kordajatega ja võrrandil Pn(x)=0 on lahendiks , siis tema lahendiks on ka . Kui on Pn(x)=0
m kordne kompleksne lahend, siis ka on selle sama Pn(x)=0 m kordne lahend.
Järeldus: Kui meil on reaalsete kordajatega Pn(x), siis on see kirja pandav nii:
Kui võrrandil Pn(x)=0 on reaalne lahend kordusega x1 jne x, siis k1...k+2(l1+l2+...+l)=n
Pn(x)=0 P3(x)=x3-8 P3(x)=0 x3-8=0 (x-2)(x2+2x+4)=0 x1=2 x2+2x+4=0 V: 3 lahendit. Üks
reaalne ja kaks kompleksset
2.6 Ratsionaalfunktsioonide lahutamine osamurdudeks
Olgu Qm(x)/Pn(x) ratsionaalfunktsioon, kus Qm(x) on m-astme ja Pn(x) n-astme polünoom ning
m
() diferentseeruv funktsioon lõigul [, ].Kui () = ja () = , siis joontega 0 elementaarne. Lihtmurru jagame osamurdudeks. Horneri skeem. Polünoomi = (), = 0, = = piiratud kõverjoonelise trapetsi pindala avaldub kujul sup () () p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn korral, kus a0, ..
L'Hospitali reegel. 7. Taylori valem polünoomi korral. Taylori valem. Taylori valemi jääkliige. 8. Joone puutuja ja normaal. Funktsiooni lokaalne ekstreemum. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid. 9. Funktsiooni uurimine. Iteratsioonimeetod. 10. Määramata integraal ja selle omadused. Määramata integraalide tabel. Muutujate vahetus määramata integraalis. Ositi integreerimine määramata integraalis. 11. Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni osamurdudeks lahuta-mine. Lihtsamate osamurdude integreerimine. 12. Trigonomeetriliste ja hüperboolsete funktsioonide integreerimine. 13. Algebraliste funktsioonide integreerimine. Mitte-elementaarsed integraalid. 14. Määratud integraal ja selle omadused 15. Määratud integraal ülemise raja funktsioonina. Newton-Leibnizi valem. Muutujate vahetus ja ositi integreerimine määratud integraalis. 16. Määratud integraali rakendused. Päratud integraalid. Õppeaine jaotub kahte ossa: 1
mõõt on null. Seega vastavalt Lebesgue’i teoreemile on integreeruv tõkestatud funktsioon, millel on lõplik või loenguv hulk esimest liiki katkevuspunkte. Tõestame järgnevas mõned erijuhud: Lause : Lõigul integreeruv funktsioon on tõkestatud sellel lõigul. 4. Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon. Määramata integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator. 5. Muutujavahetus 6. Ositi integreerimine. 7. Osamurdudeks jagamine. 8. Määratud integraal ülemise raja funktsioonina. Newton-Leibnizi valem. 9. Integraali keskväärtusteoreemid. 10.Taylori valemi jääkliikme intergraalkuju 11.Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid 12. Määratud integraali rakendused. PÖÖRDKEHA RUUMALA: 13. Määratud integraali ligikaudne arvutamine. Kvadratuurvalemid.
.., an on arvud, tahame arvutada polünoomi kindlal x'l näiteks x0 selle saavutamiseks määrame uue konstantide rea: bn := an bn-1 := an-1 + bnx0 b0 := a0 + b1x0 siis b0 on p(x0) väärtus. See toimib nii, sest polünoomi saab kirjutada kujul p(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + ... x(an-1 + anx) ... )) seega iteratsiooniliselt asendades bi avaldisse p(x0) = a0 + x0(a1 + x0(a2 + ... x0(an-1 + bnx0) ... )) = = a0 + x0(a1 + x0(a2 + ... x0(bn-1) ... )) = ... = a0 + x0(b1) = b0 6. Osamurdudeks jagamine. Lause tõestus. Olgu Qm(x)/Pn(x) ratsionaalfunktsioon, kusjuures Qm(x) on m-astme ja Pn(x) on n-astme polünoom ning m < n, st tegemist on lihtmurruga. Liigmurru, st (m n) korral tuleb esiteks eraldada täisosa. Selleks tuleb polünoomi Qm (x) jagada polünoomiga Pn (x) . Saame kusjuures Sk(x) (k < n) on polünoomide jagamisel tekkiv jääk ja Sk(x)/Pn(x) on lihtmurd. Lause 1. Kui Qm(x)/Pn(x) on lihtmurd ja polünoomil Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + . . . + an-1x1 + an
x cos xdx = x sin x - 2 x sin xdx = 2 2 ( ) = x 2 sin x - 2 - x cos x - - cos xdx = x 2 sin x + 2 x cos x - 2 sin x + C Kontroll: leiame tuletise (x 2 sin x + 2 x cos x - 2 sin x + C ) = 2 x sin x + x 2 cos x + + 2 cos x - 2 x sin x - 2 cos x = x 2 cos x MURDRATSIONAALSETE AVALDISTE LAHUTAMINE OSAMURDUDEKS Ratsionaalmurruks nimetatakse kahe polünoomi jagatist: P ( x ) a0 + a1 x + + an x n = Q( x ) b0 + b1 x + + bm x m Vaatleme juhtu, kus lugejas asuva polünoomi aste on madalam, kui nimetajas asuva oma, s.t. n< m. Sellise murru saab lahutada teatud arvu lihtsamate, nn osamurdude summaks. Olgu Q( x ) = 0 lahendid erinevad ja reaalsed Q( x ) = c0 ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) , siis sellise Q ( x ) puhul P( x ) A1 A2 A = + + m =
e cos xdx = e sin x - e sin xdx = x x x ( = e x sin x - - e x cos x - - e x cos xdx = ) = e x sin x + e x cos x - e x cos xdx Saime tagasi esialgse integraali aga töö ei ole olnud sugugi asjatu, avaldame I = e x cos xdx I = e x ( sin x + cos x ) - I 2 I = e x ( sin x + cos x ) 1 I = e x ( sin x + cos x ) + C 2 MURDRATSIONAALSETE AVALDISTE LAHUTAMINE OSAMURDUDEKS Ratsionaalmurruks nimetatakse kahe polünoomi jagatist: P ( x ) a0 + a1 x + + an x n = Q( x ) b0 + b1 x + + bm x m Vaatleme juhtu, kus lugejas asuva polünoomi aste on madalam, kui nimetajas asuva oma, s.t. n< m. Sellise murru saab lahutada teatud arvu lihtsamate, nn osamurdude summaks. Olgu Q( x ) = 0 lahendid erinevad ja reaalsed Q( x ) = c0 ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) , siis sellise Q ( x ) puhul P( x ) A1 A2 A = + + m =
∫ udv=uv −∫ vdu . b b 7.Osamurdudeks jagamine, lause tõestus.Olgu Qm(x)/Pn(x) ratsionaalfunktsioon, kusjuures Qm(x) ∫ f ( x ) g( x ) dx ∫ f ( x)g ( x)dx
Ositi integreerimine Ositi integreerimise valem Kui u = u(x) ja v = v(x) on diferentseeruvad funktsioonid ning leidub, siis leidub ka , kusjuures udv= uv-vdu Muutuja vahetus Muutuja vahetus määramata integraalis Kui x= (t) , siis f(x ) dx= f((t ))(t ) dt 2 35. Kirjeldada ratsionaalfunktsiooni integreerimist. Ratsionaalfunktsiooni integreerimine Seega on antud lihtmurru lahutus osamurdudeks: (X2+2)/(x+1) 3*(x-2)= (-2/9)/(x+1)+(1/3)/(x+1)2+-1/(x+1)3+(2/9)/(x-2) 23 Ratsionaalfunktsiooni integreerimisel tuleb: 1) liigmurd teisendada polünoomi ja lihtmurru summaks. 2) lihtmurd lahutada osamurdudeks; 3) integreerida saadud polünoomi ja osamurde. 3 36. Esimest ja teist liiki osamurrud. Tuletada valemid nende integreerimiseks. Osamurrud
Lineaarses süsteemis on algtingimustest tingitud siirdeprotsessi vabakomponent ning sisenditest tingitud sundkomponent selgesti eristatavad. Protsess tervikuna on nende komponentide summa (superpositsioon). Sisendsignaali rakendamisel tekkiva väljundsignaali arvutamine toimub valemi Y(s)=H(s)U(s) alusel. Eelduseks on ülekandefunktsiooni tundmine. Antud sisendsignaalile u(t) leitakse kujutis U(s) Laplace'i teisenduste tabeli alusel. Seejärel leitakse väljundmuutuja kujutis nt osamurdudeks lahutamise teel. Originaalile üleminek toimub Y(s)'i nö tagasiteisendamisega y(t)-ks Laplace'i teisenduste abil. Impulss- ja hüppekajad: Süsteemi karakteristikud on testsignaalid, mille tulemusena saame süsteemi reaktsioonid kahele teadaolevale signaalile, milleks on hüppekaja ja impulsskaja: Hüppekaja g(t) – reaktsioon ühikhüppelisele sisendile: u(t) = 1(t) (1 kui t >=0 ja 0 kui t < 0) ehk hüpe mis tekib kohe alghetkel, see on konstantne sisend. H(s) on teada, kui süsteem hakkab
( Ax + B)dx A (2ax + b)dx Ab 20. I4 = ax + bx + c 2 = 2a ax + bx + c 2 + (B 2a ) I3 Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks A B C 21. Nimetaja nullkohad on reaalsed ja erinevad O1 = + + + xa xb xc A B C 22. Osa nimetaja nullkohtadest on reaalsed ja kordsed O2 = n + n 1
( Ax + B)dx A (2ax + b)dx Ab 20. I4 = ax + bx + c 2 = 2a ax + bx + c 2 + (B 2a ) I3 Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks A B C 21. Nimetaja nullkohad on reaalsed ja erinevad O1 = + + + xa xb xc A B C 22. Osa nimetaja nullkohtadest on reaalsed ja kordsed O2 = n + n 1
alghetkel tasakaaluolukorras ning väljundsuurus on samuti olnud püsivalt null. Sisendsignaali rakendamisel tekkiva väljundsignaali arvutamine toimub valemi y(s)=H(s)u(s) alusel. Eelduseks on ülekandefunktsiooni tundmine. Antud sisendsignaalile u(t) leitakse kujutis u(s) Laplace'i teisenduste tabeli alusel. Järgnevalt leitakse väljundmuutuja kujutis. Originaalile üleminek toimub y(s) avaldise lahutamisega osamurdudeks. 2.5.Impulss- ja hüppekajad Impulsskaja on orienteeritud süsteemi reaktsioon väljundsignaalina, kui sisendisse nullajahetkel antakse delta-impulss 8(t). Ideaalne impulss moodustub piirväärtusena lühikesest impulsist selle kestuse lähendamisel nullile nii, et impulsi pindala säilib ühikulisena. Ideaalse impulsi põhjustatud süsteemi väljundreaktsioon Laplace'i kujutiseks osutub ülekandefunktsioon,
alghetkel tasakaaluolukorras ning väljundsuurus on samuti olnud püsivalt null. Sisendsignaali rakendamisel tekkiva väljundsignaali arvutamine toimub valemi y(s)=H(s)u(s) alusel. Eelduseks on ülekandefunktsiooni tundmine. Antud sisendsignaalile u(t) leitakse kujutis u(s) Laplace'i teisenduste tabeli alusel. Järgnevalt leitakse väljundmuutuja kujutis. Originaalile üleminek toimub y(s) avaldise lahutamisega osamurdudeks. Impulss- ja hüppekajad- Impulsskaja on orienteeritud süsteemi reaktsioon väljundsignaalina, kui sisendisse nullajahetkel antakse delta-impulss 8(t). Ideaalne impulss moodustub piirväärtusena lühikesest impulsist selle kestuse lähendamisel nullile nii, et impulsi pindala säilib ühikulisena. Ideaalse impulsi põhjustatud süsteemi väljundreaktsioon Laplace'i kujutiseks osutub ülekandefunktsioon, millest tuleneb impulsskaja ja
või X(s) = L(x(t)) või x(t) = L (X(s)). Laplace'i teisenduse ja tema omaduste tabelid asuvad vastavalt lisas 1 ja lisas 2. Näidisülesanne N 1.1 5( s 2 + 5s + 10) Leiame originaali x(t ) , mis vastab Laplace'i kujutisele X ( s ) = . ( s + 3)( s + 4)( s + 5) Lahenduskäik Lahutame kujutise X (s ) osamurdudeks: 5s 2 + 25s + 50 A B C X ( s) = = + + = ( s + 3)( s + 4)( s + 5) ( s + 3) ( s + 4) ( s + 5) A( s + 4)( s + 5) + B( s + 3)( s + 5) + C ( s + 3)( s + 4) = = ( s + 3)( s + 4)( s + 5)
Puutuja võrrand läbi punkti x1 avaldise täisosa ja murdosa Olgu u(x)=ax+b, siis (ax+b)'=a Murdosa lahutame osamurdudeks. Selleks tegurdame nimetaja Qn(x) Korrutise tuletise reegel annab (uv)'=u'v+uv'
8. Lahutage polünoom teguriteks! Kontroll: 9. On antud võrdus . Leida konstandid a, b, c, d, e! , , , Kontroll: 10. Leidke polünoomi juured! need on selle polünoomi juured 11. Konstrueerige polünoom, mille juurteks on ja . 12. Lahutage ratsionaalfunktsioon osamurdudeks käsitsi! Polünoomi juured on 1 ja 2. A ja B leidmiseks korrutan mõlemad pooled läbi ja saan: Kui , siis ehk Kui , siis ehk Seega Kontroll mathcadiga: Mathcadis võib kasutada ka Symbolics---Variable---Convert to Partial Fraction 13. Mis on ratsionaalfunktsioon? Tooge 2 näidet! Ratsionaalf-niks nim
36. Funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨artus antud l~oigul 37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus. K¨aa¨nupunktid 38. Funktsiooni graafiku as¨ umptoodid 39. Algfunktsioon ja m¨aa¨ramata integraal 40. Integraalide tabel 2 41. M¨aa¨ramata integraali omadusi 42. Integreerimine muutuja vahetusega 43. Ositi integreerimine 44. Osamurrud ja nende integreerimine 45. Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks 46. M~onede trigonomeetriliste funktsioonide klasside integreerimine 47. Irratsionaalavaldiste integreerimine 48. M¨aa¨ratud integraali m~oiste 49. M¨aa¨ratud integraali omadused 50. M¨aa¨ratud integraali arvutamine. Newton-Leibnizi valem 51. Muutuja vahetus m¨aa¨ratud integraalis 52. Ositi integreerimine (m¨aa¨ratud integraali korral) 53. L~opmatute rajadega p¨aratud integraalid 54. P¨aratud integraalid t~okestamata funktsioonidest 55
¨ I 4 / 25 Integraalarvutus Ma¨ aramata ¨ integraal ja selle omadused. Ma¨ aramata ¨ integraalide tabel. Muutujate vahetus ma¨ aramata ¨ integraalis. Ositi integreerimine ma¨ aramata ¨ integraalis. Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni osamurdudeks lahutamine. Lihtsamate osamurdude integreerimine. Trigonomeetriliste ja huperboolsete ¨ funktsioonide integreerimine. Algebraliste funktsioonide integreerimine. Mitte-elementaarsed integraalid. Ma¨ aratud ¨ integraal ja selle omadused. Ma¨ aratud ¨ integraal ulemise ¨ raja funktsioonina. Newton-Leibnizi valem. Muutujate vahetus ja ositi integreerimine ma¨ aratud
Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Me vaatleme integraale P ( x) (26.1) R ( x)dx = m dx Qn ( x) Pm (x) - m astme polünoom Qn (x) - n astme polünoom Kui lugeja aste on suurem või võrdne nimetaja astmest (m 2) Siis avaldise täisosa ja murdosa P ( x) S ( x) (26.2) m = Tm - n ( x ) + k Qn ( x) Qn ( x) Murdosa lahutame osamurdudeks. Selleks tegurdame nimetaja Qn (x) (26.3) Qn ( x) = q o ( x - 1 ) k1 ...( x - r ) k r ( x 2 + p1 x + q1 ) l1 ...( x 2 + p s x + q s ) l s k1 + k 2 + ... + k r + 2l1 + ... + 2l s = r S ( x) S ( x) (26.4) = = Qn ( x) q 0 ( x - 1 ) ...( x - n ) ( x + p1 x + q1 ) l1 ...( x 2 + p s x + q s ) ls
Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Me vaatleme integraale P ( x) (26.1) R ( x)dx = m dx Qn ( x) Pm (x) - m astme polünoom Qn (x) - n astme polünoom Kui lugeja aste on suurem või võrdne nimetaja astmest (m 2) Siis avaldise täisosa ja murdosa P ( x) S ( x) (26.2) m = Tm - n ( x ) + k Qn ( x) Qn ( x) Murdosa lahutame osamurdudeks. Selleks tegurdame nimetaja Qn (x) (26.3) Qn ( x) = q o ( x - 1 ) k1 ...( x - r ) k r ( x 2 + p1 x + q1 ) l1 ...( x 2 + p s x + q s ) l s k1 + k 2 + ... + k r + 2l1 + ... + 2l s = r S ( x) S ( x) (26.4) = = Qn ( x) q 0 ( x - 1 ) ...( x - n ) ( x + p1 x + q1 ) l1 ...( x 2 + p s x + q s ) ls
x kõrgeim aste). Põhiidee on murd Q(x) esitada osamurdude summa- na. Viimane on võimalik, kuna igat polünoomi saab esitada korrutisena liikmetest tüüpi (x - a) ja (x2 + bx + c). Anname idee näidete varal. Definitsioon 7.4 Kui polünoomi f (x) aste on väiksem polünoomi g(x) astmest, siis rat- f (x) sionaalset funktsiooni nimetatakse lihtmurruks, vastasel korral g(x) aga liigmurruks. Lihtmurru osamurdudeks lahutamise valem. f (x) Olgu lihtmurd. Kui g(x) g(x) = a(x - x1 )k (x - x2 )l . . . (x2 + p1 x + q1 )m . . . (kus ruutpolünoomidel ei ole nullkohti), siis kehtib valem f (x) A1 Ak = + ... + + g(x) x - x1 (x - x1 )k B1 Bl + ... + x - x2 (x - x2 )l
annaabi.ee 
