........................................... 6 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus................................................................................................ 6 8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine. Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega....................... 8 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi..............9 10. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral:.......................................................................................... 9 11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tsebõsovi polünoomide näitel..........................................................................................
........................................... 6 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus................................................................................................ 6 8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine. Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega....................... 8 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi..............9 10. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral:.......................................................................................... 9 11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tsebõsovi polünoomide näitel..........................................................................................
Kui astmerea korral ak≠0(k>n) leidub lõplik või lõpmatu piirväärtus Siis selle rea koonduvusraadius avaldub kujul Abeli teoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega. Kui astmerida koondub punktis x0, siis see astmerida koondub absoluutselt iga x korral, kui |x|<|x0| ja koondub ühtlaselt hulgal {q<0). Xq={X : |X|≤q<|x0|} Kui astmerida hajub punktis x0, siis see astmerida hajub iga x korral, kui |x|>|x0| 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi Liikmeti integreerimine: Kui lõigul [a,b] integreeruvate funktsioonide rida (1) koondub sel lõigul ühtlaselt, siis rida (1) võib lõigul [a,b] liikmeti integreerida, st . Liikmeti diferentseerimine: Kui re a (1) korral ja koondub ühtlaselt
𝑛→∞ Uurime rea ∑∞ 𝑛 𝑘=1 1 = 1 + 1+. . . +1+. . . koonduvust. Et 𝑆𝑛 = ∑𝑘=1 1 = 𝑛 siis lim 𝑆𝑛 = lim 𝑛 = +∞ , seega see rida on hajuv. 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi. Liikmeti integreerimine: Kui lõigul ka neid lihtsustada algebralisteks võrranditeks. 𝑛→∞ 𝑛→∞ Näide 2. Uurime rea ∑∞ 1 koonduvust
Meenutame tähtsamaid reegleid, mida kasutame võrratuste lahendamisel. 1) Võrratuse pooltele võib liita ja neist võib lahutada ühesuguseid avaldisi. Siit järeldub, et võrratuses võib liikmeid viia teisele poole võrratuse märki, muutes liikme märgi vastupidiseks. 2) Võrratuse korrutamisel positiivse suurusega säilib võrratus; võrratuse korrutamisel negatiivse suurusega muutub võrratus vastupidiseks. 3) Samapidiseid võrratusi võib liikmeti liita. 4) Võrratusest võib liikmeti lahutada vastupidise võrratuse; tulemuses säilib esimese võrratuse märk. 5) Positiivsete pooltega samapidiseid võrratusi võib liikmeti korrutada. 6) Positiivsete pooltega võrratuse pooli võib astendada sama astendajaga. Võrratuse lahendamisel tuleb alati silmas pidada, et lahendite piirkondade hulka ei tohi sattuda tundmatu lubamatuid väärtusi, so selliseid väärtusi, mille puhul
S (x ) = lim S n ( x ) , kui lim sup S n ( x ) - S (x ) = 0 . n n x X Kui funktsionaalrida koondub ühtlaselt, siis koondub ta ka punktiviisi. Vastupidine ei kehti. 25 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 2. Funktsionaalrea summa pidevus, liikmeti integreerimine ja diferentseerimine Funktsionaalrea summa S (x ) ei tarvitse olla pidev funktsioon isegi siis, kui rea liikmed on pidevad. Teoreem 12. Kui funktsioonid u n = u n (x ) on piirkonnas X pidevad ning funktsionaalrida u (x ) koondub selles piirkonnas ühtlaselt funktsiooniks n =0 n S = S ( x ) , siis funktsioon S (x ) on pidev piirkonnas X .
o.t.t. n xi 0 i = 1 a b b b 5. Summat ja vahet võib integreerida liikmeti [ f ( x ) + g ( x ) ] dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx a a a 4 b b b
o.t.t. n xi 0 i = 1 a b b b 5. Summat ja vahet võib integreerida liikmeti [ f ( x ) + g ( x ) ] dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx a a a 4 b b b
Sundvõnked. Oletame, et süsteem hakkab võnkuma sundiva jõu sagedusega ning selle võnkumise amplituudi ja algfaasi määravad sundiva jõu amplituud ning võnkuva süsteemi parameetrid: omasagedus ja sumbuvustegur Süsteemi parameetriteks on omasagedus ja sumbuvustegur; need leitakse vabavõngete võrrandist sundiva jõu puudumisel. Püüame leida konstandid ja . Teeme seda vanaviisi: võtame tuletised saame Grupeerime vasaku poole liikmeti: Joonistame nüüd sellele vastava faasidiagrammi ning kasutades Pythagorase teoreemi saame millest leiame sundvõngete amplituudi Sundvõngete faasidiagramm: siinusfunktsiooni kordaja on y -teljel, koosinusliikme oma x -teljel. Et lahend vastaks lähtevõrrandile, peab nende summa olema võrdne sundiva jõuga. Faasinihke sundiva jõu f suhtes leiame tangensist Näeme, et nii faasinihe kui amplituud sõltuvad sundiva jõu sageduse ning süsteemi omasageduse vahest
1. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava funktsiooniga [ f ( x) dx ] = f ( x ) 2. Diferentsiaal määramata integraalist võrdub integraalialuse avaldisega: d f ( x ) dx = f ( x ) dx 3. Määramata integraal mingi funktsiooni tuletisest võrdub selle funktsiooniga pluss suvaline integreerimiskonstant: F ( x ) dx = F ( x ) +C 4. Konstantse teguri võib tuua integraalimärgi ette: kf ( x ) dx = k f ( x ) dx , kus k = const 5. Summat ja vahet võib integreerida liikmeti: [ f ( x ) ± g ( x )] dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx INTEGREERIMISE PÕHIVALEMID Integreerimise põhivalemid saadakse tuletiste põhivalemite "tagurpidi" rakendamisel (vt tuletiste tabel paremalt vasakule). Nende kontrollimiseks tuleb leida parema poole tuletis, mis peab võrduma intergraalialuse funktsiooniga 1. dx = x +C ; x n +1 x dx = + C, n -1 ; n 2. n +1 dx 3. x
rida hajub. Kui U= või U=- siis öeldakse, et rea summa on või -. 59. Mis on diskonteerimine? Diskonteerimiseks nimetatakse raha nüüdiväärtuse leidmist lõppsumma järgi. 60. Rea koonduvuse tarvilik tunnus? Kas selle täidetus tagab alati rea koonduvuse? Rea koonduvus tarvilik tunnus: Ei garanteeri rea koonduvust, rida võib koonduda kui küsimus jääb lahtiseks (kas on tingimisi koonduv või absoluutselt koonduv). 61. Kirjeldada koonduvate ridade omadusi. Koonduvaid ridu võib liikmeti liita ja tulemuseks saadud rida on koonduv. Olgu U ja V koonduvad read, siis U+V on ka koonduv. U=u1+u2+u3+...+ui+... V=v1+v2+v3+...+vi+... ... 62. Rea absoluutse koonduvuse ja tingimisi koonduvuse mõiste. Rida nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui koondub selle rea liikmete absoluutväärtuste rida Iga absoluutselt koonduv rida on koonduv. Iga koonduv rida ei tarvitse absoluutselt koonduda. Koonduvat rida, mis ei koondu absoluutselt nimetatakse tingimisi koonduvaks. 63
1. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava funktsiooniga [ f ( x) dx ] = f ( x ) 2. Diferentsiaal määramata integraalist võrdub integraalialuse avaldisega: d f ( x ) dx = f ( x ) dx 3. Määramata integraal mingi funktsiooni tuletisest võrdub selle funktsiooniga pluss suvaline integreerimiskonstant: F ( x ) dx = F ( x ) +C 4. Konstantse teguri võib tuua integraalimärgi ette: kf ( x ) dx = k f ( x ) dx , kus k = const 5. Summat ja vahet võib integreerida liikmeti: [ f ( x ) ± g ( x )] dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx TÕESTUSED 1. [ f ( x) dx ] = f ( x ) . Definitsiooni järgi f ( x ) dx = F ( x ) +C , kus F ( x ) = f ( x ) [ f ( x )dx] = [ F ( x ) +C ] = F ( x ) = f ( x ) m.o.t.t. 2. d f ( x ) dx = f ( x ) dx 1 d f ( x ) dx = [ f ( x ) dx] dx =1.om f ( x ) dx m.o.t.t. 3. F ( x ) dx = F ( x ) +C
y = f ( x) ( x - a ) ,0!= 1 n n =0 n! f ( n ) ( 0) n Taylori rida, mille puhul a=0, nim Maclaurini reaks. y = f ( x) x n =0 n! TEOREEM 3:Astmerida võib liikmeti diferentseerida ja integreerida. Saadava rea koonduvusvahemik on sama, mis lähtereal. Uurida tuleb vaid otspunkte. TEOREEM 4: Astmeridu võib liita ja korrutada (nagu hulkliikmetega). Saadava rea koonduvusvahemik on lähterida ridade koonduvusvahemike ühisosa. Rakendusi: piirväärtuste ja integraalide arvutamine, diferentsiaalvõrrandite lahendamine. Tuletada vastavalt def elementaarfun-ide astmeridu ( f(x)=ex, sin x, cos x, (1+x)k) 1) f(x)=ex f(x)= ex f(0)= eo=1 f'(x)= ex f'(0)= eo=1
elektrivõngetele). Sundvõnked tekivad võnkumisvõimelises süsteemis harmooniliselt muutuva välisjõu toimel. Oletame, et süsteem hakkab võnkuma sundiva jõu sagedusega ning selle võnkumise amplituudi ja algfaasi määravad sundiva jõu amplituud ning võnkuva süsteemi parameetrid: omasagedus ja sumbuvustegur Püüame leida konstandid ja . Teeme seda vanaviisi: võtame tuletised saame Grupeerime vasaku poole liikmeti: Joonistame nüüd sellele vastava faasidiagrammi Sundvõngete faasidiagramm: siinusfunktsiooni kordaja on y -teljel, koosinusliikme oma x -teljel. Et lahend vastaks lähtevõrrandile, peab nende summa olema võrdne sundiva jõuga. ning kasutades Pythagorase teoreemi saame millest leiame sundvõngete amplituudi Faasinihke sundiva jõu suhtes leiame tangensist Näeme, et nii faasinihe kui amplituud sõltuvad sundiva jõu sageduse ning süsteemi omasageduse vahest
elektrivõngetele). Sundvõnked tekivad võnkumisvõimelises süsteemis harmooniliselt muutuva välisjõu toimel. Oletame, et süsteem hakkab võnkuma sundiva jõu sagedusega ning selle võnkumise amplituudi ja algfaasi määravad sundiva jõu amplituud ning võnkuva süsteemi parameetrid: omasagedus ja sumbuvustegur Püüame leida konstandid ja . Teeme seda vanaviisi: võtame tuletised saame Grupeerime vasaku poole liikmeti: Joonistame nüüd sellele vastava faasidiagrammi Sundvõngete faasidiagramm: siinusfunktsiooni kordaja on y -teljel, koosinusliikme oma x -teljel. Et lahend vastaks lähtevõrrandile, peab nende summa olema võrdne sundiva jõuga. ning kasutades Pythagorase teoreemi saame millest leiame sundvõngete amplituudi Faasinihke sundiva jõu suhtes leiame tangensist Näeme, et nii faasinihe kui amplituud sõltuvad sundiva jõu sageduse ning süsteemi omasageduse vahest
Valemitest (5.29) ja (5.30) järeldub: Q1 - Q2 T1 - T2 Q2 T , - 2 . Q1 T1 Q1 T1 Võrdusmärk kehtib idealiseeritud, lõpmata aeglaste protsesside korral, võrratusemärk aga 20 reaalsete protsesside korral. Siin oleme jaganud liikmeti läbi ja arvestanud, et Q2 on negatiivne. Korrutanud viimast võrratust suhtega Q1 / T2 ja viinud liikmed samale poole võrratusemärki, saame: Q2 Q1 + 0. (5.31) T2 T1 Viimane valem on tuletatud soojusjõumasina töötava keha korral, kuid sellel on hoopis suurem üldistav tähendus: kui termodünaamiline süsteem teeb läbi lõpmata aeglase
2) on võrdsed nende imaginaarosad. a + ib ja b=d Defineerime tehted arvudega a + ib ja : Definitsioon. Kompleksarvude z1 = a1 + ib1 ja z2 = a2 + ib2 summaks on kompleksarv z1 + z2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2). Seega kompleksarvude liitmisel liidetakse reaal- ja imaginaarosad eraldi. Näide. (2 + 5i) + (3 - 3i) = (2 + 3) + (5 - 3)i = 5 + 2i: Leiame kahe kompleksarvu korrutise. Selleks korrutame liikmeti läbi ja arvestame võrdust 1: Enne kompleksarvude jagatise defineerimist defineerime kaaskompleksarvu mõiste. Definitsioon. Kompleksarvu z = a+ib kaaskompleksarvuks nimetatakse arvu . Kaaskompleksarvude omadused: Kompleksarvude jagatise leidmisel korrutakse ja jagatakse nimetaja kaaskompleksarvuga: Kompleksarve saab kujutada geomeetriliselt komplekstasandil, seejuures x-telg on reaaltelg, y-telg on imaginaartelg.
Hulka nimetatakse astmerea koonduvuspiirkonnaks ja hulka selle astmerea absoluutse koonduvuse piirkonnaks. Tõestada neid hulki kirjeldav Cauchy-Hadamardi teoreem (teoreem 10.4). Tuua näiteid. 42. Astmerea summa diferentseeruvus. Funktsiooni Taylori rida Teada teoreemi astmerea summa diferentseeruvusest (teoreem 10.5). Astmerea summa s: (−r, r) → R on diferentseeruv funktsioon. Astmerida võib igas punktis x ∈ (−r, r) liikmeti diferentseerida, seejuures (10.5) ja astmerea (10.5) koonduvusraadius on r. Defineerida lõpmata palju kordi diferentseeruva funktsiooni f Taylori rida, selgitada, kuidas saadakse seos an = (valem (10.7)) funktsiooni ja astmerea kordajate vahel. Üldiselt, f : (a − d, a + d) → R on lõpmata palju kordi diferentseeruv, suvalise n ∈ N korral avaldub funktsiooni n-ndat järku tuletis kujul
k=0 dub lause 6.37 põhjal lõigus [−η, η] ühtlaselt ning rea liikmed on pidevad funktsioonid (põhjendada!)z, siis s on lõigus [−η, η] pidev funktsioon (vrd. teoreem 6.33). Seega on s punktis x pidev. Teoreem 6.39 (astmerea summa integreerimisest ja diferentseerimisest). (a) Ast- ∞ merida ak xk võib igas lõigus otspunktidega 0 ja x, kus x ∈ (−r, r), liikmeti integreerida, P k=0 seejuures x ∞ ak k+1 Z X s (t) dt = x 0 k=0
sidesse, v~oib punktidega 1.3 ja 1.5 tutvumisel soovitada v~otta neis esitatud v¨aited esialgu t~oestuseta v~oi piirduda m~one lihtsamaga neist t~oestustest. Definitsioon 1. Funktsiooni f (x), mille m¨a¨aramispiirkonnaks on k~oigi naturaalarvude hulk N, nimetatakse jadaks. Suurust xn = f (n) nimetatakse jada u ¨ldliikmeks. 31 Jada t¨ahistamiseks kasutame liikmeti esitust {x1 , x2 , . . . , xn , . . .} v~oi l¨ uhemalt {xn }nN ehk {xn }. N¨aide 1. Vaatleme jada {(n - 1)/n}, st {0; 1/2; 2/3; 3/4; 4/5; . . . ; (n - 1)/n; . . .}. Suuruse n piiramatul kasvamisel t¨ aheldame, et jada liikmed l¨ahenevad arvule 1, st eri- nevad kui tahes v¨ ahe arvust 1.
1 ja 2.4, leiame x3 x2 dx + 2 sin xdx = x2 dx + 2 sin xdx = - 2 cos x + C. 3 N¨ aide 3.5. Leiame (x - 1)2 dx. x(1 + x2 ) Siin avame esmalt lugejas sulud, seej¨arel jagame liikmeti, taandame, kasutame omadusi 3.3 ja 3.2 ning tabeliintegraale 2.2 ja 2.10: (x - 1)2 x2 + 1 - 2x x2 + 1 2x dx = dx = - dx x(1 + x2 ) 2 x(1 + x ) x(1 + x ) x(1 + x2 ) 2 1 2 dx dx
annaabi.ee 
