Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Reaalarvulise astendajaga aste a0 = 1; a 0 a1 = a a-n = (1/a)n; a 0 a(m/n) = nam am * an = am+n am : an = am-n (am)n = am*n n a * b = na * nb n a/b = na/ nb n m a = nm n am = nkamk (a*b)n = an * bn (a/b)n = an/bn
Kolmemõõtmeline eukleidiline ruum ehk tasane kolmruum on vektorruum, mida enamasti seostatakse ruumiga füüsikas. Selle ruumi elemente nimetatakse vektoriteks või täpsemalt geomeetrilisteks vektoriteks, kui neid on vaja eristada abstraktsemast vektori (ehk mis tahes vektorruumi elemendi) mõistest. Eukleidilises ruumis on antud kahe vektori skalaarkorrutis ning kaugus, vektori pikkus ja vektorite vaheline nurk. Vektorid on esitatavad kolme reaalarvulise koordinaadi abil. Elementaarmatemaatikas määratletakse kolmemõõtmelise eukleidiline ruum vektori mõisteta. See ruum "koosneb" punktidest, sirgetest ja tasanditest. Samuti eeldatakse Eukleidese aksioomide kehtivust. Viimasesse käsitlusse saab vektori mõiste sisse tuua loomulikul teel fikseerides ruumis ühe punkti, mida nimetatakse nullpunktiks, ja vaadeldes kõiki teisi punkte kui vektoreid, mis on suunatud nullpunktist vaadeldavasse ruumi punkti. Nullpunkti ennast
t. x + 2 > 0 ehk x > -2 . Seega määramispiirkond on X = ( -2; ) . 1 x+2 Ülesanne 4. Leida funktsiooni y = 2 x + arcsin määramispiirkond. 3 Lahendus. Funktsioon y = a x ( a > 0) on määratud iga x reaalarvulise väärtuse korral, 1 ülesandes esinev funktsioon 2 on määratud aga niisuguste x väärtuste korral, mille x 1 puhul saab arvutada avaldise väärtust, seega kui x 0 . x x+2 Teise liidetava arcsin määramispiirkonna leiame kahekordsest võrratusest 3 x+2
irratsionaalarv s (näiteks, (rn) on arvu s puuduga lähismurdude jada). Alus a peab olema irratsionaalse astendaja korral olema mittenegatiivne. Näited 3 2 lim 3rn , kus rn (1,4; 1,41; 1,414; ...) n 10 lim 10 rn , kus rn (3,1; 3,14; 3,141; 3,1415 ...) n Astme omadusi. 1. Kui a > 0, siis ar > 0 igasuguse reaalarvulise astendaja r puhul. 2. ( a ) 2n a 2n ja ( a ) 2 n 1 a 2 n 1. 3. 0 0 iga r 0 korral. r 4. 1r = 1. Tehted astmetega. 1. Võrdsete alustega astmete korrutamisel tuleb astendajad liita: a r a s ars Näited 23 2 2 232 25 3 x 4 5 x 3 3 5 x 4 x 3 15 x 43 15x 7
4. Viies võrduse teisele poolele saamegi 14. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted See summa on funktsiooni integraalsumma lõigul Määratud integraal 1. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga 2. Muudame [a,b] tükeldust järjest peenemaks nii, et pikima osalõigu pikkus läheneb nullile. 3. Kui f on pidev lõigul [a,b] siis integraalsummal on taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Või Olgu reaalarvulise muutuja x pidev ja tõkestatatud funktsioon lõigus [a,b], siis määratud integraal On arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni graafiku x-telje ning vertikaalsete sirgetega ja piiratud kujundi märgiga pindalaga. S.o x-teljest ülespoole ja allapoole jääva osa pindalade vahega. 15. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Esitada vastav valem ilma tuletamata Jaotame lõigu [a,b] n osalõiguks punktidega , kusjuures 1
43. Konstandi valem: C'=0 44. Summa valem: (u+v)'=u'+v' 45. Korrutise valem: (uv)'=u'v+uv' u u v - uv = 46. Jagatise valem: v v2 47. 48. Liitfunktsiooni tuletise valem. dy dy du = 49. dx du dx 50. 51. Eksponentfunktsiooni ja logaritmfunktsiooni tuletis ning astmefunktsiooni tuletis mistahes reaalarvulise astendaja puhul (valemid). Funktsioonide y = tan x ja y = ln x tuletiste valemid. Logaritmiline diferentseerimine. Arkusfunktsioonide tuletiste valemid 52. ( x) = 1 53. ( x ) = x -1 54. (e x ) = e x 55. ( a x ) = a x ln a 1 (ln x) = 56. x 1 (log a x ) = 57. x ln a 58. (sin x) = cos x 59. (cos x) = - sin x
x1, 2 ole". 2a a 9 Et teada saa kas ruutvõrra b 1 leitakse vale c 0 ruutjuure alla reaalarvulise x1 0 Valemites ka x2 -9 2) Teha tabel D 1 y = ax2 + bx parabool). Ta Samm 1 x y 250 -5 220 -4 140 200
esineda nii süsteemi elementide kui ka süsteemi karakteristikute ajalised muutused (siirdeprotsessid). Tüüpiline dünaamilise süsteemi matemaatiline mudel pidevaja süsteemidel koosneb diferentsiaalvõrranditest. Sellist süsteemi nimetatakse ka diferentsiaalsüsteemiks või sellele väga lähedases tähenduses ka siledaks süsteemiks. 1.9. Pidev- ja diskreetaja süsteemid Pidevaja süsteemid on süsteemid, mille muutujate väärtused on määratud iga reaalarvulise ajahetke jaoks, seega aeg on pidevalt (kõigil, lõpmata lähedastel ajahetkedel) ja sõltumatult muutuv argument. Diskreetaja süsteemid on süsteemid, milles süsteemi käitumist iseloomustavate muutujate hetkväärtused (diskreedid) on määratud ainult teatavatel isoleeritud ajahetkedel (diskreetaeg), kusjuures muud ajahetked loetakse süsteemi jaoks mitteeksisteerivaiks. Sageli diskreetsed ajahetked erinevad võrdse ajaintervalli võrra, mida tavaliselt
33. Funktsionaalrida ja selle koonduvuspiirkond. Olgu antud funktsioonide jada u1(x), u2(x),u3(x). Avaldist s(x)= u ( x) i=1 =u1(x)+ u2(x)+ u3(x)+.... Nim. funktsionaalreaks. Suurus s(x) s6ltub i muutujast x ehk on x funktsioon. Kuna funktsioon ui(x) omandab iga x korral oma määramispiirkonnast ühe kindla reaalarvulise väärtuse, siis muutuja x fikseerimisel saame funktsionaalreast teatud arvrea. Üldiselt on see arvrida erinevate x-de korral erinev. Seega võib ta ühtede x väärtuste korral koonduda ja teiste x väärtuste korral hajuda. Muutuja x nende väärtuste hulka, mille korral funktsionaalrida koondub, nim. selle rea koonduvuspiirkonnaks. 34. Astmerida. S(x)= ai x i =a0+a1x+a2x+.... kus ai on reaalarv i=0
Pidev- ja diskreetaja süsteemid- Pidevaja süsteem − ajalised protsessid on määratud kõigil, ka lõpmata lähedastel ajahetkedel. Diskreetaja süsteem − süsteemi käitumist iseloomustavate muutujate hetkväärtused (diskreedid) on määratud ainult isoleeritud ajahetkedel, muud ajahetked loetakse süsteemi jaoks mitteeksisteerivaiks. Pidevaja süsteemid on süsteemid, mille muutujate väärtused on määratud iga reaalarvulise ajahetke jaoks, seega aeg on pidevalt (kõigil, lõpmata lähedastel ajahetkedel) ja sõltumatult muutuv argument. Diskreetaja süsteemid on süsteemid, milles süsteemi käitumist iseloomustavate muutujate hetkväärtused (diskreedid) on määratud ainult teatavatel isoleeritud ajahetkedel (diskreetaeg), kusjuures muud ajahetked loetakse süsteemi jaoks mitteeksisteerivaiks. Sageli diskreetsed ajahetked erinevad võrdse ajaintervalli võrra, mida tavaliselt nimetatakse taktiks
8 Dünaamiline süsteem- Süsteem, milles esinevad ajaliselt muutuvad protsessid (siirdeprotsessid), s.o. aeg on üheks süsteemi mudeli muutujaks.Dünaamilise süsteemi mudel seob muutujate väärtusi erinevatel ajahetketel või muutujate tuletisi. Mudeli eripärast tingituna tekivad teatud seaduspärasusega kulgevad ajalised protsessid süsteemis. 1.8 Pidev- ja diskreetaja süsteemid.- pidevajasüsteem Süsteem, mille muutujate väärtused on määratud iga reaalarvulise ajahetke jaoks, seega aeg on pidevalt ja sõltumatult muutuv argument. Diskreetaja süsteem. Süsteem, mille puhul süsteemi muutujate hetkväärtused (diskreedid) on määratud vaid teatavatel isoleeritud ajahetketel (diskreetaeg) ja mille puhul vahepealsed ajahetked loetakse mitteeksisteerivaiks (puuduvaiks). Sageli diskreetsed ajahetked erinevad võrdse ajaintervalli võrra, mida tavaliselt nimetatakse taktiks (taktikestuseks) ning ajahetki taktihetkedeks. 2
ajaliselt muutuda (siirdeprotsessid) ehk aeg on üheks süsteemi mudeli muutujaks. Dünaamilise süsteemi mudel seob muutujate väärtusi erinevatel ajahetkedel või muutujate tuletisi. Kõik süsteemid on põhimõtteliselt dünaamilised (muutuvad). Pidev- ja diskreetaja süsteemid: pidevajasüsteemil on ajalised protsessid määratud kõigil, ka lõpmata lähedastel ajahetkedel. Muutujate väärtused on määratud iga reaalarvulise ajahetke jaoks, seega aeg on pidevalt ja sõltumatult muutuv argument. Reaalsed süsteemid on pidevad. Igas protsessis pidevajasüsteemide puhul, muutub väljund pidevalt ja süsteemi väärtus mingil ajahetkel on välja arvutatav. Diskreetaja süsteem (diskreetne ehk tükiti). Süsteemi käitumist iseloomustavate muutujate hetkväärtused (diskreedid) on määratud ainult teatavatel isoleeritud ajahetkedel, muud (vahepealsed) ajahetked loetakse süsteemi jaoks mitteeksisteerivaiks
12. Leida pideva ühtlase jaotuse dispersioon. 2 2 (a−b) Pideva ühtlase jaotuse dispersioon on DX =EX 2−( EX ) = 12 NORMAALJAOTUS 13. Defineerida normaaljaotus. Normaaljaotus on reaalarvulise juhusliku suuruse jaotus, mille tihedusfunktsioon avaldub 2 −(x−μ) 1 2σ 2 kujul φ ( x )= e , kus jaotuse parameeter σ > 0 (hajuvus) ja μ on σ √2 π reaalarv(keskväärtus). Tähistatakse X~N(μ,σ). 14. Kuidas avalduvad normaaljaotusega juhusliku suuruse keskväärtus ja dispersioon?
b.i. Definitsioon 1: b.i.1. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga b.i.2. Muudame [a,b] tükeldust järjest peenemaks nii, et pikima osalõigu pikkus läheneb nullile. b.i.3. Kui f on pidev lõigul [a,b] siis integraalsummal on taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. b.ii. Definitsioon 2: Olgu reaalarvulise muutuja x pidev ja tõkestatatud funktsioon lõigus [a,b], siis määratud integraal On arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni graafiku x-telje ning vertikaalsete sirgetega ja piiratud kujundi märgiga pindalaga. S.o x-teljest ülespoole ja allapoole jääva osa pindalade vahega. 15. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas. Tuletada vastav valem. a
sisaldavad juba määramata konstante) 4. Viies võrduse teisele poolele saamegi 36. See summa on funktsiooni integraalsumma lõigul Määratud integraal 1. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga 2. Muudame [a,b] tükeldust järjest peenemaks nii, et pikima osalõigu pikkus läheneb nullile. 3. Kui f on pidev lõigul [a,b] siis integraalsummal on taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Või Olgu reaalarvulise muutuja x pidev ja tõkestatatud funktsioon lõigus [a,b], siis määratud integraal On arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni graafiku x-telje ning vertikaalsete sirgetega ja piiratud kujundi märgiga pindalaga. S.o x-teljest ülespoole ja allapoole jääva osa pindalade vahega. 38. Kõvertrapetsi leidmine Jaotame lõigu [a,b] n osalõiguks punktidega , kusjuures 1. Fikseerime igal osalõgiul ühe punkti tähistades selle 2
hulk C korpus (kompleksarvude korpus), mis sisaldab reaalarvude korpust R. · Tuletis ja integraal. Tuletis on matemaatilise analüüsi üks põhimõisteid. Funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse muutumise kiirust funktsiooni argumendi muutumisel -- täpsemalt, funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. Ühe reaalarvulise parameetriga ning reaalarvuliste väärtustega funktsiooni korral on selle funktsiooni tuletiseks mingil kohal selle funktsiooni graafiku puutuja tõus sellel kohal. Füüsikas on nihke tuletiseks aja järgi hetkkiirus, kiiruse tuletiseks omakorda kiirendus. Integraal määramata integraaliks nimetatakse funktsiooni algfunktsiooni leidmist ehk tuletise pöördfunktsiooni
ja maaratud integraali moisted. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga n, st n = max{x1,x2, . . . ,xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a, b] ja tähistatakse Wikipediast Olgu f(x) reaalarvulise muutuja x pidev ja tõkestatud funktsioon lõigus [a, b], siis määratud integraal on arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni graafiku, x-telje ning vertikaalsete sirgetega x = a ja x = b piiratud kujundi märgiga pindalaga, s.o x-teljest ülespoole ja allapoole jääva osa pindalade vahega. 37. Too arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jouvaljas. Tuletada vastav valem. Vt konspekt 120-121 38. Maaratud integraali geomeetriline sisu: kovertrapetsi pindala leidmine
f (x) g (x) − f (a) g (a) = (f (x) − f (a)) g (x) + f (a) (g (x) − g (a)), siis Kuna kohal a diferentseeruv funktsioon g on lause 5.1 põhjal selles punktis pidev, s.t. , siis piirväärtuse tehetega seotud omaduste kohaselt (vt. lause 3.7) Lause on tõestatud Tuua näiteid nende valemite rakendamise kohta. Funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse muutumise kiirust funktsiooni argumendi muutumisel Reaalarvulise argumendiga ning reaalarvuliste väärtustega funktsiooni korral on selle funktsiooni tuletiseks mingil kohal selle funktsiooni graafiku puutuja tõus sellel kohal. Funktsiooni uurimine L'Hospitali reegel Taylori valem 24. Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis (*) Tõestada lause 5.6 liitfunktsiooni diferentseerimisest: Olgu funktsioon f : D → R kohal a ∈ D diferentseeruv. Kui f (x) ∈ E iga x ∈ D korral
. . . siis: S ( x) ≡ T ( x) vastus: (x = y) ∨ (x = - y) P (x , y) ≡ (x > 0) → (y < 0) ülesanded: vastus: (x < 0) ∨ (x > 0) ∧ ( y < 0) On antud reaalarvulise määramispiirkonnaga predikaadid: N (x) ≡ " x on naturaalarv " P (x , y) ≡ (x > 0) ∧ (y < 0) Z (x) ≡ " x on täisarv " vastus: (x > 0) ∧ ( y < 0) P (x) ≡ " x on algarv " H (x) ≡ " x on paarisarv " D (x , y) ≡ " x jagub y-ga " Leida predikaatlausete tõeväärtus: ∀ x [ N (x ) → Z (x ) ]
Hägusloogika semantika Eelmises punktis toodud õunte rivi näite korral muutus predikaadi roheline rakendatavusaste pidevalt väiksemaks. Samas suurenes pidevalt predikaatide kollane ja punane rakendatavus. Klassikalises loogikas on iga väide kas tõene või väär. Seega kehtib iga predikaadi p(x) korral p(x) {t, v}. Hägusloogikas võetakse predikaadi rakendatavusastme tähistamiseks kasutusele predikaadi tõesusaste p(x) [0,1], kus tõeväärtuste hulk on asendatud reaalarvulise lõiguga [0,1], nii et 0 on väär ja 1 on tõene. See tähendab, et me loeme lauset p(x) tõeseks niivõrd, kuivõrd predikaat p on objektile x rakendatav. Eesti keeles ei kasutata mitte ainult kahte tõesusastet: tõene ja väär, vaid tõesus varieerub sageli kindlas vahemikus. Me võime näiteks mingi lause kohta öelda, et see on täiesti tõene, osaliselt laene, peaaegu väär vms. Hägusloogika semantika kirjeldamiseks laiendame klassikalise interpretatsiooni mõistet
kuulsad arvud See summa ei ole küll enam polünoom ja ei ole selge, kas ta üldse on mõistlik objekt (näiteks võiks ju iga -i korral väärtus olla lõpmatult suur). Igal juhul puhtalt for- maalselt saame tuletise operatsiooni rakendades tulemiks täpselt sama summa. Õnneks on matemaatika ilus ja tuleb välja, et see summa on igati mõistlik. Tal on tõepoolest iga reaalarvulise -i korral kindel väärtus ning see on võrdne täpselt funktsiooni väärtusega, mida enne juba mainisime. Nii võimegi kirjutada . Rahvasuu Eesti keeles on kõige sagedasem täht a, aga nii inglise, saksa kui ka prantsuse kee- les on selleks täheks e. Ja kuigi vaevalt et seda võiks pidada märgiks nende rah- vaste suuremast matemaatika armust, on e just matemaatikutele armsaim täht.
_cabs, _cabsl leiab kompleksarvu absoluutväärtuse ceil, ceill leiab ümardatud täisarvu cos, cosl arvutab koosinuse cosh, coshl arvutab koosinus hüperbolicuse div jagab täisarve ning tagastab tulemuse ja jäägi exp, expl arvutab eksponenti fabs, fabsl leiab absoluutväärtuse fmod, fmodl leiab reaalarvulise jäägi frexp, frexpl arvutab eksponenti log, logl arvutab naturaallogaritmi log10, log10l arvutab 10-nendlogaritmi _matherr, _matherrl käsitleb veasituatsioone __max, __min tagastab maksimaalse (minimaalse) vääruse modf, modfl jagab argumendi täis- ja murdosaks pow, powl arvutab argumendi astme rand tagastab pseudojuhusliku arvu
Bessel arvutab Besseli funktsiooni _cabs, _cabsl leiab kompleksarvu absoluutväärtuse ceil, ceill leiab ümardatud täisarvu cos, cosl arvutab koosinuse cosh, coshl arvutab koosinus hüperbolicuse div jagab täisarve ning tagastab tulemuse ja jäägi exp, expl arvutab eksponenti fabs, fabsl leiab absoluutväärtuse fmod, fmodl leiab reaalarvulise jäägi frexp, frexpl arvutab eksponenti log, logl arvutab naturaallogaritmi log10, log10l arvutab 10-nendlogaritmi _matherr, _matherrl käsitleb veasituatsioone __max, __min tagastab maksimaalse (minimaalse) vääruse modf, modfl jagab argumendi täis- ja murdosaks pow, powl arvutab argumendi astme rand tagastab pseudojuhusliku arvu sin, sinl arvutab siinuse
n→∞ k>n n→∞ n→∞ k>n n→∞ tingimuse (2.22) põhjal võrdsed, siis keskmise muutuja omaduse (vt. omadust 2.7) põhjal eksisteerib ka piirväärtus lim xn , kusjuures kehtib (2.23). n→∞ ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 49 Märkus. Teoreemi 2.26 valguses on lause 2.20 kehtivus ilmne: koonduvus ehk reaalarvulise piirväär- tuse olemasolu tähendab ülemise ja alumise piirväärtuse võrdumist ehk seda, et osapiirväärtuste hulk on ühe-elemendiline. Järgnevad kaks lauset selgitavad ülemise ja alumise piirväärtuse mõistete geomeetrilist sisu. Lause 2.27 Olgu (xn ) tõkestatud jada. Võrdus a = lim xn kehtib parajasti siis, kui iga ε > 0 puhul n→∞ arv a rahuldab võrratust
tada. V~ordus (2.4) on liitfunktsiooni diferentseerimise reegel. Leiame selle reegli ¨ldise astmefunktsiooni y = x , kus x > 0, tuletise. Selleks esitame abil u funktsiooni x = e ln x ja kirjutame (2.4) p~ohjal (x ) = e ln x = e ln x ( ln x) = e ln x · = x · = x-1 . x x Seega igasuguse reaalarvulise astendaja korral (x ) = x-1 Arvestades sellega, et e-x = e-x (-x) = -e-x , saame 1 x 1 (sh x) = (e - e-x ) = (ex + e-x ) = ch x 2 2 ehk (sh x) = ch x. 10 Samal viisil (ch x) = sh x.
annaabi.ee 
