1
VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID
DEFINITSIOON. Suurusi, mis on iseloomustatud oma
1) arvväärtuse (pikkuse),
2) sihi ja
3) suunaga,
nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... .
MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga ― oma
alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame
a = AB, kusjuures :
1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus,
2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B),
3) suund on määratud punktide järjestusega.
OLULISED VEKTORID :
Vektoreid, mil e arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori-
teks. Kasutatakse tähistust e, st e
=
1.
Vektoreid, mil e arvväärtus (pikkus) on null, nimetatakse
nullvektoriteks. Kasutatakse tähistust 0. Nullvektori siht ja suund on
määramata.
VEKTORITE VASTASTIKUSED SEOSED:
Vektorid a ja b on võrdsed (a = b), kui neil on samad arvväärtused, sihid
ja suunad.
Vektorid a ja b on teineteise vastandvektorid (a = –b), kui neil on
samad arvväärtused ja sihid, kuid nad erinevad suuna poolest.
Vektorid a, b on kollineaarsed (a || b), kui nad on samasihilised ehk kui
nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad samal sirgel.
Vektorid a, b, c, ... on komplanaarsed, kui nad pärast ühisesse
alguspunkti vi mist asuvad ühel tasandil.
2
LINEAARSED TEHTED VEKTORITEGA
VEKTORITE LIITMINE : V × V → V: (a, b) → a + b = c.
1) KOLMNURGA REEGEL: kui esimene li detav on a = AB, siis
lugedes teise li detava b alguspunktiks B, on summavektoriks
c = AC, kusjuures C on vektori b lõpp-punkt.
Analüütiliselt: AB + BC = AC.
2) RÖÖPKÜLIKU REEGEL: kahe vektori li tmiseks tuleb nad vi a
ühisesse alguspunkti ja lugeda summavektoriks nende vektorite poolt
määratud rööpküliku selle diagonaaliga antud vektor, mil el on
li detavatega ühine alguspunkt.
MÄRKUS. Sõnastatud reeglid on samaväärsed.
OMADUSED
1) Kommutati vsus: a + b = b + a.
2) Assotsiati vsus: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c.
3) Nullvektori omadus: a + 0 = a.
VEKTORI KORRUTAMINE ARVUGA: R × V → V: (λ, a) → λa:
1) korrutisvektori pikkus: λa =
50 punkti
Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.
~ 19 lehte
Lehekülgede arv dokumendis
2013-01-22
Kuupäev, millal dokument üles laeti
50 laadimist
Kokku alla laetud
0 arvamust
Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
V1k1
Õppematerjali autor
1 VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID DEFINITSIOON. Suurusi, mis on iseloomustatud oma 1) arvväärtuse (pikkuse), 2) sihi ja 3) suunaga, nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... . MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga oma alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e
Need juured saadakse avaldisest z 1/n = r1/n(cos(( + 2k)/n) + isin(( + 2k)/n)) andes arvule k järjest väärtused 0, 1, ..., n-1 3. Korpuse defnitsioon. Skalaari mõiste. Korpuste näiteid. Korpuseks nimetatakse hulka K, kus on kaks tehet, + ja *, mis rahuldavad omadusi 1-9 Skalaariks nimetatakse mis tahes korpuse elemente. Korpuse näiteid: 1. Q, R, C 2. jäägiklassikorpus Zp (p - algarv); Zp {0, 1, ..., p-1} i, j Zp; ij = i+j, kui i+j <= p-1; i+j-p, kui i+j >= p 4. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega ja nende omadused. Geomeetriline vektor on suunatud lõik tasandil või ruumis. Kahte geomeetrilist vektorit loetakse võrdseiks, kui need vektorid on kollineaarsed ( || ), samasuunalised ( ) ja ühepikkused (|||| = ||||) Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega: 1. liitmine 2. skalaariga korrutamine (skalaaride hulgaks R). Korrutis rahuldab tingimusi: 1. c || ; 2. c >= 0 <=> c ; c < 0 <=> c ; 3. ||c|| = |c| * ||||;
10. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, Kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. Juurte arv. 11. Geomeetriline vektor. Vektorite kollineaarsus, vektorite võrdsus. Nullvektor. Kolmnurka ja rööpküliku reegel. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust 12. Aritmeetiline vektor. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Aritmeetiline ruum. 13. Vektorruumi ja vektori definitsioon. Vektorruumi 5 näidet. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide geomeetriliste vektorite kohta)
. . , aik} nimetame vektorsüsteemi {a1, a2, . . . , am} alamsüsteemiks. Vektorsüsteemi lineaarne sõltuvus (sõltumatus) Vektorsüsteemi {a1, a2, . . . , am} nimetame lineaarselt sõltuvaks (lineaarselt sõltumatuks), kui vektorvõrrandil 1a1+ 2a2 + ... + mam on rohkem kui 1 lahend (on ainult 1 lahend) ?Tulemused lineaarse sõltuvuse kohta väikese elementide arvuga vektorsüsteemides viimane tähendab seda, et kui vektorsüsteemis on 1 vektor, siis l-sõltuv on ainult siis kui see vektor on 0 vektor, kui 2 vektorit, siis l-sõltuv, kui need vektorid on kollineaarsed VEKTORRUUMI BAAS: Vektorruumi baas Vektorsüsteemi {e1, e2, .... , en} nimetatakse vektorruumi V baasiks, kui: 1) see vektorsüsteem on lineaarselt sõltumatu; 2) vektorruumi V iga element on avaldatav selle vektorsüsteemi elementide kaudu. Lõpmatumõõtmeline vektorruum Vektorruumi, millel puuduvad baasid, nimetatakse lõpmatumõõtmeliseks ehk lõpmatudimensionaalseks vektorruumiks
1.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b , (1) kus a1 , a2 , ... , an ja b on fikseeritud arvud ning x1 , x2 , ... , xn on tundmatud. Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , a2 , ... , an aga tema kordajateks. Def. 1. Võrrandi (1) lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x1 , x2 , ... , xn väärtusi c1 , c2 , ... , cn R , et pärast nende paigutamist võrrandi (1) vasakusse poolde tundmatute asemele kehtiks võrdus a1c1 + a2c2 + ... + ancn = b . Võrrandi (1) lahend on n arvust c1 , c2 , ... , cn koosnev järjestatud lõplik jada. Seega saab teda vaadelda aritmeetilise vektorina
Vektori a pikkus on a ja tähistatakse |a| = a. Vektoreid a ja b nimetakse kollineaarseteks (a ||b), kui nad on paralleelsed sama sirgega. Kollineaarsed vektorid on kas samasuunalised a b või vastassuunalised a b. Vektoreid a ja b nimetatakse komplanaarseteks, kui nad on paralleelsed ühe ja sama tasandiga. Vektorid a ja b on võrdsed (on sama suured), a=b, kui nende pikkus on sama ja nad on samasuunalised Vektorite a ja b summa a+b on vektor, mille alguspunkt on a alguspunkt ja lõpp-punkt saadakse b paralleellükkega a lõpp-punkti, siis a+b lõpp-punkt on b lõpp-punkt. Tihti kasutatakse ka rööpküliku reeglit, kus vektorid a ja b pannakse paralleellükkega algama samast punktist. Summa on siis rööpküliku pikem diagonaal. a-b=a+(-b). Seega ahelreelgi järgi tuleks vektorite a ja b vaheks vektor a-b, mis saadakse a lõppu b vastasvektori b lisamisega. Rööpküliku reeglite järgi oleks vektorite a ja b vahe neile
vastassuunalised (tähistus a b). Vektorit, mille alguspunkt ühtib selle vektori lõpp-punktiga, nimetatakse nullvektoriks. Kahte vektorit, mis erineved teineteisest vaid suuna poolest, nimetatakse vastandvektoreiks. 14. Vektori korrutamine arvuga (geomeetriliselt). Vektorite liitmine ja lahutamine (geomeetriliselt). vektori korrutamine arvuga: vektori korrutamisel arvuga suureneb tema pikkus võrdeliselt (siht ei muutu). kui kordaja on negatiivne, muutub vektor vastassuunaliseks. Geomeetrilise vektori a korrutiseks arvuga nimetatakse vektorit a, mis rahuldab tingimusi: vektorite liitmine ja lahutamine: Kolmurgareegel liidetavad vektorid ühendada järjest summavektor tõmmata esimese alguspunktist viimase lõppunkti; Rööpküliku reegel liidetavate vektorite alguspunktid on samad, summavektor tuleb tômmata alguspunktist rööpküliku vastasnurka. lahutamine toimub vastandvektori liitmisel. 15
https://courses.ms.ut.ee/MTMM.00.340/2020_fall/uploads/Main/KM%20I%20Konspekt%202 020%202601.pdf Tunnikontrolli nr 1 kordamisküsimused Tunnikontroll toimub praktikumi lõpus kuni 15 minuti jooksul. Tunnikontrollis on kolm küsimust, millest esimesed kaks on mõistete ja omaduste peale, lisaks näited mõistete kohta. Kolmas küsimus sisaldab ülesannet praktikumides 1-4 lahendatud ülesannete teemadel. 1) Definitsioon 1.1: maatriks Maatriksiks nimetatakse ümarsulgude vahele paigutatud m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit, kus arve aij nimetatakse maatriksi elementideks ja i=1,...,m ja j=1,...,n. See on m x n maatriks. 2) Definitsioon 1.2: ruutmaatriks, reavektor, veeruvektor Ruutmaatriks või ka n-järku ruutmaatriks on maatriks, millel on võrdne arv ridu ja veerge (m=n) Reavektor - kui maatriksis on ainult üks rida, siis nimetame maatriksit reavektoriks. Veeruvektor - maatriks, milles on ainult üks veerg. 3) Definitsioon 1.3: maatriksite võrdsus Kak
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
Kõik kommentaarid