Lineaarvõrrand Matemaatikud ütlevad: Lineaarvõrrand ehk esimese astme võrrand on elementaaralgebras võrrand, mis saadakse kahe lineaarfunktisooni võrrutamisel Maakeeli: Lineaarvõrrandid on põhimõtteliselt kõik võrrandid, kus pole, ruute, juuri, siinuseid ega muud sellist kraami, mis asja keeruliseks teevad. Lineaarvõrrandid, milles on üks tundmatu (üldjuhul x), on lahendatavad koheselt arvutades. Lineaarvõrrandid millel on kaks tundmatut (üldjuhul x ja y) on lahendatavad graafikuga. Lineaarvõrrandite näited: 3x + y - 5 = -7x +4y + 3 2x - 3y + 1 = 3 x + 2y + 1 = 2x -4x - 3 = x + 1 6x + y - z + 1 = 3x + z Ühesõnaga mõlemal pool võrdusmärki on mingisugune lineaarne värk millele saab sirget graafikut joonistada, ka sellised murdudega võrrandid võib lineaarseteks lugeda millel on tundmatu murru lugejas, sest ka neil on sirged graafikud. Ühe tundmatuga lineaarvõrrandite lahendamine: https://www.youtube...
Kahe tundmatuga lineaarvõrrand TSG Võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrand sisaldab kahte esimeses astmes olevat tundmatut · Üldkuju: ax + by = c · x ja y on tundmatud · a, b ja c on arvud ehk võrrandi kordajad · Näiteks 2x 3y = 5 -7x + 5y = -12 Võrrandi lahend · Võrrandi lahendiks on järjestatud arvupaar, mille korral võrdus on tõene · Selliseid arvupaare on lõpmata palju Näiteks: võrrandi 2x y = 5 lahendiks on arvupaarid (2; -1), (5; 5), (4; 3), (1; -3) jne. Sirge võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi
arvu või muutujat sisaldava avaldise (mis omab mõtet võrrandi kogu määramis- piirkonnas), see annab sisuliselt teisenduse, mida tuntakse kui võrrandi liikmete teisele poole võrdusmärki viimist muutes samal ajal liikmete märgid vastupidisteks; 3) võrrandi mõlemat poolt võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga või muutujat sisaldava avaldisega, mis ei võrdu nulliga muutuja ühegi väärtuse korral LINEAARVÕRRAND Lineaarvõrrand (ehk esimeseastme algebraline võrrand)- võrrand, milles tundmatu suurim astendaja (peale lihtsustamisi) on 1 ja kus ei esine tundmatuga jagamist. Iga lineaarvõrrandi saab teisendada kujule ax + b = 0 või ax = b (x on tundmatu; a ja b on arvud). Lineaarvõrrandi lahendiks on Kui a = 0 ja b 0, st. võrrand on kujul 0 x b , siis võrrandil lahendid puuduvad. Kui a = 0 ja b = 0, st. võrrand on kujul 0 x 0 , siis sobib võrrandi lahendiks mistahes reaalarv. Näide 1
Põhioskused · Lineaar-, ruut- ja murd- ja nendeks taanduvate võrrandite ning võrratuste lahendamine; · kahest kahe tundmatuga lineaarvõrrandist koosnevate võrrandisüsteemide ja lihtsamate ruutvõrrandisüsteemide lahendamine; · ühe tundmatuga lineaarvõrratuste süsteemide lahendamine; · tekstülesannete lahendamine võrrandi ja võrrandisüsteemi abil. Valemid b · Lineaarvõrrand ax + b = 0 x=- a · Ruutvõrrand 2 p p x + px + q = 0 x 1;2 = - ± - q 2 2 2 x 1 + x 2 = -p ja x 1 x 2 = q ( Viete´i valemid) - b ± b 2 - 4ac ax 2 + bx + c = 0 x 1;2 = 2a
Ühe tundmatuga lineaarvõrrand ja lineaarvõrratus II. Võrrandite samaväärsus ja põhiomadused 1. Võrrandiks nimetatakse võrdust, mis sisaldab tundmatut suurust ehk tundmatut. Millistel juhtudel on tegemist võrrandiga : a) x - 1 = 1 .................. d) 4 - 7 + 14 = 11 ......... g) 13x - 2y - 24 = 0 ......... b) 3x + 4 = 4 ............... e) 2x - 2x = 6 - 6 .......... h) 21 + 12 - 14 - 7 .......... c) 5x - 4 + 2 = 5x .......... f) 7x + 3 = 7y - 9 ........... i) 3x +4y - 7 - 13 ............. 2. Vii võrrandi kõik liikmed vasakule poole ja koonda sarnased liikmed: a) 12x - 7 = 3x + 5 d) 4x + 13 = x + 21 g) 6y - 14 = 8y - 14 ........................ ........................ ........................ b) 7x + 8 = 5x + 9 e) 3x + 19 - 7x = 23 h) 4x + 16 = 5y - 16 ........................ ........................ ...
6. Ratsionaalavaldise lihtsustamine - Tehete järjekord 6. Murdvõrrandi lahendamine 1. Viiakse kõik liikmed vasakule poole ja võrdsustatakse nulliga. 2. Tegurdatakse nimetajad. 3. Leitakse ühise nimetaja ja korrutatakse mõlemad võrrandi pooled läbi ühise nimetajaga. 4. Selgitatakse välja mis kindlasti lahendiks ei sobi. (Nimetaja ei saa võrduda nulliga.) 5. Leitakse laiendajad. 6. Lahendatakse saadud ruutvõrrand või lineaarvõrrand. 7. Võrreldakse saaduid ruutvõrrandi lahendeid ühise nimetajaga. 8. Kontroll esialgse võrrandi järgi. 9. Vormistatakse vastus.
Uued mõisted ja valemid Kahe tundmatuga lineaarvõrrand: 1) pooled vahetada- ei muutu ükski märk 2) „Iga roju oma koju“- üksikuid liikmeid võib viia ühelt võrdusmärgi poolt teisele, selle liikme ees olev märk muutub. 3) sarnased liikemd koondada. 4) korrutada või jagada võrrandi mõlemad pooled nullist erineva arvuga Kahe tundmatuga võrrandi normaalkuju on: esimesel kohal tähestikus eespool oleva tähega liige, teisel kohal tähestikus tagapool oleva tähega liige ja paremal pool võrdusmärki vabaliige. Muutuja avaldamine:
Sündmuse tõenäosus on arv , mis iseloomustab sündmuse toimumise võimalikkust antud tingimustel. Variatsiooni ulatus Variatsiooni ulatus on tunnuse suurima ja vähima väärtuse vahe Sulgude avamine Sulgude avamisel kasutatakse korrutamise jaotuvuse seadust. Miinus märk sulu ees muudab märgi sulu sees. Sarnaste liidetavate koondamine Sarnased liidetavad erinevad üksteisest kordaja poolest või ei erine üldse Sarnaste liidetavate liitmist nimetatakse koondamiseks. Ühe tundmatuga lineaarvõrrand ja lineaarvõrratus Võrrand on võrdlus mis sisaldab tundmatut Võrrandi lahendiks on kõik tundmatu väärtuse mille korral võrdus muutub tõeseks Kõik lahendid kokku moodustavad võrrandi lahendihulga Lahendihulga leidmist nimetatakse võrrandi lahendamiseks Kaht võrrandit mis sisaldavad samu tundmatuid nimetatakse sama väärseteks kui nende lahendi hulgad on võrdsed
Murd , mille lugeja on nimetajast väiksem on __18__ . Murru taandamine on __19____ . Murru laiendamine on __20____ . Nurk , mis on suurem täisnurgast ja väiksem sirgnurgast nim ___21___ . ___22___ on täisnurgast väiksem. Kaht nurka , millel on üks ühine haar ja teised haarad moodustavad sirge nim __23__ . Tippnurgad on ___24__ ja ____25___ kõrvunurgad . 26. Mis on hulkliige? 27.Mis on arvuabsoluut väärtus ? 28. Mis on hüpotenuus ? 29. Mis on võrrand ? 30. Mis on lineaarvõrrand ? 31.Mis on sirgnurk ? Seleta mõisted . 32.KKK 33.KNK 34.NKN Vastused . 1.lõikuvateks sirgeteks 27.arvu kujutleva punkti kaugust arvteljel null punktist 2. ristuvateks sirgeteks 28.täisnurkse kolmnurga vastas asetsev külg 3. Paralleelsed sirged 29. tundmatud sisaldav võrdus 4. kõrguseks 30.esimese astme võrrand 5. täisnurkseks kolmnurgaks 31.nurk , mille haarad moodustavad sirge 6.eriküljeline kolmnurk 32.kui ühe kolmnurga kolm külge on võrdsed teise kolmnurga kolme küljega
a-n = 1/an a0 = 1 a1 = a 2. Lihtsustamine Abivalemid (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 (a-b)2 = a2-2ab+b2 a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) a2-b2 = (a+b)(a-b) a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) (a+b)3 = a3+a2b+ab2+b3 (b-a) = -(a-b) 3. Võrrandid ja võrrandisüsteemid Lineaarvõrrand Muutujaga liikmed ühele, vabaliikmed teisele poole. Näide: 2(x+2) + 3 = 5x -2 -> 2x + 4 + 3 = 5x 1 -> -3x = -9|:(-3) -> x=3 Ruutvõrrand Erinevad lahendusvõtted: ax2 +bx+c=0 1) Klassikaline lahendivalem 2) Taandatud võrrandi lahendivalem x2+px+q=0 (ruutliikme kordaja peab olema a=1) 3) Viete'i teoreem (ruutliikme kordaja peab olema a=1)
Olulisim testide mõõtmisvõime kriteerium reliaabluse ja valiidsuse väljendamisel. Kõige sagedamini esitatud Pearsioni lineaarse koefitnsendina. Praktiline väljund on ennustamine (x tulemusest tuletame võimaliku Y väärtuse). Vahemik on -1 kuni +1. seos valimis uuruse ja seose usaldusväärsuse vahel - Regressioonanalüüs – muutujatevahelise seoste kasutamine tulemuste prognoosimiseks. Regressioonvõrand on lineaarvõrrand mis ennutab et Xi suurenemise ühe võrra suureneb Y b-ühiku võrra. Normid kui interpreteerimise alus. Normgrupp ja selle omadused. - Norm on standard millega testis saadud skoore võrreldaks nt saame öelda kas ühe indiviidi tulemus on kõrge, madal saab öelda ainult kellegi või millegi suhtes! Igal üksikul juhul tuleb defineerida normgrupp, valim peab maksimaalselt sarnanema populatsioonile kellel norma rakendatakse Normskooride esitusviisid
sy sx Sirge sihivektoriks nimetatakse iga vektorit, mille siht langeb kokku sirge sihiga. Näide. Koosta sirge võrrand, kui sirge sihivektor on koordinaatidega (4;-1) ning sirge läbib punkti P(3;-2). x 3 y 2 4 1 ( x 3) 4( y 2) .... y 0,25 x 1,25 y 0,25 x 1,25 Sirge üldvõrrand ...... on lineaarvõrrand kujul Ax + By + C =0, kus A, B ja C on konstandid ning A ja B ei võrdu korraga samaaegselt nullidega Näide Teisenda üldkujuline võrrand tõusu ja algordinaadiga võrrandi kujule ja tee joonis. 3x 2 y 4 0 y 1,5 x 2 y 1,5 x 2
LINEAARVÕRRANDID ja VÕRRATUSED LINEAARVÕRRAND - võrrand, milles tundmatu suurim astendaja (peale lihtsustamisi) on 1 ja kus ei esine tundmatuga jagamist. Iga lineaarvõrrandi saab teisendada kujule ax + b = 0 või ax = b (x on tundmatu; a ja b on arvud) Lineaarvõrrandi lahendamisel kasutatakse võrrandi põhiomadusi ning viiakse võrrand järjest lihtsamale kujule. Soovitatav teisenduste järjekord oleks seejuures: 1. Kui võrrand sisaldab murde, vabanetakse murdudest, korrutades võrrandi pooled läbi nimetajate vähima ühiskordsega. 2. Kui võrrand sisaldab sulge, siis avatakse sulud. 3. Kui võrrand ei sisalda murde ega sulge, viiakse kõik tundmatuga liikmed võrrandi vasakule ning kõik arvud võrrandi paremale poolele. 4. Kui vastavad liikmed on õigele poole viidud, koondatakse võrrandi vasakul ja paremal poolel olevad liikmed (võrrand saab kuju ax = b). 5. Kui võrrand on kujul ax = b, siis jagatakse võrrandi pooled tundmatu ees oleva arvuga (a...
Tehted ratsionaalarvudega Paremale 2. Kaks erimärgilist arvu 5. Kui jagatis on positiivne ja jagatav negatiivne, siis jagaja on Alla 1. Kui jagatis on negatiivne ja jagatav positiivne, siis jagaja on 3. Vastandarvude summa on võrdne 4. Kaks ühemärgilist arvu 5. Kui mitme arvu korrutis on negatiivne, siis negatiivseid tegureid on 6 Lineaarvõrrand Leia 13 sõna. Sõnad, mis ei sobi loetelusse, lisa lünkadesse L S R ON E L I RÜ T E T A U A B A N V ÄA G A A J H THN O ÄN I E N L I N EAA R L I I G E L A N Ü NMM L E D T V I D K O R D A J AD K Õ NG G I I B A R NL G R N I M I A U L MÄV Õ R AD U V R A K D I Ä R A U T A MD N U T ENM N DU R E A A J A NA E D
Lineaarvõrrandi lahendamine. Ruutvõrrandi lahendamine Lineaarvõrrand Ühe tundmatuga lineaarvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax + b = 0, kus a 0 ja b on antud arvud ja tähega x on tähistatud tundmatut. Seejuures nimetatakse korrutist ax lineaarliikmeks ja b vabaliikmeks. Näiteks on lineaarvõrrandid vabaliige lineaarliige 2 x 3 0, (tundmatu on tähistatud tähega x) 5 z 0, (tundmatu on tähistatud tähega z, vabaliige b = 0)
nimetatakse ühe tundmatuga lineaarvõrrandiks. Lineaarvõrrandi lahendamise skeem: 1) Avada sulud või korrutada ühise nimetajaga. 2) Viia muutuja liikmed e. Lineaarliikmed vasakule ja vabaliikmed paremale. 3) Jagada rida lineaarliikme kordajaga. 4) Teha kontroll. 5) Kirjutada vastus. 1. Hulkliikmete korrutamine 1.1. Kahe hulkliikme korrutamisel tuleb ühe hulkliikme iga liige korrutada teise hulkliikme iga liikmega ja tulemused liita. 2. Kahe tundmatuga lineaarvõrrand 2.1. 6-7x+3=8-x - Ühe tundmatuga 3x-6+y=x-4-y - Kahe tundmatuga 1.1) Pooled vahetdada- ükski märk ei muutu. 1.2) ,, Iga roju oma koju" üksikuid liikmeid võib viia ühelt poolt teisele- selle liikme ees märk muutub. 1.3) Koondada sarnased liikmed. 1.4) Korrutada või jagada mõlemad võrrandi pooled nullist erineva arvuga. 2.2
174 000 105 000 x= 105 000 * 246 000 = 148 448,3 246 000 x 174 000 2. Maksimum-miinimum meetodi abil leida hoolduskulude seosvõrrand a) muutuvkulude määr= 246 000 174 000 = 72 000 / 30 000 = 2,4 eur/h 90 000 60 000 b) Pk max = 246 000 90 000 * 2,4 = 30 000 Pk min = 174 000 60 000 * 2,4 = 30 000 c) seosvõrrand: 30 000 + 2,4 * masinatunnid(h) 3. Koostada üldkulude lineaarvõrrand kujul y = a+bx (a-püsikulud, b-muutuvkulud) NB: SEE ON KAHTLANE, KUNA EI SUUTNUD LINEAARVÕRRANDIT ÄRA TUNDA. IDEELISELT PEAKS TA SELLINE OLEMA Lisamaterjalid(muutuvkulu ) 48000 0,28 b Palgad(püsivkulu) 21000 0,12 a Hoolduskulu(segakulu) 105000 0,60 c y=0,12a + 0,28b + Kokku 174000 1 y x(hoolduskulu) 4
koondada. ÜLESANNE 1 KOONDA SARNASED LIIDETAVAD 1) 5a-6a+7b+b= 2) 4a-24a+15b= 3) 4(25+15a)= 4) 4(-1-5a)+30a-15b= ÜLESANNE 1: VASTUSED 1) VASTUS: 5a-6a+7b+b=-1a+8b 2) VASTUS: 4a-24a+15b=-20a+15b 3) VASTUS: 4(25+15a)=100+60a 4) VASTUS: 4(-1-5a)+30a-15b=-4+10a-15b 3.4 VÕRRANDITE SAMAVÄÄRSUS Võrrand – tundmatut sisaldav võrdus 2x – 5 = 3 ühe tundmatuga lineaarvõrrand Võrrandi lahend – arv, millega tundmatut asendades saadakse võrrandist tõene võrdus Võrrandi lahendamine – võrrandi lahendi leidmine Võrrandi lahendamisel tuleb tihti võrrandit mitmel moel teisendada (sulgude avamine, sarnaste liidetavate koondamine jm). Seejuures ei tohi võrrandi lahend muutuda. Iga uus võrrand, mis teisendamisel saadakse, peab olema antud võrrandiga samaväärne. Kahte sama tundmatuga võrrandit, millel kõik lahendid on samad, nimetatakse
Korrapärane prisma püstprisma, mille põhi on korrapärane hulknurk. 41. Korrapärane püramiid püramiid, mille külgservad on võrdsed ja põhjaks on korrapärane hulknurk. 42. Kraad ringjoone kaare või vastava kesknurga mõõtühik. 43. Kuup 1. risttahukas, mille kõik servad on võrdsed. 44. Kõõl joone kaht punkti ühendav lõik. 45. Lineaarfunktsioon kahe suuruse x ja y vaheline seos kujul y = ax + b ; ax on lineaarliige, b vabaliige; graafik on sirge. 46. Lineaarvõrrand võrrand, milles tundmatud on ainult esimeses astmes. 47. Lõpmatu kümnendmurd kümnendmurd, mille ükski numbrikoht pole viimane. 48. Lähisküljed ühest ja samast tipust lähtuvad hulknurga küljed. 49. Mediaan kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga ühendav lõik. 50. Minut ringjoone kaare või vastava kesknurga mõõtühik. 51. Mittetäielik ruutvõrrand ruutvõrrand, mis esitub kas kujul ax2+c=0 või kujul ax2+bx=0 või hoopis kujul ax2=0. 52
x1 = 3 x2 = -3 3 3) lahend puudub Nt: x2 = -4 Lahend puudub (mitte ühegi ratsionaalarvu ruut ei ole negatiivne) Lineaarvõrrand: Lineaarvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax+b=0, kus a ja b on antud arvud ning x on tundmatu. b ax + b = 0 ax = -b | :a x=- a Näiteülesanne 1: Näiteülesanne 2: 2(x - 3) + x + 6 = 3x 17 + 5(x 2) = 5x 2x 6 + x + 6 - 3x = 0 17 + 5x 10 -5x = 0 3x - 3x - 6 + 6 = 0 7=0
juurvõrrandeid ning nendeks Üht taanduvaid võrrandeid; absoluutväärtust 4) lahendab lihtsamaid üht sisaldav võrrand. absoluutväärtust sisaldavaid Võrrandisüsteemid, võrrandeid; kus vähemalt üks 5) lahendab võrrandisüsteeme; võrranditest on 6) lahendab tekstülesandeid lineaarvõrrand. võrrandite (võrrandisüsteemide) Kahe- ja abil; kolmerealine 7) kasutab arvutialgebra determinant. programmi determinante Tekstülesanded. arvutades ning võrrandeid ja võrrandisüsteeme lahendades. Võrratuse mõiste ja Õpilane: Loodusained Võrratused. omadused
ax 2 + bx + c = a ( x - x1 )( x - x 2 ) , kus x1 ja x 2 on a b + a b = ab ( a+ b ) ruutvõrrandi ax + bx + c = 0 lahendid. 2 a- a = ( a) 2 - a = a ( a -1 ) 2.6 Võrrandid Lineaarvõrrand Murdvõrrand - võrrand, milles tundmatu ax + b = 0 esineb murru nimetajas. b Murru väärtus on null siis ja ainult siis, kui x = - , kui a 0 ; a murru lugeja on null ja nimetaja ei ole null. lahend puudub, kui a = 0 ja b 0 ;
a · Arv a on arvust b 100 % b b-a · Arv b on arvust a suurem 100 % a b-a · Arv a on arvust b väiksem 100 % b 2. Võrrandid ja võrratused b · Lineaarvõrrand ax + b = 0 x=- a 2 p p x 2 + px + q = 0 x 1;2 = - ± -q 2 2 x 1 + x 2 = -p ja x 1 x 2 = q ( Viete´i valemid) · Ruutvõrrand
4.ptk Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem 8.klass Õpitulemused Näited 1.Kahe tundmatuga lineaarvõrrand - Ül.908 normaalkuju ax+by=c, esimese tundmatuga lineaarliige ax, teise teise | 12 tundmatuga lineaarliige by ja vabaliige c; tähed a,b ja c tähistavad arve, need on laiendajad on 12;4;2;3 võrrandi kordajad; kahe tundmatuga võrrandil on samad põhiomadused, mis 48x-4(2x-5)=2(y+2)-3(2x-3y) ühe tundmatuga võrrandil 48x-8x+20=2y+4-6x+9y 48x-8x-2y+6x-9y=4-20
......................................................................... 12 II Võrrandid ja võrratused.......................................................................................................... 12 Võrrandid................................................................................................................................12 Võrrandi samaväärsus.............................................................................................................13 Lineaarvõrrand........................................................................................................................13 Ruutvõrrand............................................................................................................................13 Viete teoreem......................................................................................................................14 Biruutvõrrand..............................................................................
III 4I Lineaarvõrrandisüsteeme võib lahendada ka nii, et teisendame süsteemi võrran- Kirjutis II 2I tähendab, et teisest võrrandist lahutame kahekordse esimese deid selliselt, et saaksime rakendada liitmisvõtet. Niiviisi vabaneme järk-järgult võrrandi. tundmatutest, kuni jääb alles ühe tundmatuga lineaarvõrrand. Viimasest võrrandist saame, et z = 3. Teise võrrandi teisendame kujule Näide: Lahendame lineaarvõrrandisüsteemi y z 5 . Kuna z = 3, siis järelikult y = 2. Esimesest võrrandist leiame, et x = 1. ¦ x 2y z 3 Vastus: x = 1; y = 2; z = 3. © § 2x y z 8
3.2 Juured ………………………………………………………………. 14 3.3 Näited astendamisest ja juurimisest ………………………………… 15 3.4 Korrutamise abivalemid …………………………………………….. 17 3.5 Hulkliikme lahutamine teguriteks …………………………………... 17 3.6 Näited algebraliste avaldiste teisendamisest ………………………… 18 3.7 Lineaarvõrrand ……………………………………………………… 22 3.8 Ruutvõrrand ……………………………………………………...… 23 3.9 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine …………………………….. 23 3.10 Näiteid lineaarvõrrandite ja ruutvõrrandite lahendamisest ning ruutkolmliikmete teguriteks lahutamisest ……………………..….… 24 3.11 Determinandid …………………………………………………..….. 27 3
annaabi.ee 
