Taandamine-murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva avaldisega * tegurdatakse murru lugeja ja nimetaja; * taandatakse arvulised tegurid * taandatakse muutujat sisaldavad võrdsed tegurid. Näide: 3. Korrutamine ja jagamine Korrutamine- algebraliste murdude korrutis võrdub murruga, mille lugejaks on antud murdude lugejate korrutis ja nimetajaks murdude nimetajate korrutis. 1. Tegurdamine 2. Viime ühisele murrujoonele 3. Taandame lugejas ja nimetajas olevad ühesugused liikmed(taandada saab tervet sulgu) Jagamine algebraliste murdude jagamiseks korrutatakse jagatav murruga, mis on saadud jagajast selle lugeja ja nimetaja vahetamise teel. 1. Tegurdamine 2. Jagajas vahetame nimetaja ja lugeja pooled 3. Viime ühisele murrujoonele 4.Taandame lugejas ja nimetajas olevad ühesugused liikmed Näide: 4. Algebraliste murdude astendamine -
P¨arast muutujavahetust lahutame lugeja ja nimetaja teguriteks 3 1 - 3 x2 + 1 1 - u6 1 - u2 (1 - u)(1 + u) 2 lim = lim = lim 3 = lim 2 = . x0 1 - x2 + 1 u1 1 - u 6 u1 1 - u u1 (1 - u)(1 + u + u ) 3 Taandame teguri 1 - u, sest u 1 korral on 1 - u = 0. N¨ aide 3. Leida piirv¨aa¨rtus x2 - 3x + 2 A = lim . x2 x2 + x - 6 Lahendus. Punktis x = 2 esineb m¨aa¨ramatus 0/0, st punkt ei kuulu vaadeldava funktsiooni m¨aa¨ra- mispiirkonda. M¨a¨aramatuse k~orvaldamiseks lahutame lugeja ja nimetaja teguriteks. Saame
XXXVII 50. L 66. LXVI 94. XCIV 100. C 305. CCCV 442. CDXLII 500. DA 695. DCXCV 1000 M 1910. MCMX 1995. MCMXCV 1999. MCMXCIX Murrud 1. Seda, mis on murrujoonest allpool nimetatakse murru lugejaks, ning seda mis on murrujoonest üleval pool nimetatakse nimetajaks. 2. Murrujoon on jagamismärk. 3. Kui jagame murru lugejat ja nimetajat ühe ja sama nullist erineva naturaalarvuga, siis ütleme, et me taandame murdu. 4. Kui kahel murrul on lugejad võrdsed, siis on suurem see murd, mille nimetaja on väiksem. 5. Kui kahel murrul on nimetajad võrdsed, siis on suurem see murd, mille lugeja on suurem. 6. Ühenimeliste murdude liitmisel liidetakse nende murdude lugejad, nimetaja jääb endiseks. 7. Ühenimeliste murdude lahutamisel lahutatakse nende murdude lugejad, nimetaja jääb samaks. 8. Hariliku murru korrutamiseks naturaalarvuga korrutame selle arvuga
2 iooni – ioonkristall (vabasi ioone 0) Vabade ioonide hulk väheneb kui • tekib sade (aine ei lahustu) • tekib nõrgem elektrolüüt – tavaliselt nõrk hape või alus • tekib gaas (CO2; SO2; H2S; H2CO3 – CO2 ja H2O) • tekib vesi Kaaliumhüdroksiid + väävelhape + - + -2 + -2 + -2 2 KOH + H2SO4 - KSO4 + 2 H2O molekulaarne võrrand + - + -2 + -2 2K + 2OH + 2H + SO4 - 2K + SO4 + 2H2O K ja SO4 taandame ära - + 2OH + 2H - 2 H2O täielik ioonvõrrand Ioonvõrrandis kirjutatakse kokku - • vähe- ja mittelahustavad ained • vesi • gaasid (lämmastikuoksiidid, väävlioksiidid, ) • nõrgad happed H2SO3 ja H2CO3 on väga mittepüsivad!!!!!!! SOOL + ALUS – mõlemab lähteained peavad lahustuma, ja üks saadus peab olema mittelahustuv!
2 -3 x + 3 = 2 4 x Võrdsete alustega astmete võrdsusest järeldub astendajate võrdsus: - 3x + 3 = 4 x 3 = 7 x x = 3/ 7 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Eksponentvõrrandi lahendamine 2. Kui eksponentvõrrand on ax või af(x) suhtes algebraline võrrand, siis lahendame selle vastavalt ax või af(x) suhtes , millega taandame antud eksponentvõrrandi ühele või mitmele võrrandile kujul ax= b või af(x) = b. Näide Lahendame võrrandi 34 x -1 - 32 x -1 - 2 = 0 korrutame kolmega: 4 x -1 2 x -1 3 -3 -2 = 0 3 4x 3 -1 - 3 2x 3 -1 -2 =0 asendus u = 32x :
( 2a − 3b ) ( 4a 2 + 6ab + 9b 2 ) = ( 2a ) − ( 3b ) = 8a 3 − 27b3 . 3 3 a −1 1 Näide 9. Lihtsustada avaldis + . a − 2a + 1 a + 1 2 Lahendus. Lahutame esimese murru nimetajas oleva avaldise valemi a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b ) abil teguriteks. Taandame. Viime ühisele nimetalale ja 2 koondame. Nimetajas kasutame veel valemit a 2 − b 2 = ( a − b )( a + b ) , selle abil saame nimetaja lühemalt kirjutada. a −1 1 a −1 1 + = + = a − 2a + 1 a + 1 ( a − 1) a + 1 2 2 1 a −1 1 1 a +1 1 a −1 = + = + =
Arvuta avaldise väärtus, kui a = 6, b = 12, c = 3 6. c:b jagamine jagamine c : b 3 : 12 Asenda Asendacc==33jajabb==12 12ning ningjaga jaga Taandame Taandamemurru jagades murru jagadesarvude 3 NB!: NB!:Parem Paremkirjutada kirjutadaantud antudülesanne ülesannemurru murru suurima suurima
kasutama riski arvestavat diskontomäära. 2 võimalust riski arvestamiseks projektides: 1) kindlustusekvivalendi meetod 2) riski arvestav diskontomäär KINDLUSTUSEKVIVALENT RISKI ARVESTAV DISKONTOMÄÄR · Kohandame oodatavad rahavood · Suurendame vastavalt riskile kooskõlas riskiga väiksemaks, diskonteerimismäära korrutades need kindlustusekvivalendi kordajatega. · Taandame kindlustusekvivalentsed · Taandame rahavood praegusesse rahavood praegusesse hetke hetkesse riskiga kohandatud riskivaba intressimääraga diskonteerimismäära järgi · Kasutame NPV otsustamise · Kasutame otsustamiseks tavalise kriteeriumit, kus tulunormi asemel on NPV kriteeriumi,kus tõkkenormiks on tõkkenormiks riskivaba intressimäär
Põhineb eeldusel, et investeerijad nõuavad riskantsematelt projektidelt suuremat tulu. Kui mingi projekti riskitase erineb ettevõtte tüüpiliste projektide omast, peab kasutama riski arvestavat diskontomäära. Kaks võimalust riski arvestamiseks projektides: kindlustusekvivalendi meetod, riski arvestav diskontomäär Kindlustusekvivalent - *Kohandame oodatavad rahavood kooskõlas riskiga väiksemaks, korrutades need kindlustusekvivalendi kordajatega. *Taandame kindlustusekvivalentsed rahavood praegusesse hetke riskivaba intressimääraga. * Kasutama NPV otsustamise kriteeriumit, kus tulunormi asemel on tõkkenormiks riskivaba intressimäär. Riski arvestav diskontomäär - *Suurendame vastavalt riskile diskonteerimismäära. *Taandame rahavood praegusesse hetkesse riskiga kohandatud diskonteerimismäära järgi. *Kasutame otsustamiseks tavalise NPV kriteeriumi, kus tõkkenormiks on riski arvestav diskoneetimismäär. 10) Bilansiskeem
Saame valemid N -1 2 S N ( 2k ) = s ( n) exp(- j nk ),0 k N / 2 - 1 n =0 N /2 N -1 2 S N (2k + 1) = s (n) exp(- j (2k + 1)n),0 k N / 2 - 1 n =0 N Nendes valemites exp funktsioon on perioodiline f-n perioodiga N/2. See tähendab, et nN/2 korral hakkavad tema väärtused korduma. Tänu sellele väheneb korrutustehete arv kaks korda. Taandame protsessi kaks korda lühema DFT protseduurile. Saame järgmised valemid s ( n) = s ( n) - s ( N / 2 + n),0 n N / 2 - 1 2 s (n) =s (n) exp(- j n) = s (n)W N (n),0 n N / 2 -1 N Mida suurem on signaali pikkus N , seda effektiivsem on FFT võrreldes DFT-ga. FFT maatriksalgoritm Eeldame , et signaali kestvus N on esitatav kahe arvu korrutisena N=FT , kus jagame sagedusala F osakuks
Selle saadud jõupaari momendiks on M2=Q'*AC=F'*AB/AC=F'*AB=M1 Tulemus: jõupaari (F,F') asemel, mille õlg on AB saime temaga ekvivalentsed jõupaari (Q,Q'), mille õlg on AC. Ühes tasapinnas asuvate jõupaaride liitmine Olgu jäigale kehale rakendatud mitu jõupaari (F1,F1') õlaga d1, (F2, F2') õlaga d2, (F3,F3') õlaga d3. Jõupaarimomendid: M1=-F*d1, M2=-F2*d2, M3=F3*d3. Võtame lõigu AB, pikkusega d ja taandame kõik jõupaaride ühele õlale d. (P,P1); (P,P2); (P,P3) m1=-P1d, m2=-P2*d, m3=P3*d => => F1d1=P1d; F2d2=P2d; F3d3=P3d Kuna jõupaari saab tema tasapinnas ülekanda mistahes asendisse, siis paigutame kõik paarid saadud nii, et nende õlad langeksid lõiguga AB. Jõud oleksid asetatud kahele paralleelse sirgele, mis on risti lõiguga AB. Liites need jõud P1, P2, P3 saame resultandi: R= P1+P2+P3 R'= P3- P2-P1 Jõud R ja R' moodustavad jõupaari (R,R')
Märkus: kui kinnistelg ei läbi masskeset, siis tuleb seda juhtumit vaadelda kui üldist tasapinnalist liikumist. Siis on tegemist juhtumiga kolm ja kehale tuleb rakendada ka inertsjõudude peavektori (vaata järgmist juhtumit). 3) kui keha teostab üldist tasapinnalist liikumist, või pöörleb ümber kinnistelje mis ei läbi masskeset, siis rakendame nii inertsjõudude peavektori kui ka peamomendi. 3a) kui taandame keha osakeste inertsjõudude süsteemi masskeskmesse C: inertsjõudude peavektor, mis rakendatakse keha masskeskmesse C, on = -m a C (C1) inertsjõudude peamoment on
b) kui metallil on muutuv o.-a., siis näidatakse see nimetuses; kirjutatakse metalli nimi, sulgudes o.-a. ja oksiid/hüdroksiid/happeaniooni nimetus. Näited: CuO vask(II)oksiid, Fe(OH)2 raud(II)hüdroksiid, Sn3(PO4)2 tina(II)fosfaat Metalliühendite (metallioksiidide, hüdroksiidide ja soolade) valemite koostamisel kasutatakse alati oksüdatsiooniastmeid/ioonide laenguid: kirjutame sümbolite kohale oksüdatsiooniastmed/ioonide laengud kui saab, siis taandame oksüdatsiooniastmed/ioonide laengud indeksite saamiseks võtame taandatud oksüdatsiooniastmed/ioonide laengud "risti"; liitioonide valemid paneme seejuures sulgudesse Näited: III -II II -2 alumiiniumoksiid - Al 2 O 3 kaltsiumkarbonaat - CaCO3 III - II -3 raud(III)hüdroksiid - Fe(OH)3 tsinkfosfaat - Zn3(PO4)2 5.3 Reaktsioonivõrrandite koostamise üldpõhimõtted. Võrrandi vasakule poolele kirjutatakse lähteainete valemid, paremale poolele saaduste valemid.
Ajamimootoriks valida asünkroonmootor, millelt käitatakse konveieri veotrummel reduktori vahendusel, ülekandearv i = 7,8, kasutegur r = 0,96. Koormatud lindi korral on konveieri takistus Ft = 360 N, lindi kiirus vt = 3,25 m/s. Veotrumli läbimõõt Dtr = 675 mm. Töömasina takistusmoment Ft Dtr 360 0,675 Mt = = = 121,5 Nm. 2 2 Taandame töömasina takistusmomendi elektrimootori võllile Mt 121,5 M t' = = = 16,23 Nm. i r 7,8 0,96 Mootori pöörlemissagedus peaks olema v 3,25 nm = i= 7,8 = 11,95 s-1. D 0,675 Lähim sünkroonvälja kiirus on 12,5 s-1, s.o. 750 min-1. Mootori võimsus peaks olema vähemalt
..,m) P (m+1,m+2,...,n) ·x11 x22 . . . xmm xm+1,m+1 xm+2,m+2 . . . xnn , millest v~ordlemisel valemiga (3.1) n¨aeme, et Mm An-m liidetavad moodus- tavad osa determinandi |X| liidetavatest. Me v~oime kirjutada |X| = Mm An-m + , (4.4) 36 kus t¨ahistab determinandi |X| puuduvaid liikmeid. Seega vaadeldaval erijuhul on lemma t~oeatatud. N¨ uu¨d taandame u ¨ldjuhu t~oestuse vaadeldud erijuhule. Maatriksist X moodustame uue maatriksi tema ridade omavahelise vahetamisel ja veer- gude omavahelisel vahetamisel nii, et miinor (4.1) on uues maatriksis pri- viligeeritud kohal. Selleks viime maatriksis X read i1 , i2 , . . . , im vastavalt esimesele, teisele,..., m-ndale kohale. Analoogiliselt toimime veergudega j1 , j2 , . . . , jm . Selle maatriksi, t¨ahitame X abil, saamiseks tehtud ridade ja veergude vahetuste arv kokku on
. . xmαm xm+1,αm+1 xm+2,αm+2 . . . xnαn , millest v˜ordlemisel valemiga (3.1) n¨aeme, et Mm An−m liidetavad moodus- tavad osa determinandi |X| liidetavatest. Me v˜oime kirjutada |X| = Mm An−m + ρ, (4.4) 36 kus ρ t¨ahistab determinandi |X| puuduvaid liikmeid. Seega vaadeldaval erijuhul on lemma t˜oeatatud. N¨ uu¨d taandame u ¨ldjuhu t˜oestuse vaadeldud erijuhule. Maatriksist X moodustame uue maatriksi tema ridade omavahelise vahetamisel ja veer- gude omavahelisel vahetamisel nii, et miinor (4.1) on uues maatriksis pri- viligeeritud kohal. Selleks viime maatriksis X read i1 , i2 , . . . , im vastavalt esimesele, teisele,..., m-ndale kohale. Analoogiliselt toimime veergudega j1 , j2 , . . . , jm . Selle maatriksi, t¨ahitame X abil, saamiseks tehtud ridade ja veergude vahetuste arv kokku on
hautud pojad pillutakse laiali (laialipildumine võrreldav munade purunemisega Karjala müütides), poegadest saavad taevakehad ja mitmed muud asjad (nt. kadakad, mida seostati õlleteoga, mis on rituaalne jook pidupäevadel). Kuus tähtsat momenti Läänemeresoome müütide puhul: 1) Lind on deriurg (jumalanna). Mõnes laulus võtab otseselt inimkuju. Teriomorfne jumalus, looma(linnu)kujuline jumalus. Eestis levinud ka kapsaraua motiiv või taandumine spiraaliks või taandame spiraaliks (madu, ussikuningas). 2) Munade hulk alati suurem kui 2, enamasti (aasia ja okeaania loomislugudes on 1 muna, kus looja tuleb munast välja). 3) Linnupojad on deriurgi enese teisitiolemine. Geneesis 1, Jumal loob inimese oma näo järgi. Lind loob terve universumi oma näo järgi. 4) Linnupesa punumine. Kirjeldatakse lauludes tavaliselt mitme reaga. Kui on kolm või neli rida, siis on päris palju loomisloos. Pesa on tehtud meie metsaraagudest.
1) Identiteet 2) erinevus · Subkultuuri on alati vastandunud mingisugusele peavooli kutluuri loomulikkusele. · Subkultuur töötab erinevuse printsiibil · Keelatud identiteet o Mainstreami väline, imaginaarne, lahendus elu vastuoludele · Homoloogia o strukturaalne resonants sotsioloogilist tervikut moodustavate erinevate elementidega teatud elemendid on vastavad teistele elementidele · Kuidas riietus vastab riietusele. Taandame teatud elemendid omavahel. · Teatud esindusvormid on sobivamad erinevatele inimestele, teatud sotsiaalgrupile, nt tänapäeva töömees ei kuula klassikalist muusikat. · Wills: Subkultuurid on korraldatud ja subkultuur on eluviis. Populaarkultuuri teooriad loeng 11 Hebidge through rituals · Asub kultusele üle, et mingisugused objektid, mida subkultuurne objekt kasutab ense
temperatuurist. Planck'i valemi tuletus (tõestus). Eeldused: a. Vibraatori energia sagedusel saab muutuda vaid korda, kus on täisarv. b. Vibraatori oleku tõenäosus sõltub tema energiast vastavalt Boltzmanni valemile: kus on põhiolekus olevate vibraatorite arv. c. Antud sagedusel kiiratav energia on võrdne seda sagedust omavate vibraatorite koguenergiaga. Arvutame vibraaatori keskmise energia: Taandame ning tähistame . Kõik kõrgemad astmed asenduvad nüüd astmetega: Ja nüüd tuleb matemaatiline fookus. Arvutame avaldise: mis lõpmatu rea korral võrdub lugejas oleva summaga ! Edasi käib lihtne algebra. Võrdusest saame Pannes selle Rayleigh'-Jeans'i valemisse asendamaks ostsillaatori "termodünaamilist energiat" , saamegi Plancki valemi. Einsteini fotoefekti valem.
temperatuurist. Planck'i valemi tuletus (tõestus). Eeldused: a. Vibraatori energia sagedusel saab muutuda vaid korda, kus on täisarv. b. Vibraatori oleku tõenäosus sõltub tema energiast vastavalt Boltzmanni valemile: kus on põhiolekus olevate vibraatorite arv. c. Antud sagedusel kiiratav energia on võrdne seda sagedust omavate vibraatorite koguenergiaga. Arvutame vibraaatori keskmise energia: Taandame ning tähistame . Kõik kõrgemad astmed asenduvad nüüd astmetega: Ja nüüd tuleb matemaatiline fookus. Arvutame avaldise: mis lõpmatu rea korral võrdub lugejas oleva summaga ! Edasi käib lihtne algebra. Võrdusest saame Pannes selle Rayleigh'-Jeans'i valemisse asendamaks ostsillaatori "termodünaamilist energiat" , saamegi Plancki valemi. Einsteini fotoefekti valem.
Kasutades skalaarkorrutise omadusi 1 - 3, saame (a - b|a - b) = 2 (a|a) - 2(a|b) + (b|b) 0 Kui a = o, siis v~orratus ilmselt kehtib. Olgu a = o ning v~ otame (a|b) = (a|a) Saame (a|b)2 (a|a) (a|b)2 - 2 + (b|b) 0 (a|a)2 (a|a) Taandame esimeses murrus teguri (a, a) ning korrutame saadud v~orratust positiivse arvuga (a|a). Tulemuseks saame (a|b)2 - 2(a|b)2 + (a|a)(b|b) = -(a|b)2 + (a|a)(b|b) 0 millest omakorda (a|b)2 (a|a)(b|b) = (a|b)2 |a|2 |b|2 = |(a|b)| |a||b| mis ongi n~outud v~ orratus. VI. Vektorruumid 35 15.2 Schwarzi v~ orratus reaalses aritmeetilises vektorruumis Olgu a = (1 , . .
iga-aastased kulude maksumused, mille leidmiseks on kaks moodust: 1. Leitud otsearvutuse teel kulude ekvivalentne annuiteet. 2. Arvestatud kulude praegune- ehk nüüdisväärtus ja see taandatud ühele aastale. 1. Seade "NORD" 1 1 EAC NORD = 50000 +12000 = 50000 +12000 = 32105,35krooni APV 13a ;10% 2,4869 Leiame nüüdis - puhasväärtuse ja taandame selle aastamakseks tänaselpäeval ehk hetke seisuga Kuna tegemist on ainult kulu deg a, siis võib kasutada "+" märki PV NORD = I 0 +12000 × APV 13 a ;10% = 50000 +12000 × 2,4869 = 79842,8krooni 1 EAC NORD = 79842,8 = 79842,8 × 0,4021 = 32105,4krooni APV 13a ;10% Mõlema lahendusmeetodi korral on tulemus sama. 2. Seade "ATLANTIK" 1 1
iga-aastased kulude maksumused, mille leidmiseks on kaks moodust: 1. Leitud otsearvutuse teel kulude ekvivalentne annuiteet. 2. Arvestatud kulude praegune- ehk nüüdisväärtus ja see taandatud ühele aastale. 1. Seade "NORD" 1 1 EAC NORD = 50000 +12000 = 50000 +12000 = 32105,35krooni APV 13a ;10% 2,4869 Leiame nüüdis - puhasväärtuse ja taandame selle aastamakseks tänaselpäeval ehk hetke seisuga Kuna tegemist on ainult kulu deg a, siis võib kasutada "+" märki PV NORD = I 0 +12000 × APV 13 a ;10% = 50000 +12000 × 2,4869 = 79842,8krooni 1 EAC NORD = 79842,8 = 79842,8 × 0,4021 = 32105,4krooni APV 13a ;10% Mõlema lahendusmeetodi korral on tulemus sama. 2. Seade "ATLANTIK" 1 1
iga-aastased kulude maksumused, mille leidmiseks on kaks moodust: 1. Leitud otsearvutuse teel kulude ekvivalentne annuiteet. 2. Arvestatud kulude praegune- ehk nüüdisväärtus ja see taandatud ühele aastale. 1. Seade "NORD" 1 1 EAC NORD = 50000 +12000 = 50000 +12000 = 32105,35krooni APV 13a ;10% 2,4869 Leiame nüüdis - puhasväärtuse ja taandame selle aastamakseks tänaselpäeval ehk hetke seisuga Kuna tegemist on ainult kulu deg a, siis võib kasutada "+" märki PV NORD = I 0 +12000 × APV 13 a ;10% = 50000 +12000 × 2,4869 = 79842,8krooni 1 EAC NORD = 79842,8 = 79842,8 × 0,4021 = 32105,4krooni APV 13a ;10% Mõlema lahendusmeetodi korral on tulemus sama. 2. Seade "ATLANTIK" 1 1
17. sajandil ei olnud astronoomidel veel taskuarvuteid, kuid nende arusaam lõbust polnud sugugi nii palju erinev: neilegi ei meeldinud pikki ja igavaid arvutusi teha. Ometigi oli taevakehade liikumises tihti vaja korrutada suuri ja kosmiliselt suuri arve. Appi tuli logaritm. Kuidas logaritm siis arvutusi lihtsustas? Logaritmi idee arvutuste lihtsustamisel peitub tema kuulsas omaduses teha kor- rutamisest liitmine: . Nii taandame korrutamise liitmi- sele ja liita on ju määratult lihtsam. Kuidas siis näiteks korrutada omavahel ja ? Võtame kõigepealt mõlemast arvust logaritmid alusel , seejärel liidame need logaritmid kokku ning kasutame tulemust astendamisel: Kaks esimest tehet on muidugi võimalikud, kuna logaritmfunktsioon on igal alusel määratud kõikide positiivsete reaalarvude korral. Tulemuse saamiseks piisaks nüüd ühest suurest tabelist. Esiteks peaks sealt saama
4, leiame x3 x2 dx + 2 sin xdx = x2 dx + 2 sin xdx = - 2 cos x + C. 3 N¨ aide 3.5. Leiame (x - 1)2 dx. x(1 + x2 ) Siin avame esmalt lugejas sulud, seej¨arel jagame liikmeti, taandame, kasutame omadusi 3.3 ja 3.2 ning tabeliintegraale 2.2 ja 2.10: (x - 1)2 x2 + 1 - 2x x2 + 1 2x dx = dx = - dx x(1 + x2 ) 2 x(1 + x ) x(1 + x ) x(1 + x2 ) 2 1 2 dx dx
annaabi.ee 
