· puudub piirväärtus · funktsioon on määratud N0(x0;y0) ümbruse kõigis punktides, piirväärtus on olemas, kuid 6. Kahe muutuja funktsiooni osatuletis. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletiseks x järgi nim. vastava osamuudu xz ja muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletist x järgi tähistatakse sümbolitega: z'x , f'x(x,y) , . Seega definitsiooni kohaselt: Analoogiliselt defineeritakse funktsiooni z=f(x,y) osatuletis y järgi funktsiooni osamuudu yz ja muudu y suhte piirväärtusena y lähenemisel nullile. Osatuletist y järgi tähistatakse sümbolitega z'y , f'y(x,y) , . Seega:
Ülesanne 2.Antud on kolm mittelineaarset mõõtmistulemuste parameetrilist võrrandit: 1) Leida tundmatute parameetrite x ja y kõige tõenäolisemad väärtused vähimruutude meetodil. Mõõtmistulemused on võrdsete kaaludega. Esialgsete x ja y väärtustena kasutage x0 = 2.1 ja y0 = 0.45. Ülesande lahendamiseks leiame kõigepealt antud võrrandite osatuletised muutuja x ja seejärel muutuja y järgi. Saame 6 osatuletist, millesse asendame muutujate x ja y esialgsed väärtused. Tulemuseks saame J maatriksi (Jacobi maatriks). Tabel 6. Jacobi maatriks 5.55 5.4 92.61 -2.7 -0.7 -9.9 Järgnevalt asetame muutujate x ja y esialgsed väärtused algvõrranditesse ja leiame neile esialgsed väärtused. Nende kaudu leiame maatriksi K (Tabel 7), mis on tegelike mõõtmistulemuste ja parameetrite esialgsete väärtuste põhjal võrranditest leitud tulemuste vahe. Tabel 7.Maatriks K -0.04 -9.02 -0
, z x , f x' ( x; y ) või z x ja tähistatakse . Lahtiseletatult leides osatuletist x järgi anname muudu ainult argumendile (muutujale) x (tema muut on x), y on konstantne (muutumatu) ja seejärel arvutame funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte (sisu sama, mis ühe muutuja korral). f ( x; y + y ) - f ( x; y ) lim y Tuletis y järgi analoogiliselt y 0 .
Etteantud δf δf võrranditest leiame osatuletised muutuja x ( δx ) ja seejärel muutuja y ( δy ) järgi. Vastavad osatuletised lähtevõrranditest on toodud tabelis 8. Tabel 9. Osatuletised muutujate x ja y järgi δf δf Võrrnad δx δy 1 2x 2 2 -4 12y 3 6x+4y 4x+10y Kokku saame 6 osatuletist. Kuna igal mõõtmistulemusel on selles ülesandes oma kaal, siis peame neid arvutuste juures arvestama ning eelnevalt koostama kaalumaatriksi W (Tabel 10). Tabel 10. Kaalumaatriks W 2 0 0 0 4 0 0 0 6 Järgnevalt moodutame Jacobi maatriksi (Tabel 11). Selleks leiame osatuletiste väärtused esialgsete muutujate x ja y väärtustega. Esialgsete muutujate väärtustega tuleb leida ka võrrandite väärtused
gradz(P0) = (z´X(P0); z´Y(P0)) Gradientvektori pikkus näitab muutumise maksimaalset kiirust. 3. Missuguses suunas kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini? Kasvab kõige kiiremini kui argument liigub gradientvektori suunas. Teooriaküsimused nr. 9 1. Selgitada marginaalsuuruse mõistet mitme muutuja funktsiooni korral. Olgu f=f(x,y) mingi majandusfunktsioon. Suuruse f marginaalsuuruseks majandusnäitaja x suhtes nimetatakse f osatuletist x järgi. MfX(x;y) = f´X(x,y) Suuruse f marginaalsuuruseks majandusnäitaja y suhtes nimetatakse f osatuletist y järgi. Mfy(x,y) = f´Y(x,y) 2. Selgitada osaelastsuse mõistet mitme muutuja funktsiooni korral. Funktsiooni osaelastsus majandusnäitaja x suhtes (y suhtes) näitab ligikaudselt mitme protsendi võrra muutub funktsiooni väärtus, kui argumendi x väärtus (y väärtus) muutub ühe protsendi võrra kui y ei muutu (x ei muutu). 3. Mis on kahe muutuja funktsiooni nivoojoon?
ka selles piirkonnas pidev. (pidev f ± pidev f = pidev f) |PA|< f(P) f(A)0 Def: katkev on funktsioon punktis A: a) f(A) = (A ei kuulu MP-sse) b) lim P A f ( P) = c) lim P A f ( P ) f ( A) Osatuletised. Diferentseeruvus Funktsiooni osatuletisi arvutatakse teadaolevate reeglite kohaselt muutuja järgi mitme muutuja funktsioonist nii, et ülejäänud muutujad fikseeritakse käituvad konstantidena. I 2MF: w=f(x,y), P(x,y) D R 2 2MFil on 2 I j osatuletist 1 a) fix y-i f(x,y)F(x): kui on DV-uv, siis eksisteerib F f ( x + x, y ) - f ( x, y ) f ( x, y ) limF´(x)= lim x0 = lim x0 = = f x ( x, y ) - f-i osatul x-i järgi x x x b) fix x-i f(x,y)G(y): kui on DV-uv, siis eksisteerib
gradz(P0) = (z´X(P0); z´Y(P0)) Gradientvektori pikkus näitab muutumise maksimaalset kiirust. 3. Missuguses suunas kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini? Kasvab kõige kiiremini kui argument liigub gradientvektori suunas. TEOORIAKÜSIMUSED nr 9 1. Selgitada marginaalsuuruse mõistet mitme muutuja funktsiooni korral. Olgu f=f(x,y) mingi majandusfunktsioon. Suuruse f marginaalsuuruseks majandusnäitaja x suhtes nimetatakse f osatuletist x järgi. MfX(x;y) = f´X(x,y) Suuruse f marginaalsuuruseks majandusnäitaja y suhtes nimetatakse f osatuletist y järgi. Mfy(x,y) = f´Y(x,y) 2. Selgitada osaelastsuse mõistet mitme muutuja funktsiooni korral. Funktsiooni osaelastsus majandusnäitaja x suhtes (y suhtes) näitab ligikaudselt mitme protsendi võrra muutub funktsiooni väärtus, kui argumendi x väärtus (y väärtus) muutub ühe protsendi võrra kui y ei muutu (x ei muutu). 3
Geomeetriliselt näitab osatuletis x järgi pinna (funktsiooni z=f(x;y) graafiku) puutujatasandi tõus x-telje sihis. Osatuletis z x' võrdub arvuliselt pinna z = f (x, y) ja tasapinna y = const lõikejoone puutuja tõusunurga tangensiga. Kõrgemat järku osatuletis- Olles arvutanud osatuletise , saame leida ka kõrgemat järku osatuletisi , 2z Teist järku osatuletist x järgi tähistame kas z xx'' , z x'' 2 , z x 2 , , tavaliselt eelistame teisena esitatud x 2 kirjapilti. Segaosatuletiseks nimetame teist (või kõrgemat) järku osatuletist, kus tuletis on võetud '' vähemalt kahe muutuja järgi, näiteks: z xy .Kui funktsioon z = f (x;y) ja tema esimest ning teist järku '' ''
xi 0 x i f z Tähistus: f xi = f xi (P ) = z xi = = xi xi Osatuletise leidmine: Funktsiooni z = f ( x1 ,..., x m ) osatuletiste leidmisel muutuja xi (1 i m ) järgi kasutatakse ühe muutuja funktsiooni tuletise leidmise eeskirju, lugedes need muutujad, mille järgi parajasti osatuletist ei leita, konstantideks. Osatuletise geomeetriline tähendus z = f(x, y) z x z = f ( x, y ) f x (a, b ) on joone x := punktis A võetud c y = b A´ puutuja tõus tasandil y = b . f x (a, b ) = tan
F Fx Fy y = - x . zx = - , zy = - . Fy Fz Fz Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad. Ilmutamata funktsiooist saab osatuletist võtta ka kohe. Sel juhul tuleb silmas pidada, missugune muutuja on osatuletise võtmise juures funktsioon, missugune muutuja ja missugune konstant. Mitme muutuja funktsiooni diferentsiaalarvutuse rakendusi Olgu antud ilmutamata kujul funktsioon F ( x, y , z ) = 0 ja punkt P0 = ( x0 , y 0 , z 0 ) . Puutujatasandi võrrand punktis P0: Fx ( P0 )( x - x0 ) + Fy ( P0 )( y - y 0 ) + Fz ( P0 )( z - z 0 ) = 0 . n = ( Fx ( P0 ); Fy ( P0 ); Fz ( P0 ) ) .
osamuudu x järgi. x z = f ( x + x, y ) - f ( x, y ) Analoogselt jättes x konstantseks saame osamuudu y järgi. y z = f ( x, y + y ) - f ( x, y ) n-muutuja funktsiooni u = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) osamuut xi järgi saadakse andes sellele muutujale muudu xi ja jättes ülejäänud muutujad konstantseks. u = f ( x1 ,..., xi -1 , xi + xi , xi +1 ,..., x n ) - f ( x1 ,..., xi -1 , xi , xi +1 ,..., x n ) Def. 3.1. Funktsiooni z = f ( x, y ) osatuletist x järgi nimetatakse funktsiooni tuletist tingimusel, et y = const . z z f ( x + x , y ) - f ( x, y ) (3.1) = z x = lim x = lim x x 0 x x 0 x Selle funktsiooni osatuletiseks y järgi on tuletis z yz f ( x, y + y ) - f ( x, y ) (3.2) = z y = lim = lim y y 0 y y 0 y n-muutuja funktsiooni u = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) osatuletiseks x k suhtes on tuletis tingimusel, et
tingimused f''(x0)<0 ja miinimum parajasti siis, kui f'(x0)=0 ja f''(x0)>0 ekstreemumite leidumiseks Statsionaarne punkt Statsionaarseks punktiks nimetatakse punkti, mille korral funktsiooni kõik osatuletised selles punktis on võrdsed nulliga Kriitiline punkt Kriitiliseks punktis nimetatakse punkti, kui see punkt on statsionaarne punkt või osatuletist selles punktis ei eksisteeri või osatuletis on lõpmatu. Tinglik kriitiline punkt Tinglikuks kriitiliseks punktiks nimetatakse punkti, kui see punkt on statsionaarne punkt või punkte, mis rahuldavad lisatingimust ja kus funktsioonide f ja J osatuletised ei ole pidevad Tingliku kriitilise Funktsiooni f(x,y,...) tingliku ekstreemumi leidmiseks lisatingimusel g(x,y, punkti leidmine ..
argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. Kiirendus funktsiooni teist järku tuletis näitab funktsiooni muutumise kiirendust argumendi muutumisel. 34. Mitme muutuja funktsiooni osatuletiste ja täisdiferentsiaali mõiste. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletiseks argumendi x järgi nim vastava osamuudu xz ja muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletist argumendi x järgi tähistatakse sümbolitega: Analoogselt, kui x on konstantne ja y saab lubatava muudu y, siis saame vaadeldava funktsiooni osamuudu argumendi y järgi. Leidugu funktsioonil z=f(x,y) osatuletised z'x ja z'y ja olgu need pidevad funktsioonid määramispiirkonna punktis (x,y). Sellisel juhul leidub vaadeldaval funktsioonil täisdiferentsiaal dz, mis avaldub kujul: kus dx=x, dy=y 35. Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine.
Gradientvektori pikkus näitab muutumise maksimaalset kiirust. grad z(P ) = (z' 45. Missuguses suunas kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini? Funktsioon F kasvab antud punktis A kõige kiiremini selle funktsiooni gradiendi suunas. Suunatuletise väärtus on maksimaalne, kui argument liigub gradientvektori suunas. 46. Selgitada marginaalsuuruse mõistet mitme muutuja funktsiooni korral. Suuruse f marginaalsuuruseks (marginaaliks) majandusnäitaja x(y) suhtes nimetatakse funktsiooni f osatuletist x(y) järgi. 47. Selgitada osaelastsuse mõistet mitme muutuja funktsiooni korral. Suuruse f osaelastsuseks majandusnäitaja x suhtes (y suhtes) nimetatakse suurus: Funktsiooni osaelastsus majandusnäitaja x suhtes (y suhtes) näitab ligikaudselt mitme protsenti võrra muutub funktsiooni väärtus, kui argumendi x (argumendi y) väärtus muutub ühe protsendi võrra kui y ei muutu (kui x ei muutu). 48. Mis on kahe muutuja funktsiooni nivoojoon? Kahe muutuja funktsiooni z = f(x,y)
p - = 0 (3.12) y - p - g = 0 z kus x, y, z on ruumalaühiku koordinaadid ristteljestikus, ning g raskuskiirendus. Siit on näha, et rõhk, mis mõjub ruumalaühikule, on koordinaatidest x ja y sõltumatu, seega, osatuletist z järgi Euleri võrrandis saab asendada tavalise tuletisega: dp - - g = 0 (3.13). dz Integreerime järgnevalt viimast võrrandit. Kuna vedeliku tihedus ja raskuskiirendus on konstantsed suurused, saame järgmise tulemmuse: - p = gz + C , (3.14) kus C on integreerimise konstant.
. . , Uz . Vas- tuse määramatus leitakse valemist: 2 2 2 ∂Y 2 ∂Y 2 ∂Y UY = Ud + Ue + . . . + Uz 2 . (20) ∂d ∂e ∂z Sümbol ∂ tähistab osatuletist ehk tuletist üle ühe muutuja, kui funktsioonil on mitu muutujat. Valemis (20) ei pea kasutama laiendmääramatust. Sel juhul tuleb vastuse määramatust uY kor- rutada katteteguri või Studenti kordajaga. Viimase väärtus sõltub aga katsete arvust, mistõttu saab valemis (20) määramatusi ud , ue , uf , . . . , uz kasutada vaid siis, kui kõiki füüsikalisi suurusi on mõõdetud sama arv kordi.
PA PA Funktsiooni f nimetatakse pidevaks piirkonnas G kui ta on pidev selle piirkonna kõigis punktides. Pideva kahemuutuja funktsiooni graafik on pidev pind, st pind mis ei oma katkevuspunkte ega katkevusjooni. 4. Funktsiooni osatuletised Funktsiooni z = f(x, y) osatuletiseks x-i järgi z/x nim piirväärtust limx0(f(x+x,y)-f(x,y))/x=z/x. Osatuletis muutuja y järgi on z/y vastavalt piirväärtus limy0(f(x,y+y)/y=z/y. Osatuletist tähistatakse ka: z/x=f(x,y)/x=f/x=f 'x=fx=z'x=zx. Mitme muutuja funktsiooni osatuletise leidmiseks mingi muutuja järgi tuleb funktsiooni diferentseerida selle muutuja järgi kui ühe muutuja funktsiooni, vaadeldes ülejäänud muutujaid konstantidena. Funktsiooni z=f(x,y) teist järku osatuletised defineeritakse selle funktsiooni esimest järku osatuletiste osatuletisena ja tähistatakse /x(z/x)=2/x2=2f(x,y)/x2=2f/x2=f `'x2= fx2=z''x2=zx2 Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise mõiste
F (u1 , u2 , . . . , un ) argumendist (u1 , u2 , . . . , un ) s~oltuv n-muutuja funktsioon. Vaatleme liitfunktsiooni z = f (x1 , x2 , . . . , xm ) = F 1 (x1 , x2 , . . . , xm ), 2 (x1 , x2 , . . . , xm ), . . . , n (x1 , x2 , . . . , xm ) . Eeldame et liitfunktsiooni f komponentidel 1 , . . . , n ja F eksisteerivad osat- uletised k~oigi argumentide suhtes mingis vaadeldavas punktis. Fikseerime funktsiooni f argumendi xi ja vaatleme f osatuletist selle argu- f mendi suhtes, st x i . Selle osatuletise jaoks kehtib j¨argmine valem komponen- tide 1 , . . . , n ja F osatuletiste kaudu: n f F 1 F 2 F n F j = + + ... + = . (6.11)
punkti P (x, y). J¨attes muutuja y konstantseks, muudame muutujat x suuruse x v~orra ja leiame funktsiooni osamuudu x j¨argi x z. Definitsioon 1. Piirv¨a¨artust z x z f (x + x, y) - f (x, y) = lim = lim (6.6) x x0 x x0 x nimetatakse kahe muutuja funktsiooni f (x, y) osatuletiseks x j¨argi. f Osatuletist x j¨argi t¨ahistatakse veel zx , fx (x, y), . x J¨attes muutuja x konstantseks, muudame muutujat y suuruse y v~orra ja leiame funktsiooni osamuudu y j¨argi y z. Definitsioon 1. Piirv¨a¨artust z y z f (x, y + y) - f (x, y) = lim = lim (6.7) y y0 y y0 y
· Inflatsioon (palgamuutus) ja tööpuudus (Philipsi kõver) · Püsikulud ja tootmismaht 18. Astmefunktsiooni (CobbDouglase tootmisfunktsiooni) parameetrite leidmine (labortöö). Cobb-Douglase tootmisfunktsioon toodangu mahu sõltuvus kapitalist (x1) ja tööjõust (x2). Funktsioon eeldab, et ressursid on vastastikku asendatavad Y=a0*X1a1*X2a2 A0=1 A1+a2=1 A1 ja a2 näitavad kapitali ja tööjõu osakaalu Ressursi kasutamise efektiivsuse hindamiseks kasutatakse osatuletist (funktsiooni muutumise kiirust). See võimaldab teada saada, mis juhtub toodanguga, kui muutuvad ressursside mahud Cobb-Douglase funktsiooni graafikuks on kumer pind. Cobb-Douglase funktsioon on kasvav funktsioon Ressursi x2 suurenedes kasvab funktsioon oluliselt mittelineaarselt, kuna astendaja a2 ligikaudu 0 Ressursi x1 suurenedes kasvab funktsioon praktiliselt lineaarselt, kuna a1 astendaja=1 Majanduslikult näitab ressursi K osatuletis y/x1 (ressursi kasutamise efektiivsus)
annaabi.ee 
