Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Trigonomeetria valemileht". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
trigonomeetria, trigonomeetriliste, täiendusnurga, valemileht, korrutiseks, radiaanmõõt, kirjapilt, 1radsin 2 =2sin cos cos 2 =cos2 - sin 2 cos 2 = 2 cos2 -1 cos 2 = 1- 2 sin 2 tan 2 = 2 tan / (1 - tan 2 ) cot 2 = cot2 - 1/ (2cot ) Poolnurga trigonomeetrilised funktsioonid. cos2 (/2) + sin2 (/2) = 1 cos2(/2) - sin 2(/2) = cos Liites võrduste mõlemad pooled: 2cos2(/2) = 1 + cos Lahutades: 2sin 2(/2) = 1 - cos järelikult: cos2 (/2) = 1 + cos (/2) sin 2/2) = 1 - cos (/2) Trigonomeetriliste funktsioonide summa ja vahe teisendamine korrutiseks. sin + sin = 2sin( + ) /2 cos( - ) /2 sin - sin = 2cos( + ) /2 *sin( - ) /2 cos + cos =2cos( +) /2 *cos( -) /2 cos cos = -2sin( + ) /2 *sin( - ) /2 tan + tan = sin( + ) / (cos*cos) tan tan = sin( - ) / cos*cos) Trigonomeetriliste funktsioonide korrutise teisendamine summaks. sin*sin = 0,5[cos( - ) cos( + b)] cos*cos = 0,5[cos( + ) + cos( - )] sin*cos = 0,5[sin( + ) + sin( - )] Huvitavaid lisavalemeid. 1 + cos = 2cos2 (/2) 1 cos = 2sin 2(/2) cos + sin = 2cos( - 45°)
1+ tan2 a = TÄIENDUSNURGA VALEMID sin (90 - a) =cos a cos (90 - a) = sin a tan (90 - a) = 1/tan a = cot a cot (90 - a) = 1/cot a = tan a NEGATIIVSE NURGA SIINUS,KOOSINUS,TANGENS JA KOOTANGENS. sin (- a) = -sin a cos (- a) = cos a tan (- a) = -tan a cot (- a) = -cot a KAHEKORDSE NURGA SIINUS, KOOSINUS, TANGENS JA KOOTANGENS. sin 2a =2sin a cos a cos 2a =cos2 a - sin2 a cos 2a = 2 cos2 a -1 cos 2a = 1- 2 sin2 a tan 2a = 2 tan a/ (1 - tan2 a) cot 2a = cot2 a - 1/ (2cot a) NURKADE TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE VÄÄRTUSED. 0 30 45 60 90 sin 0 0.5 1 cos 1 0,5 0 tan 0 1 puudub cot puudub 1 0 POOLNURGA TRIGONOMEETRILISED FUNKTSIOONID cos2 (a/2) + sin2 (a/2) = 1 cos2(a/2) - sin2(a/2) = cos a Liites võrduste mõlemad pooled: 2cos2(a/2) = 1 + cos a Lahutades:
2 2) 0,16; 4) ; 6) -0,75. 5 4. Kirjuta iga nurk kujul x = + 360ok, kus 0o 360o ja k Z. 1) 1510o; 3) 2222o; 5) -1182o; o o 2) 760 ; 4) -873 ; 6) -3173o. 5. Arvuta nurga ülejäänud trigonomeetriliste funktsioonide väärtused. 5 1) sin = - ja 180o < < 270o; 3) tan = -2 ja 90o < < 180o; 13 45 2) cos = - ja 90o < < 180o; 4) cot = -3 ja 270o < < 360o. 53 6. Arvuta. sin(-150 0 ) 1) 0 - tan 240 0 sin 315 0 ; cos(-300 ) 2) tan 135o sin 270o + sin 810o + cos1350o;
sin2 + cos2 = 1 tan = sin /cos 1+tan2 = 1/cos2 sin2 = 1 cos2 sin = tan *cos cos2 = 1/tan2 +1 cos2 = 1 sin2 cos = sin /tan cos2 1 = - sin2 cot = cos /sin cot =1/tan sin2 1 = - cos2 cos = cot *sin tan *cot =1 sin = cos /cot 1+cot2 = 1/sin2 sin = cos (90o ) sin = vastas kaatet/hüpotenuus cos = sin (90o ) cos = lähis kaatet/hüpotenuus tan = 1/tan (90o ) tan = vastas kaatet/lähis kaatet cot =tan (90o ) cot = lähis kaatet/vastas kaatet tan = cot (90o ) Kolmnurga pindala Koosinusteoreem Siinusteoreem S=a*h/2 a2=b2+c2-2bc*cos a/sin=b/sin=c/sin=2R S=1/2a*b*
1. (Nurgakraad) 10 on 1/90 osa täisnurgast ehk 1/360 osa täispöördest. 2. (Nurgaminut) 1' on 1/60 kraadist. 3. Teravnurga sin,cos,tan täisnurkses kolmnurgas- sin=a/c, cos=b/c, tan=a/b 4. Seosed ühe nurga sin,cos, tan jaoks- sin2+cos2=1, tan=sin/cos, 1+tan2=1/cos2 5. Täiendusnurga tri. funkt. sin=cos(90º-), cos=sin(90º-), tan=1/tan(90º-) 0o 30 o 45 o 60 o 90 o sin 0 1/2 2 /2 3 /2 1 cos 1 3 /2 2 /2 1/2 0 tan 0 3 /3 1 3 6. 7
30 45 60 sin cos tan 1 cot 1 Täisnurkse kolmnurga lihtustamine: Valemid: sin2 x + cos2 x = 1 Üle 90 nurgad · Esimene veerand kuni 90nurgad · Teine veerand kuni 180nurgad. Otsitava nurga leidad 180- Ntks: cos120=cos(180-60)=cos 60=0.5 · Kolmas veerand kuni 270. Otsitava nurga leiad 180+ · Neljad veerand kuni 360. Otsitava nurga leiad 360- Tabel, mis näitab sin,cos ja tan märgi, kui nurk on üle 90: I veerand II veerand III veerand IV veerand sin + + - - tan + - + - cos + - - + Erinevad võimalused täisnurke kolmanurga lahendamiseks I Pytha
· trigonomeetrilised põhiseosed; · trigonomeetriline avaldis; · taandamisvalemid nurkade 90o , 180 o ja 360 o puhul; · kahe nurga summa ja vahe siinus, koosinus, tangens; · kahekordse ja poolnurga siinus, koosinus, tangens; · siinus- ja koosinusteoreem; · trigonomeetrilised funktsioonid, nende graafikud ja omadused; · trigonomeetrilised põhivõrrandid. Põhioskused · Täis-, terav- ja nürinurksete kolmnurkade lahendamine; · trigonomeetriliste avaldiste teisendamine; · taandamisvalemite kasutamine; · trigonomeetriliste funktsioonide graafikute skitseerimine ja lugemine; · lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendite leidmine etteantud piirkonnas; · trigonomeetria valemite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel. Valemid · Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste märgid Funktsioon I veerand II veerand III veerand IV veerand
· trigonomeetrilised põhiseosed; · trigonomeetriline avaldis; · taandamisvalemid nurkade 90o , 180 o ja 360 o puhul; · kahe nurga summa ja vahe siinus, koosinus, tangens; · kahekordse ja poolnurga siinus, koosinus, tangens; · siinus- ja koosinusteoreem; · trigonomeetrilised funktsioonid, nende graafikud ja omadused; · trigonomeetrilised põhivõrrandid. Põhioskused · Täis-, terav- ja nürinurksete kolmnurkade lahendamine; · trigonomeetriliste avaldiste teisendamine; · taandamisvalemite kasutamine; · trigonomeetriliste funktsioonide graafikute skitseerimine ja lugemine; · lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendite leidmine etteantud piirkonnas; · trigonomeetria valemite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel. Valemid · Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste märgid Funktsioon I veerand II veerand III veerand IV veerand
......................................................................6 Reaalarvude piirkonnad............................................................................................................7 Protsentarvutus......................................................................................................................... 7 Ratsionaalavaldise lihtsustamine..............................................................................................7 Tegurdamine e. korrutiseks teisendamine............................................................................ 8 Astendamine............................................................................................................................. 8 Naturaalarvuline astendaja................................................................................................... 8 Tehted astmetega...............................................................................................................
Trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetrilised võrrandid Valemid · Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste märgid Funktsioon I veerand II veerand III veerand IV veerand y = sin + + y = cos + + y = tan + + y = cot + + · Trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi
3) sin2 12 + sin2 78 2. Leia 1) sin 1845 2) cos 150 3) tan (-225) 3. Leia 1) sin 6 2) tan (- ) 4. Leia sin , cos ja tan , kui nurga lõpphaara punkt on antud. 1) A (4; 3) 5. Teisenda nurk kraadimõõdust radiaanimõõtu ja vastupidi. 1) 80 2) 512 6. Leia cos , kui sin = 0, 6 ja on II veerandi nurk. 7. Leia sektori pindala ja vastava kaare pikkus. 1) = 50 , r = 50 cm 2) x = 2 5 , r = 700 cm Kontrolltöö vastused trigonomeetria 1. 1) sin 240 · cos 150 = (- ) · (- ) = 3 2 3 2 3 4 = 0,75 sin 240 = sin (180 + 60 ) = - sin 60 = - 3
TRIGONOMEETRIA sin 1 32. Põhiseosed sin 2 + cos 2 = 1 , = tan , 1 + tan 2 = , cos cos 2 1 tan cot = 1 , 1 + cot = 2 sin 2 33. Mõningate nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused Mõnin 0° 30° 45° 60° 90° gate sin 0 1 1 2 3 2 2 2 cos 1 3 2 1 0
TRIGONOMEETRIA sin 1 32. Põhiseosed sin 2 + cos 2 = 1 , = tan , 1 + tan 2 = , cos cos 2 1 tan cot = 1 , 1 + cot = 2 sin 2 33. Mõningate nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused Mõnin 0° 30° 45° 60° 90° gate sin 0 1 1 2 3 2 2 2 cos 1 3 2 1 0
Trigonomeetria valemid: Põhiseosed Täiendusnurga trigonomeetrilised Negatiivse nurga trigonomeetrilised sin α funktsioonid funktsioonid sin 2 α + cos 2 α = 1 = tan α tan α ⋅ cot α = 1 cosα 1 1 1 + tan 2 α = 1 + cot 2 α =
1 tan x 16. Lihtsusta sin 2 x (1) 1 tan 2 x 1 tan 2 x tan 270 a sin 90 a 17. Tõesta 1 tan 90 a sin 2 270 cos 360 a a a 18. Teisenda korrutiseks 1 sin a cos a 2 2 cos cos 45 2 2 19. Teisenda korrutiseks cos a cos 2a cos 3a a a 4 cos 2a sin 30 sin 30 2 2 a a 1 cos sin 2 2 a 1 20
2 1 + cos 1 + cos sin tan(90° + )=-cot tan(90° - )=cot 1 - cos = 2 sin 2 ; _ 1 - cos 2 = 2 sin 2 2 cot(90° - )=tan tan(180° - )=-tan 1 + cos = 2 cos 2 ; _ 1 + cos = 2 cos 2 2 2 4 tan(270° + )=-cot Summa _ teisendus _ korrutiseks : + - sin + sin = 2 sin · cos 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º 2 2 sin 2 3 + - sin - sin = 2 cos · sin 0 ½ 2 2 1 0 -1 0 2 2 cos 3 2 + -
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Trigonomeetria Teravnurga puhul on sin vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe, tan vastaskaateti ja lähiskaateti suhe ning cos lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. Nurga veerand võetakse lõpphaara asukoha järgi ning on vastupäeva positiivne, päripäeva negatiivne. Taandamisvalemid võimaldavad taandada mistahes nurga radiaanideks. ja on teineteise täiendusnurgad 90°-ni, kui + = 90°. Siinusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=sinx. Tegu on paarisfunktsiooniga, periood on 2
Aritmeetiline jada-Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja selle jada jaoks mingi kindla arvu summaga nimetatakse aritmeetiliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse aritmeetilise arvu jadaks ja tähistatakse tähega d. an=a1+(n-1)d an+1=an+d » an+1-an=d sn= a1+an/2 x n või sn=2a1+(n-1)d/2 Geomeetriline jada- Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja antud jada jaoks mingi kindla arvu korrutisega nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse teguriks ja tähistatakse tähega q n-1 n an=a1 x q q=an+1/n sn=a1(q -1)/q-1 Lõpmatult kahaneva geomeetrilise jada summa- S=a1/1-q Arvu ,,A" nimetatakse jada ,,an" tõkestamatul kasvamisel ja tähistatakse sümboliga liman=A n lim1/n=0 Piirväärtus n (tõkestamatul kasvamisel) läheneb nullile. n Piirväärtust
a, a 0 18. Intervallide meetod a = - a, a < 0 19. Murdvõrratused (Pascali kolmnurk) 20. Võrratussüsteemid 4. Murru vabastamine irratsionaalsusest 21. Absoluutväärtust sisaldavad 5. Ligikaudne arvutamine võrratused/võrranid x = a ( ± a ) 22. Trigonomeetria sin 2 + cos 2 = 1 6. Suhteline e. relatiivne viga a sin S = tan = a cos 7. Võrrandid ja võrratused(lineaar, ruut, 1 1 + tan 2 =
+ + - - Sin = Cos = - + - + Tan = - + + - Cot = - + + - 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° Sin 0 1 0 -1 0 Cos 1 0 -1 0 1 Tan 0 1 3 - 0 - 0 Cot - 3 1 0 - 0 - 1. Täispöörete eraldamine Sin(+n360°) = sin Cos(+n360°) = cos tan(+n360°) = tan cot(+n360°) = cot 2. Taandamisvalemid II veerandi nurgale Sin(180°-) = sin cos(180°-) = -cos tan(180°-) = -tan 3. Taandamisvalemid III veerandi nurgale Sin(180°+) = -sin cos(180°+) = -cos tan(180°+) = tan 4. Taandamisvalemid IV veerandi nurgale Sin(360°-) = -sin cos(360°-) = cos tan(360°-) = -tan 5. Negatiivse nurga taandamine Sin(-) = -sin Cos(-) = cos Tan(-) = -tan
Trigonomeetria põhiseosed Lihtsustamiseks kasutatakse 1. Trigonomeetria põhiseoseid: sin 2 + cos 2 = 1 1 - cos 2 = sin 2 sin 1 - sin 2 = cos 2 = tan cos cos tan = sin 1 1 + tan 2 = tan cot = 1 cos 2 1 cos
Täiendusnurga valemid sin cos(90 ) cos sin(90 ) 1 tan cot(90 ) tan(90 ) © Allar Veelmaa 2014 16 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium TAANDAMISVALEMID Taandamisvalemid on valemid, mis võimaldavad mistahes nurga trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste leidmise taandada teravnurga trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste leidmisele. Taandamisvalemeid ei tule pähe õppida, kasulik on meelde jätta skeem Selle skeemi järgi on näha, et siinuse väärtus on positiivne esimese ja teise veerandi nurga korral, koosinuse väärtus on positiivne esimese ja neljanda veerandi nurga korral ning tangensi väärtus on positiivne esimese ja kolmanda veerandi nurga korral.
Trigonomeetria Teravnurga puhul on sin vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe, tan vastaskaateti ja lähiskaateti suhe ning cos lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. y sin = r x cos = r y tan = x x cot = y Taandamisvalemid: II sin ( - ) = sin cos ( - ) = -cos tan ( - ) = -tan III sin ( + ) = -sin cos ( + ) = -cos tan ( + ) = tan IV sin (2 - ) = -sin cos (2 - ) = cos tan (2 - ) = -tan - sin (-) = -sin cos (-) = cos tan (-) = -tan Täiendusnurgad: sin = cos = cos (90° - ) cos = sin (90° - ) 1 tan = cot (90° - ) = tan(90°-) Eriväärtuste tabel: 0 30 45 60 90 180 270 360° ° ° ° ° ° °
Trigonomeetriliste avaldiste teisendamine Trigonomeetria põhivalemid sin 2 + cos 2 = 1 sin tan = cos 1 1 + tan = 2 cos 2 cos cot = sin Taandamisvalemid Taandamisvalemite rakendamiseks piisab järgmise reegli teadmisest: nurkade - , + ja 2 - korral teiseneb nende siinus avaldiseks sin , koosinus avaldiseks cos ja tangens avaldiseks tan , mille ees olev märk ("+" või "-") sõltub sellest, milline on vastavalt siinuse, koosinuse või tangensi märk veerandis, kuhu kuulub esialgne nurk - , + ja 2 - Märgi määramisel loetakse nurk teravnurgaks. Kui nurk on kirjutatud kujul / 2 ± või 3 / 2 ± , siis muutub, sin cos tan cot cos sin cot tan. märgi määramise reegel jääb endiseks. Trigonomeetriliste funktsioonide märgid + + _ + _ _
Püstprisma sin 0 1 2 3 1 2 tan tan 2 = Ruumala: V = S p h 2 2 1 - tan 2 2 Külgpindala: S k = PH sin cos 1 3 2 1 0 tan = Täispindala: S t = S k + 2 S p 2 1 + cos 2 2 2 1 - cos Korrapärane püramiid sin = ± 1 t
cos 2 sin 2 Kahekordse nurga valemid: sin 2 = 2 sin cos , cos 2 = cos 2 - sin 2 , 2 tan tan 2 = 1 - tan 2 Summa ja vahe siinus ning koosinus: sin( ± ) = sin cos ± cos sin cos( ± ) = cos cos sin sin Trigonomeetriliste funktsioonide summa ja vahe teisendamine korrutiseks: + - + - sin + sin = 2 sin cos sin - sin = 2 cos sin 2 2 2 2 + - + - cos + cos = 2 cos cos cos - cos = -2 sin sin 2 2 2 2
Trigonomeetria valemid kõik ühel lehel. Põhiseosed Täiendusnurga trigonomeetrilised Negatiivse nurga trigonomeetrilised sin sin 2 + cos 2 = 1 = tan tan cot = 1 funktsioonid funktsioonid cos 1 1 1 + tan 2 = 1 + cot 2 = cos 2 sin 2
Trigonomeetria valemid kõik ühel lehel. Põhiseosed Täiendusnurga trigonomeetrilised Negatiivse nurga trigonomeetrilised sin sin 2 + cos 2 = 1 = tan tan cot = 1 funktsioonid funktsioonid cos 1 1 1 + tan 2 = 1 + cot 2 = cos 2 sin 2
55) tan x m, x arctan m n 56) Asendused trigonomeetrias sin tan cos sin 2 cos 2 1 cos 2 sin 2 cos 2 a) b) c) d) 1 1 tan 2 cos 2 2 ;2 57. Trigonomeetriliste funktsioonide graafikud lõigul Kirjuta aritmeetilise jada 60) - üldliikme valem : an=a1 + ( n−1 ) d a1 +a n 61) - summa valem : S= ∗n 2 an−1+ an+1 62) - liikmete omadus alates teisest liikmest: an = iga arv alates
· Eksponentvõrrand a = b x = loga b x a f(x) = ab f(x) = b log a x = b x = a b · Logaritmvõrrandid log a f ( x ) = log a b f ( x ) = b 7. Trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetrilised võrrandid · Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste märgid Funktsioon I veerand II veerand III veerand IV veerand y = sin + + y = cos + + y = tan + + y = cot + +
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005 1. Põhilised punktid ja jooned Maa pinnal. Maakera kujutab endast pooluste suunas veidi lapikut kera või pöördellipsoidi. Tegelikult on maakera korrapäratu geomeetriline keha, mida nimetatakse ka gedoid´iks. Suur pooltelg = 6 378,24 km Väike pooltelg = 6 356,86 km Maakera keskmine raadius on 6 371,1 km Maakera telg Maa keset läbiv mõtteline telg, mille ümber ta pöörleb. Maa geograafilised poolused punktid, kus Maakera telg lõikab Maa pinda. Meridiaanid pooluseid läbivad suurringi kaared. Ekvaator Maakera teljega ristuv ja maakera keskpunkti läbiva tasandi ning Maa pinna lõikejoon. Paralleel ekvaatori rööptasandi ja Maa pinna lõikejoon. Tõelise meridiaani tasand püsttasand, mis läbib vaatleja silma ja maakera telge. Vaatleja meridiaan tõelise meridiaani tasandi ja Maa pinna lõike jälg. Tõelise horisondi tasand Vaatleja silma läbiv rõhttas
Kui summeerimisrajad selguvad kontekstist, siis kirjutatakse a . i i Kasutatakse ka tähistust a , kus A on summeerimisindeksi muutumispiirkond. iA i 3. TRIGONOMEETRIA 16 3.1 Nurga mõõtmine 1 1° (kraad) on täispöördest. 360 1 rad (radiaan) on kesknurk, millele vastava kaare pikkus on võrdne raadiuse pikkusega. 360o = 2 rad ; 180o = rad ; 1o = rad ;
Kui summeerimisrajad selguvad kontekstist, siis kirjutatakse a . i i Kasutatakse ka tähistust a , kus A on summeerimisindeksi muutumispiirkond. iA i 3. TRIGONOMEETRIA 3.1 Nurga mõõtmine 16 1 1 (kraad) on täispöördest. 360 1 rad (radiaan) on kesknurk, millele vastava kaare pikkus on võrdne raadiuse pikkusega. 360o 2 rad ; 180o rad ; 1o rad ;
annaabi.ee 
