T2. Kui on olemas tuletised f' (x ) ja g' (x ), siis on olemas ka tuletised: a) [f(x)+g(x)]', b) [f(x)-g(x)]', c) [f(x)g(x)]', d) [f(x)/g(x)]',(kui g(x)0), kusjuures kehtivad järgmised seosed: a) [f(x)+ g(x)]' =f'(x)+g'(x), b) [f(x)-g(x)]' =f' (x)-g' (x), c) [f(x)g (x)]' = f'(x)g (x)+f(x)g '(x), d) [f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g2(x) , (kui g(x) 0). T3. Kui funktsioonil on olemas tuletis kohal x ja funktsioonil f on olemas tuletis vastaval kohal u = (x ), siis on ka liitfunktsioonil F olemas tuletis kohal x, kusjuures kehtib seos F' (x ) = f' (u)' (x ). T4. Kui piirkonnas X rangelt monotoonsel ja pideval funktsioonil f on kohal x olemas nullist erinev tuletis f'(x ), siis on pöördfunktsioonil olemas tuletis '(y) vastaval kohal y = f(x), kusjuures kehtib seos ' (y) =1/F'(x). Def2. Öeldakse, et funktsioon y=f(x) on diferentseeruv kohal x, kui tema muut sellel kohal omab kuju y=A x + , kus A on (x -st sõltumatu) konstant ja rahuldab tingimust lim x0/x=0. T5
punktis on diferentseeruvad ka funktsioonid cf(x), ja täiendaval eeldusel ka f(x)/g(x), kusjuures Tõesta neid. Kerge. 1.11 Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Liitfunktsiooni tuletis: Lause 1. Kui funktsioonidel f(x) ja g(x) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja f(x), siis liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures N1. Leiame funktsiooni y=sin2x tuletise. Olgu u=sinx ja y=u2. Seega Näitan, et teatud eeldustel peab paika seos N2. Leian tuletise: Lause 2. Kui lõigul [a, b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y=f(x) on kohal x nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil leidub tuletis kohal f(x), kusjuures Ehk Tõestus. Leian funktsiooni N. Leian mingi funktsiooni pöördfunktsioonist nt. Lause 3
Def: Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust f ´(x −) = lim Δ→0− Δx 5.Liitfunktsioon: Kui funktsioonidel u=f(x) ja y=g(u) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja f(x), siis liitfunktsioonil y=g(f(x)) on lõplik tuletis kohtadel x, kusjuures g´(f(x))*f´(x) 6. Pöördfunktsiooni tuletis: Kui lõigul [a;b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y=f(x) on kohal x nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil x=f (y) leidub tuletis kohal f(x), kusjuures dx 1 1
(sin x ) cos x - sin x(cos x ) cos 2 x = ( ) cos 2 x - - sin 2 x = 1 2 cos x cos 2 x Ülesanne (kodus): Leida y = cot x tuletis. 6 Liitfunktsiooni diferentseerimine Teoreem Kui funktsioonidel ( x) ja f (u ) on lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja u = (x), siis on liitfunktsioonil F ( x) = f [ ( x)] kohal x lõplik tuletis F (x), mis avaldub kujul F ' ( x) = f (u ) ( x). Märkus Kui funktsioon y = F(x) on selline, et teda võib esitada kujul y = f (u), u = (v), v = (x), siis F´(x) = f´(u) ´(v) ´(x). 7 Näide 1 On antud funktsioon y = sin[(ln x)3]. Leida y'(x). dy y = sin u, = cos u
on pidevad kohal a, kusjuures jagatise korral eeldame, et g(a) 0. NT: Funktsioon y = 2 x - e on pidev piirkonnas R, sest 2 x u = 2, v = x2 , z = e x on pidevad selles piirkonnas. Liitfunktsiooni pidevus Liitfunktsioon f [g (x)] on pidev kohal a, kui g (x) on pidev kohal a ja f [g (x)] on pidev kohal g (a). Ehk liitfunktsioon on pidev, kui selle funktsiooni koostisosad on pidevad. See tulemus kehtib ka siis, kui liitfunktsioonil on mitu koostisosa. x y = cos 3 NT: Funktsioon 2 on kõikjal pidev, sest tema koostisosad x v= y = u , u = cos v ja 3 2 on kõikjal pidevad. 6. Tuletise mõiste, tuletise geomeetriline interpretatsioon (joone puutuja kaudu). funktsiooni tuletis - Funktsiooni y = f (x) tuletiseks f ´(x) kohal x nimetatakse piirväärtust
o. punktid x = + k , k Z ), 2 ei kuulu funktsiooni tan x määramispiirkonda, siis tan x on 29 pidev oma määramispiirkonnas. Liitfunktsiooni pidevus Teoreem. Liitfunktsioon f [g (x)] on pidev kohal a, kui g (x) on pidev kohal a ja f [g (x)] on pidev kohal g (a). Ehk liitfunktsioon on pidev, kui selle funktsiooni koostisosad on pidevad. See tulemus kehtib ka siis, kui liitfunktsioonil on mitu koostisosa. x Näide 1. y = cos 3 on pidev kõikjal, 2 x sest tema koostisosad y = u , u = cos v, v = 3 2 on pidevad kõikjal. Näide 2. y = ln( x + 1) ei ole pidev kohal 1. Miks? 30 Teoreeme pidevatest funktsioonidest
(M.O.T.T) Lagrange'i keskvaartusteoreem: Kui funktsioon f on pidev loigul [a, b] ja diferentseeruv vahemikus (a, 4. Liitfunktsiooni tuletise valemi tuletamine. b), siis leidub punkt c (a, b), et f(b) - f(a) = f'(c)(b - a). Kui funktsioonidel f(x) ja g(u) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja f(x), siis Cauchy keskväärtusteoreem: Kui funktsioonid f ja g on pidevad loigul [a, b] ja diferentseeruvad liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures Tõestus: Tähistame u=f(x). Siis y=g(u). Kui vahemikus (a, b), kusjuures g'(x) =/= 0, siis leidub vahemikus (a, b) punkt c, et u0, siis g pidevuse tõttu y=0 ning seega Kuna u0, siis g diferentseeruvuse tõttu on tõkestatud. Seega valem kehtib
2).*Korrutise tuletise valemi tuletus: f(x) f'(x); f'(x): ning g'(x)= siis *Jagatise tuletise valemi tuletus: = = 3. Liitfunktsiooni tuletise valemi tuletamine. Pöördfunktsiooni tuletise valemi tuletamine. Logaritmilise tuletise valemi tuletamine. LAUSE: Kui funktsioonidel f(x) ja g(u) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja f(x), siis liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures LAUSE: Kui lõigul pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y=f(x) on kohal x nullist erinev tuletis, siis -1 pöördfunktsioonil x=f (y) leidub tuletis kohal f(x), kusjuures Tõestus: Leiame funktsiooni f -1(y) tuletise kohal f(x):
kujutab liitfunktsiooni, kusjuures y = u3 ja u = 2x + 5. Esimest funktsiooni nimetatakse väliseks, teist seesmiseks funktsiooniks. Vaatame veel mõnda liitfunktsiooni: y = u y = x 2 - 4x + 3 u = x 2 - 4 x + 3 2 2 s = 5u 3 s = 5( 3t - 2 ) 3 u = 3t - 2 y = sin u y = sin 2x u = 2x Liitfunktsioonil võib olla ka kolm või enam koostisosa, aga meie selliseid ülesandeid ei lahenda. Liitfunktsiooni y = f[g(x)] tuletis võrdub välise funktsiooni tuletise ja seesmise funktsiooni tuletise korrutisega. y x = y u u x 11.Kõrgemat järku tuletised. Tuletis kui funktsioon. Kõrgemat järku tuletised Kui funktsioon on diferentseeruv igas oma määramispiirkonna punktis, öeldakse lihtsalt, et
20. Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel Kui funktsioonil on olemas lõplik tuletis antud kohal, siis funktsioon on pidev sellel kohal. Vastupidine väide ei ole õige. Näide: f(x) = |x| on pidev funktsioon, aga 0-punktis tuletis puudub nö „tearvates tippudes“ tuletisi ei leidu. 21. Liitfunktsiooni tuletise leidmine. Kui funktsioonidel g(x) ja f(u) on lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja u = g(x), siis on liitfunktsioonil F(x) = f(g(x)) kohal x lõplik tuletis F’(x), mis avaldub kujul F 0 (x) = f’(u)g’ (x). 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = ∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 22. Kõrgemat järku tuletiste leidmine. 23. Lineaarne lähendamine (selgitada ideed, valem). Kasutusalasid. Joone puutujat L(x) kasutatakse originaalse funktsiooni f(x) lokaalseks lineaarseks lähendamiseks punkti x = a ümbruses, st Diferentsiaale kasutatakse veaarvutustes. 24
Kuna 3. Liitfunktsiooni tuletise valemi tuletamine. Pöördfunktsiooni tuletise valemi tuletamine. Logaritmilise tuletise valemi tuletamine. LAUSE: Kui funktsioonidel f(x) ja g(u) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja f(x), siis liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures 6. Funktsiooni diferentsiaal ja selle omadused. Kõrgemat järku diferentsaalid. Definitsioon
a. Täisratsionaalsed funktsioonid ehk astmefunktsioonid b. Murdratsionaalsed funktsioonid ehk kahe täisratsionaalse funktsiooni jagatis c. Irratsionaalsed funktsioonid ( sisaldavad lisaks eelnevale veel juurimist) d. Mittealgebralised funktsioonid Liitfunktsioon- on funktsioon, kus sõltuv muutuja y sõltub argumendist x mitme funktsiooni vaheldusel. Kui y=f(z) ja z=g(x) , seega saame liitfunktsiooni y=f(g(x)) . Liitfunktsioonil võib olla ka enam kui kaks koostisosa ja seega enam kui üks vahepealne muutuja. Pöördfunktsioon- pöördfunktsiooni saame, kui võtame algse funktsiooni , avaldame sealt x ja seejärel vahetame x ja y ära. Näiteks : y=2x ; x=0,5y ; y=0,5x , seega y=2x pöördfunktsioon on y=0,5x. Funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y =( x ) .Pöördfunktsiooni graafik on sümmeetriline algse funktsiooni graafikuga, sirge y=x suhtes. Teineteise pöördfunktsioonideks on:
Teoreem 1 Olgu funktsioonil u(x) tuletis punktis x ja Olgu katkevuspunkt x0 ja Definitsioon 2 Funktsioon on diferentseeruv punktis x, kui tal funktsiooni f(n) tuletis punktis n . Sel juhul on tuletis ka 1) A=B, kuid f(x) ei ole määratud punktis x0 on tuletis selles punktis. liitfunktsioonil f [u(x)] Punkti x0 nim. kõrvaldatavaks katkevuspunktiks Funktsioon on diferentseeruv mingis vahemikus, kui ta on (f[u(x)])'=f' uu' diferentseeruv selle vahemiku igas punktis.
𝑑𝑔(𝑓(𝑥)) 𝑑𝑔(𝑓(𝑥)) 𝑑𝑓(𝑥) vahemikus (a; b), kusjuures g′ (x) ≠ 0, siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, et f(x), siis liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures = ∗ = 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 ∆𝑦
punktis x ,siis ka funktsioonidel u+v, uv, uv, eksisteerivad lõplikud tuletised v punktis x, kusjuures 10 (u ± v) =u ± v, 20 (uv) =u v+ vu, 30 (cv) = cu, c=const u u v - v u 40 ( ) = , v( x) 0. v v2 3. Liitfunktsiooni tuletis Teoreem 10. Kui funktsioonidel u = (x) ja y = f (u ) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt punktides x ja u = (x) , siis ka liitfunktsioonil y = F(x) = f[(x)] eksistee- rib lõplik tuletis punktis x, kusjuures F'(x) = f (u ) ( x). 4. Pöördfunktsiooni tuletis Teoreem 11. Kui funktsioonil y = f (x) on olemas pöördfunktsioon x = ( y ) piirkonnas X, ja eksisteerib lõplik tuletis ( y ) 0, siis eksisteerib lõplik f'(x) ja kehtib valem 1 f'(x) = .
et g (a ) 0 . Näide Funktsioon y = 2 x 2 - e x on pidev piirkonnas R, sest u =2 v = x2 z = ex on pidevad selles piirkonnas. Liitfunktsiooni pidevus Teoreem: Liitfunktsioon f [ g (x )] on pidev kohal a, kui g(x) on pidev a ja f [ g (x)] on pidev kohal g(a). Ehk liitfunktsioon on pidev, kui selle funktsiooni koostisosad on pidevad. See tulemus kehtib ka siis, kui liitfunktsioonil on mitu koostisosa. Näide x x Funktsioon y = cos 3 on pidev kõikjal, sest tema koostisosad y = u 3 , u = cos v, v = on 2 2 pidevad kõikjal 16. Weierstrassi teoreem funktsiooni tõkestatusest, Weierstrassi teoreem ekstremaalsetest
Seega (x) on lõpmatult vähenev suurus >0, () >0, et 0< x < (x) < Järelikult y = f (x) on pidev. Märkus: Teoreemi 1 pöördteoreem ei pea paika. Funktsioon võib olla pidev, kuid mittediferent- seeruv. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 12 Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis (tõestusega). Teoreem 1 Olgu funktsioonil u(x) tuletis punktis x ja funktsiooni f(n) tuletis punktis n Sel juhul on tuletis ka liitfunktsioonil f [u (x)] (13.1) ( f [u ( x)]) = f u' u ' ' Tõestus: f f u f lim = lim , kuna f u' = lim x 0 x x 0 u x x 0 u u u ' = lim , x 0 x f u siis x 0 u 0 f 0 = lim lim = f u' u ' x 0 u x 0 x
Seega (x) on lõpmatult vähenev suurus >0, () >0, et 0< x < (x) < Järelikult y = f (x) on pidev. Märkus: Teoreemi 1 pöördteoreem ei pea paika. Funktsioon võib olla pidev, kuid mittediferent- seeruv. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 12 Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis (tõestusega). Teoreem 1 Olgu funktsioonil u(x) tuletis punktis x ja funktsiooni f(n) tuletis punktis n Sel juhul on tuletis ka liitfunktsioonil f [u (x)] (13.1) ( f [u ( x)]) = f u' u ' ' Tõestus: f f u f lim = lim , kuna f u' = lim x 0 x x 0 u x x 0 u u u ' = lim , x 0 x f u siis x 0 u 0 f 0 = lim lim = f u' u ' x 0 u x 0 x
Funktsioone f ja g nimetatakse liitfunktsiooni g(f (x)) koostisosadeks. N¨aites 3 esitatud funktsioon on liitfunktsioon x - 4 - x2 - 4 - x2 , samuti N¨ aites 4 esitatud funktsioon x - 1 - x - log(1 - x). oib koostisosi olla rohkem kui kaks. N¨aiteks funktsioonil cos2 sin x on Liitfunktsioonil v~ koostisosi neli: x sin x sin x cos sin x cos2 sin x. Definitsioon 5. Funktsiooni f , mille m¨a¨aramispiirkond X on s¨ ummeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui x X : f (-x) = f (x). 13 Definitsioon 6
Siinjuures arvestasime, et lim v(x + x) = v(x). Viimane tuleneb sellest, x0 et funktsioon v on diferentseeruv, järelikult ka pidev punktis x ja sel juhul lim v(x) = lim [v(x + x) - v(x)] = 0. x0 x0 5.5 Liitfunktsiooni tuletis Teoreem 5.3 Kui funktsioonidel y = f (u) ja u = (x) eksisteerivad lõplikud tule- tised vastavalt punktides u ja x, siis ka liitfunktsioonil y = f [(x)] eksisteerib lõplik tuletis punktis x, kusjuures f (x) = f (u) · (x), (5.3) või siis Leibniz'i tähistuses dy dy du = · . (5.4) dx du dx 51 PEATÜKK 5
G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 14 / 25 Funktsiooni tuletis Reaalmuutuja funktsioon Liitfunktsiooni tuletis Lause ~ Kui funktsioonidel f (x) ja g(u) eksisteerivad loplikud tuletised vastavalt ~ kohtadel x ja f (x), siis liitfunktsioonil g(f (x)) on loplik tuletis kohal x, kusjuures dg(f (x)) dg(f (x)) df (x) = · = g (f (x)) · f (x). dx df (x) dx ~ Toestus. ¨ Tahistame u = f (x). Siis y = g(u) ning dy y y u y u y = = lim = lim · = lim · lim = dx x0 x x0 u x x0 u x0 x diferentseeruvusest y u dy du
annaabi.ee 
