PARABOOL Parabooliga puututakse kokku juba koolimatemaatikas. Joonistatakse graafikuid, mis avanevad üles- või allapoole, mille haripunkt on koordinaatide alguspunktis või mitte, mis lõikavad x-telge või mitte jne. Järgmine joonis kirjeldab, millise tasandiga tuleb koonust lõigata, et nende lõikejoon oleks parabool. Järgnevalt vaatleme, kuidas parabool defineeritakse. Tegeleme parabooli võrrandiga, mis erineb pisut koolimatemaatikas õpitust. Lisaks joonistame paraboole, mis võivad avaneda nii üles või alla kui ka vasakule või paremale. Esitatud on nii teooria kui näiteülesanded. Iseseisvalt on võimalik läbi lahendada harjutusülesandeid, kus tuleb siiski paber ja pliiats appi võtta. Arvuti teel saab lahendada testi, mis aitab parabooli võrrandist selgust luua. Parabool on joon, mille iga punkti X(x; y) kaugus ühest kindlast sirgest (juhtjoonest) võrdub selle punkti kaugusega ühest kindlast p...
Parabool lend PA-13A Sissejuhatus Parabool lennuks nimetatakse lennutüüpi, mille käigus saavutatakse õhusõiduki parabooli laadsel liikumisel kaaluta olek. Parabool lend Zero G · Ainukene firma maailmas, kes hetkel sellist teenust pakub. · Hind ühele inimesele alates 3948. · Ühe lennu jooksul on võimalik kaaluta olekut kogeda 15 korda. · Kaaluta olek kestab selle ajal 20-30 sekundit. Parabool lend Parabool lend graafikuna Parabool lend graafikuna Kaalutaolek Video · https://www.youtube.com/watch?v=1ieR8hIXUIg Küsimusi? Täname kuulamast!
40 30 20 10 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 -10 -20 -30 Koostas: -40 Ruutfunktsioonid · Ruutfunktsioon y = x² · Ruutfunktsioon y = ax² · Ruutfunktsioon y = ax² + c · Ruutfunktsioon y = ax² + bx · Ruutfunktsioon y = ax² + bx + c Ruutfunktsioon y = x² Ruutliikme kordaja on 1 30 y Graafikut nimetatakse 25 PÕHIPARABOOLIKS 20 Graafik avaneb ÜLES 15 Graafik on sümmeetriline Y - TELJE SUHTES 10 Nullkoht on punktis ( 0 ; 0 ) ...
Kordamine III(sirge, ringjoon, parabool, vektor) 1. On antud kolmnurk tippudega A(1;2), B(4;3) ja C(2;5). Leidke sirgete AB ja AC võrrandid ning lõikepunktid koordinaattelgedega; 2) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB paralleelse sirge võrrand; 3) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB ristuva sirge tõus. 2. Lõik otspunktidega on ringjoone diameetriks. Leidke: 1) ringjoone võrrand; 2) sellele ringjoonele punktides (2,5; 4,5) ja (0;2) joonestatud puutujate võrrandid ja nende puutujate lõikepunkt. 3. Tuletage joone võrrand, kui joone iga punkti kaugused punktidest M(0;-3) ja N(2;3) on võrdsed. Näidake, et otsitav joon on lõigu MN keskristsirge. 4. Parabool läbib punkte (-1;0), (5;0) ja (0;-10). Leidke parabooli võrrand ja tema haripunkti koordinaadid ning puutuja võrrand punktis (0;-10). 5. Leidke parabooli y = x2 2x haripunkti koordinaadid. 1) Vektori v =(a;9) alguspunkt ...
4. loeng Sirgjoone ja tasandi lõikumine ning paralleelsus Sirge ja tasandi lõikumine üldjuhul Sirge ja üldasendilise tasandi lõikepunkti L tuletamisel: 1.paneme läbi antud sirge s abitasandi( v ) risti põhi- või esiekraaniga 2.tuletame antud tasandi ja abitasandi lõikesirge 3.leiame lõikesirge ja antud sirge lõikepunkti, mis ongi antud tasandi ja sirge lõikepunkt. tasandi normaal on sirge, mis on risti iga sirgega sellel tasandil, sealhulgas ka tasandi nivoosirgetega. Normaali n tunnus kaksvaatel: n' risti p ja h' n'' risti e ja f'' Sirgjoon ja tasand on teineteisega risti, kui sirgjoone pealtvaade on risti tasandi horisontaali pealtvaatega ning sirgjoone eestvaade on risti tasandi frontaali eestvaatega; seejuures sirgjoone projektsioonid ei tohi olla risti x-teljega. Nurgad sirgete ja tasandite vahel Lahendadatakse järgmise mõttekäigu alusel: kasutades ülesa...
RUUTVÕRRATUS LAHENDAMINE a) Viia kõik liikmed vasakule poole võrdusmärki, korrastada võrratus b) Leida nullkohad c) Joonistada parabool (ka siis kui nullkohti ei ole!!!) Kui x2 ees on ’pluss’, siis avaneb parabool üles Kui x2 ees on ’miinus’, siis avaneb parabool allapoole d) Viirutada Kui võrratuses on >0, siis viirutada sealt, kus parabool on ülalpool x-telge Kui võrratuses on <0, siis viirutada sealt, kus parabool on allpool x-telge e) Kirjutada võrratuse lahend (see, mida viirutasid, see ongi lahend)
Pumbad ja ventilaatorid EMH0040 Kodutöö: survetõstepumpade valik Üliõpilane: Matrikli nr: Rühm: Tallinnas 2011 Pumplas on kaheastmeline töögraafik. Öösel töötab üks pump: vajalik Q1 = 50 l/s , päeval töötavad kaks pumpa: vajalik Q2 = 135 l/s . Kahjutule olukorras vooluhulk suureneb 30 l/s . Valida pumbad ning kontrollida pumpade sobivust kahjutule kustutamiseks tingimusel, et veevõrgus on tagatud surve 10m H2O . Vajadusel lisada pumplasse kolmas pump või tagada kahjutule kustutamiseks vajalik vooluhulk pumpade pöörete arvu reguleerimisega. Pumpamine toimub kahte rööppeatorusse, millede pikkus l = 1500 m . Torude materjal on teras, karedus = 0,5 mm . Pumpade staatiline tõstekõrgus Hst = 18 m . Lähteandmed Qöö 50 l/s Qpäev1+2 135 l/s Qtuli 165 l/s Htuli 10 m...
Ruutfunksioon on seos kahe muutuja vahel.Ühele muutujale antakse väärtused ja teine arvutatakse nende põhjal. Muutujad=x ja y c=vabaliige kordajad:a-ruutliikmekordaja b-lineaarliikme kordaja Funktsiooni saab esitada tabelina,valemiga,graafikuna,järjestatud arvupaaridesse. Graafikuks : parabool Parabool on sümmeetriline oma telje suhtes.Telg läbib alati parabooli haripunkti. y=ordinaat x=abstsiss nullkoht:need on punktid,kus funktsioonigraafik lõikab x-telge. korrutis on 0,kui üks teguritest on 0
Ruutfunktsioon avaldub kujul y = ax2 + bx + c, kus a, b ja c on mistahes arvud ja ruutliikme kordaja a 0. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafikuks on parabool. Kui a > 0, siis parabooli harud avanevad üles, kui a < 0, siis alla. Parabooli sümmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks ja punkti, kus parabool lõikub oma teljega nimetatakse parabooli haripunktiks. Parabooli skitseerimiseks tuleb leida nullkohad ( võrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid) ja x + x2 haripunkt ( haripunkti abstsissi leiame kas nullkohtade aritmeetilise keskmisena 1 2 b või valemist x h = - ; ordinaadi leidmiseks paneme abstsissi väärtuse funktsiooni 2a 4ac - b 2 avaldisse ning leiame y väärtuse v...
Ruutfunktsioon ja selle graafik EESMÄRGID Parabooli y = ax2 + k joonestamine Tutvustada lihtsamat parabooli Parabooli y = ax2 + bx +c joonestamine Paraboolide joonestamine Parabooli y = ax2 + k joonestamine Sümmeetriatelg y = x2 x=0 x y (x, y) (–2, 4) y –2 4 –1 1 (–1, 1) 0 0 (0, 0) 1 1 (1, 1) x 2 4 (2, 4) Parabool avaneb ülespoole. Haripunkt (0, 0) Parabooli y = ax2 + k joonestamine Võrrandis y = x2 , mis on a ? a = 1 . Kuid, mis juhtub, kui a ei võrdu 1? Näiteksy võrrandis y = – 4x2 . Mis on a ? a=–4 x y (x, y) x –2 – 16 (–2, –16) –1 –4 (–1, –4) 0 0 (0, 0) ...
1. Ristkoordinaadid- kui ruumis on antud ristkordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määratud ristkordinaatidega x,y,z, kus x on punkti P ristprojektsioon absissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaattelele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaattelele P(x,y,z) 2. Kahe punkti vaheline kaugus- Kui P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2) on ruumi punktid siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga √ 2 2 d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2 + z 1) 2 3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4. Nullvektor-Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse sümboliga . Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust v...
Ruutfunktsioon Ruutfunktsiooni üldkuju: Ruutliige on funktsiooni pealiikmeks, kuna ruutliige määrab selle graafiku iseloomu ja kuju. Lineaarliige ja vabaliige mõjuvad vaid graafiku asukohta koordinaatteljestikus. Ruutfunktsiooni graafik on parabool Parabooli kuju sõltub ruutliikme kordaja suurusest ja märgist: Parabooli joonestamine: · Koosta väärtuste tabel. · Joonesta koordinaattasand. · Kanna arvutatud punktid koordinaattasandile. · Ühenda tasandile kantud punktid. Parabooli haripunkti koordinaatide arvutamine Parabooli nullkohtade arvutamine Ülesanded 1. Joonesta parabool graafik vahemikus . Lahenduskäik: Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis 2. Arvuta parabooli haripunkti koordinaadid. Lahendus: ,, Leiame: Nüüd asendame leitud xh väärtus...
Ruutfunktsioon y=ax+c, kus a ja Valemis y=ax+c Graafikuks on y=ax+c: c on antud arvud on ax ruutliige ja parabool, mis on ning x ja y on c vabaliige. sümeetriline y muutujad. telje suhtes. Parabooli haripunkt on punktis (0;c). Kui a>0, siis avaneb parabool ülespoole, kui a<0, siis allapoole. Mida suurem a, seda...
Ruutfunktsioon Funktsiooniks nimetatakse seost kahe muutuja vahel, kus ühe muutuja igale võimalikule väärtusele vastab teise suuruse üks kindel väärtus. · x ja y on muutujad · x on argument · y on funktsiooni väärtus · a on kordaja ehk mingi arv Argumenti + väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks, ning muutuja y vastavate väärtuste hulka funtsiooni väärtuste piirkonnaks. Määramispiirkond- x Väärtuste piirkond- y · Ruutfunktsiooni graafikuks on parabool. · Parabool on sümmeetriline y-telje suhtes. · Parabooli sümmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks. · Parabooli ja tema telje ühist punkti nimetatakse parabooli haripunktiks. Mida suurem on kordaja a absoluutväärtus, seda kitsam on parabool. Argumendi x neid väärtusi, mille korral funktsiooni väärtus on null, nimetatakse funktsiooni nullkohtadeks. Hulkliiget, mille li...
2.4 RUUTVÕRRATUS Ühe muutujaga ruutvõrratuse üldkuju on ax2 + bx + c > 0, kus a 0. Märgi > asemel võib võrratuses olla ka üks märkidest <, , . Ruutvõrratuse lahendamiseks 1) lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0; 2) skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c; 3) leiame jooniselt, kus funktsiooni väärtused positiivsed, kus negatiivsed. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafik on parabool. Kui a > 0, siis avaneb parabool ülespoole. Kui a < 0, siis avaneb parabool allapoole. Kui lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0, siis on kolm erinevat võimalust: A) Diskriminant D = b2 4ac > 0. Parabool lõikab sel juhul x telge kahes erinevas punktis. ax2 + bx + c > 0 L = ( ;x1) (x2; ) ax2 + bx + c >0 L = (x1; x2) 1 B) Kui diskriminant D = 0, siis on ruutvõrrandil kaks võrdset reaalarvulist lahendid ...
Ruutfunktsioon Across 4. Ruutfunktsiooni graafikuks on joon, mida nimetatakse Parabooliks 6. c on ? Vabaliige 7. bx on Lineaarliige 8. Sümmeetriatelje ja parabooli ühist punkti nimetatakse Haripunktiks Down 1. funktsiooni, mis on esitatud ruutavaldisega nimetatakse Ruutfunktsiooniks 1. Parabool avaneb üles, kui kordaja a on Positiivne 2. Punkte x-teljel, kus parabool lõikab või puudutab x-telge nimetatakse nullkohtadeks 3. Parabool avaneb alla, kui kordaja a on Negatiivne MARI LIIS LEPPOJA
Funktsioonid. Nimetus: Valem: Põhitunnus: Graarik: Võrdeline seos: Y=ax Ühe muutuja Graafikuks on ,kus a on suurenemisel(vähenemisel) sirge, mis läbib 0 antud arv mingi arv korda suureneb punkti. See ning x ja (väheneb) teine muutuja tähendab, et 0 y on sama arv korda. kuulub muutujad. määramispiirkonda. Pöördvõrdeline Y=a/x , Pöördvõrdelise seose Graafikuks on seos: kus a on korral on muutujate hüperbool. 0 ei antud arv vastavate väärtuste korrutis kuulu määramis ning x ja jääv. piirkonda. Kui arv y on a>o, siis graafik on ...
Ande AndekasLammutaja Matemaatika Ruutfunktsioonid Ruutfunktsiooni harud avanevad üles, kui a>0 ja alla, kui a<0. Ruutfunktsiooni graafikuks on parabool, mis on sümmeetriline y- telje suhtes. y = ax² parabooli haripunkt asub koordinaatide alguspunktis (0;0). y =ax² + c parabooli haripunkt asub punktis (0;c) (y- teljel, punktis c). y = ax² + bx parabooli üks harudest läbib punkti (0;0) ja teine haru (-b/a;0). y = ax² + bx + c parabooli haripunkt võib asuda ükskõik kus. Ruutfunktsiooni nullkohad on x väärtused, mille puhul y=0 (graafikul lõikepunktid x-teljega). Haripunti tähiseks on Xh. Mida väiksem on a, seda laiem on parabool. Xh = b/2a = (x1 + x2)/2 x = (-b ± b2 4ac) / 2a x1 + x2 = -p x1 * x2 = q x = p/2 ± (p/2)2 q
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused eksamiks 1. Kahe vektori skalaar- ja vektorkorrutis Vektoriks nim suunaga ja pikkusega sirglõiku. Tähistatakse , kus A ja B tähistavad vastavalt vektori algus- ja lõpp-punkti. Vektori mooduliks nim vektori pikkust. Tähistatakse . Ühikvektoriks nim vektorit, mille pikkus võrdub ühega. . Nullvektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ja lõpppunkt ühtivad. . Vabavektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ei ole fikseeritud, st vektori asendit võib paralleellükke abil muuta. Kahte vektorit nim võrdseks, kui nad on võrdsete moodulitega ning samasuunalised. Vektorite võrdsus erineb lõikude võrdsusest. Vektoreid nim kollineaarseteks, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel ja samal sirgel. Võivad olla sama või vastassuunalised. . Vektoreid nim komplanaarseteks, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuv...
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti 3. Vektor tasandil. Joone võrrand Põhiteadmised · Punkti koordinaadid; · vektor, vektori koordinaadid; · vektorite summa ja vahe; · vektori korrutamine arvuga; · kahe vektori skalaarkorrutis; · vektori pikkus ja nurk vektorite vahel; · vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnused; · joone võrrandi mõiste; · sirge võrrand tasandil; · kahe sirge vastastikused asendid; · ringjoone võrrand; · parabooli võrrand. Põhioskused · Tehete sooritamine vektoritega geomeetriliselt ja koordinaatkujul; · vektorite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel; · sirge võrrandi koostamine, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga, kahe punktiga, punkti ja sihivektoriga; · sirge tõusu määramine; · kahe sirge vahelise nurga...
Joone võrrand Lineaarfunktsioon Funktsiooni, mida saab esitada kujul y = ax+ b nimetatakse lineaarfunktsiooniks. Avaldis ax on lineaarliige. Arv b on vabaliige, b väärtus vastab argumendi (x) väärtusele 0. Arv a näitab, mille võrra muutub funktsioon (y), kui argument (x) suureneb ühe võrra. Lineaarfunktsiooni y = ax + b graafikuks on sirge, mis lõikub y-teljega punktis (0;b) ja läbib punkti (1; a+b). Sirge tõus a näitab, kui palju muutub sirgel oleva punkti ordinaat (y) siis, kui abstsiss (x) kasvab ühe ühiku võrra. Ruutfunktsioon Ruutfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on esitatud ruutavaldisega y = ax 2 + bx + c, kus ax 2 on ruutliige, bx on lineaarliige, c on vabaliige. Ruutfunktsiooni graafikuks on joon, mida nimetatakse parabooliks. Parabooli sümmeetriatelg on sirge, mille suhtes parabool on sümmeetriline (nimetatakse ka parabooli teljeks). Sümmeetriatelje ja parabooli ühist punkti nimetatak...
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij =...
5. loeng Tahukad, tahukate liigitelu(iseseisvalt), tahukate lõikumised, kõverjooned ja kõverpinnad, joonte projektsioonilised omadused (iseseisvalt), ellips, kruvijooned Ülesande andmete analüüs: 1.tahkude arv ja asen ekranide suhtes 2.lõikava tasapinna kohta käiv info: *millega on tasapind antud *kuidas tasapind asetseb ekraanide suhtes (üld- või eriasendiline) 3.millist lahendusmeetodit kasutada Lõikejoone määramiseks 2 võimalust: 1.sirge ja tasandi lõikumisülesande korduva lahendamisega leitakse lõikehulknurga tipud 2.kahe tasandi lõikumisülesande korduva lahendamisega leitakse lõikehulknurga küljed 3.tuletatakse tahuka ja tasandi lõikejoon lisaekraani abil Pinnalaotuse tuletamine: 1.kõik tahud, mis pole kolmnurgad tükeldame diagonaalidega kolmnurkadeks 2.leiame kõigi kolnurga külgede orginaalpikkused 3.konstrueerime kolmnurkade orginaalvormid üksteise kü...
Kodune arvestuslik töö. Vektor. Joone võrrand. 11.klass Esitamistähtaeg: 16.10.2012 Konsultatsioon: kokkuleppel või reedel 8.tund või meili teel ([email protected]) NB! Vormistus peab olema korrektne, täiuslik! ÜL.1 Ristküliku ABCD üheks tipuks on punkt A(4; 3), tipp B asub x-teljel ja küljega AB paralleelne külg CD asub sirgel x y + 7 = 0. 1) Arvuta ristküliku ABCD tippude B, C ja D koordinaadid ning joonesta ristkülik ABCD koordinaattasandile. 2) Koosta sirge võrrand, millel asub ristküliku diagonaal AC. 3) Arvuta ristküliku ABCD ümbermõõdu täpne väärtus. 4) Koosta ristküliku ABCD ümberringjoone võrrand. ÜL. 2 Punktist A(-2; 2) on joonestatud vektor = (6; 2). Läbi punkti D(-3; -5) on joonestatud sirge DC, mis on paralleelne sirgega AB. Punktide A, B, C ja D järjestikusel ühendamisel saadakse täisnurkne trapets, mille täisnurk on tipu B juures. 1) Tee joonis. 2) Koosta sirgete DC ja BC ...
Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks See teoreem kehtib meelevaldsete lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks, kus võrrandite ja tundmatute arvud on võrdsed. Lisaks peavad võrrandisüsteemid olema korrastatud. Kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid. Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi, siis öeldakse, et tegemist on Crameri peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0. Tähendab, Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend, mis avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1. Transponeerimisel (r...
Matemaatika 11. klassi valemid Astendamise abivalemid am n a an a a =a m n m +n (a m ) n = a mn ( ab) n = a n b n n = a m -n = n a b b n p Liitprotsendiline kasvamine (kahanemine): L = A 1 + , kus L on 100 lõppväärtus, A - algväärtus, p - kasvamise protsent, n - kasvutsüklite arv. Logaritmide omadused: log a c = b a b = c ...
Väga tähtsad matemaatika valemid 1. (A + b) (a - b) = a2 - b2 2. (A + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca) 3. (A ± b) 2 = a2 + b2 ± 2ab 4. (A + b + c + d) 2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2 (ab + ac + ad + bc + bd + cd) 5. (A ± b) 3 = a3 ± b3 ± 3AB (± b) 6. (A ± b) (a2 + b2 m ab) = a3 ± b3 7. (A + b + c) (a2 + b2 + c2-ab - bc - ca) = a3 + b3 + c3 - 3abc = 1 / 2 (a + b + c) [(a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2] 8.when + b + c = 0, a3 + b3 + c3 = 3abc 9. (X + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c) x2 + (ab + bc + ac) x + abc 10. (X - a) (x - b) (x - c) = x3 - (a + b + c) x2 + (ab + bc + ac) x - abc 11.a4 + a2b2 + b4 = (a2 + ab + b2) (a2 - ab + b2) 12.a4 + b4 = (a2 - 2ab + b2) (a2 + 2ab + b2) 13.an + bn = (a + b) (n-1 - n-2 b + n-3 b2 - n-4 b3 + ... ... .. + b n-1) (Kehtib ainult siis, kui n on paaritu) 14.an - miljard = (a - b) (n-1 + n-2 b + n-3 b2 + n-4 b3 + ... ... ... + b n-1) {...
Ülesanne 3 Pindade lõikumine. Joonisel 1 on esitatud neli pindade lõikumisülesannet. Analüüsida esitatud ülesandeid vastates kirjalikult järgmistele küsimustele: 1. Millised objektid lõikuvad? 2. Mis on objektide lõikejooneks (ruumis)? Mis on lõikejoone projektsiooniks pealtvaatel ja eestvaatel? 3. Millist lõikumisülesande lahendamisvõtet vastuse tuletamiseks kasutate? Vastata iga ülesande kohta eraldi. Joonis 1 VASTUS: A Lõikuvad silinder ja tasand. Objektide lõikejooneks on nelinurk, kuna tasand on paralleelne moodustajaga. Vastuse tuletamiseks kasutaksin abitasandite võtet, kuna ülesandes on antud tasand. Lõikejoone projektsioonideks on sirge ja tahukas. B Lõikuvad koonus ja tasand. Objektide lõikejooneks on kolmnurk, kuna kuna tasand on paralleelne koonuse moodustajaga.Vastuse tuletamiseks kasutaksin abitasandite võtet, kuna tasand o...
Ruutvõrratuse lahendamine Heldena Taperson www.welovemath.ee Ruutvõrratuseks nimetatakse võrratust, mis esitub kujul ax 2 bx c > 0 < , , , kus a 0 Ruutvõrratuse lahendid sõltuvad diskriminandist D b 2 4ac Funktsiooni väärtused on positiivsed - graafik asub x-teljest ülevalpool > x ; x1 ; x2 ; Funktsiooni väärtused on positiivsed - graafik asub x-teljest ülevalpool > x x1 ; x2 ; Funktsiooni väärtused on positiivsed - graafik asub x-teljest ülevalpool > x R x1, 2 Graafik asub x- teljest allpool ...
Mata eksami kordamisküsimused 1. Determenandi põhiomadused. Alam D ja minoor. Crameri meetodil võrrandsüsteemi lahendamine · Determinant ei muutu, kui tema read ja veerud ümber paigutada. See omadus väljendab determinantideridade ja veergude samaväärsust. · Kui determinandis kaks rida omavahel ümber paigutada, siis muutub determinandi märk vastupidiseks. · Determinandi mingi rea kõigi elementide korrutamisel ühe ja sama teguriga korrutub kogu determinant selle teguriga. See omadus võimaldab D-i rea või veeru elementide ühist tegurit D-i märgi ette tuua, mis harilikult lihtsab tunduvalt arvutusi. · Kui D-s on kaks rida omavahel võrdsad, siis D võrdub nulliga. Seega on eelmise omaduse tõttu D võrdne nulliga ka siis kui D-i kaks rida on võrdelised. · Kui D-s mingi rea iga element kujutab kahhe liidetava summa siis laguneb D kahe sama järku D- i summaks, kui es...
FUNKTSIOONID x- funktsiooni argument y- funktsiooni väärtus 1. V õ r d e l i n e s e o s y=ax * sirge * läbib 0 * a > 0 -> 1. Ja 3. Veerandis * a < 0 -> 2. Ja 4. Veerandis 2. P ö ö r d v õ r d e l i n e s e o s y= *x0 * x kasvades, y kahaneb ja vastupidi * hüperbool * harudel puuduvad ühised punktid kordinaat telgedega * a > 0 -> 1. Ja 3. Veerandis * a < 0 -> 2. Ja 4. Veerandis 3. L i n e a a r f u n k t s i o o n y=ax+b * sirge * lõikab y-telge punktis (0; b) * a > 0 -> tõusev sirge, 1. Ja 3. veerandis * a < 0 -> langev sirge, 2. Ja 4. Veerandis 4. R u u t f u n k t s i o o n y= a x 2 + b x + c * parabool * a > 0 -> avaneb üles * a < 0 -> avaneb alla * nullkohad Lahendab vastava ruutvõrrandi ...
Funktsiooni mõisted Lineaarfunktsiooni graafik on sirge. Lineaarfunktsiooni graafiku joonestamiseks peab teadma vähemalt kahe punkti koordinaate. Funktsiooni y = 3x + 1 graafik ei läbi koordinaatide alguspunkti. Kui sirge läbib punkte (2; 2) ja (5; 2), siis see sirge on paralleelne x-teljega. Kui sirge läbib punkte (3; 4) ja (3; 2007), siis see sirge on risti x-teljega. Funktsiooni y = 4x + 2 graafik ei läbi punkti (2; 10). Parabooli joonestamiseks tuleb välja arvutada rohkem kui kahe punkti koordinaadid. Ruutfunktsiooni graafik läbib y-telge ühes punktis. Parabooli ja x-telje lõikepunktide x-koordinaate nimetatakse ruutfunktsiooni nullkohtadeks. Pöördvõrdelise seose graafik on hüperbool. Sõltuvuse y = 3 : x graafiku harud paiknevad esimeses ja kolmandas koordinaatveerandis. Pöördvõrdelise sõltuvuse y = a : x graafik ei läbi y-telge. Pöördvõrdelise sõltuvuse y = 5 : x graafiku haru...
I Võrdeline seos y = a*x graafikuks sirge II Lineaarne seos y = ax + b graafikuks sirge III Pöördvõrdeline sõltuvus a y= graafikuks hüperbool x IV Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c ;a0 graafikuks parabool a) Avaneb kuhu b) nullkohad [ax2 + bx + c=0] c) -b haripunkt XHP= 2a VI Erijuhud Funktsioon ja funktsiooni määramispiirkond a) a lahenda a 0 1 b) a0 a c) K ui ei r j uhud puuduv ad , on l ahen di k s k ogu r eaal ar vud e hul k Funktsiooni nullkohad 0={x1;x2;x3} Positiivsus- ja negatiivsus piirkond a) Positiivsus piirkond ...
Funktsioone, mille kahanemisvahemik Funktsioone, mille kasvamisvahemik ühtib ühtib määramispiirkonnaga, nimetatakse määramispiirkonnaga, nimetatakse kasvavateks kahanevateks funktsioonideks. funktsioonideks. Paarisfunktsiooni graafik on sümeetriline y- telje suhtes. Astmefunktsioonid : Paaritu funktsiooni graafik on sümeetriline y=X^-2 ehk Y=1/X^2 kordinaatide alguspunkti suhtes. y=X^-3 ehk Y=1/X^3 ...
Füüsikalised mudelid 1) Füüsikalised objektid saavad olla: MTTE AINELISED- ei saa käega katsuda, need on väljad. Näiteks: elektriväli, gravitatsiooniväli, energiaväli. AINELISED- katsun käega. Näiteks: inimene Mis vahe on ainel ja väljal ? 1. Aine: Mõõtmed, ehk mingi keha Üks keha ainult ühel kohal Iseloomulik suurus-mass Tunneme meeltega Aine võib muutuda väljaks ja vastupidi, liigub tohutu suurel kiirusel 2. Väli: Mõõtmed puuduvad Ühes kohas saab olla mitu välja Isemoomustab-energia Ei tunne meeltega Nähtus Nähtused on füüsikaliste objektidega toimuvad muutused Näiteks: päike paistab, maa väriseb, tuba soojeneb Nähtusi kirjeldame: 1. Tabel (n:kummipaela venimine) 2.graafik (n:kliima muutus) 3.Valem (Sellel on kaks varjanti. Esiteks pöördvõrdeline seos, st. Kui näiteks sai läheb kallimaks siis ostjaid on vähem. Teiseks ruutsõltuvus mille graafikuks on parabool.) Füüsikalised suurused Saame nähtusi või omadusi kirjeldada või ise...
Ruutfunktsioon Ruutfunktsioon y = ax2 + c ja tema graafik Vaatleme niisugust muutujate x ja y vahelist seost, mis on esitatud valemiga y = ax2 + c, kus a ja c on antud arvud ning a 0. Määramispiirkonnaks on kõigi reaalarvude hulk või selle osahulk. NÄIDE 1. Joonestame ühes ja samas teljestikus ruutfunktsioonide y = 2x2 ja y = 2x2 + 2 graafikud. Lahendus: Koostame kõigepealt muutujate x ja y vastavate väärtuste tabeli. x 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2x2 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 2x2 + 2 10 6,5 4 2,5 2 2,5 4 6,5 10 Punase joonega on märgitud ruutfunktsiooni y = 2x2 + 2 ja mustaga y = 2x2 graafik. Näeme, et ruutfunktsioonil y = 2x2 + 2 nullpunktid puuduvad, kuigi haripunkt on (0; 2). Ruutfunktsioonil ruutfunktsiooni y = 2x2 ühtivad nii nullpunkt k...
1. Nimetage tahukate liike Hulktahukas (polüeeder) ehk lihtsalt tahukas on tasandiliste hulknurkadega (tahkudega) piiratud keha. Tahukas on kumer, kui ta jääb iga oma tahu tasandist tervenisti ühele poole; vastasel korras on tahukas nõgus. · Lihtsamad hulktahukad (Prisma, püramiid, nendest mõlemast üldisem on prismatoid.) o Prismatoidiks nimetatakse tahukat, millel on kaks paralleelset tahku (põhja) ning millel pole muid tippe peale põhjatippude. Prismatoidi tippude koguarv peab olema vähemalt 4. Prisma ja püramiid on prismatoidi kõige levinumad vormid · Ideaaltahukad Korrapärased tahukad, mille kõik tahud on korrapärased ja võrdsed hulknurgad. o Kumeraid ideaaltahukaid on viis: tetraeeder, heksaeeder(kuup), oktaeeder, dodekaeeder, ikosaeeder o Nõgusaid ideaaltahukaid eh...
1. Nimetage tahukate liike Hulktahukas (polüeeder) ehk lihtsalt tahukas on tasandiliste hulknurkadega (tahkudega) piiratud keha. Tahukas on kumer, kui ta jääb iga oma tahu tasandist tervenisti ühele poole; vastasel korras on tahukas nõgus. · Lihtsamad hulktahukad (Prisma, püramiid, nendest mõlemast üldisem on prismatoid.) o Prismatoidiks nimetatakse tahukat, millel on kaks paralleelset tahku (põhja) ning millel pole muid tippe peale põhjatippude. Prismatoidi tippude koguarv peab olema vähemalt 4. Prisma ja püramiid on prismatoidi kõige levinumad vormid · Ideaaltahukad Korrapärased tahukad, mille kõik tahud on korrapärased ja võrdsed hulknurgad. o Kumeraid ideaaltahukaid on viis: tetraeeder, heksaeeder(kuup), oktaeeder, dodekaeeder, ikosaeeder o Nõgusaid ideaaltahukaid eh...
Pöördkehade ruumala arvutamine · Pöördehade ruumala arvutamisel kasutatakse pöördkeha poolküljeristlõike funktsioonivalemit ja määratud integraali. 1) On vaja funktsioonivalemit, millest pöördkeha moodustada. Olgu selleks y = f ( x) 2) Et leida ruumala, tuleb funktsioon võtta ruutu, selle ruutu integreerida ja korrutada - h ( f ( x) ) dx , kus integraali rajad määravad pöördkeha kõrguse x-teljel. 2 ga: V = 0 · Näide KOONUSE moodustumisest: x 1) Võtame näiteks funktsiooni y = ja määramispiirkonnaks X = [ 0; 4] 4 2) Järgmiseks leiame ruumala: 2 4 x 4 4 2 x x3 43 03 4 V = dx = dx = = - = 4 0 0 1...
Võrratused NÄIDE 1. LINEAARVÕRRATUS x 1 a) Vabaneda murdudest ja sulgudest 0 |∙ (−5) 5 b) Viia tundmatud ühele ja vabaliikmed 𝑥−1>0 teisele poole võrdusmärki 𝑥>1 c) Koondada ja jagada tundmatu ees oleva 1 x kordajaga V: 𝑥 ∈ (1 ; ∞) 2. RUUTVÕRRATUS 3(5 x 11) x(5 x 11) a) Viia kõik liikmed vasakule poole 5𝑥 2 − 4𝑥 − 33 > 0 võrdusmärki, korrastada võrratus Nullkohad: 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −2,2 b) Leida nullkohad c) Joonistada parabool ...
ANALÜÜTILISE GEOMEETRIA VALEMID 1. Vektori koordinaadid a = Xi +Yj + Zk = ( X ; Y ; Z ) 2. Vektori koordinaatide seos lõpp- ja alguspunktide koordinaatidega AB = ( x B x A ; y B y A ; z B z A ) 3. Vektori pikkus a = X +Y +Z 2 2 2 X Y Z cos = ; cos = ; cos = 4. Vektori suuna koosinused a a a cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 5. Vektorite võrdsus a = b, ( X 1 = X 2 ; Y1 = Y2 ; Z 1 = Z 2 ) 6. Vektorite summa c = a + b, ( X 3 = X 1 + X 2 ; Y3 = Y1 + Y2 ; Z 3 = Z 1 + Z 2 ) 7. Vektori korrutamine skalaariga b = na, ( X 2 = nX 1 ; Y2 = nY1 ; Z 2 = nZ1 ) X 1 Y1 Z...
Ülesanne. Andmed ja valemid Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Töö Andmed ja valemid Üliõpilane Õppemärkmik Õppejõud Õpperühm a valemid ülikool ituut EALB12 Sisestage paremal olevatesse lahtritesse oma matrikli viimane (a) ja eelviimane (b) number. Nende kaudu arvutub automaatselt y nr ja z nr. Nende viimane nr eelviimane numbrite järgi võtad allolevatest valemitest kaks varianti. Ülejäänud kustuta ära. a b c y nr z nr 9 8 7 2 3 Funktsioonide väärtused Variandid ...
1. Millal võib keha lugeda punktmassiks? Keha, mille mõõtmed võime antud liikumistingimustes arvestamata jätta, nim. punktmassiks. Nt: auto mõõtmed pikemal reisil, parkimisel ei saa autot lugeda punktmassiks. 2. Mis on mehaaniline liikumine? Mehaaniliseks liikumiseks nim. keha asukoha muutumist teiste kehade suhtes. Nt: auto sõidab. 3. Mis on ühtlane ja mitteühtlane liikumine? Ühtlane sirgjooneline liikumine on selline, kus keha sirgel trajektooril läbib võrdsetes ajavahemikes võrdsed teepikkused. Nt: ühtlaselt ja sirgjooneliselt liikuv auto. Mitteühtlane liikumine on selline, kus keha mistahes võrdsetes ajavahemikes läbib mitte võrdsed teepikkused. Nt: kõndiv joodik. 4. Mis on ühtlaselt muutuv liikumine? Ühtlaselt muutuv liikumine on selline liikumine, mis toimub muutumatu kiirendusega. Nt: pidurdav auto. 5. Mis on taustsüsteem? Taustsüsteemiks nim. taustkeha, mis on ühendatud koordinaadistiku ja aja...
Joone võrrand © T. Lepikult, 2010 Joone võrrand Joone C võrrandiks ristkoordinaatides nimetame niisugust seost F(x, y) = 0 kahe muutuja x ja y vahel, mida rahuldavad selle joone iga punkti ristkoordinaadid ja ainult need. Sirge, mille Parabool, mille võrrandiks on y võrrandiks on b d y + x -b = 0 y - 2 ( x - c) 2 = 0 c c d Ringjoon, mille võrrandiks on r b ( x - a) 2 + + ( y - b) 2 - r 2 = 0 a 0 c x Joone konstrueerimine tema võrrandi järgi Ülesandeks on konstrueerida joon (või funktsiooni graafik), kui on teada tema võrr...
Kokkukirjutamine: 1) sõna muudab tähendust nt. härjasilm 2) kokkukirjutamine muudab sõnaliiki nt. ärajooksmine 3) vastandsõnad, mis nõuavad sidekriipsu nt. must-valge, tahes-tahtmata 4) grammatiline põhjus nt. tammetõru 5) nimetav ja alaltütlev nt. aasta-aastalt Tegusõnade kokku- ja lahkukirjutamine 1) sõnade järjekorda pole võimalik muuta, siis on koos nt. abielluma 2) järjekorda saab muuta siis lahku nt. maha kirjutama Määr- ja kaassõnade kirjutamine ALATI LAHKU nt. metsa poole, minu suunas, neljanda kaudu, üle jooksnud, alla vaadanud,laua all, jooksin üles NB! Metsapoole omadussõna, ülejooksnud omadussõna Nimisõna kokkukirjutamine omadus-, arv- ja asesõnaga Reegel: arv-, omadus- ja asesõna kirjutatakse alati nimisõnast lahku nt. kole karu, kolm karu, see karu NB! Vanaisa, noormess, pikkpoiss, suurlinn Omadussõna + omadussõna Reegel: omadussõnad kirjutatakse omavahel kokku (vastandsõnade puhul sidekriips) ...
Vesiehitis (ingl. k hydraulic structure) on jõe-, järve-, mere- või põhjavee kasutamist võimaldav või vee purustavat toimet tõkestav rajatis, vesiehitus (hydraulic construction) aga tegevus, mis hõlmab igasuguste ehitiste rajamist voolu- või seisuvette. Vesiehitiste liigitus ·vett paisutavad ehitised (paisud); ·veejuhtmed: kanalid, kraavid, torustikud, tunnelid, rennid vms; ·veehaarded, mille kaudu võetakse jõest, järvest, merest, maa seest vett; ·veelaskmed (ülevoolud, treppveelaskmed, kiirvoolud jt), mille kaudu lastakse läbi või heidetakse ülespaisutatud või kogutud vett (sh nt heitvett reoveepuhastist); ·vett tõkestavad kaitseehitised: tammid, kaldakindlustised, voolu juhtivad ning mere- või jõekallast uhtmise eest kaitsvad kaldast lähtuvad kannustammid e buunid; ·veeliiklusega seotud ehitised: lüüsid, muulid, kaid jms; ·kalamajandusehitised: kalatiigid, kalapääsud jms. Vesiehitiste liigitus ·Asukoha järgi: jõe-, järve- võ...
FÜÜSIKA KONTROLLTÖÖ KORDAMISKÜSIMUSTE VASTUSED. SOOJUSÕPETUS -Absoluutne temperatuuriskaala ehk Kelvini temperatuuriskaala. 0 K = 273 ehk 0 K on absoluutne nullpunkt. Selle temperatuuriskaala järgi võib temperatuur olla ainult positiivne. Kelvini temperatuuriskaalat nimetatakse ka termodünaamiliseks temperatuuriskaalaks, sest selle jaotuvuse aluseks on termodünaamika II printsiip. -Gaasi olekuvõrrandid kus M on gaasi molaarmass m on gaasi kogus T on absoluutne temperatuur p on rõhk R on 8,31 -Isoprotsessid (nimetused, olekuvõrrandi erikujud) ISOTERMILINE protsess T = const T=T1=T2 Graafikuks on parabool ISOBAARILINE protsess p=const Graafikuks on sirge ISOHOORILINE protsess V=const Graafikuks on sirge -Siseenergia definitsioon, siseenergia muutmise võimalused Siseenergia on keha kõikide koostisosade kineetilisete ja potensiaalsete energiate summa. Siseenergiat saab muuta töö ja soojusüleka...
Kordamisküsimused 80-99 80. Kuidas tekib rõngaspind? Tsüklilist pinda, mis tekib püsiva raadiusega ringjoone pöörlemisel ümber selle ringjoone tasandil asuva telje, nimetatakse rõngaspinnaks. Näiteks sõõrik. 81. Skitseerige rõngaspind kaksvaates. 82. Mitmendat järku pind on rõngaspind? Neljandat 83. Nimetage üldised teist järku pinnad. Ringjoon, ellips, hüperbool, parabool. Elliptiline silinder, Hüperboolne silinder, Paraboolne silinder, Elliptiline koonus, Ellipsoid, Ühekatteline hüperboloid, Kahekatteline hüperboloid, Elliptiline paraboloid, Hüperboolne paraboloid. 84. Nimetage kõik teist järku joonpinnad. Kooniline pind, silindriline pind, puutujatepind. 85. Kuidas tekib harilik (kald-)kruvipind? Harilik kruvipind tekib sirgjoone kruvijoonelisel liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab pinna telge täisnurga all. Kaldkruvipind tekib sirgjoone kruvijoonelisel liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab pi...
Pärnu Niidupargi Gümnaasium Koostas: KAJA ORAV Töölehed VIII klassile 2002/2003 õppeaasta Antud elektroonilised töölehed on mõeldud VIII klassi matemaatika mõistete, geomeetria ülesannete ning tehete kohta üks-ja hulkliikmetega kursuste iseseisvaks kordamiseks või teadmiste kontrollimiseks. Iga küsimuse lõpus oleva rohelise kastikese täitmine õige vastuse ees oleva tähega annab järgmisele reale liikumise korral tulemuseks ÕIGE. Kui Te ei leidnud esimesel korral õiget vastust, siis võite uuesti proovida. JÕUDU TÖÖLE! Küsimused ja kommentaarid on oodatud aadressil [email protected] Mõisteid, mida ei defineerita nimetatakse a) algmõisteteks; b) teoreemideks; c) aksioomideks; d) tundmatuteks; e) eeldusteks. Lauseid, mida pole keegi tõestanud, aga mille tõesuses pole põhjust kahelda nimetatakse a) algmõisteteks; b) teoreemideks; c) aksioomideks; d) eeldusteks; e) Thaleese teoreemideks. Kolmnurga mediaan on kolmnurga a) nurg...
Füüsika kontrolltöö 1. Iseloomusta mõistet nähtavushorisont. Piir milleni vaatlejal või inimkonnal tervikuna on olemas eksperimentaalselt kontrollitud teadmised füüsikalise objektide kohta. 2. Nimeta si-süsteemi põhiühikud. (SI) mõõtühikud jaotuvad põhiühikuteks (meeter, kilogramm, sekund, amper, kelvin, mool ja kandela) 3. Loodusteaduslike mudelite liigid Loodusteaduslikke, sealhulgas ka füüsikalisi mudeleid, liigitatakse tavaliselt ainelisteks ja abstraktseteks mudeliteks. Ainelised mudelid- jagunevad pildilisteks mudeliteks, animatsioonideks ja interaktiivseteks arvutimudeliteks. Abstraktsed mudelid- jagunevad graafilsteks mudeliteks ja siis on ka veel näiteks matemaatilised avaldised. Matemaatilisele avaldisele tuginevat loodusnähtuse (nt rongi liikumise) kirjeldust nimetatakse analüütiliseks mudeliks. 4. Selgita vektoriaalse suuruse erinevust skalaarsest. Ruumilist su...
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
