Näide 2 cos x cos 2 x = cos 3x [cos(2 x - x) + cos(2 x + x)] / 2 = cos 3 x [cos x + cos 3 x] / 2 = cos 3 x cos x = cos 3x cos x = cos 3x x = ±3 x + 2n 1) x = +3 x + 2n 2) x = -3x + 2n 4 x = 2n - 2 x = 2n x = - n x = n / 2 Võrrandid, mille vasak pool teisendub korrutiseks ja parem pool on null Näide cos 4 x + cos 2 x = 0 4x + 2x 4x - 2x 2 cos cos =0 2 2 2 cos 3 x cos x = 0 2 1) cos 3 x = 0 3 x = ± 2 + 2n x = ± + n 6 3 2) cos x = 0 x = ± + 2n
(4.1) Kui s=0, siis on see nulljärku homogeenne funktsioon ehk lihtsalt homogeenne funktsioon. (4.1)' Võttes siin k=1/x saame, et homogeenne funktsioon sõltub vaid muutujate suhtest: (4.2) Def 4.2 võrrand (4.2) y'=f(x,y) on homogeenne kui funktsioon f(x,y) on homogeenne. Sõltub ainult suhtest y/x . On lihtne näha, et võrrand on homogeenne, kui A(x,y) ja B(x,y) on sama järku homogeensed. Et homogeenne võrrand (4.2) teisendub kujule (4.2)' , siis teeme teisenduse (4.4) , Siit saame leida ja Asendades võrrandisse (4.2)' saame , mis on juba eralduvate muutujatega võrrand. 5. Lineaarne esimest järku võrrand Def 5.1 esimest järku dif.võr on lineaarne kui sel on lineaarne funktsioon y ja selle tuletise y' suhtes y ja y' esinevad vaid esimeses astmes ja nende kordajad sõltuvad vaid x-ist. (5.1) Siin , sest vastasel juhul pole dif.võr. Jagades võrrandi (5.1) mõlemad pooled läbi a(x)-ga, saame: (5
tõenäoliselt vanim järv. Sellesse tohutu suurde soolaveelisse järve suubub palju jõgesid, sealhulgas ka Euroopa pikim jõgi Volga. Ent mitte ainsatki jõge ei voola temast välja. Kaspia meri asub merepinnast madalamal. Eesti järved Eestis on üle tuhande järve. Järvederikkamaks paigaks on Alutagusel asuv Kurtna. Suurimad järved on Peipsi (2611 km2 ) ja Võrtsjärv(270 km2). Järvede värvus teisendub heledast rohekassinisest tumepruunini. Sügavaimad järved on: Rõuge suurjärv (38m), Väike Palkna võrtsjärv järv (31,9m), Udsu järv (30,2m), Tsolgo Mustjärv (29,7m), Uhtjärv (27.6m). Väike Palkna järv Uhtjärv Tsolgo Mustjärv Rõuge järv Järvenõgude teke Mandrijäätekkelised (Peipsi järv, Saadjärv, Pühajärv, Viljandi järv) Merelahtedest tekkinud ehk rannajärved (Harku järv, Mullutu-Suurlaht)
abikaasa.Ta vahetas tihti naisi, kuna ta ei olnud mitte kellegiga rahul. Tema arvates oli armastus see, et oleks naine, kellega koos jagada ühiseid muresid ja rõõme. Anna jaoks oli armastus see, et ta armastas oma poega väga, ei suutnud leppida tema kaotusega.Kui ta armus Vronskisse ei suutnud ta petta oma meest Alekseid külmavereliselt. Ta ei suutnud armastada Vronski tütart nii nagu oma poega Serjosat ja armastus Vronski vastu teisendub hüsteeriliseks kiivuseks.Anna oli korralik naine, kes oli kinkinud Vronskile oma armastuse. Anna uskus, et kui pole armastust, pole mõtet Mariliis Tisler 11.B ka elada.Tema jaoks oli armastus täielik pühendumine. Talle, ei meeldinud see, kui Aleksei kellegi teisega aega veetis. Ta lootis, et tõeline armastus kestab igavesti. Levini jaoks oli armastus tähtsal kohal. Ta armastas Kittyt ,kellega ta abiellus ja
ka külmalt, mittemagneetiline. Toatemperatuuril laguneb A -> F+T= Perliit · Keemiline ühend tsementiit (T) Fe3C - C-sisaldus kuni 6,67% . Habras ja väga kõva 820HB. Väga püsiv madalatel temperatuuridel · Vedelfaas L 4.3. Loetlege mehaanilised segud Fe-C-sulameis, tooge nende määratlused. · Ledeburiit (Le) - eutektne segu C-sisaldusega 4,3%, mis tekib vedelfaasi kristalliseerumisel temp.-l 1147. L -> A + T, st vedelfaas teisendub kahefaasiliseks mehaaniliseks seguks. Alla temp 727 Le -> F + T, st Le= A+T (1147-727) ja F+T (727-0) · Perliit (P) - C-sisaldus 0,8%, A -> F+T=P tekib temp.-l 727 (700-500 - perliit) · Beiniit (B) - C-sisaldus 0,8%, A-> F+T=B, kui temp alla 500-300 4.4. Kuidas liigitatakse Fe-C-sulamid liihtudes FD-st (C-sisalduses)? 0..alaeutektoidterased..0,02%..eutektoidterased..0,8%..üleeutektoidt.-d...2,14%..alaeutektsed malmid..4,3%..eutektsed malmid..6,67%.
Minnes võrduses piirile, saame ehk . Kaksikintegraali avaldise väljakirjutamisel saame lõpuks . 3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid. Teisendust t x Rn, nimetatakse regulaarseks , kui · Ta on üksühene · osatuletised xk(t), k=1,.....,n on pidevad piirkonnas · teiseduse jakobiaan Kui funktsioon f on pidev piirkonnas Rn ja teisendus t x on regulaarne piirkonnas ' Rn ning teisendub piirknna ' piirkonnaks , siis Üleminek polaarkoordinaatidele, kui teisendus on kujul ja , kui Saame Kui piirkond D on polaarkooordinaatides piiratud kiirtega ning kõveratega ja , siis saab valemi esitada kujul 4.Kolmekordne integraal ja selle arvutamine rist-, silinder- ja sfäärkoordinaatides Kolmekordne integraal: c R3 Piirkond ruumis piirkond kinnine, mõõtuv, tõkestatud hulk Definitsoon: Kui eksisteerib
3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid. Teisendust t →x ϵ Rn, nimetatakse regulaarseks , kui Ta on üksühene osatuletised xk(t), k=1,…..,n on pidevad piirkonnas Ω teiseduse jakobiaan n Kui funktsioon f on pidev piirkonnas Ω R ja teisendus t →x ϵ Ω on regulaarne n piirkonnas Ω’ R ning teisendub piirknna Ω’ piirkonnaks Ω, siis Üleminek polaarkoordinaatidele, kui teisendus on kujul ja , kui Saame Kui piirkond D on polaarkooordinaatides piiratud kiirtega ning kõveratega ja , siis saab valemi esitada kujul 4.Kolmekordne integraal ja selle arvutamine rist-, silinder- ja sfäärkoordinaatides Kolmekordne integraal:
seda lähemal on X ja Y sõltuvus lineaarsele seosele. Kui korrelatsioon võrdub nulliga, siis on tegemist X ja Y korreleerimatusega (xy =0). Korreleerimatus on seotud sõltumatusega nii, et sõltumatusest tuleneb korreleerimatus, ent vastupidine üldjuhul ei kehti. Korrelatsiooni ruutu nimetatakse determinatsiooniteguriks (ka determinatsiooniks). Juhusliku suuruse teisendused Kui X on diskreetne juhuslik suurus, siis iga X võimalik väärtus xi teisendub väärtuseks yi =g(xi) ning jaotus {pi} säilub Y jaoks samasena kui X jaoks. Kui X on pidev juhuslik suurus ning teisendusfunktsioon g(x) on monotoonne. Juhusliku suuruse lineaarteisendused Lineaarteisendus on ülalkirjeldatud juhusliku suuruse teisendamise olulisim erijuht, kus teisendusfunktsioon saab kuju g(x) = a + bx (b0). Seega lineaarteisendusel jaotusseaduse kuju ei muutu, nagu ka kujukarakteristikud asümmeetria ja ekstsess. Oluline on ka see, et väljundi
Kreeka transpositsioonisiffer Tuntud nime all Skytale all · Esmamainitud ca 500a. E.kr. · Sisaldab linti (rihma), millele on kantud tähted ja õige jämedusega pulka · Linti pulgale kerides saab teksti lugeda ja kirjutada Ceasari siffer Oli lihtne substitutsioonisiffer: tähestiku iga täht asendati temast teatud arv positioone edasi oleva tähega Kasutusele võttis rooma keiser Julius (gaius) Ceasar Kasutuseaeg: 50a . e.kr. Näide: sõna KRYPTO teisendub nt sõnaks CIOHKG Araabia krüptograafia Al-Khalil (abu'abd al-rahman al-khalil ibn ahmad ibn'amr ibn tammam al Farhidi alzadi alyahmadi), ca 790 a p. Kr. · Kirutas raamatu ,,salakirjast" (nüüdseks kaduma läinud) · Juurdles mitmete sifrisüsteemide üle,sh bütsantsi impeeriumis kasutatute üle · Kasutatas keerkuat krüptoanalüütilist võtet (teadaoleva avateksti rünne), mida pruugiti nt ENGIMA murdmisel 1940. Jeffersoni silinder Esmamainitu 1790
Vronskisse armumine ei suuda Anna oma meest petta külmavereliselt, tema kirglik tunne pole suurilmlik seiklus, vaid tõeline andumus, mis teeb elu Kareniniga võimatuks. Vronski pole Aleksei Kareninist väiksem , kuid teist laadi egoist, tema jaoks tähendab elu vaid naudingute vaheldust. Seepärast pole ka midagi imestada, et tema kirg Anna vastu jahtub. Ka Anna vaesustub oma tunnetes, ta ei suuda Vronski tütart, oma teist last armastada nii nagu Serjozat ja armastus Vronski vastu teisendub hüsteeriliseks kiivuseks. Seepärast ongi Anna lõpp nii kohutav. See on tingitud suuresti kõrgema seltskonna tagakiusamisest kui ka enda sisemisest kriisist. Enesetapuni viis mõistetav, kuid egoistlik puhang perekonna ja inimlike sidemete purunemine. Anna käitumine on patt jumala kuid mitte inimeste ees. Seepärast ei ole inimestel õigust tasuda, seda võib vaid jumal. Anna sisemise traagika välised põhjused olid: a. seltskond oli ta hüljanud b
Korrelatsioon on kovariatsiooni normeeritud variant, tähistatakse pxy. Korrelatsioon iseloomustab X ja Y sõltuvust esmajoones nende lineaarse seose tugevuse mõttes. Selle moodul ei ületa väärust 1. Mida lähemal on korrelatsiooni väärtus ühele, seda lähemal on X ja Y sõltuvus lineaarsele seosele. Sõltumatusest tuleneb korreleerimatus ent vastupidine ei kehti. Korrelatsiooni ruutu nim determinatsiooniteguriks. Kui X on diskreetne juhuslik suurus, siis iga X võimalik väärtus xi teisendub väärtuseks yi=g(x) ning jaotus säilub Y jaoks samasena kui X jaoks. Kui X on pidev juhuslik suurus ning teisendusfunktsiooon g(x) on monotoonne, siis avaldub y jaotustihedus nii: fy(y)=fx[i(y)]*/i'(y)/ Kui x on pidev juhuslik suurus ning teisendusfunktsioon g(x) pole monotoonne, tuleb g(x) jagada X muutumispiirkonna osas monotoonsuspiirkondadeks. Lineaarteisendus on ülalkirjeldatud juhusliku suuruse teisendamise olulisim erijuht, kus teisendusfunktsioon saab kuju g(x)=a+bx
Caesari siffer, mille ta võttis kasutusse ligikaudu 49. aastal enne Kristust. Caesar kasutas tähtsa sisuga(peamiselt sõjateemaliste kirjade) kirjutamise võtet, kus ladina tähestiku iga täht asendati temast tähestikus kolm positsiooni paremal asunud tähega. Kuulus asendatav täht aga tähestiku kolme viimase hulka, loeti kolm kohta paremale kuni tähestiku lõpuni ning siis uuesti tähestiku algusest peale. Taolist võtet kasutades teisendub näiteks sõna "jurisprudents" sõnaks " MXULVSUXGHQWV" ja "Rooma" sõnaks " URRPD". Kes teisendussüsteemi ei teadnud, ei saanud tekstist sõnakestki aru. Tõenäoliselt oli Caesari ajal selline tekst küllaltki efektiivne kuna enamus tema kaasaegsetest, kelle kätte info võis sattuda, oli kirjaoskamatu, ja need, kes oskasid, oleksid pidanud seda lihtsalt võõrkeeleks. Tänapäeval on Caesari siffer muidugi väga lihtsalt lahtimuugitav. Kui teada on fakt, et igale
Korrelatsioon iseloomustab X ja Y sõltuvust esmajoones nende lineaarse seose tugevuse mõttes. Selle moodul ei ületa väärust 1. Mida lähemal on korrelatsiooni väärtus ühele, seda lähemal on X ja Y sõltuvus lineaarsele seosele. Sõltumatusest tuleneb korreleerimatus ent vastupidine ei kehti. Korrelatsiooni ruutu nim determinatsiooniteguriks. Juhusliku suuruse teisendusi Kui X on diskreetne juhuslik suurus, siis iga X võimalik väärtus xi teisendub väärtuseks yi=g(x) ning jaotus säilub Y jaoks samasena kui X jaoks. Kui X on pidev juhuslik suurus ning teisendusfunktsiooon g(x) on monotoonne, siis avaldub y jaotustihedus nii: fy(y)=fx[(y)]*['(y)] Kui x on pidev juhuslik suurus ning teisendusfunktsioon g(x) pole monotoonne, tuleb g(x) jagada X muutumispiirkonna osas monotoonsuspiirkondadeks. Lineaarteisendus on ülalkirjeldatud juhusliku suuruse teisendamise olulisim erijuht, kus
b on sihifunktsiooni (y) vähim väärtus, mis on leitud hetkeni, mil jooksev punkt sattus piirtsooni, on arv, mis iseloomustab jooksva punkti tungimise sügavust j piirangu tsooni ja mis leitakse järgmise valemiga: =( g(y))/, kui y asub tsoonis 0g(y) ja =0, kui y asub väljaspooli piiritsooni, st g(y)>. Kui vektor y asub piiritsoonist väljas (lubatavas piirkonnas) siis =0, j=1, ..., m, aga sihifunktsioon ise teisendub kujule: B(y) = b + [(y) - b]*1 = (y) 23. Optimeerimine tõenäosusliku informatsiooni alusel. Vaatleme ülesannet kujul min(y, w), kus y on juhitav parameeter ja w on juhusliku iseloomuga mittejuhitav parameeter. Sihifunktsiooni ekstreemum sõltub parameetrist w ja seetõttu saab minimeerimisülesannet käsitada vaid tõenäosuslikus mõttes. Nt olgu juhuslikul parameetril w kolm võimalikku väärtust w1, w2 ja w3. Suuruse w jaotusseadus ja sihifunktsioon (y,w) on koondatud tabelisse
..... V on BT kaaluga wTr VÕI... Reegli kaalu olemasolu mõjutab süsteemi järeldusalgoritmis iga üksiku reegli väljundi arvutamist Ftr ( y ) = wtr r t , (t = 1, ..., T), (r = 1, ..., R). (39) 1.8 Järeldusalgoritmi lihtsustatud erikujud 19 mistõttu üldine avaldis (31) teisendub kujule R T (40) UU wtr r I tr Y T y = Ycog ( F ( y )) = R T r =1 t =1 UU wtr r I tr 1 r =1 t =1 ning taaskord, on võimalik summa ja korrutise valikuga vastavalt
... .... .... ..... | (,) = -(,) / -1 normaali võrranditeks. |xn/ t1 xn/ t2 .... xn/ tn| Determinant 0, t ' Kui funktsioon f on pidev piirkonnas c R^n ja teisendus t x on regulaarne piirkonnas ' R^n ning teisendub piirknna ' Tuletada pinna normaalsirge võrrand kahe või mitemuutuja juhul. piirkonnaks , siis Sama, mis 6. ... f(x) fx1 ... dxn = ... ' f(x(t)) | J(t)| dt1 ... dtn.
tunne pole suurilmlik seiklus, vaid tõeline andumus, mis teeb elu Kareniniga võimatuks. Vronski pole Aleksei Kareninist väiksem , kuid teist laadi egoist, tema jaoks tähendab elu vaid naudingute vaheldust. Seepärast pole ka midagi imestada, et tema kirg Anna vastu jahtub. Ka Anna vaesustub oma tunnetes, ta ei suuda Vronski tütart, oma teist last armastada nii nagu Serjozat ja armastus Vronski vastu teisendub hüsteeriliseks kiivuseks. Seepärast ongi Anna lõpp nii kohutav. See on tingitud suuresti kõrgema seltskonna tagakiusamisest kui ka enda sisemisest kriisist. Enesetapuni viis mõistetav, kuid egoistlik puhang perekonna ja inimlike sidemete purunemine. Anna käitumine on patt jumala kuid mitte inimeste ees. Seepärast ei ole inimestel õigust tasuda, seda võib vaid jumal. Anna sisemise traagika välised põhjused olid: a
Funktsiooni F funktsioonide ühelisidusas määramispiirkonnas D.Lause: Rahuldagu funktsioonid M ja N ühelisidusas statsionaarsed punktid on teatavasti sellised kus F′x (x, y, λ) = F′y (x, y, λ) = 0. Asendades nendesse seostesse teisendub piirknna Ω’ piirkonnaks Ω, siis ∫ … ∫𝛺 𝑓(𝑥)𝑑𝑥1 … 𝑑𝑥𝑛 = ∫ … ∫𝛺′ 𝑓(𝑥(𝑡))|𝐽(𝑡)|𝑑𝑡1 … 𝑑𝑡𝑛 . Üleminek funktsiooni F valemi põhjal saame järgmised võrrandid: f′x (x, y) + λ ′x(x, y) = 0 , f′y (x, y) + λ ′y(x, y)= 0
. . Asendades eelnevas avaldises konstandid c neid määravate avaldistega, L . . . teisendub 2-muutuja funktsiooni lineaarsust kontrolliv avaldise kujule: f(00 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 1 . . . # n1) konstanti ongi selliselt valitud, et avaldis kehtiks i
Ei ühtki enam? Lõuad läinud, lõuapoolik? Mine nüüd mõne daami tuppa ja ütle talle, et pangu või tollipaksuselt värvi peale, selliseks muutub ta ikkagi. Horatio, ütle mulle üht asja. HORATIO: Mida, mu prints? HAMLET: Kas sina usud, et Aleksander Suur nägi mulla all samasugune välja? Kui madalaks võib meie otstarve muutuda, Horatio! Me võime Aleksandri üllast põrmu jälgida seni, kuni ta teisendub punniks augu ees, eks? HORATIO: Jah, kui me oma mõttel sedavõrd veidralt laseme lennata. HAMLET: Ei, ma räägin tõega, tõenäosuse võimalikkust silmas pidades. Aleksander maeti maha, Aleksander muutus põrmuks, põrmust saame savi, savist teeme punni õllevaadi ette. HORATIO: Kõrk Caesar suri, saviks sai ja täiteks ta kõlbas pragudesse, seina näiteks ...
võimalik osta ka eraldi. Lisaks on väga levinud hiire ühendamise viis läbi PS/2 pordi. Mõned hiired on nn. siinihiired (bus mouse): arvuti külge ei ühendata neid mitte jadapordi, vaid eraldi S/V kaabli abil. Hiire iseloomustamisel on olulisim tema tundlikkus. Hiire tundlikkust mõõdetakse tavaliselt punktides tolli kohta (dpi- dotch per inch); tundlikkus 200 dpi näitab, et hiire liigutamisel laual ühe tolli võrra teisendub see liikumine kahesajaks elektrisignaaliks: kui tarkvaraliselt vastab ühele elektrisignaalile liikumine kuvaril ühe punkti võrra, siis 640x480 pinna katmiseks on vaja 3.2x2.4 tolli suurust lauapinda. Tundlik hiir on hea hiir, ent vahel osutub kasulikuks hiire tundlikkuse vähendamine. 23 Serial ehk jadapordi hiired kasutavad töötamiseks 12V ning PS/2 hiired 5V pinget. Hiire nupud pole tavaliselt midagi muud, kui lihtsad mikrolülitid
Vronskisse armumine ei suuda Anna oma meest petta külmavereliselt, tema kirglik tunne pole suurilmlik seiklus, vaid tõeline andumus, mis teeb elu Kareniniga võimatuks. Vronski pole Aleksei Kareninist väiksem , kuid teist laadi egoist, tema jaoks tähendab elu vaid naudingute vaheldust. Seepärast pole ka midagi imestada, et tema kirg Anna vastu jahtub. Ka Anna vaesustub oma tunnetes, ta ei suuda Vronski tütart, oma teist last armastada nii nagu Serjozat ja armastus Vronski vastu teisendub hüsteeriliseks kiivuseks. Seepärast ongi Anna lõpp nii kohutav. See on tingitud suuresti kõrgema seltskonna tagakiusamisest kui ka enda sisemisest kriisist. Enesetapuni viis mõistetav, kuid egoistlik puhang perekonna ja inimlike sidemete purunemine. Anna käitumine on patt jumala kuid mitte inimeste ees. Seepärast ei ole inimestel õigust tasuda, seda võib vaid jumal.
Vronskisse armumine ei suuda Anna oma meest petta külmavereliselt, tema kirglik tunne pole suurilmlik seiklus, vaid tõeline andumus, mis teeb elu Kareniniga võimatuks. Vronski pole Aleksei Kareninist väiksem , kuid teist laadi egoist, tema jaoks tähendab elu vaid naudingute vaheldust. Seepärast pole ka midagi imestada, et tema kirg Anna vastu jahtub. Ka Anna vaesustub oma tunnetes, ta ei suuda Vronski tütart, oma teist last armastada nii nagu Serjozat ja armastus Vronski vastu teisendub hüsteeriliseks kiivuseks. Seepärast ongi Anna lõpp nii kohutav. See on tingitud suuresti kõrgema seltskonna tagakiusamisest kui ka enda sisemisest kriisist. Enesetapuni viis mõistetav, kuid egoistlik puhang - perekonna ja inimlike sidemete purunemine. Anna käitumine on patt jumala kuid mitte inimeste ees. Seepärast ei ole inimestel õigust tasuda, seda võib vaid jumal. Anna sisemise traagika välised põhjused olid: a. seltskond oli ta hüljanud b
ei suuda Anna oma meest petta külmavereliselt, tema kirglik tunne pole suurilmlik seiklus, vaid tõeline andumus, mis teeb elu Kareniniga võimatuks. Vronski pole Aleksei Kareninist väiksem , kuid teist laadi egoist, tema jaoks tähendab elu vaid naudingute vaheldust. Seepärast pole ka midagi imestada, et tema kirg Anna vastu jahtub. Ka Anna vaesustub oma tunnetes, ta ei suuda Vronski tütart, oma teist last armastada nii nagu Serjozat ja armastus Vronski vastu teisendub hüsteeriliseks kiivuseks. Seepärast ongi Anna lõpp nii kohutav. See on tingitud suuresti kõrgema seltskonna tagakiusamisest kui ka enda sisemisest kriisist. Enesetapuni viis mõistetav, kuid egoistlik puhang perekonna ja inimlike sidemete 14 purunemine. Anna käitumine on patt jumala kuid mitte inimeste ees. Seepärast ei ole inimestel õigust
Vronskisse armumine ei suuda Anna oma meest petta külmavereliselt, tema kirglik tunne pole suurilmlik seiklus, vaid tõeline andumus, mis teeb elu Kareniniga võimatuks. Vronski pole Aleksei Kareninist väiksem , kuid teist laadi egoist, tema jaoks tähendab elu vaid naudingute vaheldust. Seepärast pole ka midagi imestada, et tema kirg Anna vastu jahtub. Ka Anna vaesustub oma tunnetes, ta ei suuda Vronski tütart, oma teist last armastada nii nagu Serjozat ja armastus Vronski vastu teisendub hüsteeriliseks kiivuseks. Seepärast ongi Anna lõpp nii kohutav. See on tingitud suuresti kõrgema seltskonna tagakiusamisest kui ka enda sisemisest kriisist. Enesetapuni viis mõistetav, kuid egoistlik puhang perekonna ja inimlike sidemete purunemine. Anna käitumine on patt jumala kuid mitte inimeste ees. Seepärast ei ole inimestel õigust tasuda, seda võib vaid jumal. Anna sisemise traagika välised põhjused olid: a. seltskond oli ta hüljanud b. pidi poja hülgama
annaabi.ee 
