b 2 + : 1 - = 2. 4a - 9b 2 3b - 2a 2a + 3b 2x 2 + x x + 1 x + 1 x 2 + 5x 3 - 2 1 + - 2 = x - 1 x + x + 1 x x + x 3. x - 121 2 3 1 2 - = 4. x + 10 x - 11 x 2 + 2 x - 3 2 a + b -1 a - b b b + + = a + ab 2 ab a - ab a + ab 5. 2 2 a a - ab + b a - b - a
Hulkliikme korrutamine üksliikmega 1. Korruta. a) 3m(4 2m + m2) Lahendus: 3m(4 2m + m2) = 12m 6m2 + 3m3 = 3m3 6m2 + 12m b) 6a2b(1,5ab2 0,5b) Lahendus: 6a2b(1,5ab2 0,5b) = 9a3b3 + 3a2b2 c) ( m2 + 4n3) * 0,5nm2 Lahendus: ( m2 + 4n3) * 0,5nm2 = 0,5m4n + 2m2n4 2. Lihtsusta avaldis. a) 5(2a + 3b) 2(5a 2b) Lahendus: 5(2a + 3b) 2(5a 2b) = 10a + 15b 10a + 4b =19b b) ab2(a 2b) a2b(2a + b) Lahendus: ab2(a 2b) a2b(2a + b) = a2b2 2ab3 2a3b a2b2 = 2ab3 2a3b 3. Kahe arvu summa on 70, kusjuures ühe arvu kahekordne on võrdne teise arvu kolmekordsega. Leia need arvud. Lahendus: Olgu üks arv x. Kui kahe arvu summa on 70, siis teine arv on 70 x. Ühe arvu
Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Tõõ Andmed ja valemid Üliõpilane Õppemärkmik Õppejõud J. Vilipõld Õpperühm Palun täitke tühjad lahtrid MASB11 Harjutused Andmete tüübid Excelis Valemid ja avaldised Funktsioonid Arvandmed, -avaldised ja -funktsioonid Aadressite ja nimede kasutamine valemites Arvavaldised - tehete prioriteedid, funktsioonid Minirakendus "Detailike" - ülesande püstitus Minirakendus "Detailike" - aadresside kasutamine Minirakendus "Detailike" - nimede kasutamine Pildi hind Loogikaandmed, -avaldised ja funktsioonid Võrdlused ja loogikatehted IF-funktsioon Funktsioonid Palk & Kauba hind Viktoriin_1 Tekstandmed, -avaldised ja funktsioonid Ajaandmed, -avaldised ja -funktsioonid Ülesanded Kolmnurga karakteristikud Prisma silinder Arvvalemid Ruutvõrrand Intressi arvutamine Pall Ideaalne inimene Viktor
Hulkliikmete liitmine ja lahutamine 1. Lihtsusta ja arvuta avaldise väärtus. a) (t 3s) (2t + s), kui s = 2 ja t = 3 (t 3s) (2t + s) = t 3s 2t s = 4s t; Lahendus: 4s t = 4 * 2 3 = 11 b) (4c 5d) + (4d c), kui c = 5 ja d = 1 (4c 5d) + (4d c) = 4c 5d + 4d c = 3c d; Lahendus: 3c d = 3 * 5 (1) = 16 c) (a y2) + (a + y2), kui a = 4 ja y = 3 (a y2) + (a + y2) = a y2 + a + y2 = 2a; Lahendus: 2a = 2 * 4 = 8 d) (2s2 s) (s2 2s), kui s = 2 (2s2 s) (s2 2s) = 2s2 s s2 + 2s = s2 + s; Lahendus: s2 + s = (2)2 + (2) = 4 2 = 2
Põhivara 7. klass Protsendi mõiste: Ühte sajandikku osa mingist kogumist, tervikust nim. protsendiks (%). Jagatise väljendamine protsentides: Tihti on vaja teada, mitu % moodustab üks arv teisest. Kahe arvu jagatise väljendamiseks protsentides leiame selle jagatise esmalt kümnendmurruna ning korrutame siis sajaga. Näide: Arv 3 arvust 4 moodustab? 3 : 4 = 0,75 0,75 * 100 = 75% Tekstülesannete lahendamine % abil: Metsapäeval oli kavas istutada 2400 puud. Õpilased ületasid ülesande 16% võrra. Mitu puud istutati? Antud ülesannet saab lahendada kahel viisil. võimalus: 1% on 2400 : 100 = 24 16% on 16 * 24 = 384 16% 2400-st on 384 Kuna plaan ületati 16% võrra, mis vastab 384 puule, siis istutati 2400 + 384 = 2784 puud. võimalus: Mitu puud on 16% ? 2400 puud on 100% x puud on 16% x = 2400 * 16/100 = 384 Mitu puud istutati? 2400 + 384 = 2784
22. Joonisel 2 on esitatud tulpdiagramm, mis kujutab ühe kooli 9. klassi õpilaste matemaatika eksamitöö hinnete jaotust protsentides. Jooniselt puudub hindeid "5" kujutav tulp, kuid on teada, et selle hinde said 18 õpilast. Arvuta: 1) Mitu protsenti õpilastest said hinde"5" ning joonesta puuduv tulp joonisele 2; 2) mitu õpilast oli eksamil; 3) mitu õpilast said hinde "4"; 4) mitu protsenti õpilastest sooritas eksami vähemalt hindele "3"; 23. Lihtsusta avaldis ( 2 x - y ) 2 - 5 x( x - 2 y ) + ( x + y )( x - y ) ja arvuta selle väärtus, kui x = 1/3 ja y = -2,5. 24. Lihtsusta avaldis ( 2 y - 3)( 8 y +1) - ( 4 y - 5)( 4 y + 5) +11( 2 y -1) 25. Lihtsusta avaldis ( 2a - 3) ( 4a 2 + 6a + 9 ) - a( 3a - 2) 2 - 3( 2a - 3)( 2a + 3) ja arvuta selle väärtus, kui a = -2. 26. Lihtsusta avaldis ( 2 x - 3 y ) 2 - ( 3 x - 2 y )( 3x + 2 y ) + ( 3x - y )( 2 x + 3 y ) - 5 y ( 2 y - x ) 27
Valemid 1) am*an=am+n 2) am:an=am-n 3) (an)m=anm 4) (a*b)n=an*bn 5) (a:b)n=an:bn 6) a-n=1/an 7) ruutjuur a-st on sama, mis a astmes ½ I Võrrandi teisendamine võrrandiks, mille mõlemad pooled on ühe ja sama arvu astmed. Näide 1. Lahendame võrrandi 9x+5=81. Teisendame mõlemad pooled arvu 3 astmeteks: (32)x+5=34 32x+10=34 Ühe ja sama arvu astmed on võrdsed vaid siis, kui kui astendajad on võrdsed, järelikult 2x+10=4 2x=-6 x=-3 Kontroll: 9-3+5= 92=81 II Võrrandid, mis peale teisendusi muutuvad I tüüpi võrranditeks. Eraldi tüübina on esitatud need ülesanded sellepärast, et selliste ülesannete lahendamisel tehakse sageli vigu. Seetõttu oleks vaja eriti hoolsalt näited läbi mõelda. Näide 1. Lahendame võrrandi 3x+1+3x = 108 Kaotame summa astendajas 3x * 31 + 3x = 108 3 * 3x + 3x = 108 Toome 3x sulgude ette 3x (3+1)=108 3x * 4=108 3x =108:4 3x =27 3x=33 x=3 Kontroll: 33+1+33 = 34+33=81+27=108 Näide 2. Lahendame võrrandi 32x-2*32x-1-2*3
Ruutvõrrandid. Ruutvõrrandid esituvad kujul ax2 + bx + c = 0. Ruutvõrrandid jagunevad taandamata ja taandatud ruutvõrranditeks: Taandamata ruutvõrrand Taandatud ruutvõrrand ax2 + bx + c = 0 x2 + px + q = 0 - b ± b 2 - 4ac 2 x1;2 = p p 2a x1;2 = - ± - - q 2 2 Kui ruutvõrrandis ax2 + bx + c = 0 kas b = 0 või c = 0, siis on tegemist mittetäieliku ruutvõrrandiga. Selliseid võrrandeid viisakas inimene ei lahenda eespool toodud lahendivalemiga, sest neid saab lihtsamalt lahendada. Näide 1. Lahendame võrrandid 1) 3x2 + 6x = 0, 2) 0,5x2 23 = 0, 3) 3x2 = 0. 1) Võrrandi 3x2 + 6x = 0 lahendamisel toome x sulgude ette, siis saame x(3x + 6) = 0. Kahe arvu korrutis on
2) Valemite rakendamine: 4x²-25y²=(2x+5)(2x-5) 3) Ruutkolmliikme tegurdamine: ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2) , kus x1 ja x2 on võrrandi ax²+bx+c=0 lahendid. 5 ± 25 - 4 2 3 5 ±1 Näiteks: 2x²-5x+3=2(x-1)(x-1,5), sest x = = , x1=1 ja x2=1,5 22 4 4) Rühmitamine: x³+3x²-4x-12=x²(x+3)-4(x+3)=(x+3)(x²-4) Näidisülesanne: lihtsusta: -K ± K ² -ac * K-valem: kui ax²+2Kx+c=0, siis x= a Astendamine Naturaalarvuline astendaja 2³=222=8 00= - a0=1, kui a0 , st iga arv astmes 0 on võrdne ühega (kui see arv ei ole 0). 11²= 12²= 13²= 14²= 15²= 16²= 17²= 18²= 19²= 20²= 21²= 22²= 23²= 24²= 25²= 121 144 169 196 225 156 289 324 361 400 441 484 529 576 625
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHHATROONIKAINSTITUUT KODUTÖÖ AINES "MHE0061 MASINATEHNIKA" TÖÖ NIMETUS: KESKPEAINERTSMOMENDID ÜLESANNE NR: 1 ÜLIÕPILANE: KOOD: RÜHM: AAAB30 Töö esitatud: 18.12.2016 Arvestatud: Parandada: TALLINN 2016 B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a 8 4 6 3 9 10 7 5 11 12 1 b 12 7 10 8 11 14 9 3 15 16 Kuju number: 7 a: 5 cm b: 13 cm Sx S + S +S y A + y A + y A S x = y cA=¿ y c = =¿ X 1 X 2 X 3 =¿ 1 1 2 2 3 3 A A1 + A2 + A 3 A 1 + A 2 + A3 a a y 1= =2,5 cm y 2=a+a=10 cm y 3=a+ a+ =12,5
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI teema Geomeetria PLANIMEETRIA Tasandilised kujundid ja nendega seotud valemid. Ristkülik d b S ab P 2a b d a2 b2 a a Ruut d S a2 a P 4a d a 2 Rööpkülik d1 S ah ab sin h b P 2a b d2 180 0 d1 d 2 2a 2 b 2 a
1. Kordamisteema Algebraliste avaldiste lihtsustamine Lihtsustamiseks kasutatakse: 1) Ühise teguri sulgude ette toomist. Kui on vaja muuta avaldises märke, tuleb sulgude ette tuua miinusmärk. 2) Ühise nimetaja leidmist: kui kõigi liikmete nimetajad on lahti kirjutatud, siis ühiseks nimetajaks valitakse kõige suurem nimetaja ja lisatakse teistest nimetajatest see, mida valitud nimetajas pole. Kui on tegemist astmetega, tuleb ühisesse nimetajasse suurima astendajaga tegur. 3) Abivalemeid: ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( a - b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 - ab + b 2 ) a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + ab + b 2 ) 4
annaabi.ee 
