Võrratus võib sisaldada ka tundmatuid. 2x - 3,4 > 6 + 5x Tundmatu seda väärtust, mille korral saame antud võrratusest tõese lause, nimetatakse võrratuse lahendiks. 2x > 9; x > 4,5; x = 5 on võrratuse lahend Võrratuse kõik lahendid moodustavad võrratuse lahendihulga. x > 4,5 on lahendihulk Kaks võrratust on samaväärsed, kui nende lahendihulgad ühtivad. 4y -16 < 8 ja 4y < 24 on samaväärsed Võrratuse põhiomadused Võrratusmärk ei muutu, kui võrratuse mõlema poolega liita või lahutada sama arv. 2x + 4 < 5x – 9 → 2x + 4 – 4 < 5x – 9 – 4 → 2x < 5x – 13 Järeldus: Võrratusmärk ei muutu, kui liidetavaid (liikmeid) viia ühelt poolelt teisele, muutes liidetava märgi vastupidiseks. 2x + 4 < 5x – 9 → 2x – 5x < – 9 – 4 Võrratusmärk ei muutu, kui võrratuse mõlemaid pooli korrutada või jagada ühe ja sama positiivse arvuga. 5x > 15 5 : → ׀x > 3
VÕRRATUSED Võrratusmärgid on : > - on suurem < - on väiksem - on suurem või võrdne - on väiksem või võrdne Omadused: 1. a > b a - b > 0 a < b a-b < 0 2. Kui võrratuse mõlema poolega liita üks ja sama reaalarv, jääb võrratusmärk endiseks: a >b a+m>b+m a b k a > k b, kui k > 0 a < b k a < k b, kui k > 0 4. Kui võrratuse mõlemad pooled korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse reaalarvuga, muutub võrratusmärk vastupidiseks: a > b m a < m b, kui m < 0 a < b m a > m b, kui m < 0 ÜHE MUUTUJA LINEAARVÕRRATUSED
Murrukujulise võrrandi lahendamine: Kui võrrandis esineb murde, siis vabaneme nendest. Korrutame võrrandi pooli murdude ühise nimetajaga. Võrratus: Matemaatilist avaldist, milles esinevad märgid < ja > nimetatakse võrratuseks. a>b ( loe: a on suurem kui b) Võrratusmärgid: < - väiksem - väiksem või võrdne > - suurem - suurem või võrdne Võrratuse omadused: Kui võrratuse... 1) mõlema poolega liita või mõlemast poolest lahutada üks ja seesama arv, jääb võrratusmärk samapidiseks. nt: 2 < 5 | +10 12 < 15 2) mõlemaid pooli korrutada või jagada ühe ja sama positiivse arvuga, jääb võrratusmärk samapidiseks. nt: 8 < 10 | : 2 4<5 3) mõlemaid pooli korrutada ühe ja sama negatiivse arvuga, siis märk muutub vastupidiseks. nt: 8 < 10 | (-2) -16 > -20 5 Võrratuse lahendamine:
Summakuubi valem: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Vahekuubi valem: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ 9.arvu ruutjuureks nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu , mille ruut on antud arv a. (Näide9) 10.(Näide 10) Lineaarvõrrandiks nimetatakse võrrandit, kus tundmatu esineb vaid esimeses astmes. Lineearvõrrandeid saab alati esitada kujul ax + b = 0, kus Ax2 on lineaarliige ja b on vabaliige, a on lineaarliikme kordaja. 11.Kui kahe avaldise vahel on võrratusmärk,siis sellist üleskirjutist nimetatakse võrratuseks. (Näide11) 12.Võrdust,mille mõlemal poolel on jagatis,nimetatakse võrdeks. Võrde välisliikmete korrutis võrdub tema siseliikmete korrutisega (Näide12) 13.ruutvõrrand on kus ax2 -ruutliige,bx-lineaarliige,c-vabaliige 2 Täielik ruutvõrrand on ax +bx+c=0 Mittetäielik ruutvõrrand on ax2+c=0 või ax2+bx=0 Taandatud ruutvõrrandi üldkuju on kus p ja q on konstandid.
D D D kus d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 d1 Dx = d 2 b2 c2 , Dy = a2 d2 c2 , Dz = a2 b2 d2 . d3 b3 c3 a3 d3 c3 a3 b3 d3 2.9 Võrratus Kui kahe avaldise (arvu) vahel on võrratusmärk ( < , > , või ), siis sellist seost nimetatakse võrratuseks. Võrratuse omadused 1. Kui a > b , siis b < a . 2. Kui a > b ja b > c , siis a > c . 3. Võrratuse mõlema poolega saab liita ühe ja sama avaldise (arvu): kui a > b , siis a + c > b + c . 11 4. Võrratuse märk jääb samapidiseks, kui võrratuse mõlemat poolt korrutada või jagada ühe ja sama positiivse arvuga:
2 3 3 − 20 − 60 40 Lahendivalemite järgi saame: x = = 1, y= = 3, z = = −2 . − 20 − 20 − 20 Vastus. x = 1, y = 3, z = −2 . 30 3.14 Võrratus Kui kahe avaldise (arvu) vahel on võrratusmärk ( < , > , ≤ või ≥ ), siis sellist seost nimetatakse võrratuseks. Võrratuse omadused 1. Kui a > b , siis b < a . 2. Kui a > b ja b > c , siis a > c . 3. Võrratuse mõlema poolega saab liita ühe ja sama avaldise (arvu): kui a > b , siis a + c > b + c . 4. Võrratuse märk jääb samapidiseks, kui võrratuse mõlemat poolt korrutada või jagada ühe ja sama positiivse arvuga: a b
D D D kus d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 d1 Dx d 2 b2 c2 , Dy a2 d2 c2 , Dz a2 b2 d2 . d3 b3 c3 a3 d3 c3 a3 b3 d3 2.9 Võrratus Kui kahe avaldise (arvu) vahel on võrratusmärk ( , , või ), siis sellist seost nimetatakse võrratuseks. Võrratuse omadused 1. Kui a b , siis b a . 2. Kui a b ja b c , siis a c . 3. Võrratuse mõlema poolega saab liita ühe ja sama avaldise (arvu): kui a b , siis a c b c . 11 4. Võrratuse märk jääb samapidiseks, kui võrratuse mõlemat poolt korrutada või jagada ühe
7,-2.5 ja 3.17,2.1,3); märgime, et reaalarvu nulliga võrduva murdosa koos eelneva kümnendpunktiga võib jätta arvus kirjutamata; · relatiivsete ristkoordinaatidena viimati sisestatud punkti suhtes tunnuseks on kom- mertsmärgi @ olemasolu sisestatava punkti ees (näiteks: @3.7,0 ja @0,-5); · polaarkoordinaatidena, näidates kauguse ja polaarnurga (X-telje positiivse suuna suh- tes); siin tuleb koordinaatide eraldajana panna koma asemele võrratusmärk < (näiteks: 3<90 ehk 0,3 ja @3<180 ehk @3,0); seega võivad polaarkoordinaadid olla nii absoluutsed kui ka relatiivsed. Lisa 2. Punktifiltrid Punktifiltreid kasutatakse uute punktide moodustamiseks olemasolevate punktide X-, Y- ja/või Z-koordinaatide abil. Punktifiltreid võib käivitada · ikoonilatilt Point Filters ikoonidega .X, .Y, .Z, .XY, .XZ ja .YZ;
(Tasakaalustamata protsesside entroopia kasvu printsiip). Matemaatiliselt väljendub see võrratusena: smtkp > q / T (93) smtkp mittetasakaalu protsessi entroopia muutus. Ühendades võrrandid (92) ja (93) saame termodünaamika teise seaduse väljenduse entroopia muutuse kaudu: s q / T (94) Võrdusmärk kehtib tasakaalu (tagastatavate) protsesside puhul ja võrratusmärk tagastamatute protsesside puhul. Isoleeritud süsteemis reaalses tagastamatus ringprotsessis entroopia kasvab, tagastatava (tasakaalu) protsessi puhul jääb konstantseks. Olgu isoleeritud süsteemis kaks keha erineva temperatuuriga. Kehade vahelise soojusliku kontakti korral toimub tasakaalustamata soojusvahetus. Kogu selle süsteemi entroopia muutus on võrdne kehade entroopiamuutuste summaga: ss = s1 + s2 = -q / T1 + q / T2 = q ( 1/ T2 1/T1) (95)
annaabi.ee 
