Arvutused 1. Sademe massi leidmine P = P '-P0 = 43 - 38 = 5mg 2. Konstandi k leidmine 9 9 0,001 k= = = 0,0005687 2( - 0 ) g 2 ( 2420 - 1000) 9,8 3. Vaadeldavaks ajahetkeks täielikult settinud osakese raadiuse leidmine (näitena settimiskõvera punktis A) H 0,125 r =k v =k = 0,0005687 = 2,2478 10 -5 m tA 80 4. Fraktsiooni suhtelise sisalduse leidmine settimiskõvera ordinaattelje lõikude pikkuste suhete järgi (lõikude pikkused toodud tabelis 3) OO1 2,3 Q= 100% = 100% = 11,9% OP 19,4 5. Jaotusfunktsiooni väärtuste leidmine a) r = r1 - r2 = 2,0105 10 -5 - 1,8353 10 -5 = 1,7517 10 -6 b) Q = Q2 - Q1 = 19,1% - 11,9% = 7,2% Q 7,2 c) F = = = 375...
0,025 46 45 45 45,33 65,7960 0,05 49 49 - 49 60,8724 0,1 55 55 - 55 54,2318 0,2 65 66 65 65,33 45,6543 0,4 82 81 81 81,33 36,6732 2) Koostsin pindepinevuse isotermi =f(c), millele tõmbasin neljal kontsentratsioonil puutujad. Iga puutuja abil tegin kindlaks ordinaattelje lõigu pikkusega Z, kusjuures , Z avaldasin pindpinevuse ühikutes. Joonis . Pindpinevuse isoterm koos valitud kontsentratsioonidel tõmmatud puutujatega (Graafikul on musta paksu joonega pindpinevuse isoterm, värviliste joontega on tõmmatud puutujad kontsentratsioonidel 0,08; 0,1; 0,16; 0,2 ja 0,3) Valitud kontsentratsioonidel leitud Z väärtused asendasin Gibbsi adsorptsiooniisotermi
1 3 17. Millisel abstsissi x väärtusel joone y= 3 x 3 - 2 x 2 - 9 x + 8 puutuja moodustab x-teljega nurga 45°. 18. Millises punktis on parabooli y= x2+4x puutuja paralleelne x teljega. 19. Leida joone puutuja tõus ja puutuja võrrand, kui joone võrrand on y= (x-3)(x+4)-5 ning puutepunkti abstsiss on x0= 2. 2 20. Leia hüperbooli y= x puutujad, mis on paralleelsed sirgega y=-x. Teha joonis. 21. Leida joone y= x2+5x+6 puutujad, mis on paralleelsed koordinaattelgede vaheliste nurkade poolitajatega. Teha joonis.
0,5 54 55 55 54,7 54,87 0,25 49 48 48 48,3 62,14 0,125 45 44 46 45 66,69 2)Koostan pindpinevuse isotermi =f(c), millele tõmban neljal suvaliselt valitud kontsentratsioonil puutujad. Iga puutuja abil leian ordinaattelje lõigu pikkusega Z. Pindliig Kontsentratsioon c, mol/l 1/c Z mJ/m2 Z J/m2 mol/m2 0,25 4,0 8 0,008 3,23E-06 0,45 2,2 8,8 0,009 3,63E-06
0,0375 46 46 46 62,264 0,075 53 52 52 52,33 54,729 0,15 63 63 63 45,462 0,3 77 79 79 78,33 36,563 0,6 103 104 103 103,33 27,717 Koostan pindpinevuse isotermi = f(c), millele tõmban neljal kontsentratsioonil puutujad. Iga puutuja abil leian ordinaattelje lõigu pikkuse Z. Pindpinevuse isoterm Kontsentratsioon c, 1/c Z, J/m2 Pindliig , mol/m2 1/ mol/l 0,0375 26,67 0,008 3,24·10-6 308293,51 0,075 13,33 0,0115 4,87·10-6 205529,01 0,15 6,67 0,0123 4,99·10-6 200516,11
algebraline summa jääv Isoleeritud süsteem süsteem, kus ei teki elektrilaenguid juurde ega ei hävi neid Elektrivälja tugevus Vektoriaalne suurus. Tähistatakse E. Füüsikaline suurus, mis võrdub antud väljapunkti asetatud punktlaengule mõjuva jõu ja selle laengu suhtega. ________________________________________________________________________________ Elektrivälja graafiline kujutamine kujutamine joonte abil, mille puutujad igas punktis ühtivad väljatugevuse suunaga samas punktis Elektrivälja jõujoon joon, mille igast punktist tõmmatud puutuja siht ühtib väljatugevuse vektori sihiga. Jõujooned algavad +laengutel ja lõpevad -laengutel või suunduvad lõpmatusse. Jõujooned ei lõiku. Nad on vaid elektrivälja jaotuse kujutamine näitlik viis ja pole reaalsemad kui meridiaanid või paralleelid gloobusel.
3 3 4 9 2 d 16 8 Vastus: Prisma ruumala on V = 3d 2 - ja see on maksimaalne, kui d = ehk V = 56 cm2. 4 3 9 7. (10p) On antud jooned y = sin x ja y = cos x. 1) Milliste x väärtuste korral lõigus - ; on nende joonte puutujad paralleelsed? 2 2 2) Leidke sirgetega x = 0 ja x = ning antud joontega piiratud kujundi pindala. 2 Lahendus: On antud jooned y = sin x ja y = cos x lõigul - ; . Joonte puutujad on paralleelsed, kui nende tõusud 2 2
314 Kontsentratsioon, mol/l 0.5 Molaarmass, g/mol 74.12 ihedus, kg/dm3 0.805 ihedus, g/m3 805,000 emperatuur, K 293.15 H2O pindpinevus σ, mJ/m2 72.75 Avogadro arv NA, 1/mol 6.0022000000E+023 H2O tihedus, kg/dm 3 0.99823 σ = f(c). Joonistan puutujad, arvutan Z. /c) graafiku Гmax leidmiseks. = 5023.2924063492x + 201784.783037037 6.26 7.26 8.26 9.26 10.26 11.26 12.26 13.26 1/C, M Järeldus Töö joosksul määrasin isobutanooli vesilahuse pindpinevus sõltuvalt lahuse kontsentratsioonist. Pindpinev adsorptsioni isotermi ning sellest arvutasin molekuli pindala ja pikkus monomolekulaarses kihis.
52 48 44 40 36 32 28 24 20 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 tud kontsentratsioonil puutujad. =f(c) 6,00E-06 5,00E-06 =f(c) 6,00E-06 5,00E-06 1/
0,5 93 85 88 88,67 36,26 0,25 73 73 75 73,67 43,64 0,125 62 61 62 61,67 52,13 0,0625 53 58 57 56,00 57,40 2) Koostan pindpinevuse isotermi =f(c), millele tõmban neljal suvaliselt valitud kontsentratsioonil puutujad. Iga puutuja abil leian ordinaattelje lõigu pikkusega Z. 3 Kusjuures . Valitud kontsentratsioonidel leitud Z väärtused asendatakse Gibbsi adsorptsiooniisotermi võrrandisse . Väärtused on kantud järgnevasse tabelisse ja joonistatud adsorptsiooniisoterm =f(c) Kontsentratsioon Z Z Pindliig
mõõtmed on palju kordi väiksemad võrreldes eseme mõõtmetega. Punktvalgusallikas kiirgab valgust kõigis suundades, radiaalselt. Punktvalgusallikas tekitab esemest selgepiirilise varju. Kui minna väga kaugele, siis valgusallikast kiirguv valgus nõrgeneb, kuna valguskiired "hajuvad ruumi ära". Eseme varju konstrueerimisekstõmmatakse kaks kiirt punktvalgusallikast lähtuva valguse sihis, nii et need moodustaksid eseme ülemise ja alumise pinna puutujad. Nende kiirte lõikumine ekraani tasandiga näitab eseme varju suurust ekraanil. Kui me ise vaatleksime punktvalgusallikat ekraani tasandis, siis varju piirkonnast väljaspool me näeksime valgusallikat, kuid varju piirkonnas ei näeks, sest ese varjab meie jaoks valgusallika. Kui eset valgustab punktvalgusallikast suuremate mõõtmetega kerakujuline ehk sfääriline valgusallikas, Kohe kui valgus jõuab teistsugusesse keskkonda, ta murdub või peegeldub
2x graafikud lõigul ; . 24. (2004) Antud on funktsioonid f(x) = ln x ja g(x) = - ln x. 1) Lahendage võrrand f(x) = g ( 9x ). 2) Leidke puutuja võrrand joonele y = f(x) punktis, mille x-koordinaat on e, ja joonele 1 y = g(x) punktis, mille x-koorinaat on . e 3) Tõestage, et leitud puutujad on teineteisega risti. 4) Joonestage kolmnurk, mille moodustavad leitud puutujad ja sirge y = 1. Arvutage selle kolmnurga pikima külje pikkus ja pindala. 25. (2005) Antud on funktsioonid y x 3 4 x ja y x 2 1 . 1) Arvutage funktsiooni y x 3 4 x nullkohad ja maksimum-ja miinimumpunkti koordinaadid. 2) Joonestage funktsioonide y x 3 4 x ja y x 2 1 graafikud samas teljestikus.
kesknurgaks.(nurk AOC) Nurka, mille tipp asetseb ringjoonel ja haaradeks on kõõlud (ringjoone lõikajad), nimetatakse piirdenurgaks.(nurkABC) Piirdenurk võrdub poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast. Ringjoone lõikajaks nimetatakse sirget, millel on ringjoonega kaks ühist punkti. Ringjoone puutujal on ringjoonega üks ühine punkt .Puutuja on risti puutepunkti joonestatud raadiusega. Kui väljaspool ringjoont võetud punktist joonestada puutujad, siis selle punkti kaugused puutepunktidest on võrdsed. Ringjoone pikkus C = 2r = d Ringjoone kaare pikkus l, mis vastab kesknurgale (kraadides), avaldub valemina r l= 180 o d 2 Ringi pindala S = r 2 = 4 Ringide pindalad suhtuvad nagu nende raadiuste või diameetrite ruudud. (kraadides), avaldub valemina r 2 lr
kesknurgaks.(nurk AOC) Nurka, mille tipp asetseb ringjoonel ja haaradeks on kõõlud (ringjoone lõikajad), nimetatakse piirdenurgaks.(nurkABC) Piirdenurk võrdub poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast. Ringjoone lõikajaks nimetatakse sirget, millel on ringjoonega kaks ühist punkti. Ringjoone puutujal on ringjoonega üks ühine punkt .Puutuja on risti puutepunkti joonestatud raadiusega. Kui väljaspool ringjoont võetud punktist joonestada puutujad, siis selle punkti kaugused puutepunktidest on võrdsed. Ringjoone pikkus C 2r d Ringjoone kaare pikkus l, mis vastab kesknurgale (kraadides), avaldub valemina r l 180 o d 2 Ringi pindala S r 2 4 Ringide pindalad suhtuvad nagu nende raadiuste või diameetrite ruudud. r 2 lr
0,0625 43 43 43 67,67 0,125 46 46 46 63,26 0,25 51 51 51 57,06 0,5 58 58 58 50.17 1 69 69 69 42,17 2) Koostatakse pindpinevuse isoterm = f(c), millele tõmmatakse neljal-viiel kontsentratsioonil puutujad (mitte tingimata katsepunktides). Iga puutuja abil saab leida ordinaattelje lõigu pikkusega Z (joonis 2), kusjuures d Z = c dc Z avaldatakse pindpinevuse ühikutes. Valitud kontsentratsioonidel leitud Z väärtused asendatakse Gibbsi adsorptsiooniisotermi võrrandisse = c d RT dT ( I, 3 ) ja määratakse = Z/RT
33 55.92072 5 3 0.031 49 48 49 48.67 63.58109 25 6 0.015 47 47 47.00 65.83574 625 5 Vesi 43 43 43 71.96 2) Koostan pindpinevuse isoterm = f(c), millele tōmban neljal kontsentratsioonil puutujad. d dc Kusjuures Z = c Valitud kontsentratsioonidel leitud Z väärtused asendan Gibbsi c d RT dc adsorptsiooniisotermi vōrrandisse = ja määran = Z/RT. Saadud pindliia väärtused kanna tabelisse 2. Tabel 2
Punktist B 8 cm kaugusel, punktis E on lõigule AB tõmmatud ristsirge, mis lõikab parabooli punktis F. Leia E ja F vaheline kaugus 14. Korrapärase kolmnurkse püramiidi põhiserva a ja külgserva b kaudu avalda üht külgserva ja püramiidi kõrgust läbiva lõike pindala. 15. Võrdhaarse trapetsi aluste pikkuste suhe on 0,75. Trapetsi kesklõigu pikkus võrdub trapetsi kõrgusega h = 7 m. Leia trapetsi ümberringjoone pikkus. 16. Leia hüperbooli y = puutujad, mis on paralleelsed sirgega y = -x. 17. Sirge s läbib punkte A(1; 2; -3) ja B(0; -1; 1). Sirge t läbib punkti C(-1; 0; 1) ning sihivektoriks on a = (1; 0; 4). Koosta sirgete s ja t võrrandid ning tee kindlaks sirgete vastastikune asedn. 18. Lihtsusta ( sin + cos - 1)( sin + cos + 1) 4( sin 30° - sin 45° sin )( cos 60° + cos 45° cos tan ) 19. Aritmeetilise jada neljanda, kaheksanda, kaheteistkümnenda ja kuueteistkümnenda liikme summa on 500
27. Selgitada evolvendi omadused. Kirjutada võrrand inv= 1. Ühe alusringjoone evolvendid on omavahel kongruentsed (ühitatavad liikumise abil). Seega on evolvent täielikult määratud alusringjoone raadiusega rb ja alguspunktiga E0. N 0 N 1 = E1 N 1 ; N 0 N 2 = N 2 E 2 2. Et kujundav sirge veereb alusringjoonel libisemata, siis jne. 3. Alusringjoone puutujad on evolvendi normaalid. 4. Evolvendi kõverusraadiused võrduvad alusringjoone puutuja lõikudega, mis paiknevad evolvendi ja alusringjoone vahel: 1 = E1 N 1 = N 0 N 1 ; 2 = N 2 E 2 = N 0 N 2 Inv = tan - , kus on radiaanides. 28. Joonestada ja tähistada nihutuseta hambumise korral hammasrataste tsentrid, tsentrite joon, hambumissirge, alg-, alus- ja jaotusringjooned. 29
või üldjuhul (x Rn). 11. Pinna puutujatasand ja selle võrrand. Puutujatasandi seos pinna lõikejoonte puutujatega. Pinna normaalvektor ja normaalsirge ning selle võrrand. Tuletada vastavad võrrandid kahe- või mitmemuutuja juhul. Sirget, mis läbib punkti P(x(to)), y(to), z(to) ja on vektori (x(to), y(to), z(to)) sihiline, nimetatakse joone X(t)=(x(t), y(t), z(t)) puutujaks punktis P. Tasandit, millel asuvad kõik pinna punkti P läbivate joonte puutujad nimetatakse puutujatasandiks punktis P. Normaalsirgeks punktis P nimetatakse punkti P läbivat sirget, mis on risti puutujatasandiga punktis P. Kui P(a; b; c) on võrrandiga F(x; y; z) = 0 esitatud pinna punkt ja funktsiooni F(x; y; z) kõik esimest järku osatuletised on pidevad punktis P(a; b; c) ning Puutujatasandi normaalvektor n on risti joone X puutuja sihivektoriga (x'(t0); y'(t0); z'(t0)) kui skalaarkorrutis (n, (x'(t0); y'(t0); z'(t0)) = n1x'(t0) + n2y'(t0) + n3z'(t0) = 0:
2. (17.05.1997, R, 15 punkti). Lahendage võrrand cos 2 cos 2 x cos x . 2 3. (23.05.1998, I, 10 punkti). On antud jooned y sin x ja y cos x . 1) Milliste x väärtuste korral lõigust 2 , 2 on nende joonte puutujad paralleelsed? 2) Leidke sirgetega x 0 ja x ning antud joontega piiratud kujundi pindala. 2 4. (23.05.1998, II, 20 punkti). On antud funktsioon f x sin x cos x . 1) Lihtsustage avaldist f x f x . 2) Lahendage võrrand f x 1 . 3) Lahendage võrratus f x 0 lõigus 0, .
r 1 r dV tihedusega , siis kohavektoriga r määratud punktis on E = . 4 0 V r 3 r Graafiliselt iseloomustatakse elektrivälja väljatugevuse joonte e E - joonte abil nende r tihedus on võrdeline vektori E arvväärtusega ja puutujad neile igas punktis ühtivad r vektori E suunaga nendes punktides. r Gaussi teoreem: E - voog läbi kinnise pinna S on võrdne selle pinna sisse jäävate r q laengute q S algebralise summaga, jagatud 0 -ga: E dS = S . Siit on saadavad S 0
graafikut? Kõverusringjoon väheneb kui ta liigub kõveruskeskpunkti suunas, kõveruskeskpunktist eemaldumisel kõverusringjoon suureneb. 7. Kuidas kõveruse järgi leida kõverusringjoone raadiust? Kõveruse järgi kõverusringjooneraadiuse leidmiseks tuleb leida kõveruse pöördväärtus. 8. Mis on kõveruskeskpunkt? Kõveruskeskpunkt on kõverusringjoone keskpunkt. 9. Mis on evoluut ja evolvent? Evoluut on joon, mille puutujad on antud joone normaalid. (joon, mis koosneb kõverusringjoonte keskpunktidest) Evolvent on joon, mille normaalid on antud joone puutujad. 10. Kuidas saab geomeetriliselt joonestada ringjoone evolventi? 11. Kus tehnikas kasutatakse ringjoone evolventi? masinate konstrueerimisel 12. Illustreerige graafiliselt konkreetse funktsiooni f(x) graafiku baasil Rolle'i teoreemi! Olgu antud f-n ja selle graafiku puutuja võrrand
JOONIS Joonisel on kujutatud joone y=f(x) puutuja s ja normaalsirge n koos oma tõusunurkadega ja . Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p=tan. Kuna =a+ ja tan=f'(a), siis Eelneva valemi ning valemi y-b=p(x-a) põhjal on punkti A=(a,f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine: e. Diferentseeruvuse geomeetriline sisu JOONIS Punktides A ja A on joon sile, seal on tema puutujad üheselt määratud. Puutujate tõusunurgad erinevad -st, järelikult on funktsioonil f argumendi väärtustel x=a ja x=a olemas lõplikud tuletised. Seevastu punktis A joon murdub. Punktiiriga on kujutatud lõikajate piirsirged mõlemapoolsel lähenemisel A-le. Need on erinevad, seega ei ole puutujad määratud. Argumendi väärtusel x=a funktsiooni tuletis puudub.
küljest; kolmnurgal leidub ainult üks siseringjoon; kolmnurga pindala võrdub kolmnurga ümbermõõdu ja siseringjoone raadiuse poole korrutisega S=Pr:2 NB saab kasutada kolmnurga konstrueerimisel 14.Kõõlkolmnurk ja puutujakolmnurk - Kõõlkolmnurk, vaata joonist a kolmnurga ümber joonestatud ümberringjoone Puutujakolmnurk vaata kõõludeks on selle kolmnurga küljed, selline kolmnurk on kõõlkolmnurk; kolmnurga sisse joonestatud siseringjoone puutujad asetsevad kolmnurga külgedel, selline kolmnurk on puutujakolmnurk NB kõõlkolmnurga tipud asuvad ringjoonel; puutujakolmnurga puhul puutub sees asuv ringjoon kolmnurga külgi kolmes punktis, kus raadius on küljega risti 15.Kolmnurga kõrguste lõikumine - lõikuvad Ül.1127 kõik ühes ja samas punktis; lõikumispunkti Kolmnurga kaks nurka on 70° ja 30°. Kui nimetatakse ortotsentriks suured nurgad tekivad kolmnurga kõrguste
Ellips S = ab Ellips pöörleb ümber x-telje V = 4/3ab2 t2 t2 Teepikkus s = vdt Kiirus v = adt t1 t1 x2 x2 Jõu töö W = kxdx Vedeliku rõhumine P = 9,807xdS x1 x1 Teist järku joonte puutujad punktis P0 xx0 yy 0 xx0 yy0 Ellipsi puutuja võrrand + 2 =1 Hüperbooli puutuja võrrand 2 =1 a2 b a2 b Parabooli puutuja võrrand yy 0 = p ( x + x 0 ) Ringjoone puutuja võrrand xx0 + yy 0 = R
Ellips S = ab Ellips pöörleb ümber x-telje V = 4/3ab2 t2 t2 Teepikkus s = vdt Kiirus v = adt t1 t1 x2 x2 Jõu töö W = kxdx Vedeliku rõhumine P = 9,807xdS x1 x1 Teist järku joonte puutujad punktis P0 xx0 yy 0 xx0 yy0 Ellipsi puutuja võrrand + 2 =1 Hüperbooli puutuja võrrand 2 =1 a2 b a2 b Parabooli puutuja võrrand yy 0 = p ( x + x 0 ) Ringjoone puutuja võrrand xx0 + yy 0 = R
Vektor ( E ) on suunatud piki laengut ja antud väljapunkti läbivat sirget (+) laengust eemale ja (-) laengu poole.Laengute süsteemi väljatugevus on võrdne nende väljatugevuste vektorsummaga mida tekitavad kõik süsteemi kuuluvad laengud üksikult. q= +/- Ne 1 q r E= 2 0 = 0,885 10 -11 ( F / m) 4H 0 r r Väljatugevuse jooned, Gaussi teoreem-Väljatugevuse jooned on jooned, mille puutujad langevad igas punktis ühte vektori E suunaga. Gaussi teoreem- Elektrivälja tugevuse E(V/m) vektorvoog läbi kinnise pinna on võrdne selle pinna sees olevate laengute qi algebralise summaga ja 1 q q 1 q elektrilise konstandi 0 jagatisega. F = 1 2 2 ; E= 2 : 0 -elektrivälja konstant 4 0 r 40 r
tingimusel, et alajaotuses 2) leitud puutuja oleks ühtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks punktis, mille abstsiss on 1 4) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikud ning nende graafikute ühine puutuja. Vastus: 1) 0; ; f x ln x; 2) y x 1; 3) a 0,5 ; c 0,5 3. Puutuja võrrandi koostamine a) Koostage joone puutuja y = 2x3 - x2 -3x + 1 puutujate võrrandid, kui puutujad moodustavad x telje positiivse suunaga nurga 450 17 Vastus. y = x - 2 y = x + 2 27 b) Koostage hüperbooli puutuja ja normaali võrrand punktis A( 2 ; 3 ) ; y = (x+1):(x- 1) Vastus: y = -2x + 7 ;x-2y+4 = 0 c) Leida joone y = x lnx puutuja, mis on paralleelne sirgega 2x - 2y + 3 = 0 Vastus: y = x - 1 d) Koostage joone y = 2 - x puutuja võrrand punktis, kus see joon lõikub esimese koordinaattasandi veerandi nurgapoolitajaga.
puutuja oleks ühtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks punktis , mille abstsiss on 1 ; 4) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikud ning nende graafikute ühine puutuja. Vastus: 1) X= ( 0; ); f(x) = ln x; 2) y = x+1; 3) a = 0,5 ; c = 0,5 6.Puutuja võrrandi koostamine a) Koostage joone y = 2x3 - x2 -3x + 1 puutujate võrrandid, kui puutujad moodustavad x telje positiivse suunaga nurga 450 17 27 Vastus. y = x - 2 y = x + 2
Kaldne nihkepinge Nihkepinge väljaulatuvas nurgas Välispind 't1 Välispinna 't2 puutujad Ristlõikepind t1 B t t2 'n n A Välispinna (kontuuri) puutuja
esimest järku kriitilisteks punktideks). b. Funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus Kui funktsioonil f on punktis x lokaalne ekstreemum, siis on x selle funktsiooni kriitiline punkt. Tarviliku tingimuse põhjendus (Joonis) Funktsioonil on puntides a,b,c,d,e lokaalsed ektreemumid. Esimesed kolmes ekstreemumpunktis on graafik sile, seega on funktsioon seal diferentseeruv ning tema tuletis võrdub nulliga. Graafiku puutujad on neis punktides horisontalsed. Seevastu neljandas ekstreemumupunktis ei ole graafik sile, seega tuletis puudub. Igas kriitilises punktis ei tarvitse ektreemumit olla. Kõikvõimalikud kriitilise punkti juhud on kokku võetud joonisel. (Joonis). Võimalike kriitiliste punktide hulk on suurem kui võimalike ektreemumite hulk. Tingimus, et x on kriitiline punkt, on vaid tarvilik lokaalse ekstreemumi olemasoluks
3 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 6. Pinna z = f (x, y ) puutujatasand ja normaal Def. Pinna z = f ( x, y ) puutujaks punktis A = (a, b, f (a, b )) nimetatakse sellel pinnal asuva ja punkti A läbiva joone puutujat. Väide. Kui punktis A = (a, b ) leiduvad pidevad osatuletised f x ja f y , siis pinna z = f ( x, y ) puutujad punktis A = (a, b, f (a, b )) asuvad kõik samal tasandil. Seda tasandit nimetatakse pinna z = f ( x, y ) puutujatasandiks punktis A . Puutujatasandi võrrand: Pinna z = f ( x, y ) puutujatasandi võrrand punktis A = (a, b, c ) c = f (a, b ) on (z - c ) = f x (a, b )( x - a ) + f y (a, b )( y - b ) . Tõestus. Olgu antud tasand, mis läbib punkti A = (a, b, c ) c = f (a, b ) ja mille normaal on ( r ~ ~ ~ ) ~ ~ ~ ~
küljest; kolmnurgal leidub ainult üks siseringjoon; kolmnurga pindala võrdub kolmnurga ümbermõõdu ja siseringjoone raadiuse poole korrutisega S=Pr:2 NB saab kasutada kolmnurga konstrueerimisel 14.Kõõlkolmnurk ja puutujakolmnurk - Kõõlkolmnurk, vaata joonist a kolmnurga ümber joonestatud ümberringjoone Puutujakolmnurk vaata kõõludeks on selle kolmnurga küljed, selline kolmnurk on kõõlkolmnurk; kolmnurga sisse joonestatud siseringjoone puutujad asetsevad kolmnurga külgedel, selline kolmnurk on puutujakolmnurk NB kõõlkolmnurga tipud asuvad ringjoonel; puutujakolmnurga puhul puutub sees asuv ringjoon kolmnurga külgi kolmes punktis, kus raadius on küljega risti 15.Kolmnurga kõrguste lõikumine - lõikuvad Ül.1127 kõik ühes ja samas punktis; lõikumispunkti Kolmnurga kaks nurka on 70° ja 30°. Kui nimetatakse ortotsentriks suured nurgad tekivad kolmnurga kõrguste
f(d)) lokaalsed ekstreemumid. Esimeses kolmes ekstreemumpunktis on graafik sile, seega on funktsioon seal diferentseeruv ning tema tuletis võrdub nulliga: f(a) = f(b) = f(c) = 0. Graafiku puutujad on neis punktides horisontaalsed. Seevastu neljandas ekstreemumpunktis koordinaatidega (d, f(d)) ei ole graafik sile, seega f(d) puudub. Võtame piirväärtuse: Siinkohal tuleb rõhutada seda, et teoreemile vastupidine väide ei kehti
nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks. (Täpsemini esimest järku kriitilisteks punktideks). Funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus Kui funktsioonil f on punktis x lokaalne ekstreemum, siis on x selle funktsiooni kriitiline punkt. Tarviliku tingimuse põhjendus (Joonis) Funktsioonil on puntides a,b,c,d,e lokaalsed ektreemumid. Esimesed kolmes ekstreemumpunktis on graafik sile, seega on funktsioon seal diferentseeruv ning tema tuletis võrdub nulliga. Graafiku puutujad on neis punktides horisontaalsed. Seevastu neljandas ekstreemumupunktis ei ole graafik sile, seega tuletis puudub. Igas kriitilises punktis ei tarvitse ektreemumit olla. Võimalike kriitiliste punktide hulk on suurem kui võimalike ektreemumite hulk. Tingimus, et x on kriitiline punkt, on vaid tarvilik lokaalse ekstreemumi olemasoluks. Sellest tingimusest ei piisa lokaalse ekstreemumi jaoks. Lokaalsed ekstreemumid on punktid, kus funktsiooni kasvamine asendub kahanemisega või vastupidi.
Funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Tarviliku tingimuse põhjendus. Näiteks joonisel 4.1 kujutatud funktsioonil on punktides koordinaatidega (a, f(a)), (b, f(b)), (c, f(c)) ja (d, f(d)) lokaalsed ekstreemumid. Esimese kolmes ekstreemumpunktis on graafik sile, seega on funktsioon seal diferentseeruv ning tema tuletis võrdub nulliga: f 0 (a) = f 0 (b) = f 0 (c) = 0. Graafiku puutujad on neis punktides horisontaalsed. Seevastu neljandas ekstreemumpunktis koordinaatidega (d, f(d)) ei ole graafik sile, seega f 0 (d) puudub. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused . I - Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. 1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest
Teoreem 4.2 Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Tarviliku tingimuse põhjendus.( l.90-92) Näiteks joonisel 4.1 kujutatud funktsioonil on punktides koordinaatidega (a, f(a)), (b, f(b)), (c, f(c)) ja (d, f(d)) lokaalsed ekstreemumid. Esimese kolmes ekstreemumpunktis on graafik sile, seega on funktsioon seal diferentseeruv ning tema tuletis võrdub nulliga: f(a) = f(b) = f(c) = 0. Graafiku puutujad on neis punktides horisontaalsed. Seevastu neljandas ekstreemumpunktis koordinaatidega (d, f(d)) ei ole graafik sile, seega f(d) puudub. Siinkohal tuleb r~ohutada seda, et teoreemile 4.2 vastupidine v.aide ei kehti.See t.ahendab, et igas kriitilises punktis ei tarvitse ekstreemumit olla. Teiste s~onadega: funktsioonil v~oib olla selliseid kriitilisi punkte, kus ekstreemumit ei ole. N.aiteks funktsioonil f(x) = x^3 on kriitiline punkt x = 0 (sest f(0) = 0)
Teoreem 4.2 (Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus). Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. N¨aiteks joonisel 4.1 kujutatud funktsioonil on punktides koordinaatidega (a, f (a)), (b, f (b)), (c, f (c)) ja (d, f (d)) lokaalsed ekstreemumid. Esimese kolmes ekstreemumpunktis on graafik sile, seega on funktsioon seal diferentseeruv ning tema tuletis v~ordub nulliga: f (a) = f (b) = f (c) = 0. Graafiku puutujad on neis punktides horisontaalsed. Seevastu neljandas ekstreemumpunktis koordi- naatidega (d, f (d)) ei ole graafik sile, seega f (d) puudub. yy y = f (x) G a b c d e x Joonis 4.1 Siinkohal tuleb r~ohutada seda, et teoreemile 4
Teoreem 4.2 (Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus). Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. N¨aiteks joonisel 4.1 kujutatud funktsioonil on punktides koordinaatidega (a, f (a)), (b, f (b)), (c, f (c)) ja (d, f (d)) lokaalsed ekstreemumid. Esimese kolmes ekstreemumpunktis on graafik sile, seega on funktsioon seal diferentseeruv ning tema tuletis v~ordub nulliga: f (a) = f (b) = f (c) = 0. Graafiku puutujad on neis punktides horisontaalsed. Seevastu neljandas ekstreemumpunktis koordi- naatidega (d, f (d)) ei ole graafik sile, seega f (d) puudub. yy y = f (x) G a b c d e x Joonis 4.1 Siinkohal tuleb r~ohutada seda, et teoreemile 4
Teisisõnu tahaksime leida funktsiooni, mille jaoks igas punktis kehtib . Iga võimalikku vastust sellele nimetatakse funktsiooni algfunktsiooniks ning mitmust kasutame siin üsna asjakohaselt – võimalikke vastuseid on palju! Tõepoolest, kui on mõne funktsiooni algfunktsioon, siis on seda ka iga konstandi jaoks. Konstandi lisamine ju ainult nihutab funktsiooni üles-alla, ent ei muuda tema muutumise kiirust – puutujad jäävad paral- leelseks. Õigupoolest tuleb välja, et midagi muud teha ei võigi – kõikvõimalikud algfunktsioonid saamegi ühteainsat üles-alla nihutades. 353 integraal ja tuletis Nüüd funktsiooni määramata integraal kogubki kõikvõimalikud vastused ehk teisisõnu algfunktsioonid ühte ja samasse avaldisse
annaabi.ee 
