Aritmeetiline jada-Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja selle jada jaoks mingi kindla arvu summaga nimetatakse aritmeetiliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse aritmeetilise arvu jadaks ja tähistatakse tähega d. an=a1+(n-1)d an+1=an+d » an+1-an=d sn= a1+an/2 x n või sn=2a1+(n-1)d/2 Geomeetriline jada- Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja antud jada jaoks mingi kindla arvu korrutisega nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse teguriks ja tähistatakse tähega q n-1 n an=a1 x q q=an+1/n sn=a1(q -1)/q-1 Lõpmatult kahaneva geomeetrilise jada summa- S=a1/1-q Arvu ,,A" nimetatakse jada ,,an" tõkestamatul kasvamisel ja tähistatakse sümboliga liman=A n lim1/n=0 Piirväärtus n (tõkestamatul kasvamisel) läheneb nullile. n Piirväärtust
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Trigonomeetria Teravnurga puhul on sin vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe, tan vastaskaateti ja lähiskaateti suhe ning cos lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. Nurga veerand võetakse lõpphaara asukoha järgi ning on vastupäeva positiivne, päripäeva negatiivne. Taandamisvalemid võimaldavad taandada mistahes nurga radiaanideks. ja on teineteise täiendusnurgad 90°-ni, kui + = 90°. Siinusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=sinx. Tegu on paarisfunktsiooniga, periood on 2. Arkussiinuseks nimetatakse funktsiooni y=arcsinx. Tegu on siinusfunktsiooni pöördväärtusega, absoluutväärtuselt vähim nurk, mille sin on x, paarisfunktsioon. Koosinusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=cosx. Tegu on paarisfunktsiooniga (sümmeetriline y telje suhtes), perioodiks 2. Arkuskoosinu
=sinx'dx=cosxdx(saab ka vastupidi, st sulgudes on cosx) IV sin mxcosnxdx:
a)m=2k+1>0=> sin x cos x sin xdx = -(1 -t )t dt , as t=cosx, dt =-sinxdx,
2k n 2 n
sin2x=1-cos2x b)n=2l+1>0 => sin x cos x cos xdx = t (1 - t ) dt , as t=sinx dt
m 2l n 2 l
=cosxdx c)m=2k>0, n=2l>0 =>sin2x=1/2 (1-cos2x), cos2x=1/2(1+cos2x),
sinxcosx =1/2 sin2x d) m=2k<0, n=2l<0=> [t=tanx]=>dx=dt/1+t 2; cos2x=1/1+t2;
sin2x=t2/1+t2
32.Määratud int mõiste
Antud y=f(x)-pidev lõigul[a;b], konstruktsioon n N-> a=x0
b) On lõpmatult palju lahendeid 1° = rad 180° 25. Ringjoone kaare pikkus ja sektori pindala 1 - cos 1 sin =± l = rx S = xr 2 2 2 2 1 + cos 26. Mistahes nurga trigonomeetrilised cos =± funktsioonid 2 2 27. Taandamisvalemid 1 - cos tan =± Teine veerand: 2 1 + cos sin(180° - )=sin sin cos(180° - )= -cos tan = 2 1 + cos
sirget. Alguses kinnispunkt asub nullpunktis. Ringjoone veeremisel mööda sirget joonistab kinnispunkt tsükloidi kaari. Tsükloidi parameetrilised võrrandid: Joonis 6. Paaris- ja paaritufunktsioon Olgu funktsioonil f (x) 0-punkti suhtes sümmeetriline määramispiirkond ehk –a < x < a. f(-x) = f(x) – paarisfunktsioon f(-x) = -f(x) – paaritufunktsioon Joonis 7. Nt. (-x)2 = x2, paarisf. (-x)3 = -x3, paarituf. sin(-x) = -sinx, paarituf, cos (-x) = cosx, paarisf, tan (-x) = -tanx, paarituf, arcsin (-x) = -arcsinx, paarituf. arctan(-x) = -arctan, paarituf, arccos(-x) , ei ole paaritu ega paarisf. Perioodiline funktsioon Niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust f(x+t)=f (x), t≠0, iga x ja x+t korral määramispiirkonnast, nim. perioodiliseks funktsiooniks vähimat arvu t aga selle funktsiooni perioodiks. Kui on teada perioodilise funktsiooni ajagraafiku osa perioodi pikas poollõigus, siis on teada ka kogu graafik
Muutuva suuruse Tõkestatud hulga definitsioon Suvaline x-teljega paralleelne sirge läbib eksponentfunktsiooni y = Piirväärtus lim () eksisteerib ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed graafikut maksimaalselt ühes punktis. Eksponentfunktsioon on ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Reaalarvudest koosnevat hulka A nim tõkestatuks, kui leidub Piirprotsesside x ®¥ ja x ®-¥ definitsioonid. Jada ühepoolsed piirväärtused lim+ ()ja lim- (). Peale selle, piirväärtuse
8 16 f) Millises punktis M0 on kõvera y = puutuja risti sirgega 4x + 3y + 2 = 0? Vastus: ( g) Millisesse kõvera y = x2 -5x +6 punktis on vaja tõmmata puutuja, et see läbiks punkti M ( 1 ; 1 ) ? Vastus: ( 2 ; 0 ) ja ( 0 ; 6 ) h) Antud on joon y = sinx + 1 Leidke koordinaattasandi esimese veerandis punktid, kus joone puutuja on 1) paralleelne sirgega y = x 3 ; 1
0 teljega nurga 45 ? Vastus: ( 2 ; 8/3 ) ja ( 3 ; 3,5 ) 3 f) Millises punktis M0 on kõvera y = 2x 2 puutuja risti sirgega 4x + 3y + 2 = 0? 1 1 ; ) Vastus: ( 8 16 g) Millisesse kõvera y = x2 -5x +6 pnktis on vaja tõmmata puutuja, et see läbiks punkti M ( 1 ; 1 ) ? Vastus: ( 2 ; 0 ) ja ( 0 ; 6 ) h) Antud on joon y = sinx + 1 Leidke koordinaattasandi esimese veerandis punktid, kus joone puutuja on 1) paralleelne sirgega y = x 3 ; 1 2)risti sirgega y = -2x -1 Vastus: 1) ( 0 ; 1) 2) ( 3 2 f x ax 2 3x b
ii. Funktsiooni esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse X-na kirjeldus y=x² . Analüütiliselt antud funktsiooni loomulikuks X-ks nim x-i kõigi nende väärtuste hulka, mille korral funktsiooni avaldis on täielikult määratud. f. Funktsiooni graafiku mõiste Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Funktsiooni f graafiku definitsioon on . (JOONIS) Graafiku punkti P koordinaati f(x) võib tõlgendada P kõrgusena x-telje suhtes. Kui f(x)>0, siis on graafiku kõrgus positiivne, st graafik on ülalpool x-telge. Kui f(x)<0, siis on graafiku kõrgus negatiivne, st graafik on allpool x-telge. g. Graafiku omadused g.i. Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis. See tuleneb funktsiooni ühesusest. g.ii
2. x = - + + 2n = 0,5 + 2n = 0,5 ( 1 + 4n ) , n Z 4 4 Võrrandi lahendid on x = ( 1 + 2n ) , n Z ; x = 0,5 ( 1 + 4n ) , n Z Kontroll: Kui n = 0, siis x1 = ( 1 + 2 0) = ; x2 = 0,5 ( 1 + 4 0 ) = 0,5 sin - cos = 0 - ( -1) = 1 v = p sin 0,5 - cos 0,5 = 1 - 0 = 1 v = p Lahendid on x1 = ; x2 = 0,5 3) Lahendame võrratuse f (x) > 0 lõigus [0; ] . Võrratuse võib lahendada graafiliselt. Selleks tuleb joonestada funktsioonide y = sinx ja y = cosx graafikud lõigul [0; ] . Võrratuse sinx > cosx lahendamiseks tuleb leida sellised argumendi x väärtused, mille korral funktsiooni y = sinx graafik asub ülevalpool funktsiooni y = cox graafikut. Leiame graafikute lõikepunkti abstsissi. Graafikute lõikepunkti võib leida ka jooniselt. Lõigus [0; ] saab x väärtuseks olla ainult 450. x = 450 = . Täpsema tulemuse saamiseks võib lahendada võrrandi sin x cos x = 0. 4
Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb kõikvõimalikest punk- tidest P = (x,f(x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb läbi kogu määramispiirkonna X. Seda joont nimetataksegi funtsiooni f graafikuks. Seega, lühidalt kirjutades on funktsiooni f graafiku definitsioon järgmine: G = {P = (x,f(x))||x X}. Graafiku punkti P teist koordinaati f(x) võib tõlgendada P "kõrgusena" x- telje suhtes. Kui f(x) > 0, siis on graafiku "kõrgus" positiivne, st graafik paikneb ülalpool x-telge. Kui aga f(x) < 0, siis on "kõrgus" negatiivne, st graafik jääb x-teljest allapoole 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x).
Mata eksami küsimused ja vastused 1. Funktsiooni mõiste. Määramispiirkond ja muutumispiirkond. Kolme põhilise elementaarfunktsiooni graafikud. - y=f(x), on eeskiri, mis seab ühe muutuja (sõltumatu muutuja ehk argumendi) igale väärtusele vastavusse teise muutuja (sõltuva muutuja) kindla väärtuse. - Argumendi väärtuste hulk on funktsiooni määramispiirkond X ja funktsiooni väärtuste hulk on funktsiooni muutumispiirkond Y. 2. Funktsioonide liigitus paarisfunktsiooniks ja paarituksfunktsiooniks. Kaks tuntumat paarisfunktsiooni ja kaks tuntumat paaritutfunktsiooni. - Kui terves määramispiirkonnas kehtib funktsiooni f(x) jaoks võrdus f(-x)=f(x), siis on tegemist paarisfunktsiooniga. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. f(x)=x2, sest (-x)2=x2 f(x)=cosx, sest cos(-x)=cos x - Kui terves määramispiirkonnas kehtib funktsiooni f(x) jaoks võrdus f(-x)=-f(x), siis on tegemist paaritu funktsiooniga. Gr
ristkoordinaadistikus. Olgu antud funktsioon f, mille argument on x, sõltuv muutuja y ja määramispiirkond X. Kanname tasandile ristuvad x- ja y- teljed. Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb kõikvõimalikest punktidest P = (x, f(x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb läbi kogu määramispiirkonna X. Graafiku omadused. Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis. Juhul, kui vaadeldav funktsioon on mitmene, siis eksisteerib vähemalt üks y-teljega paralleleelne sirge, mis lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Astmefunktsioon. Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste
reas (veerus) ja neile vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsiooni analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Funktsiooni graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistukus. Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis 3. Def. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x)=f(x). Def. Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x)=-f(x). Def. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub constant C>0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x+C)=f(x). Väikseimat sellist konstanti nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Def
reas (veerus) ja neile vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsiooni analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Funktsiooni graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistukus. Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis 3. Def. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x)=f(x). Def. Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x)=-f(x). Def. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub constant C>0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x+C)=f(x). Väikseimat sellist konstanti nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Def
läheneb arvule b. Parempoolse piirväärtuse kirjutusviis on: lim(xa+) f(x) = b või f(x) b kui xa+ 5. Lõpmata väikesed ja lõpmata suured suurused. Def. Muutuvat suurust ehk funktsiooni (x) nim. lõpmata väikeseks suuruseks piirprotsessis xx0, kui lim xx0 (x)=0. Lõpmata väikest suurust nim. ka hääbuvaks suuruseks. Asjaolu. et (x) on lõpmata väike suurus piirprotsessis xx0, tähistatakse ka kujul (x)=o(1) (xx0). Näide. Funktsioonid x, x kuubis, sinx, 1-cosx, e astm x miinus 1 ja ln(1-x) on piirprotsessis x0 lõpmata väikesed suurused, sest lim x0 x=0, lim x0 x kuubis =0, lim x0 sinx=0, lim x0 (1-cosx)=0, lim x0 (e astm x miinus 1)=0, lim x0 ln(1- x)=0. Definitsioon2. Muutuvat suurust (x) nim. lõpmata suureks suuruseks piirprotsessis xx0, kui lim xx0 (x)=. LSS nim. ka vohavaks suuruseks. Näide. Suurused 1/x, 1/x kuubis, 1/sinx, 1/ (1-cosx), 1/(e ast x miinus 1) ja 1/(ln(1-x)) on piirprotsessis xx0 lõpmata suured, sest lim x0
Käänukoht F''(x)=0 1. Leia funktsioonide tuletised 2 - 3x 1) y=2x5-3,8x4+x2-2 2) y = x -1 3)y=(x+1)sinx-x cos x 4)y=2tanx lnx 5)y=xsinx 6) y=cos 2x- sin2x 3 - 2x + x 2 7)y=tanx cosx 8) y = 9) y=sin2x x 2 x -1 2. Leia funktsiooni y= kasvamis ja kahanemispiirkonnad ja 1 - 3x ekstreemumpunktid. Määra ka nende liik. 3. Leia parabooli haripunkti koordinaadid y= 7x2+4x. 4
reaalarv y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud FUNKTSIOON ja seda tähistatakse y = f(x). DEFINITSIOON 2. Muutuja x väärtuste hulka, mille puhul f(x) väärtus on lõplik, nimetatakse funktsiooni y = f(x) MÄÄRAMISPIIRKONNAKS. X = { x R; f(x) väärtus on lõplik}. PÕHILISED ELEMENTAARFUNKTSIOONID: 1. Astmefunktsioonid: y = x , Q; 2. Eksponentfunktsioonid: y = ax, a > 0, a 1; 3. Logaritmfunktsioonid: y = loga x, a > 0, a 1; 4. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x; 5. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. 2 LIITFUNKTSIOON DEFINITSIOON 1. Funktsiooni, mille argumendiks ei ole sõltumatu muutuja, vaid tema mingi funktsioon, nimetatakse LIITFUNTSIOONIKS sõltumatu muutuja suhtes. z = g(y) = g(f(x)). PÖÖRDFUNKTSIOON DEFINITSIOON 2. Kui funktsiooni y = f(x) korral x = (y),
Põhiseosed : Kui sinx=m, siis x=(-1)n arcsinm + n, sin 2 + cos 2 = 1 kus n Z sin tan = cos Kui cosx=m, siis x=±arccosm + 2n, tan · cot = 1 kus n Z 1 1 + tan 2 = Kui tanx=m, siis x=arctanm + n, kus n cos 2 Liitmisvalemid : Z sin( ± ) = sin cos ± cos sin Viete'I teoreem ax2+bx+c=0 cos( ± ) = cos cos sin sin x1+x2=-b, x1*x2=c tan ± tan sin( ± ) tan( ± ) = = 1
Valemid, teoreemid, seosed, tunnused, tingimused MATEMAATIKA EKSAMIL XI KLASSIS 1) a2-b2 = (a+b)(a-b) 2) a3 + b3=(a+b)(a2-ab+b2) 3) a3 - b3=(a-b)(a2+ab+b2) 4) (a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3 5) (a-b)3 =a3-3a2b+3ab2-b3 −b ± √ b2−4 ac 2 6) a) lahenda ax + bx+c =0 2a b) tegurda : ax2 + bx+c= a( x− x1 )( x−x 2) c) tegurda ax3 + bx2+ax+b= x2(ax+b)+ax+b = (ax+b)(x2+1) 7) lim an bn lim an lim bn n n n 8) lim an bn lim an lim bn n n n 9) lim anbn lim an lim bn n n n an 10) lim lim an lim bn n bn n n 11) Korrutise tuletise sõnastus ja valem (u * v ) ´ = Korrutise tuletis võrdub esimese teguri tu
puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse paarituks funktsiooniks. II. Perioodilised funktsioonid Def. Niisugust funktsiooni f (x), mis rahuldab tingimust f (x+t) = f (x) (t 0) iga x ja x t + puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse perioodiliseks funktsiooniks, vähimat arvu t aga funktsiooni f (x) perioodiks. 4. Elementaarsed põhifunktsioonid (astmefunktsioon, eksponentfunktsioon, logaritmfunktsioon, trigonomeetrilised funktsioonid, arkusfunktsioonid). Nende funktsioonide definitsioonid, määramispiirkonnad, graafikud). Liitfunktsioon. Astmefunktsioon: y = x ,kus on reaalarv a · Eksponentfunktsioon: y = a , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, x · a 1) y = log a x
ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. 2) Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 3) Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis. See omadus tuleneb otseselt funktsiooni ühesusest. Tõepoolest: kui leiduks y-teljega paralleelne sirge, mis lõikaks graafikut mitmes punktis, siis oleks funktsiooni graafikul vaadeldavas kohas mitu "kõrgust", seega oleks ka funktsioonil ühe argumendi korral mitu väärtust. (Ühesel) funktsioonil ei saa aga mitut väärtust olla. Juhul, kui vaadeldav funktsioon on mitmene, siis eksisteerib vähemalt üks y-
1.4. Leia funktsiooni f(x) väärtus, kui x = 10 cos 4 2. On antud funktsioon y =x 3 -5x 2 . Leia selle funktsiooni 2.1. nullkohad; 2.2. positiivsus- ja negatiivsusvahemikud; 2.3. ekstreemumkohad, nende liik ning ekstreemumpunktid; 2.4. kasvamis- ja kahanemisvahemikud; 2.5. skitseeri selle funktsiooni graafik; 2.6. graafikule puutuja punktis, mille abstsiss on 5. 3. Antud on funktsioonid f(x) = sin2x ja g(x) = sinx. 3.1. lahenda võrrand f(x) = g(x) lõigul [0;2] ; 3.2. joonesta ühes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) ja g(x) graafikud lõigus [0;2] ; 3.3. leia joonise abil x väärtused, mille korral f(x) < g(x) 4. Kalju äärne maatükk tuleb jagada ristkülikukujuliselt kahte võrdsesse ossa nii et nende pindala oleks maksimaalne. Leia maatükkide mõõtmed, kui traadi pikkus on 600 m. 5. Antud on funktsioonid f(x) = 3 x ja g(x) = 2 5.1
OMADUSED KOOSINUSFUNKTSIOONI y=cos x graafik saavutab maksimaalse väärtuse 1 punktides, kus x koordinaat on ...,-2, 0, 2, 4,... NEED ON SELLE FUNKTSIOONI MAKSIMUMKOHAD. OMADUSED KOOSINUSFUNKTSIOONI y=cos x graafik saavutab minimaalse väärtuse -1 punktides, kus x koordinaat on ..., -, , 3, 5... NEED ON SELLE FUNKTSIOONI MIINIMUMKOHAD. OMADUSED KOOSINUSFUNKTSIOON y=cos x ON TÕKESTATUD FUNKTSIOON. ÜLESANNE Kirjuta koosinus- Kirjuta koosinus- funktsiooni graafikut funktsiooni graafikut kasutades välja kaks kasutades välja kaks positiivsuspiirkonda ja kasvamisvahemikku ja kaks negatiivsus- kaks kahanemis- piirkonda! vahemikku! SOOVIN EDU!
Trigonomeetrilised võrrandid Kordamine (lai matemaatika) 1. Trigonomeetrilised põhivõrrandid Näide: sin x = 0,3342 arcsin 0,3342 = 19,5 0 Vastus : x = ( - 1) 19,5 0 + n 180 0 , n Z n Näide: Lahenda võrrand lõigul - 90 ;90 0 0 [ ] 2 cos 3 x + 2 = 0 3x = ±135 0 + n 360 0 , n Z : 3 n = 1 x = ±45 0 + 1 120 0
Nurga alghaaraks on seejuures x-telje positiivne osa. 28. Arcsina- Siinuse poordfunktsioon, leiab nurga, mille siinus on antud. x=(-1)narcsinx+k 29. Arccosa- x= +,- arccosx+2k 30. Arctana- x= arctanx+k 31. Perioodiline funktsioon- · Funktsiooni y=f(x) , mis rahuldab tingimust f(x+p)=f(x), kus p0 iga x korral määramispiirkonnas X nimetatakse perioodiliseks funktsiooniks. Arvu p nimetatakse seejuures funktsiooni perioodiks. · Trigonomeetriliste funktsioonide perioodid · Sinx ja cos x ---- 2 tanx ja cotx ---- · Perioodi leidmiseks tuleb võrdusest f(x+p)=f(x) määrata p, st lahendada vastav võrrand p suhtes · Leiame funktsiooni y=sin3x perioodi. 6x + 3 p 3p 2 cos sin =0 · 2 2 sin3(x+p)=sin3x; sin3(x+p)-sin3x =0 32. Ühe ja sama mõiste kahe omaduse tarvilikkuse ja piisavuse seos, näide · Ühe omaduse eksisteerimine või puudumine toob kaasa teise omaduse
Väärtuste hulk - Y={ f(x) || x X } Funktsiooni esitamine tabelina Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas ja neile vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas. Võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsiooni analüütiline esitusviis valemi kujul. Funktsiooni graafiline esitusviis esitatakse graafikuna tasandi ristkoordinaadistikus. Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis. Paaris- ja paaritud funktsioonid - Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Kasvavad ja kahanevad funktsioonid
Esimese kollokviumi (teooriatöö) kordamisküsimused 1. Tõkestatud hulga mõiste. Ülalt/alt tõkestatud hulga mõiste. Tuua näide. Definitsioon: Hulka X nimetatakse tõkestatud hulgaks, kui X on ülalt ja alt tõkestatud. Definitsioon :Kui leidub niisugune reaalarv M, et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x ≤ M, siis öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Definitsioon :Kui leidub niisugune reaalarv m, et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x≥m, siis öeldakse, et hulk X on alt tõkestatud, kusjuures arvu m nimetata
.., yn korral on kas W(x) = 0 x (a, b) korral või W(x) 0 kõigi x (a, b). Wronski determinant:Olgu suurused y1(x);y2(x)..yn(x) (1h) lahendid ,st nad on n korda diferentseeruvad vahemikus (a,b). Sel juhul võimalik moodust determnt: W(x) =|y1(x) y2(x) ... yn(x) |y'1(x) y'2(x) ... y' n(x) |... |y1(n-1)(x) y2(n-1) (x) ... yn(n-1)(x)** Nii defineerides saab W det. **Nt. Vaat fne y1=1, y2=sin2x, y3=cos 2x. Moodust W det** W(x) =1 sin2x cos 2x | 0 sin2x -sin2x = -2sin2xcos2x+2sin2xcos2x=0 | 0 2cos2x -2cos2x| =1*sinx(-2*cos2x)+sin2x*2cosx*(-sinx)*0+cos2x*0*2cos2x- 0*2sinxcosx*cos 2x-2cos2x*2cosx*(-sinx)*1-(-2)*cos2x*0sin2x=0 **** I Tõest kui funktsioonid on lin sõltuvad (wronskiga)),ss kehtib seos (*) y1,y2,..yn on lin. Sõltuvad, st @1y1+...+@nyn=0 *tahame näidata et W(x)=0 x (a;b)
>0 korral leidub *Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka niisugune arv >0, et kehtib võrratus |f(x)-a|<, alati kui 0<|x-a|<. Ja määramispiirkonna kirjeldus. *Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse kirjutatakse limf(x)=A (xa). graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus.Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab 18.Funktsioonil f on vasakpoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis. x a-, mis rahuldab tingimust x a ja funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule 6. Funktsioonide liigid. Näited. b. Vasakpoolse piirväärtuse kirjutusviis on või f(x) b kui xa-. *Paaris- ja paaritud fun. Fun f nimetatakse paarisfun kui iga x X korral kehtib v Funktsioonil f on parempoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis o rdus f(-x) = f(x)
3) Kolmnurgas ABC olgu C 90 , A ja AB=2. Tõestage, et kolmnurga ABC pindala võrdub väärtusega f . 4) Leidke nurk nii, et eelmises punktis antud kolmnurga pindala väärtus oleks 1. 21. (20.05.2003, II, 15 punkti). Antud on funktsioon f x cos 2 x lõigul 0;2 . 1) Lahendage võrrand f x . 1 2 2) Joonestage funktsiooni y cos2x graafik ja kandke eelmises punktis leitud lahendid joonisele. 3) Kolmnurgas ABC olgu C 90 , B ja AB=1. Tõestage, et kolmnurga ABC kaatetite summa võrdub väärtusega f . cos sin 1 4) Leidke nurk nii, et eelmises punktis antud kolmnurga pindala oleks võrdne .
1.1 Funktsioon DEF 1. Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud funktsioon f, tähistatakse y=f(x) DEF 2. Kui hulga X c R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y c R, siis öeldakse, et hulgal X on määratud ühemuutuja funktsioon f. [(x, y) I xX ja y=f(x)] DEF 3. Kui hulga X igale elemendile on vastavusse seatud vähemalt üks hulga Y element ja vähemalt ühele hulga X elemendile on vastavusse seatud mitu elementi hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud mitmene funktsioon f. DEF 4. Funktsioonide y=f(x) (xX) ja z=g(y) (yY ja f(X) c Y) liitfunktsiooniks ehk superpositsiooniks nimetatakse funktsiooni z=g(f(x)). DEF 5. Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes nim. paarisfunktsiooniks, kui f(-x)=f(x) DEF 6. Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes nim. paarituks funktsiooniks, kui f(-x)=-f(x) DEF 7. Funktsiooni
g[f(x)] = x ; f[g(y)] = y
· Funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikud on sümmeetrilised sirge y=x
suhtes
· Logaritmifunktsioon on eksponent funktsiooni y=a x pöördfunktsioon. x=logay
kus a on logaritmi alus. y=log ax määramispiirkond X=(0, ) väärtuste kulk Y=R.
Graafik on juhtudel a>1 ja 0
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
