Osalised järjestussuhted Mis on osaline järjestussuhe? Osaline järjestusuhe on relatsioon, mis on antisümmeetriline ja transitiivne. Milline on range osaline järejstussuhe? Milline on mitterange? Kui osaline järjestussuhe on samas ka antirefleksiivne, siis ta on range osaline järjestussuhe.< Kui osaline järjestussuhe on samas ka refleksiivne, siis ta on mitterange osaline järjestussuhe <= Mis on järjestuskriteerium? Järjestussuhet määravat reeglit võib nimetada ka järjestuskriteeriumiks. Millist hulka nimetatakse osaliselt järjestatuks`? Sellist hulka, kus vähemalt 2 elementi pole omavahel vaadeldavad järjestuskriteeriumiga võrreldavad, nimetatakse osaliselt järjestatud hulgaks. Kuidas esitatakse järjestussuhet lühidalt tema alushulga ja järjestuskriteeriumi abil? (alushulk; järjestuskriteerium) Mis on täielik järjestussuhe? Näited
Leida puu tippude arv. Lahendus. Olgu x selle puu lehtede arv, tippude koguarv on siis k + x. Ühelt poolt on puu tipuastmete summa 4k + x, teiselt poolt aga valemi S = 2(n - 1) põhjal 2(k + x - 1). Järelikult 4k + x = 2(k + x - 1), millest x = 2k + 2 ning puu tippude arv on k + x = 3k + 2. Materjal õpikus. Lk 64 (teoreem 2). Lk 74, ülesanded 48. Ülesanne 5. Teha kindlaks, kas järgmine reaalarvude hulgal määratud re- latsioon R = {(x, y) : x |y|} on mitterange järjestus. Lahendus. Relatsioon ei ole mitterange järjestus, sest ta ei rahulda anti- sümmeetrilisuse omadust: näiteks (3, -3) R ja (-3, 3) R (st 3 | - 3| ja -3 |3|), aga 3 = -3. Materjal õpikus. Lk 9293 (mitterange ja range järjestus). Lk 9495, üles- anded 510.
xRz ja yRz. Relatsiooni R sümmeetrilisusest saame zRy ja transitiivsust rakendades xRy, mis on vastuolus väite 2) eeldusega. 3) Iga x X kuulub relatsiooni R refleksiivsuse tõttu iseenda ekvivalentsiklassi ja seega ka ekvivalentsiklasside ühendisse. 24) a. Relatsiooni, mis on refleksiivne, antisümmeetriline ja transitiivne, nimetatakse mitterangeks järjestuseks, nt suvalisel arvuhulgal määratud mitterange võrratus . b. Relatsiooni, mis on antirefleksiivne ja transitiivne, nimetatakse rangeks järjestuseks, nt suvalisel arvuhulgal määratud range võrratus <. c. Hulgal X defineeritud ranget järjestusrelatsiooni R nimetatakse lineaarseks, kui kehtib xy[xRy x = y yRx]. d. Hulgal X defineeritud mitteranget järjestusrelatsiooni R nimetatakse mittelineaarseks, kui kehtib xy[xRy yRx]. e
a 2 b2 a1 b1 c 2. lahendid puuduvad 1 a 2 b2 c2 a1 b c 3. lõpmata palju lahendeid 1 1 a2 b2 c 2 Kui kaks matemaatilist avaldist on seotud ühega märkidest >, < (range võrratuse märgid), , (mitterange võrratuse märgid), siis kõneleme võrratusest. Võrratuse mõlemale poole võib liita või temast lahutada ühe ja sama arvu. Võrratuse mõlemaid pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. Kui see arv on positiivne, siis jääb võrratuse märk samaks, kui negatiivne, siis muutub vastupidiseks. Võrratuse lahenditeks on muutuja need väärtused, mille korral võrratus on tõene. Võrratuse kõik
a 2 b2 a1 b1 c 2. lahendid puuduvad 1 a 2 b2 c2 a1 b c 3. lõpmata palju lahendeid 1 1 a2 b2 c 2 Kui kaks matemaatilist avaldist on seotud ühega märkidest >, < (range võrratuse märgid), , (mitterange võrratuse märgid), siis kõneleme võrratusest. Võrratuse mõlemale poole võib liita või temast lahutada ühe ja sama arvu. Võrratuse mõlemaid pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. Kui see arv on positiivne, siis jääb võrratuse märk samaks, kui negatiivne, siis muutub vastupidiseks. Võrratuse lahenditeks on muutuja need väärtused, mille korral võrratus on tõene. Võrratuse kõik
transitiivseks.
Tükeldused:
Ekvivalentsisuhe on relatsioon kus kehtib ref, süm ja trans.
Ekvivalentsiklassid on suhted, mispole omavahel seotud.
Tükeldus koosneb klassidest.
Tükelduse omadused: ükski plokk pole tühi hulk, plokid ei oma ühisosa,
plokkide ühend on hulk ise.
Osaline järjestussuhe:
Osaline järjestussuhe on antisümmeetriline ja transitiivne relatsioon.
Range osaline js on antirefleksiivne.
Mitterange on refleksiivne.
Järjestuskriteerium – järjestamise reegel.
Täielik järjestussuhe – kõik elemendid võrreldavad.
Hasse diagramm – osalise js illustratiivne esitus. Kui a
Selgitasime välja, et hulk X jaguneb 16 ekvivalentsiklassiks. Teoreem hulga jaotumisest ekivalentsiklassideks o Teoreem. Kui R on hulgal X defineeritud ekvivalentsirelatsioon, siis kehtib: 1) Kui xRy kehtib, siis [x ] R=[ y ]R , 2) Kui xRy ei kehti, siis [x ]R ∩ [ y ] R=∅ , 3) Ekvivalentsiklasside ühend on hulk X . 21 25. Mitterange ja range järjestusrelatsioon. Tähtsamad näited. Lineaarsed ja mittelineaarsed järjestused. Näited. [2] Mitterange järjestusrelatsioon o DEF: Relatsiooni R nimetatakse mitterangeks järjestusrelatsiooniks, kui R on refleksiivne, antisümmeetriline ja transitiivne. Range järjestusrelatsioon o DEF: Relatsiooni R nimetatakse rangeks järjestusrelatsiooniks, kui R on antirefleksiivne ja transitiivne.
mitte ei läbi intervalli. Murdvõrratus Murdvõrratusi on kõige kergem lahendada, saades aru, et kui kahe arvu korrutis on positiivne, on ka nende jagatis positiivne ning vastupidi. Tänu sellele võib jagatise asendada korrutisega ning kasutada samuti intervallmeetodit. Enne seda tuleb aga kõik liikmed viia vasakule poole ning viia ühisele nimetajale. Mitterange võrratuse puhul tuleb kindlasti juurde mainida, et ei tohi lubada argumendi väärtusi, mille korral nimetaja väärtus oleks võrdne nulliga. Näide: Kui argumendi suurima astme kordaja on negatiivne, tuleb intervalljoont alustada altpoolt! Siit saab kirjutada lahendid: x=]-1;0[
Peale selle olgu mingisugune pidev ja monotoonselt kahanev funktsioon, mis rahuldab tingimusi: . Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui päratu integraal koondub, siis koondub ka rida . 2. Kui päratu integraal hajub, siis hajub ka rida . Funktsiooni nimetatakse monotoonselt kahanevaks, kui iga , kehtib mitterange võrratus . Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ( ). Kui arvrea korral on täidetud tingimused, et f(k)=ak, f(x)≥0 (xϵ[1,lõpmatus)) f(x) kahaneb (xϵ[1,lõpmatus)), siis rida ja päratu intergraal kas koonduvad või hajuvad samaaegselt. 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Võrdlus harmoonilise reaga.
Peale selle olgu mingisugune pidev ja monotoonselt kahanev funktsioon, mis rahuldab tingimusi: . Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui päratu integraal koondub, siis koondub ka rida . 2. Kui päratu integraal hajub, siis hajub ka rida . Funktsiooni nimetatakse monotoonselt kahanevaks, kui iga , kehtib mitterange võrratus . Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ( ). Kui arvrea korral on täidetud tingimused, et f(k)=ak, f(x)0 (x[1,lõpmatus)) f(x) kahaneb (x[1,lõpmatus)), siis rida ja päratu intergraal kas koonduvad või hajuvad samaaegselt. 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada.
Peale selle olgu mingisugune pidev ja monotoonselt kahanev funktsioon, mis rahuldab tingimusi: . Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui päratu integraal koondub, siis koondub ka rida . 2. Kui päratu integraal hajub, siis hajub ka rida . Funktsiooni nimetatakse monotoonselt kahanevaks, kui iga , kehtib mitterange võrratus . Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ( ). Kui arvrea korral on täidetud tingimused, et f(k)=ak, f(x)0 (x[1,lõpmatus)) f(x) kahaneb (x[1,lõpmatus)), siis rida ja päratu intergraal kas koonduvad või hajuvad samaaegselt. 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada.
kui nullkoha astendaja on paarisarv, siis kõver vaid puutub selle nullkohaga määratud punkti. Võrratuse lahendite leidmisel teljelt tuleb meeles pidada, et ülalpool x -telge on positiivsuspiirkonnad ja allpool x -telge negatiivsuspiirkonnad. Edasi tuleb teljele leitud, võrratuse lahendeid sisaldavaid piirkondi võrrelda võrratuse MP-ga, otsides vastavaid ühisosi. Nii leitud lahenditele tuleb veel, mitterange võrratuse korral, lisada lugejast ära jäetud tegurite nullkohad (muidugi vaid siis, kui need kuuluvad MP-nda). x + 2 (5x - 3) Näide 2. Jätkame näites 1 vaadeldud võrratuse 0 1 - x ( x + 1) lahendamist. Meil sai leitud selle MP x [ -2,-1 [ ] -1,1 [. Edasises võime ära jätta võrratuses
15. Kas tükelduste summa on liidetavateks olnud tükeldustest suurem või väiksem? 16. Mis on nulltükeldus? Mis on ühiktükeldus? Kuidas neid tähistatakse? Järjestussuhe 1. Mis on osaline järjestussuhe? Osaline järjestussuhe on relatsioon, mis on antisümmeetriline ja transitiivne. 2. Milline on range osaline järjestussuhe? Kui osaline järjestussuhe on ka antirefleksiivne, siis ta on range osaline järjestussuhe. 3. Milline on mitterange osaline järjestussuhe? Kui osaline järjestussuhe on ka refleksiivne, siis ta on mitterange osaline järjestussuhe. 4. Mis on järjestuskriteerium? Järjestuskriteerium on järjestussuhet määrav reegel. 5. Millist hulka nimetatakse osaliselt järjestatuks? Osaliselt järjestatuks nimetatakse hulka, kus vähemalt 2 elementi pole omavahel vaadeldava võrdluskriteeriumiga võrreldavad. 6. Kuidas esitatakse järjestussuhet lühidalt tema alushulga ja järjestuskriteeriumi abil? 7
Siis kehtivad jargmised väited: 1. Kui paratu integraal 1 f(x)dx koondub, siis koondub ka rida s. 2. Kui paratu integraal 1 f(x)dx hajub, siis hajub ka rida s. Märgime, et funtsiooni f(x) nim. monotoonselt kahanevaks, kui iga x1 ja x2 korral, mis rahuldavad võrratust x1 < x2, kehtib mitterange võrratus f(x1) ¸ f(x2). 33. Funktsionaalrida ja selle koonduvuspiirkond. Olgu antud funktsioonide jada u1(x), u2(x),u3(x). Avaldist s(x)= u ( x) i=1 =u1(x)+ u2(x)+ u3(x)+.... Nim. funktsionaalreaks. Suurus s(x) s6ltub i muutujast x ehk on x funktsioon. Kuna funktsioon ui(x) omandab iga x korral oma
pikematele/madalaprioriteedilistele vähem o Näljutuse vältimiseks saab iga protsess vähemalt ühe pileti o Süsteemi üldkoormus jaotub ühtlsaelt protsesside vahel Reaalajaline planeerimine · Range reaalaeg kriitiline protsessi mingi lõik tuleb garanteeritult mingi aja jooksul täita o Resursside reserveerimine o Ei salvestusseadmeid ega virtuaalmälu · Mitterange reaalaeg kriitilised protsessid peavad olema prioriteetsemad kui mittekriitilised o Protsesside ebavõrdsus, isegi näljutamine o Ajas mittevähenev prioriteet o Dispetseri viivitus peab minimaalne olema Mälu ja aadressid · Mälu koosneb suurest hulgast baitidest ning on tavaliselt grupeeritud 1, 2, 4 või kaupa · Protsessor loeb mälust programmi käske vastavalt programmi loenduri poolt näidatud asukohale
Mistahes kaks plokki ei oma ühisosa: ∀𝐵𝑖 , 𝐵𝑗 ∈ 𝑃(𝐵𝑖 ∩ 𝐵𝑗 = ∅) Kõikide plokkide ühend võrdub tükeldatud hulgaga: 𝐵1 ∪ 𝐵2 ∪ … ∪ 𝐵𝑛−1 ∪ 𝐵𝑛 = 𝑀 JÄRJESTUSSUHTED Osaline järjestussuhe on relatsioon, mis on antisümmeetriline ja transitiivne. Kui osaline järjestussuhe on samas ka antirefleksiivne, siis ta on range osaline järjestussuhe (<) Kui osaline järjestussuhe on samas ka refleksiivne, siis ta on mitterange osaline järjestussuhe (≤) Kui R on järjestussuhe hulgal M, siis „relatsioon R järjestub hulga M“. Järjestussuhet määravat reeglit (ehk järjestussuhte relatsioonikriteeriumit) võib nim ka järjestuskriteeriumiks. Kui alushulga moodustavad elemendid, mille jaoks on defineeritud võrdlemistehted „suurem kui“ („väiksem kui“) > ≥ (< ≤) siis need 4 relatsiooni: 𝑅 = {< 𝑎, 𝑏 > | 𝑎 < 𝑏} 𝑅 = {< 𝑎, 𝑏 > | 𝑎 > 𝑏}
paarituarv kordsed, siis läbib joon kõiki neid punkte ning jooniselt loemegi võrratuse lahendihulga. Joone tõmbamist alustame joonisel näidatud noole suunas (võib toimida ka vastupidi). Vastus: L ;2 0,5;3 Näide 2. Lahendame võrratuse (2x – 1)2(3 – x)(x + 2) ≤ 0 Nüüd joon kohal x = 0,5 x-telge ei läbi, sest x = 0,5 on kahekordne lahend. Samas kuulub x = 0,5 võrratuse lahendihulka, sest tegemist on mitterange võrratusega. Joonisel Vastus: L ;2 0,5 3; © Allar Veelmaa 2014 14 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium INTERVALLIDE MEETOD (JÄRG) Näide 3. Lahendame võrratuse (x + 1)2 (x – 2)2 > 0. Selles võrratuses on x = –1 ja x = 2 vastava võrrandi kahekordsed lahendid, seega ei läbi joon kumbagi punkti, joonisel
range osaline järjestussuhe ( < ) transitiivne ning samas on ta osaline järjestussuhe , kuna alushulk M või sisaldab ka elementidepaari, mis pole selle relatsiooni Kui osaline järjestussuhe on samas ka refleksiivne , siis ta on järjestuskriteeriumiga ⊂ võrreldavad: {3} ⊄ {4} ega {4} ⊄ {3} ehk mitterange osaline järjestussuhe ( ≤ ) < {3}, {4} > ∉ M ja < {4}, {3} > ∉ M Relatsiooni ennast võib samuti tähistada järjestatud paariga, mille Kui R on järjestussuhe hulgal M , siis "relatsioon R järjestab hulga M". komponentideks on relatsiooni alushulk ja järjestuskriteerium. Eelnev
B-l on omadused a,b,c Tõenäoline, et B-l on omadus d 2) Isomorfismianaloogia- Analoogia, mis tehakse suhete põhjal. Selline induktiivne järeldamisviis, kus mudeli ja prototüübi elemendid on omavahel üksüheses vastavuses. Analoogia jaotatakse veel tuletatud teadmise iseloomu või järelduse tõepärasuse astme järgi nii: 1. Range analoogia, mis annab tõepärase teadmise. Ülekantavateks tunnusteks on erinevate esemete vahelised suhted. 2. Mitterange analoogia, mis annab tõenäolise järelduse. NT: Laeva mudeli katsetamine basseinis ja järeldus, et mudeli järgi ehitatud laeval on samad omadused, mis mudelil. 3. Populaarne analoogia, mis on levinud argimõtlemises. TÕESTUS Tõestus- On mingi ühe otsustuse või otsustuse süsteemi kindlakstegemine teiste, silmnähtavalt tõeste või varem tõestatud otsustuste abil. Tõestamise ja järeldamise erinevus seisneb: 1
Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine. kui iga 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐, kehtib mitterange võrratus 𝒇(𝒙𝟏 ) < 𝒇(𝒙𝟐). Näidata, ... päratus integraalis (𝒌 = 𝟐𝒋 ). Kui arvrea ∑∞ 𝒌=𝟏 𝒂𝒌
· d(R,i ) - suhte R kaugus omaduseni i , s.o. seoste arv, mis tuleb minimaalselt lisada
suhtesse R (või eemaldada suhtest R), et saavatada omadust i.
· Suhte täiend - R = ( A x A ) R
· Pöördsuhe - R -1 = { < ai , a j > < a j , ai >R}
· Suhte R transitiivseks sulundiks nimetatakse minimaalset transitiivset suhet R , mis
sisaldab suhet R.
· Osaline mitterange järjestussuhe ( ) on refleksiivne, antisümmeetriline ja transitiivne.
· Osaline range järjestussuhe ( < ) on antirefleksiivne, antisümmeetriline ja transitiivne.
· Lineaarne järjestussuhe - ( a,bA) [ (a
d(R,i ) - suhte R kaugus omaduseni i , s.o. seoste arv, mis tuleb minimaalselt lisada
suhtesse R (või eemaldada suhtest R), et saavatada omadust i.
Suhte täiend - R = ( A x A ) R
Pöördsuhe - R 1 ai , a j a j , ai R
Suhte R transitiivseks sulundiks nimetatakse minimaalset transitiivset suhet R , mis
sisaldab suhet R.
Osaline mitterange järjestussuhe ( ) on refleksiivne, antisümmeetriline ja transitiivne.
Osaline range järjestussuhe ( < ) on antirefleksiivne, antisümmeetriline ja transitiivne.
Lineaarne järjestussuhe - ( a,bA) [ (a
-x 2 5 + x = -3 x + 2 5 + x = -3 x + 2 + 5 x = -3 -7 = -3 (vastuolu) 2x = 0 |:2 7 = -3 (vastuolu) Lahendid puuduvad x=0 Lahendid puuduvad. Vastus: x = 0 Arvvõrratus, selle omadused Kui kaks avaldist ühendatakse märgiga <, >, või , siis saadakse arvvõrratus. >, < - range võrratus , - mitterange võrratus. Üldjoontes on võrratus sarnane võrrandile, kuid erinevusi on ka: · Kui vahetada võrratuse pooled, muutub võrratuse märk vastupidiseks: Näit: 5>2 2<5 · Võrratuse mõlemaid pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama positiivse arvuga, jättes võrratuse märgi samaks. Näiteks: 5>2 10>4 2,5 >1 · Võrratuse mõlemaid pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse arvuga, muutes võrratuse märgi vastupidiseks. Näiteks: 5>2 -10<-4
2⋅5 10 Kanname lahendid x-teljele ja joonistame kõvera läbi nende lahendite. Joonistamist alustame 5-st paremalt ja alt, kuna a < 0 (siin x 2 kordaja a = −5 ) − 1, 4 5 x __________________ _________________ Lahendite hulka kuuluvad ka nullkohad –1,4 ja 5, sest võrratus on mitterange. Vastus. − 1,4 ≤ x ≤ 5 . Näide 11. Lahendada võrratus x 2 + 6 x + 9 > 0 . Lahendus. Leiame nullkohad: x 2 + 6x + 9 = 0 ⇒ x1 = x 2 = −3 . Kuna “ –3 “ esineb kaks korda nullkohana, siis vastava ruutfunktsiooni graafik telge ei läbi, vaid puudutab telge ja läheb samale poole tagasi: _________ ___________
Kommentaar. Sulgudes olev küsimärk näitab, et küsimus ei pruugi olla piisavalt selge, vastaja nõudel peab küsija põhjendama ka eelduse konteksti. Vastaja võib öelda, et siin ei tööta sellenimelist (eitab presupositsiooni) või ,,Meil on mitu Mallet, millist te mõtlete?" (palub küsimust täpsustada). N13.3. Analüüsida küsimust ,,Milline on surmanuhtluse preventiivne toime?". Märgis: milline. Presupositsioon: surmanuhtlusel on preventiivne toime. Nõuded vastusele: küsimus on mitterange, oodatakse pikemat selgitust. Kontroll: 1) +; 2) +; 3) +; 4) +; 5) +; 6) +; 7) +. (Ülesande) vastus: kui presupositsioon on tõene, on see mitterange küsimus korrektne. N13.4. Analüüsida küsimust ,,Miks kriminaalhoolekande teoorias ja praktikas hakkab juurduma arusaam, et legaliteedi põhimõttele tuleb n-ö appi kutsuda otstarbekuse ehk oportuniteedi põhimõte?". Märgis: miks. Presupositsioon: kriminaalhoolekande teoorias ja praktikas hakkab juurduma arusaam, et
kas muutuja vajab algväärtustamist ja kui vajab, siis kus (programmi alguses, tsükli alguses)? * Massiivi indeks ületab lubatud piiri. VEAD ARVUTAMISEL * Muutuja ületäitumine. * Avaldise vahetulemuse ületäitumine. * Jagamine nulliga. * Funktsiooni kasutamine väljaspool määramispiirkonda (ruutjuur negatiivsest arvust). * Täpsuse kadu täisarvulisel jagamisel. * Täpsuse kadu tehetel reaalarvudega. VEAD VÕRDLEMISEL * Vale võrdlusmärgi kasutamine (range võrratuse asemel mitterange võrratus). * Võrreldavate konstantide +-1 võrra vale väärtus. VEAD JUHTKONSTRUKTSIOONIDES * Tsükli lõpetamiseks vajalik tingimus ei osutu kunagi täidetuks. * Tsükli alustamiseks vajalik tingimus ei osutu kunagi täidetuks. * Tingimuslause (if tingimus then ...) on jäänud ilma alternatiivita (else ...). * Valikulause (case ...) ei käsitle kõiki võimalikke väärtusi või ei informeeri vigaste väärtuste esinemisest. VEAD ALAMPROGRAMMIDE KASUTAMISEL
2. Summa sümbol. Eksamiteemad 1. Naturaalarvud. 2. Täisarvud. 3. Ratsionaalarvud. 4. Irratsionaalarvud. 5. Reaalarvud. 6. Summa sümbol. PEATÜKK 0. TÄHISTUSED. REAALARVUD 0.1 Tähistused := definitsioon (võrdub, rõhutatult) aX element a kuulub hulka X a/X a ei kuulu hulka X XY hulk X sisaldub hulgas Y (NB! mitterange kuulumine) mujal võidakse eristada ja , meil = AB hulkade ühend A B hulkade ühisosa X Y hulgast X lahutatakse hulk Y järeldub on samaväärne (mõlematpidi järeldumine) x kehtib iga x korral x leidub selline x N naturaalarvud 1, 2, 3, . . . N0 naturaalarvud koos nulliga 0, 1, 2, 3, . . . Z täisarvud . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . Q ratsionaalarvud pq , q = 0 I irratsionaalarvud R reaalarvud
kas muutuja vajab algväärtustamist ja kui vajab, siis kus (programmi alguses, tsükli alguses)? * Massiivi indeks ületab lubatud piiri. VEAD ARVUTAMISEL * Muutuja ületäitumine. * Avaldise vahetulemuse ületäitumine. * Jagamine nulliga. * Funktsiooni kasutamine väljaspool määramispiirkonda (ruutjuur negatiivsest arvust). * Täpsuse kadu täisarvulisel jagamisel. * Täpsuse kadu tehetel reaalarvudega. VEAD VÕRDLEMISEL * Vale võrdlusmärgi kasutamine (range võrratuse asemel mitterange võrratus). * Võrreldavate konstantide +-1 võrra vale väärtus. VEAD JUHTKONSTRUKTSIOONIDES * Tsükli lõpetamiseks vajalik tingimus ei osutu kunagi täidetuks. * Tsükli alustamiseks vajalik tingimus ei osutu kunagi täidetuks. * Tingimuslause (if tingimus then ...) on jäänud ilma alternatiivita (else ...). * Valikulause (case ...) ei käsitle kõiki võimalikke väärtusi või ei informeeri vigaste väärtuste esinemisest. VEAD ALAMPROGRAMMIDE KASUTAMISEL
4) rangelt kahanevaks, kui võrratusest x < x′ hulgas X järeldub võrratus f (x) > f (x′ ) . Kui on täidetud üks neist neljast tingimusest, siis kõneleme vastavalt monotoonsest või ran- gelt monotoonsest funktsioonist. Märkus. Funktsiooni monotoonsusomadustega seotud sõnu kasutatakse eri allikates eri tähenduses. Ranget võrratust sisaldava tingimusega funktsiooni kohta öeldakse mõnikord hoopis „kasvav“, mitterange juht on sel juhul „mittekahanev“ või „monotoonselt kasvav“. Lause 3.18 Kui f on rangelt kasvav (rangelt kahanev) funktsioon hulgas D, siis tal on pöördfunktsioon g := f −1 , mis on hulgas R rangelt kasvav (rangelt kahanev). Tõestus. Funktsiooni f rangest monotoonsusest tuleneb, et f (x1 ) 6= f (x2 ) , kui x1 , x2 ∈ D ja x1 6= x2 ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 67 (kontrollida!)z
annaabi.ee 
