Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Matemaatika mõisted 2". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
kuup, kuubis, miinus, kolmekordne, summat, samade, ruutude, ruuduga, korrutamisel, liikmega, summaga, liitmisvõte, võrrandid, normaalkujule, kordajad, vastandarvud, liidan, saadus, esialgse7 valemit ja reeglit 1. Ruutude vahe valem (kahe üksliikme summa ja vahe ruut) (a+b)(a-b)= a²- b² Kahe üksliikme summa ja samade üksliikmete vahe korrutis võrdub nende üksliikmete ruutude vahega 2. Summa ruudu valem (kahe üksliikme summa ruut) (a+b)²= a²+2ab+b² Kahe üksliikme summa ruut võrdub esimene liige ruudus pluss kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teine liige ruudus. 3. Vahe ruudu valem (kahe üksliikme vahe ruut) (a-b)²= a²-2ab+b² Kahe üksliikme vahe ruut võrdub esimene liige ruudus miinus kahekordne esimese ja teise liikme korrutis pluss teine liige ruudus. 4. Summa kuubi valem (kahe üksliikme summa kuup) (a+b)³= a³+3a²b+3ab²+b³
1) Võrdsete alustega astme korrutamine. *Võrdsete alustega astme korrutamisel astendajad liidetakse. am x an = a m+n 2)Võrdsete alustega astme jagamine. *Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. am : an = a m-n 3) Korrutise astendamine. *Korrutise astendamisel võib astendada iga tegur eraldi ja siis saadud tulemus korrutada. ( a x b )m am x bm 4) Jagatise astendamine. *Jagatise astendamisel võib astendada eraldi jagatava ja jagaja ja seejärel jagada üks tulemus teisega. ( a x b ) m am : bm 5) Astme astendamine,
1)Võrdsete alustega astmete korrutamine: Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 2)Võrdsete alustega astmete jagamine: Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. 3)Astme astendamine: Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 4)Korrutise astendamine: Korrutise astendamisel võib astendada eraldi iga tegur ja tulemused korrutada. 5)Jagatise astendamine: Jagatise astendamisel võib enne astendada jagatav ja jagaja ning seejärel jagada esimene tulemus teisega. 6)Hulkliikme korrutamine üksliikmega:
1)Võrdsete alustega astmete korrutamine: Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 2)Võrdsete alustega astmete jagamine: Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. 3)Astme astendamine: Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 4)Korrutise astendamine: Korrutise astendamisel võib astendada eraldi iga tegur ja tulemused korrutada. 5)Jagatise astendamine: Jagatise astendamisel võib enne astendada jagatav ja jagaja ning seejärel jagada esimene tulemus teisega. 6)Hulkliikme korrutamine üksliikmega:
HULKLIIKMED(2.ptk) Mis on hulkliige? Hulkliikmeks nimetatake üksikliikmete summat. Kordajad 3 Hulkliikme liikmed Hulkliikmete liitmine ja lahutamine (5a-6b+7)+(2a-9b-5)=5a-6b+7+2a-9b-5 =3a+3b+12 Kui sulgude ees on + märk , siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks. Kui sulgude ees on märk, siis tuleb sulgude avamisel muuta sulgude sees olnud liikmete märgid vastupidiseks. Hulkliikmete korrutamine üksikliikmega 1,5 3( 1) Ava sulud ( ) 2) Koondatakse.( Sarnased liidetavad, astendajad ei muutu)
hulkliikme liikmed muutujate astendajate summa kahanemise järjekorras, võrdsete astendajate summa puhul lähtuda tähestikust, liikmed normaalkujulised, võimalusel koondada 4.Kaksliige - hulkliige, milles on kaks mittesarnast liiget 5.Kolmliige - hulkliige, milles on kolm mitte- sarnast liiget 6.Hulkliikmete liitmine - kui sulgude ees on plussmärk, siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks, s.t. ühe hulkliikme liikmed kirjutatakse teise järel samade märkidega 7.Hulkliikmete lahutamine - lahutatava hulkliikme kõik liikmed kirjutada esimese järele vastupidiste märkidega; võimalusel koondada NB miinusmärk sulu ees muudab märgid sulu sees 8.Hulkliikme korrutamine üksliikmega - korrutatakse üksliikmega selle hulkliikme iga liige ja tulemused selgitus: liidetakse 1) 2) 3) 9.Hulkliikme jagamine üksliikmega -
Tehetest ligikaudsete arvudega Ligikaudsete arvudega korrutises ja jagatises tuleb säilitada nii mitu tüvenumbrit, kui mitu on neid vähima tüvenumbrite arvuga komponendis. Ligikaudsete arvude summa ja vahe tuleb ümardada kõigi komponentide ühise madalaima järguni. Näide: 2,40+18,879=21,279 ehk 21,28 Hulkliige Üksliikmete summat nimetatakse hulkliikmeks. Üksliikmeid, mille liitmisel hulkliige moodustub, nimetatakse hulkliikme liikmeteks ja nende kordajaid- hulkliikme kordajateks. Näide: 4c -3c+8c-c = Hulkliikmete liitmine ja lahutamine Kui sulgude ees on pluusmärk, siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks; kui sulgude ees on miinusmärk, siis tuleb sulgude avamisel muuta sulgude sees olnud liikmete märgid vastupidiseks.
üksliikmega. 4.2. Kui liikmete vahel on + või -, siis taandada ei tohi. 5. Tegurdamine 5.1. Tegurdamiseks nimetatakse avaldise kirjutamist korrutisena. 5.2. avaldis=millega saab jagada(SÜT) jagamise vastus 5.3. Tegurdamine tähendab ühise teguri sulgude ette toomist. 6. Kaksliikmete korrutamine 6.1. Esimese kaksliikme iga liikme korrutan teise kaksliikme iga liikmega. Kui võimalik, siis koondan 7. Kahe üksliikme summa ja vahe korrutis 7.1. Korrutamise abivalem (a+b)(a-b)=a2-b2 1) Ühes sulus +, teises -. 2) Sulgudes võrdsed liikmed. 3) Vastuse liikmete järjekord – sulu põhjal. 4) Vastuses liikmete vahel -. 5) Vastuses liikmete ruudud. 8. Kaksliikme ruut 8.1. Korrutamise abivalemid (a±b)2= 2 2
NÄIDE 4: 5m + 2n - 6 - 5m + 4 = (5 - 5)m + 2n + (-6 + 4) = 2n – 2 NÄIDE 5: 3a2 + 4xy - a2 + xy - 5xy - 2a2 = (3 - 1 - 2)a2 + (4 + 1 - 5)xy = 0 NÄIDE 5: 7yw – 4w² - 8w² - 10w² = 7yw – 22w² 5. Hulkliige, hulkliikmete liitmine ja lahutamine. Hulkliige on üksliikmete summa. 2a + b ; 2a + b + 7c + 2 ; 3yzx NÄIDE 1: (3 + 7v²) + (3 + 6v) = 3 + 7v² + 3 + 6v = 6 + 7v² + 6v NÄIDE 2: (-6w² - 4) – (5 + 7w² - 8w) = -6w² - 4 – 5 -7w² + 8w = 13w² - 9 + 8w NB! Miinus märk sulu ees, muudab märgi sulu sees!!! 6. Hulkliikmete korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme korrutamisel üksliikmega korrutame hulkliikme iga liikme üksliikmega ja tulemused liidame. a (b + c + d) = ab + ac + ad Hulkliikme jagamisel üksliikmega jagame hulkliikme iga liikme üksliikmega ja tulemused liidame. (a + b + c) : k = a/k + b/k + c/k 7. Hulkliikmete tegurdamine. Hulkliikmete tegurdamine on hulkliikme esitamine korrutisena. NÄIDE 1: 2x² + 5x = x (2x + 5)
1. harilik murd Harilik murd näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on võetud. 2. kümnendmurd Kümnendmurd on komaga arv. N: 23,4 ;14,1 ; 3,8 ; 10,5 3.murru taandamine Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 4.Astmete korrutamine Ühe ja sama arvu astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 32 · 31 = 32 + 1 = 33 = 3 · 3 · 3 = 27 5.Astmete astendamine Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 6.Astmete jagamine Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse. a m : a n = a m-n 7.Negatiivne astendaja Murd, mille lugejaks on arv 1 nimetajaks sama aste positiivse astendajaga. 1 a -n = n , kus a 0 a 8.Arvu standardkuju Kui arv on esitatud kahe teguri korrutisena, millest üks jääb arvude 1 ja 10 vahele ning teine
Nt. 2x² + 5x 6 = 0 Nullkoht on argumendi väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on 0. (ehk siis x väärtus, mille korral y=0) Nurk on geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks ühest ja samast punktist väljuvat kiirt koos tasandi osaga, mis jääb nende kiirte vahele. Paarisarv on täisarv, mis jagub kahega. Nt. (0), 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... Kahe paarisarvu liitmisel saadakse paarisarv, ning kahe paarisarvu korrutamisel saadakse samuti paarisarv. Nt. 18+18=36; 18*18=324. Paaritu arv on täisarv, mis ei jagu kahega. Nt. 1, 3, 7, 9, 11, 13 ...Kahe paaritu arvu korrutamisel saadakse paaritu arv, kuid kahe paaritu arvu liitmisel saadakse paarisarv. Nt. 7*7=49; 7+7=14. Parabool on ruutfunktsiooni graafik. Parabooli haripunkt on punkt, mis asub parabooli sümmeetriateljel. See jaotab parabooli kaheks haruks. Paralleelsed sirged on sirged, mis pikendamisel üksteisega kunagi ei ristu.
2.Üksliikme kordaja - esimesel kohal olev kordaja on 10 arvuline tegur normaalkujulises üksliikmes 3.Sarnased üksliikmed - üksliikmed, mis ja on sarnased, sest täheline osa on erinevad ainult kordaja poolest või ei erine üldse samasugune 4.Üksliikme teisendamine normaalkujule - kirjutame arvuliste tegurite korrutise esimesele kohale ning asendame samade muutujate korrutised astmetega astmealuste tähestikulises järjekorras 5.Üksliikmete koondamine - tuleb teha vastav Õ ül.161 tehe vaid üksliikmete kordajatega, täheline osa jääb muutmata NB koondada saab sarnaseid üksliikmeid selgitus: sarnased on esimene ja teine liidetav, neid saab koondada (täheline osa ei muutu),
Üksliikmete liitmisel ja lahutamisel saadud avaldisi nimetatakse algebralisteks summadeks. Üksliikmete algebralises summas võib muuta liidetavate järjekorda. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Üksliikmete algebralise summa koondamine. Üksliikmete korrutamine ja jagamine Kui üksliikmete algebralises summas esineb sarnaseid liikmeid, siis need koondatakse, s. t. asendatakse kõik sarnased liikmed üheainsa liikmega, mille kordaja võrdub asendatavate liikmete kordajate summaga. Näited 4 x 2 3xy 5 x 2 xy x 2 4 xy abc 2 3x 3 2,5ac 2b (5 x)3 xy 122x 3 1,5abc 2 xy 125x 3 Üksliikmete korrutamisel kordajad korrutatakse ja ühesuguste täheliste tegurite astendajad liidetakse. Näide (5 x 2 y 3 z ) (2 xy 2 z 2u ) 10 x 3 y 5 z 3 u Üksliikmete jagamisel kordajad jagatakse ja ühesuguste täheliste tegurite astendajad lahutatakse.
Misted 8. klassile 1. Milline murd on harilik murd? * Harilik murd nitab, mitmeks vrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on vetud. 2. Milline murd on kmnendmurd? Too nide . * Kmnendmurd on komaga arv . nt : 2,14 ; 76,76 ; 16,36 3. Mida nimetatakse murru taandamiseks? * Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist he ja sama nullist erineva arvuga 4. Astmete korrutamine. Too nide. * he ja sama alusega astmete korrutamisel me liidame astendajad ja siis astendame astme alust. nt : a(astmes n) * a(astmes m) = a (astmes n+m) 3(astmes4)* 3 (ruudus) = 3(astmes 6) = 729 5. Astemete astendamine. Too nide. * Astmete astendamisel antendajad korrutame ja siis astendame. nt: (a astmes n) astmes m = a astmes mn ; (2 astmes -3) astmes 4 = 2 astmes -12 6. Astmete jagamine. * Sama alusega astmete jagamisel me lahutame astendajad ja siis astendame astme alust. 7.Negatiivne astendaja. Too nide .
leian y väärtuse võrrandist x-y=12 28-y=12 y=16 Vastus. Rööpküliku küljed on 28 cm ja 16 cm. 27.Tekstülesanne (kolmnurk) - kolmnurga Ül.988 nurkade summa on 180°; kui saab antud on üks nurk, teise kahe nurga vahe, kasutada kahe nurga summat ja vahet, siis leida kolmnurga nurgad süsteem lahendada liitmisvõttega KOOSTAMINE KONTROLL teine nurk x 81° NB võimalusel kasutada kahe tundmatuga kolmas nurk y 53° võrrandisüsteemi nende vahe x-y (28°) 81°-53°=28° nende summa x+y 81°+53°=134°
37. Kordarv naturaalarv, mis on esitatav ühest erinevate naturaalarvude korrutisena. 38. Korrapärane hulknurk kumer hulknurk, mille kõik küljed ja sisenurgad on võrdsed. 39. Korrapärane kolmnurk võrdkülgne kolmnurk. 40. Korrapärane prisma püstprisma, mille põhi on korrapärane hulknurk. 41. Korrapärane püramiid püramiid, mille külgservad on võrdsed ja põhjaks on korrapärane hulknurk. 42. Kraad ringjoone kaare või vastava kesknurga mõõtühik. 43. Kuup 1. risttahukas, mille kõik servad on võrdsed. 44. Kõõl joone kaht punkti ühendav lõik. 45. Lineaarfunktsioon kahe suuruse x ja y vaheline seos kujul y = ax + b ; ax on lineaarliige, b vabaliige; graafik on sirge. 46. Lineaarvõrrand võrrand, milles tundmatud on ainult esimeses astmes. 47. Lõpmatu kümnendmurd kümnendmurd, mille ükski numbrikoht pole viimane. 48. Lähisküljed ühest ja samast tipust lähtuvad hulknurga küljed. 49
Samuti võib näiteks leiduda asendamisi teistesse funktsioonidesse.
Mõningaid näiteid genereerivatest funktsioonidest:
a). (,,võtme tähtsusega gen. funktsioon", vastab jadale <1,1,1...1,1>).
b). (vastab jadale <1,0,1,0,1...0,1>, vahed tulenevad ,,2n" 'ist).
c). (vastab jadale <1,2,3,4,5.....>).
Genereerivatele funktsioonidele defineeritud tehted/teisendused:
1).Skaleermisireegel: Kui
Leia risttahuka mõõtmed. 2. Urnis on 5 musta, 7 kollast ja 4 punast palli. Leia tõenäosus, et juhuslikult võetud kolme palli hulgas on. 1) vähemalt 2 kollast palli; 2) Kõik erinevat värvi pallid; 3) kõik ühtevärvi pallid. 3. Leia kõik reaalarvude paarid (x;y), mis rahuldavad võrrandit 2 x +1 = 4 y 2 +1 ja võrratust 2 x 2 y . 4. Kahe positiivse arvu vahe moodustab 1/19 nende kuupide vahest, nend4e korrutis on aga ½ võrra väiksem nende ruutude poolsummast. Leia need arvud. 5. Lahenda võrrand 3sin 9 + 3 = 3 vahemikus (-2; 2). 6. Võrdkülgsesse kolmnurka küljega a on kujundatud teine võrdkülgne kolmnurk, mille tipud asuvad esimese kolmnurga külgedel jaotades need suhtes 1:2. Leia väiksema kolmnurga pindala. 7. Koonusekujulise veiniklaasi kõrgus on h. Mitu protsenti klaasi ruumalast on täidetud, kui klaasi fvalatakse veini poole kõrguseni? 8
( a1 + d )( a1 + 3d ) = -8 ( a1 + d )( a1 + 3d ) = -8 ( a1 + d )( a1 + 3d ) = -8 a1 = 1 - 2d ; (1 - 2d + d )(1 - 2d + 3d ) = -8; (1 - d )(1 + d ) = -8; 1 - d 2 = -8; - d 2 = -8 - 1; d 2 = 9; d = ±3 d1 = 3; d 2 = -3 a11 = 1 - 2 3 = -5; a12 = 1 - 2 ( - 3) = 7 Saime kasvava aritmeetilise jada, mille esimene liige on -5 ja vahe 3 ning kahaneva jada esimese liikmega 7 ja vahega -3. Vastus: aritmeetilise jada esimene liige on kas -5 ja vahe 3 või 7 ja vahe -3. 10. Leia aritmeetilise jada kolm järjestikust liiget, kui nende summa on 33 ning korrutis 1287. Lahendus: Kõige lihtsam on võtta kolm esimest liiget, kuid ei ole keelatud ka näiteks viies, kuues, seitsmes liige võtta. Moodustame võrrandid ja lahendame siis võrrandisüsteemi. Kolme järjestikuse liikme summa on 33 ehk a1 + a 2 + a3 = 33 ning korrutis 1287 ehk
28. Murdjooneks nimetatakse järjestikku ühendatud lõikudest koosnevat joont. 29. Erikülgset kolmnurka nimetatakse kolmnurka, mille kõik küljed on erinevad. 30. Võrdhaarseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kaks külge on võrdsed. 31. Võrdkülgseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kolm kõlge on võrdsed. 32. Ristuvateks sirgeteks nimetatakse sirgeid, mis lõikumisel moodustavad täisnurga. 33. Hulkliikmeks nimetatakse üksliikmete algebralist summat. 34. Sarnasteks liidetavateks nimetatakse liidetavaid, mis ei erine üksteisest üldse või ainult kordaja poolest. 35. Arvu absoluutväärtuseks nimetatakse arvu arvteljel kujutava punkti kaugust arvtelje nullpunktist. 36. Arvu a n- daks astmes nimetatakse arvu a n- kordset korrutist. 37. Ruuduks nimetatakse võrdsete lähiskülgedega ristkülikut. 38. Ruuduks nimetatakse rombi, mille lähisnurgad on võrdsed. · Kahe sirge lõikamine kolmanda sirgega
Kahe samamärgilise arvu jagatis on positiivne. Kahe erimärgilise arvu jagatis on negatiivne. Arvu aste: 2³=222=8 a0=1, kui a0 , st iga arv astmes 0 on võrdne ühega (kui see arv ei ole 0). 1³=1 2³=8 3³=27 4³=64 5³=125 6³=216 7³=343 8³=512 9³=729 10³=1000 20=1 21=2 22=24 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 29=512 210=1024 Tehted astmetega: 1) am an = a m + n Näiteks: 2² 2³ = 22+3 = 25 = 32 Võrdsete alustega astmete korrutamisel võime astendajad liita ning saadud tulemusega astendada antud alust. 2) am : an = a m-n Näiteks: 36 : 34 = 36-4 = 3² = 9 Võrdsete alustega astmete jagamisel võime jagatava astendajast lahutada jagatava astendaja ning saadud tulemusega astendada alust. 3) (a b)n = an bn Näiteks: (2 4)² = 2² 4² = 64 Korrutise astendamisel võime astendada iga teguri eraldi. 4) (am)n = am × n Näiteks: (3²)5 = 3 2 × 5 = 310 = 59049
5.14 Kolmnurga pindala · Kolmnurga pindala võrdub aluse ja sellele joonestatud kõrguse poole korrutisega. · Kolmnurga pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse poole korrutisega · Rööpküliku pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse korrutisega. 5.15 Siinusteoreem Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega 5.16 Koosinusteoreem Kolmnurga ühe külje ruut on võrdne teiste külgede ruutude summaga, millest on lahutatud samade külgede ja nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis. 5.17 Kolmnurga lahendamine 5.18 Kahe nurga summa ja vahe sin ja cos 5.19 Kahe nurga summa ja vahe tan 5.20 Kahekordse nurga sin, cos, tan Vektor tasandil Kui A(x1) ja B(x2), siis lõigu AB pikkus on AB=|x1-x2| Arvtelje lõigu keskpunkti koordinaat võrdub lõigu otspunktide koordinaatide aritmeetilise keskmisega.
8. klassi matemaatika mõisted ja valemid Ümardamisel kasutatakse järkusid. Tüvenubriteks loetakse: 1) täisarvus kõik numbrid väljaarvatud arvu lõpus olevad nullid. 2) kümnendmurrus kõik numbrid va. Arvu ees olevad nullid. Arvutamine ligiklaudsete arvudega: 1) liitmisel, lahutamisel ümardatakse lõppvastus ühise madalaima järguni. (Tüvenumbrite madalaima järguni) 2) korrutamisel, jagamisel tuleb lõppvastus ümardada nii, et temas oleks sama palju tüvenumbreid, kui oli seda vähima tüvenumbrite arvuga algandmes. 3) mitme tehtega ülesandes tuleb: a) arvutada iga tehe eraldi ja jätta 1 varunumber ning lõppvastus ümardada täpselt. b) hinnata iga tehte tulemust ja otsustada milleni tuleb vastus ümardada. Protsent: Osa=osamäär * tervik Tervik=osa : osamäär Osamäär=osa : tervik Sagedustabel, sektordiagramm: 1)tunnus on suurus, mis iseloomustab mingit objekti
Teades, et viimases reas on 48 kohta, arvuta kinosaali kohtade arv. ( 544 kohta ) 17. Maanteel liiguvad teineteisele vastu kaks autot, mille vahemaa on teatud hetkel 200m. Esimese auto kiirus on sellel hetkel 12m/s ja teisel 20m/s. Pidurdamise tõttu vähenes teise auto kiirus igas sekundis 2m/s võrra. Mitme sekundi pärast autod kohtuvad? (8sekundi pärast ) 18. Aritmeetilise jada kahe esimese liikme ruutude summa on 10. Jada kolmas liige on -1. Leia selle jada viie esimese liikme summa. (-5) 19. Täisnurkse kolmnurga lühem kaatet on 2,5 cm.Kolmnurga küljed moodustavad aritmeetilise 1 jada. Leia kolmnurga pindala. (4 cm 2 ) 6 20. Tööline teenindab 16 kudumismasinat, mis töötavad automaatselt. Kudumismasina jõudlus
mõõdab põhjadevahelist kaugust; korrapärane korrapärane prisma - väär, sest põhitahud prisma: põhjad on korrapärased hulknurgad peavad olema korrapärased kujundid Leida, kas on olemas antud servade arvuga püstprismad. SELGITUS: n-nurkne prisma, servade üldarv 3n NB erijuhud: kuup, risttahukas, kolmnurkne 1)servade arv 8, antud püstprismat pole püstprisma, püströöptahukas olemas, sest servade arv ei jagu kolmega 2)servade arv 15, antud püstprisma on olemas, 5-nurkne 3)servade arv 13, antud püstprismat pole olemas
x1 = 0 ja 2x 3 = 0 ehk x2 = 1,5. Kuigi saadud võrrandil on kaks lahendit, sobib neist ülesande vastuseks ainult teine, sest ruudu külje pikku ei saa olla 0 cm. Kontroll: Kui ruudu külje pikkus on 1,5 cm, siis pindala on 1,5 . 1,5 = 2,25 cm2. Ristküliku küljed on 3 cm ja 1,5 cm ning pindala 3 . 1,5 = 4,5 cm2, mis on 2 korda suurem kui ruudu pindala. Vastab ülesande tingimustega. Vastus: Ruudu külg on 1,5 cm. 4. Kahe arvu vahe on 6. Nende arvude ruutude summa on 260. Leia need arvud. Lahendus: Tähistame ühe arvuga x, siis teine arv on 6 + x. Nende arvude ruutude summa st x2 + (6 + x)2, on 260. Saame võrrandi: x2 + (6 x)2 = 260. Lahendame selle. x2 + 36 + 12x + x2 = 260; 2x2 + 12x 224 = 0; 2 x 2 +12 x - 224 = 0 :2 x + 6 x -112 = 0; 2 x = -3 ± 3 2 +112 ; x = -3 ±11; x 1 = -3 +11 = 8; x 2 = -3 -11 = -14. Kui üks arv on 8, siis teine arv on 6 + 8 = 14.
klass Aili Hollak Arvuti koolis lõputöö Koolitaja E. Tarro, 5. kursus JADAD Jada teatud reegli järgi saadud arvude hulk, kus igale naturaalarvule n (alates 1-st) seatakse vastavusse üks kindel arv n. Jada liikmed - 1, 2, ..., n, ... Jada üldliige - n Jada üldliikme valem - n= f(n) Näiteid jadadest Ruudu 1 2 3 4 5 6 nr. Pindala 1 4 9 16 25 36 Nii võib jätkata ruutude joonistamist ja leida ka igal sammul vastava ruudu pindala. Näiteks 11. ruudu pindala on 121, 30. ruudu pindala 900, n-nda ruudu pindala on n² JADADE LIIGITUS Jadad Tõkestatud Tõkestamata Hääbuvad Muud Lõpmata suured Muud Tõkestamatult kasvavad Muud Tõkestamatult kahanevad JADAD
-Rombi diagonaalid on tema sümmeetriatelgedeks. Rööpkülik: Mõiste: Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. Pindala: S=ah Ümbermõõt: 2(a+b) Omadused: 1. Vastasküljed on võrdsed 2. Vastasnurgad on võrdsed 3. Iga külje lähisnurkade summa on 180° 4. Rööpküliku diagonal jaotab rööpküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks 5. Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist 6. Rööpküliku diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga. 7. Rööpküliku sümmeetriapunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O) 2. Trapets: Mõiste: Trapetsiks nimetatakse nelinurka, mille kaks vastaskülge on paralleelsed, kuid teised küljed ei ole paralleelsed. Pindala: S=a+b/2·h Ümbermõõt: Ü=a+b+c+d Omadused: 1. Võrdhaarse trapetsi aluse lähisnurgad on võrdsed 2. Võrdhaarse trapetsi vastasnurkade summa on 180° 3. Võrdhaarse trapetsi diagonaalid on võrdsed 4
naturaalarv. Aritmeetilise jada liikmete vahel kehtib omadus: a2-a1=a3-a2=a4-a3... Aritmeetilise jada esimese n liikme summa avaldub kujul: Asendades siia eelneva an definitsiooni, saame uue kuju: 2a n 1 d Sn 1 n 2 See valem võimaldab meil leida jada summat ainult algliikme ning vahe järgi. Geomeetriline jada Geomeetriline jada on jada, milles kahe järjestikuse liikme jagatis on konstantne. Selle jada üldliige avaldub kujul an=a1qn-1, kus q on jada tegur ja n on naturaalarv. Geomeetrilise jada liikmete vahel kehtib omadus: a a q 2 n a1 a n 1
vältimiseks mõistame s1,... ,sn all mitte ainult vastavaid osapiirkondi, vaid ka nende pindasid. Võtame igas osapiirkonnas s1 (selle sees või rajajoonel) mingi punkti P1, saades nii n punkti: P1, P2, P3,..., Pn. Tähistame antud funktsiooni z=f(x,y) väärtusi valitud punktides sümbolitega f(P 1),...,f(Pn) ja moodustame korrutiste summa, mille liikmeteks on f(P1)s1: Summat nim. funktsiooni z=f(x,y) integraalsummaks üle piirkonna D. Kui piirkonna D igas punktis f0, siis saab iga liidetavat f(Pi)si geomeetriliselt tõlgendada väikese silindri ruumalana, kusjuures silindri põhjaks on si ja kõrguseks f(Pi). Summa Vn on nimetatud elementaarsete silindrite ruumalade summa, s.t. teatud ,,treppkeha" ruumala. Vaatleme funktsiooni z=f(x,y) integraalsummade suvalist jada Vn1, Vn2, Vn3,..., Vnn, mis on saadud antud piirkonna D jaotamisel
839. Leia kompleksarvu moodul ja argument. Võrduse (1) võime nüüd esitada kujul a) 1 + i 3 b) 4 + 3i c) -1 - i 3 d) 4 - 4i e) -42 f) 2 3 + 2i g) 6 3 - 6i h) 1 - i 3 a·b = Rr [cos ( + ) + i sin ( + )]. 840. Leia kõik sellised kompleksarvud, mille moodul on 3; 1995; 0; -2. Kahe kompleksarvu korrutamisel nende arvude moodulid korrutatakse ja 841. Teisenda kompleksarv trigonomeetrilisele kujule. argumendid liidetakse. a) 1 b) 3i c) -2i d) -i Näide 1. Korrutame arvud 4(cos 30° + i sin 30°) ja 2(cos 60° + i sin 60°). e) 6i f) -2 g) i h) -5i Korrutamise reegli järgi 842
tingimata on vajalik ka saadud tulemuste tõlgendamine. Näiteks tekstülesande korral on alati vajalik välja kirjutada vastus. 2. FUNKTSIOONID JA NENDE ALGEBRA Arvud ja nende hulgad Loendamisel saadud arve nimetatakse naturaalarvudeks: N = {0; 1; 2; 3; ...}. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. See tähendab, et kahe naturaalarvu liitmisel või korrutamisel on tulemuseks alati naturaalarv. Naturaalarvude hulk ei ole kinnine lahutamise ja jagamise suhtes. Täiendades naturalarvude hulka vastandarvudega, saame täisarvude hulga: Z = {...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}. Täisarvude hulk kooosneb positiivtest täisarvudest, negatiivsetest täisarvudest ja arvust 0. Arvu null ei loeta positiivseks ega negatiivseks. Täisarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes.
ühe ja sama negatiivse arvuga: a b kui a > b ja c < 0 , siis ca < cb ja < . c c Võrratust, mis sisaldab muutujat, saab lahendada. Võrratuste lahendamisel on järgmised reeglid: 1) liikme märk muutub vastupidiseks, kui kanda ta võrratuse ühelt poolelt teisele; 2) võrratuse poolte korrutamisel (jagamisel) ühe ja sama positiivse arvuga jääb võrratuse märk endiseks; 3) võrratuse poolte korrutamisel (jagamisel) ühe ja sama negatiivse arvuga muutub võrratuse märk vastupidiseks; 4) võrratuse pooli ei tohi korrutada ega jagada muutujat sisaldava avaldisega, mille märk pole teada, sest siis võime saada esialgse võrratusega mittesamaväärse võrratuse. 2.10 Lineaarvõrratus Lineaarvõrratuseks ehk esimese astme võrratuseks nimetatakse võrratust, millele saab
annaabi.ee 
