tan tan = sin( - ) / cos*cos) Trigonomeetriliste funktsioonide korrutise teisendamine summaks. sin*sin = 0,5[cos( - ) cos( + b)] cos*cos = 0,5[cos( + ) + cos( - )] sin*cos = 0,5[sin( + ) + sin( - )] Huvitavaid lisavalemeid. 1 + cos = 2cos2 (/2) 1 cos = 2sin 2(/2) cos + sin = 2cos( - 45°) sin8 = 2sin4*cos4 Trigonomeetriliste võrrandite lahendusvalemid . sin x = m Lahendus: x = (-1) n *arcsin m + n nZ (n on täisarv) cos x = m Lahendus: x = ± arccos m + n nZ tan x = m Lahendus: x = arctan m + n nZ cot x = m Lahendus: x = arccot m + n nZ Arkusfunktsioonid. Nurkade väärtused -90° arcsin m 90° ( -1 m 1 ) 0° arccos m 180° ( -1 m 1 ) -90°< arctan m < 90° 0°< arccot m < 90° Negatiivse nurga teisendamine positiivseks. arcsin(-m) = -arcsin m arccos(-m) = - arccos m arctan(-m) = -arctan m arccot(-m) = - arccot m
· siinus- ja koosinusteoreem; · trigonomeetrilised funktsioonid, nende graafikud ja omadused; · trigonomeetrilised põhivõrrandid. Põhioskused · Täis-, terav- ja nürinurksete kolmnurkade lahendamine; · trigonomeetriliste avaldiste teisendamine; · taandamisvalemite kasutamine; · trigonomeetriliste funktsioonide graafikute skitseerimine ja lugemine; · lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendite leidmine etteantud piirkonnas; · trigonomeetria valemite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel. Valemid · Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste märgid Funktsioon I veerand II veerand III veerand IV veerand y = sin + + y = cos + + y = tan + +
· siinus- ja koosinusteoreem; · trigonomeetrilised funktsioonid, nende graafikud ja omadused; · trigonomeetrilised põhivõrrandid. Põhioskused · Täis-, terav- ja nürinurksete kolmnurkade lahendamine; · trigonomeetriliste avaldiste teisendamine; · taandamisvalemite kasutamine; · trigonomeetriliste funktsioonide graafikute skitseerimine ja lugemine; · lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendite leidmine etteantud piirkonnas; · trigonomeetria valemite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel. Valemid · Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste märgid Funktsioon I veerand II veerand III veerand IV veerand y = sin + + y = cos + + y = tan + +
sin = 2 1 + tan 2 2 1 - tan 2 cos = 2 1 + tan 2 2 · Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ±arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z · Arkusfunktsioonide omadusi sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin( x) = arcsin x arccos( x) = arccos x
1 - cos = 2 sin 2 1 + cos = 2 cos 2 2 2 tan Liitmisvalemid ) = sin ) = sin ) = cos ) = cos Korrutise teisendamine summaks Trigonomeetrilised põhivõrrandid x = ( - 1) arcsin m + n n sin x = m, , nZ ± arccos m + 2n cos x = m, x= ,nZ tan x = m, x = arctan m + n , nZ arc cot m + n cot x = m, x= , nZ Võrrandeid: sin x = 1, sin x = - 1, sin x = 0; cos x = 1, cos x = - 1, cos x = 0;
sin = 2 2 1 + tan 2 1 - tan 2 cos = 2 2 1 + tan 2 · Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ± arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z · Arkusfunktsioonide omadusi sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin( x) = arcsin x arccos( x) = arccos x
2 2 1 1 cos cos = [ cos( - ) + cos( + )] cos 2 = (1 - cos 2 ) 2 2 1 sin cos = [ sin( - ) - sin( + )] 2 Trigonomeetriliste põhivõrrandite lahendamine: Kui sin x = m , siis x = (-1) n arcsin m + n , kus n Z Kui cos x = m , siis x = ± arccos m + 2k , kus k Z Kui tan x = m , siis x = arctan m + l , kus l Z Kui cot x = m , siis x = arc cot m + t , kus t Z Aritmeetiline jada: a + an 2a + (n - 1) d a n = a1 + ( n - 1)d Sn = 1 n Sn = 1 n 2 2
x 00 300 450 600 900 Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine sin x = m Üldlahend on kujul sin x 0 0,5 2 3 1 n x = (− 1) arcsin m + nπ = II veerandi nugad 2 2 n = (− 1) arcsin m + n ⋅ 180° kus n ∈ Z. cos x 1 3 2 0,5 0 cos x = m Üldlahend on kujul 2 2 x = ±arccos m + 2nπ =
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Trigonomeetria Teravnurga puhul on sin vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe, tan vastaskaateti ja lähiskaateti suhe ning cos lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. Nurga veerand võetakse lõpphaara asukoha järgi ning on vastupäeva positiivne, päripäeva negatiivne. Taandamisvalemid võimaldavad taandada mistahes nurga radiaanideks. ja on teineteise täiendusnurgad 90°-ni, kui + = 90°. Siinusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=sinx. Tegu on paarisfunktsiooniga, periood on 2
Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised Hüperboolne trig. 1 1 e x - e -x (sin x ) = cos x ( arcsin x ) = ( sh x ) = ch x ( arsh x ) = sh x := 1- x2 x 2 +1 2
Korrutise _ teisendus _ summaks : 3 1 3 0 0 1 sin · sin = [ cos( - ) - cos( + ] 2 1 cos · cos = [ cos( + ) + cos( - )] Võrrandite üldlahendid: 2 sin x = m 1 sin · cos = [ sin( + ) + sin( - )] x = (-1)K arcsin m + n 2 x = (-1)K ° + n180° x = (-1)K r + n cos x = m x = ±arccos m + 2n x = ±° + n360° x = ±r + 2n tan x = m x = arctan m + n x = ° + n180° x = r + n Summa teisendus korrutiseks: sin( + ) sin( - ) tan + tan = tan - tan =
Kui summeerimisrajad selguvad kontekstist, siis kirjutatakse a . i i Kasutatakse ka tähistust a , kus A on summeerimisindeksi muutumispiirkond. iA i 3. TRIGONOMEETRIA 16 3.1 Nurga mõõtmine 1 1° (kraad) on täispöördest. 360 1 rad (radiaan) on kesknurk, millele vastava kaare pikkus on võrdne raadiuse pikkusega. 360o = 2 rad ; 180o = rad ; 1o = rad ;
y ' = lim = lim x 2 lim cos x x 0 x 2 x / 20 x0 2 2 2 = cos x MOTT. 2 Ülesanne (kodus): Leida y = cos x tuletis. Diferentseerimise põhivalemid 1 y = const y' = 0 y = arcsin x y' = 1- x2 y = x y ' = x -1 1 1 y = arccos x y' = - y= x y' = 1- x2 2 x 1 1 1 y = arctan x y' = y= y' = - 2 1+ x2 x x 1
(u+v)'=u'+v' Funktsiooni korrutise tuletis (c*u)'=c*u' (u*v)'=c'u+cu' Astmefunktsiooni tuletis (xa)'=axa-1 (x)'=1/(2x) Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised Logaritmfunktsiooni tuletised (logax)'=1/(x ln a) (lnx)'=1/x Eksponent funktsiooni tuletised (ax)'=axln a (ex)'=ex Liitfunktsioon F ( x) = f (u ) g ( x) Veel reegleid funktsioonide tuletiste kohta: x = 1 1 1 = 2 x x c = 0 Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ±arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z Funktsiooni tuletis ( xx)))=x)=cos (((F(aeax - sin ))))=)=x=) (ln axxxx)) ===)(u= (sin (cos ( x x 1x =af= a= 1ln en22(-xxa11)1 2 ) 1ag1ln xxxnx x xx
+ - sin - sin = 2 cos sin 2 2 + - cos + cos = 2 cos cos 2 2 + - cos - cos = -2 sin sin 2 2 +tan sin ( + ) tan = cos cos Trigonomeetrilised põhivõrrandid: sin x = m x = ( -1) n arcsin m + n , n Z cos x = m x = +arccos m + 2n , n Z tan x = m x = arctan m + n , n Z
(arcsin x) = 1 x 2 (arcsin u )x = 2 1 x2 dx = arcsin x + c 1 u 17 (arccos x) = 1 u x (arccos u )x = 1 x2 1 u2 18 1 u x 1 (arctan x) = 1+ x2
(arcsin x) = 1 x 2 (arcsin u )x = 2 1 x2 dx = arcsin x + c 1 u 17 (arccos x) = 1 u x (arccos u )x = 1 x2 1 u2 18 1 u x 1 (arctan x) = 1+ x2
Näiteks võrrand 2 sin 2 x + cos x - 1 = 0 on trigonomeetriline võrrand, võrrand x sin 1 + x 2 cos = 0 aga ei ole trigonomeetriline võrrand. Võrrandeid sin x = a, | a | 1, tan x = a, cos x = a, | a | 1, cot x = a, nimetatakse trigonomeetrilisteks põhivõrranditeks. Trigonomeetriliste põhivõrrandite lahendamine sin x = a, | a | 1 x = (-1) n arcsin a + n , n Z ; cos x = a, | a | 1 x = ± arccos a + 2n , n Z ; tan x = a, x = arctan a + n , n Z ; cot x = a, x = arccot a + n , n Z . Näide Lahendada võrrand tan x = 3. Lahendus Kuna arctan 3 = , 3 siis x = + n ehk x = (3n + 1) , kus n Z . 3 3 Võrdlusmeetod Keerukamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel teisendatakse
Kui summeerimisrajad selguvad kontekstist, siis kirjutatakse a . i i Kasutatakse ka tähistust a , kus A on summeerimisindeksi muutumispiirkond. iA i 3. TRIGONOMEETRIA 3.1 Nurga mõõtmine 16 1 1 (kraad) on täispöördest. 360 1 rad (radiaan) on kesknurk, millele vastava kaare pikkus on võrdne raadiuse pikkusega. 360o 2 rad ; 180o rad ; 1o rad ;
0 30 45 60 90 180 270 360° ° ° ° ° ° ° ° 1 2 3 sin 0 /2 /2 /2 1 0 -1 0 3 2 1 cos 1 /2 /2 /2 0 -1 0 1 3 tan 0 /3 1 3 - 0 - 0 sin cos tan II:+ I:+ II: - I: + II: - I: + III:- IV:- III: - IV:+ III:+ IV: - · sin= cos(90°-) · sin·sin= -1/2[cos(+)-cos(-)] · cos= sin(90°-) · cos·cos= 1/2[cos(+)+cos(-)] · sin(-x)= -sinx · sin·cos= 1/2[sin(+)+sin(-)] · cos(-x)= cosx · SII
--- &8A4= oa*#*d*J* A6d n 4* o@$ *A *.8&e Trigonomeetnilised p6hiv6rrandid sinx=m = *=(-l)' arcsin m+nn, neZ.'2 TE 7n 1-n 2 COSX=m = X=+afCCOSm+2nIE, neZ, 0(arccosru(n JE
Trigonomeetria Teravnurga puhul on sin vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe, tan vastaskaateti ja lähiskaateti suhe ning cos lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. y sin = r x cos = r y tan = x x cot = y Taandamisvalemid: II sin ( - ) = sin cos ( - ) = -cos tan ( - ) = -tan III sin ( + ) = -sin cos ( + ) = -cos tan ( + ) = tan IV sin (2 - ) = -sin cos (2 - ) = cos tan (2 - ) = -tan - sin (-) = -sin cos (-) = cos tan (-) = -tan Täiendusnurgad: sin = cos = cos (90° - ) cos = sin (90° - ) 1 tan = cot (90° - ) = tan(90°-) Eriväärtuste tabel: 0 30 45 60 90 180 270 360° ° ° ° ° ° °
Püstprisma sin 0 1 2 3 1 2 tan tan 2 = Ruumala: V = S p h 2 2 1 - tan 2 2 Külgpindala: S k = PH sin cos 1 3 2 1 0 tan = Täispindala: S t = S k + 2 S p 2 1 + cos 2 2 2 1 - cos Korrapärane püramiid sin = ± 1 t
∞ , kui m
a, a 0 18. Intervallide meetod a = - a, a < 0 19. Murdvõrratused (Pascali kolmnurk) 20. Võrratussüsteemid 4. Murru vabastamine irratsionaalsusest 21. Absoluutväärtust sisaldavad 5. Ligikaudne arvutamine võrratused/võrranid x = a ( ± a ) 22. Trigonomeetria sin 2 + cos 2 = 1 6. Suhteline e. relatiivne viga a sin S = tan = a cos 7. Võrrandid ja võrratused(lineaar, ruut, 1 1 + tan 2 =
Funktsiooni y = sinx pööramisel ahendatakse tema määramispiirkond kokkuleppeliselt lõiguks [ −π π ; 2 2 ] . Seega on funktsioon y = sin x, x ∈ [ −π π ; 2 2 ] on üksühene. Selle funktsiooni pöördfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja tähistatakse x = arcsin y. Kehtivad seosed arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y. Funktsiooni y = cos x, mis ei ole samuti üksühene kogu arvteljel, pööramisel ahendatakse tema määramispiirkond lõiguks [0, π]. Funktsiooni y = cos x, x ∈ [0, π] pöördfunktsioon kannab nimetust arkuskosinus ja seda täühistatakse x = arccos y. Kehtivad valemid arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y
tan 49)a) sin sin cos cos sin 50)a ) cos sin cos cos sin 51) sin 2 2 sin cos 52)a ) cos 2 cos 2 sin 2 2 tan b) tan 2 1 tan 2 Kirjuta põhivõrrandite lahendivalemid: 53) sin x m, x 1 arcsin m n n 54) cos x m, x arccos m 2n 55) tan x m, x arctan m n 56) Asendused trigonomeetrias sin tan cos sin 2 cos 2 1 cos 2 sin 2 cos 2 a) b) c) d) 1 1 tan 2 cos 2 2 ;2 57
Tuletiste tabel 1. (x ) = x-1 c =0 c-konstant, x =1 = 1, 1 ( x) = = 12 , 2 x 1 1 =- = -1. x x2 2. (sin x) = cos x. 3. (cos x) = - sin x. 1 4. (tan x) = . cos2 x 1 5. (cot x) = - . sin2 x 6. (ax ) = ax ln a a > 0, a = 1. 7. (ex ) = ex . 1 8. (loga x) = a > 0, a = 1. x ln a 1 9. (ln x) = . x 1 10. (arcsin x) = 1 - x2 1 11. (arccos x) = - 1 - x2 1 12. (arctan x) = 1 + x2 1 13. (arccot x) = -
Tuletiste tabel 1. (xα ) = αxα−1 c =0 c-konstant, x =1 α = 1, √ 1 ( x) = √ α = 12 , 2 x 1 1 =− α = −1. x x2 2. (sin x) = cos x. 3. (cos x) = − sin x. 1 4. (tan x) = . cos2 x 1 5. (cot x) = − . sin2 x 6. (ax ) = ax ln a a > 0, a = 1. 7. (ex ) = ex . 1 8. (loga x) = a > 0, a = 1. x ln a 1 9. (ln x) = . x 1 10. (arcsin x) = √ 1 − x2 1 11. (arccos x) = − √ 1 − x2 1 12. (arctan x) = 1 + x2
pöördfunktsioon puudub, kuna igale muutuja y väärtusele funktsiooni muutumispiirkonnast vastab lõpmata palju argumendi x väärtusi. Küll aga võime leida selle funktsiooni pöördfunktsiooni sel juhul, kui ahendame tema määramispiirkonna lõiguks X = [- / 2; / 2] 10 Näide 1 Kui X = [- / 2 ; / 2] on siinusfunktsiooni pöördfunktsiooniks vastav arkusfunktsioon: x = arcsin y, Y [-1; 1] y 2 NB! Esialgse funktsiooni y = arcsin x muutumispiirkonnast saab 1,5 y= x pöördfunktsiooni 1
üheseid pöördfunktsioone. Pöördfunktsiooni defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist esimene iga x [-/2, /2] korral. arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist esimene iga x [0, ] korral. arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y, neist esimene iga x (-/2, /2 ) ja kolmas iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) . Ilmutatud funktsioon funktsiooni y=f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldus, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Ilmutamata funktsioon Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x,y)=0, kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis.
x · a 1) y = log a x · Logaritmfunktsioon: , kus logaritmide alus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1). · Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x Nendes valemites väljendatakse sõltumatu muutuja x radiaanides. · Arkusfunktsioonid: y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , y = arc cot x . Kui meil on kaks funktsiooni f(x) ja g(x) ning kui nendest funktsioon f[g(x)], siis on tegemist nö liitfunktsiooniga. 5. Polaarkaugus ja polaarnurk, polaarkoordinaadid. Seosed polaar- ja ristkoordinaatide vahel, joonis. Punkti M asukoha tasapinnal määravad kaks arvu: polaarkaugus (polaarraadius) , mis on punkti M kaugus poolusest, ja polaarnurk , mis on polaartelje ja lõigu OM vahel
3 radiaanid 0 3 6 4 3 2 2 Diferentseerimise valemid y const y' = 0 y arcsin x 1 y'= 1 x2 y xa y' = ax a 1 y arccos x 1 y'=
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
