1. Joonestada ühes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide a)- g) graafikud a) b) c) 2 d) e) f) 3 g) 4 2. Kasutades nuppu jätta nähtavaks ainult vajalikud võrrandite graafikud ja kirjutada välja joonte lõikepunktide koordinaadid. a) 2# - % = 1 #( - % = 1 Lahendid: (2;3) ja (0;-1) b) % = # ( + 3# - 1 3 %= # Lahendid (1;3), (-3;-1) ja (-1;-3) c) 3 %= # ...
® Kodune kontrolltöö_vektor ruumis 12.klass Esitamistähtaeg: 26.nov.2013 Lahendused võib saata ka meili peale. 1. A...H on rööptahukas (vt joonist). Avaldage vektorite , ja kaudu vektorid 2. Kirjeldage vektori asendit koordinaatteljestikus. a) b) c) 3. Vektorid on rakendatud koordinaatide alguspunkti Arvutage nende vektorite lõpp-punktide poolt määratud nelinurga ümbermõõt 4. Leidke parameetri m väärtused, mille korral vektorid ja on risti. 5. Kas vektorid ja asuvad ühel sirgel? 6
Ruutfunktsioon Ruutfunktsiooni üldkuju: Ruutliige on funktsiooni pealiikmeks, kuna ruutliige määrab selle graafiku iseloomu ja kuju. Lineaarliige ja vabaliige mõjuvad vaid graafiku asukohta koordinaatteljestikus. Ruutfunktsiooni graafik on parabool Parabooli kuju sõltub ruutliikme kordaja suurusest ja märgist: Parabooli joonestamine: · Koosta väärtuste tabel. · Joonesta koordinaattasand. · Kanna arvutatud punktid koordinaattasandile. · Ühenda tasandile kantud punktid. Parabooli haripunkti koordinaatide arvutamine Parabooli nullkohtade arvutamine Ülesanded 1
matemaatikavaldkondi, kus tegeletakse pidevate funktsioonidega. u — Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) i t Loogikaalgebra põhiseosed. Loogikaavaldiste teisendamine. t Pidevateks funktsioonideks on sellised funktsioonid, mille graafik on s koordinaatteljestikus esitatav pideva (kõver)joonena. n — Loogikafunktsioonid I Matemaatilises analüüsis, differentsiaal- ja integraalarvutuses tegeletakse Tõeväärtustabelid. Normaalkujulised loogikaavaldised. just pidevate funktsioonidega. Loogikafunktsiooni normaalkujude minimeerimine.
ÜL. 3 Rombi KLMN diagonaal KM on paralleelne y-teljega. Teada on rombi tipp L(-1,6; 0) ja vektor = (3,6; 4,8). 1) Tee joonis. 2) Arvuta rombi diagonaalide pikkused. 3) Arvuta nurk tipu K juures. 4) Koosta tippe L ja M läbiva sirge s võrrand. 5) Arvuta sirge s ja sirge x + y = 10,3 lõikepunkt. ÜL. 4 Antud on parabool y = x2 ja ringjoon, mille keskpunkt asetseb koordinaatide alguspunktis ning mis läbib punkti (2; 2 ). 1) Joonesta antud ringjoon koordinaatteljestikus ja koosta selle ringjoone võrrand. 2) Arvuta ringjoone ja parabooli lõikepunktide koordinaadid. 3) Joonesta ringjoonega samas teljestikus parabool. 4) Arvuta ringjoone ja parabooli lõikepunktide kaugused punktidest, kus ringjoon lõikab y-telge. ÜL.5 Tasandil on antud 4 sirget. Esimene neist on antud võrrandiga y = x + 3. Teine on paralleelne esimesega ja läbib punkti P(2; -1). Kolmas on risti esimesega ja läbib punkti Q(-3; -1). Neljas on paralleelne
telgedele on võrdsed. xy, PrxAB=PryAB, a1b1= a2b2. tõestuseks lõikame neid telgi kahe paralleelse tasapinnaga. Vektori projektsioon teljele on võrdne projekteeritava vektori suuruse ja vektori ning telje vahelise nurga koosinuse korrutisega. PrxAB=Abcos, a1b1= a2b2, PryAB=PrxAB => /AB/cos. Mitme vektori geomeetriline summa projektsioon teljele on võrdne komponent vektorite projektsioonide summaga samal teljel. Vektori komponendid ja vektori projektsioonid koordinaatteljestikus: 1. igat vektorit koordinaatteljestikus kirjeldatakse tema projektsioonide kaudu 2. projektsioonide ruutude summa ristkoordinaadis annab vektori pikkuse ruudu Loeng 2. JÕUD, SIDEMED JA NENDE SÜSTEEMID STAATIKA AKSIOOMID Kehade vahelised mõjutused võivad olla staatilised või dünaamilise. Def: suurust, mis on kehade vastastikuse toime mõõduks nim. jõuks. Selle jõu kohta kehtib Newtoni 1 seadus- iga keha seisab paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt seni kuni talle
Ülesanded logaritm- ja eksponenfunktsioonile ja võrranditele. 1. Arvutage avaldise täpne väärtus ilma taskuarvutita, näidates tehteid: 1 1 -2 - 1 100 4 10 5 + 0,04 2 - - + 16 0, 25 52,3 0 + 2 3 2. Skitseerige samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = 6 x , y = 3 x ja y = 0,3 x graafikud. Missuguste argumendi väärtuste korral kehtib võrratus 6 x > 3 x ? (viiruta). Iseloomusta funktsiooni y = 3 x (vähemalt viis kõige olulisemat omadust). 3. Kui suureks kasvab summa 570 eurot nelja aasta pärast, kui pank maksaks kuus 1% intressi? 4. Lahendage võrratused, põhjenda (miks): a) 0,12 x 0,1 ja b) 8 2 2 x -3 > 43.
2 x + y b 4 b2 - 4 12. - 2 : 2 b + 3 b + 3b b + 8b + 15 x + 6x + 5 2 16 13. + x - 5 x +5 x +3 2 2y + 6 y +1 14. - 2 : 2 y - 4 y - 16 y - 3 y - 4 15. Kolmnurga tippudeks on punktid (-6; 3); (2; -3) ja (4; 6). Joonesta antud kolmnurk koordinaatteljestikus. Joonesta mediaanid ja leia jooniselt mediaanide lõikepunkti koordinaadid. 16. Joonesta funktsioon y = -2x + 4 graafik. Kirjuta välja graafiku ning koordinaattelgede lõikepunktide koordinaadid. Leia punkt, mille ordinaat on 6. 17. Joonesta funktsiooni y = x 2 -1 graafik. Leia lõikepunktid koordinaattelgedega ja punk, mille abstsiss on -2. 18. Joonesta ühes ja samas teljestikus lineaarfunktsiooni y = x + 2 ja ruutfunktsiooni y = -x 2 + 4 graafikud
5 38. (15.05.2009, I, 15 punkti). On antud funktsioonid f x sin x sin x ja g x sin 2 x . 6 6 1) Näidake, et f x cos x . 2) Leidke võrrandi g x cos x lahendid, mis asuvad lõigul 0;2 . 3) Joonestage ühes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y f x ja y g x graafikud ning lahendage joonise põhjal võrratus f x g x lõigul 0;2 . 2 39. (15.05.2009, II, 15 punkti). On antud funktsioonid f x sin 2 x g x cos x cos x ja. 3 3 1) Näidake, et g x cos x .
passiivseteks jõududeks. Aktiivsed jõud on kõik need, mis pole reaktsioonijõud. Staatika üks põhiülesanne ongi sidemete reaktsioonide leidmine tasakaalus oleva keha jaoks, kui talle on rakendatud aktiivsed jõud. Iga mittevaba keha võib vaadelda kui vaba, jättes ära seosed, ning asendades nende mõju reaktsioonijõududega. 3. Jõu lahutamine komponentideks Iga jõud on lahutatav meile sobivas koordinaatteljestikus, selle telgedesuunalisteks komponentideks. Selleks viime teljestiku alguspunkti jõu rakenduspunkti ja leiame jõuvektori projektsioonid selle koordinaadistiku telgedel. Jõu asendamist temaga ekvivalentseks jõusüsteemiks nimetatakse jõu lahutamiseks komponentideks. 4. Koonduvad jõud ja nende tasakaalutingimused Koonduvad jõud on tasakaalus, kui jõuhulknurgas viimase vektori lõpp-punkt langeb kokku esimese vektori alguspunktiga
Arvutused viiakse läbi jäiga keha staatika võrrandite kohaselt. Saadud tulemused on kehtivad ka esialgse süsteemi korral. NB: tingimused, mis jäiga keha tasakaaluks on tarvilikud ja piisavad osutuvad deformeeritava keha puhul tarvilikeks kuid mittepiisavateks, sest deformeeruva keha puhul toimub liikumine ja jäiga keha puhul on tasakaal. 2. Jõudude liitmise ja komponentideks lahutamise aksioom: Iga jõud on lahutatav meile sobivas koordinaatteljestikus selle koordinaatteljestiku telgedesuunalisteks komponentideks. Selleks viime koordinaatteljestiku alguspunkti jõu rakenduspunkti ja leiame jõu vektori projektsioonid selle koordinaadistiku telgedele. 3. Jõusidemete ja nende süsteemide aksioom: jäika keha nimetatakse vabaks, kui seda saab antud asendist üle viia mistahes uude asendisse. Tingimusi, mis kitsendavad keha liikumist, nimetatakse sidemeteks. Kehadele mõjuvad sidemed kitsendavad nende
Kuna mittelineaarelemendi takistus pole konstantne, siis ei saa niisugust elementi sisaldavat ahelat arvutada Ohmi seaduse järgi. Kui elemendi (või elementide) pinge-voolu tunnusjoon(ed) on teada, võib kasutada näiteks graafilist meetodit. 2.2.1 Mittelineaarelementide jadaühendus Vaatleme kahe jadamisi ühendatud mittelineaarse elemendiga elektriahelat, mille pinge-voolu tunnus- jooned on teada. Ahela arvutamiseks vaadeldakse nende tunnusjooni ühises koordinaatteljestikus. Jadaühenduses läbib mõlemat elementi sama vool I , pinge moodustub aga osapingete summast U = U 1 + U 2 , siis on vaja liita pinged, mis vastavad samale voolule. 37 Valime voolu I 1 ja tõmbame rõhtteljega paralleelse sirge, mis joonise mõõtkavas vastab sellele voolule. Lõigud 1-2 ja 1-3 väljendavad nüüd osapingeid U 1 ja U 2 . Nende liitmisel saabki punkti 4, mis on ühise pinge-voolu tunnusjoone punkt
Leidke selle funktsiooni 1) nullkohad; 2) negatiivsuspiirkond; 3) tuletis; 4) maksimumpunkti koordinaadid. 5 40. (2009) On antud funktsioonid f x sin x sin x ja g(x) = sin 2x . 6 6 1) Näidake, et f (x) = -cos x . 2) Leidke võrrandi g(x) = -cos x lahendid, mis asuvad lõigul [0;2 ]. 3) Joonestage ühes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud ning lahendage joonise põhjal võrratus f (x) > g(x) lõigul [0;2 ]. 41.(2010) On antud funktsioon f x x 3 3x 2 7 . 1. Näidake, et f (-2) > f (3) . 2. Leidke funktsiooni f (x) tuletis. 3. Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid. 4. Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lõigul [- 2; 3]. 42. (2010) 1
Esimeses tabelis vastab igale x väärtusele ainult üks y väärtus, seega on tegemist funktsiooniga. Teises tabelis vastab väärtusele x = 3 kaks erinevat y väärtust (7 ja 8), tabel ei esita funktsiooni. Kolmandas tabelis vastab igale x väärtusele ainult üks y väärtus (see, et need väärtused on võrdsed, ei ole üldse oluline), järelikult on tegemist funktsiooniga. Näide 2. Selgitame, kas koordinaatteljestikus on funktsiooni graafik. 4 Joonis 2 Joonis 3 Joonis 4 Joonis 5 Jooniselt 2 on näha, et igale x väärtusele vastab täpselt üks y väärtus tegemist on funktsiooniga. Joonisel 3 vastab vahemikus 2 < x < 2 ühele x väärtusele mitu erinevat y väärtust, seega see graafik funktsiooni ei esita
Kunagi ammu õpetati vektorit põhikooli viimases klassis ja tolleaegses töövihikus olid väga head ülesanded. Enne vektori koordinaatide leidmist on aeg sisse tuua ühikvektorid ning näidata vektori avaldamist nende kaudu. Vektori koordinaatide leidmise reeglit on vaja osata selgitada (lugeda). Vektori pikkuse leidmine on ju Pythagorase teoreemi rakendamine. Analüütilises geomeetrias on tal väga oluline koht. Tehteid vektoritega koordinaatides on võimalik koordinaatteljestikus joonistega kinnitada. Oluline mõiste on ,,punkti kohavektor". Liiga lihtne mõiste kipub meelest ära minema. Soovitan õpetajal teha õpilastele nende teemade käsitlemisel väiksemaid töid ja hoolikalt kontrollida tähistusi. Õpilaste tähelepanu tuleb ka vigadele juhtida. Näiteks pakun etteütlust. Kirjuta sümbolites: a) punkti A x-koordinaat on -2 ja y-koordinaat on 1; b) vektori AB koordinaadid on 2 ja -6;
Konkreetse meelelaadi muutus on meeleolu muutusega võrreldes aeganõudvam ja vaevalisem, tuginedes sugestioonile ning autosugestioonile. (sugestioon- publiku meelelaadi muutust taotlev fastsinatsioon ; autosugestioon on iseenese meelelaadi mõjutus sugestiooni teel) 3.5 MEELEOLU TELJESTIK MEELEOLU - on seadumuse näitaja, mis iseloomustab emotsionaalse seisundi ja ratsionaalse aktiivsuse muutlikku vahekorda. Meeleolu on mudeldatav koordinaatteljestikus, mille abstsisstelg mõõdab emotsionaalset toonust suurimast kurbusest suurima rõõmuni ja ordinaattelg mõõdab ratsionaalse aktiivsuse määra. Ordinaatmõõtme (ratsionaalsest informatiivsusest sõltuva psüühilise aktiivsuse telje) võib liigendada terve mõistuse kvaliteedi järgi. Telje positiivses osas jaguneb see nullist alates kolmeks järjestikuseks vahemikuks: 1.ilu 2.headus (kasu) 3."tõde", s.t õigsus (usutavus) Igaühes neist vahemikest saab eristada kaht astet: 1a. Imetlus
Tähis g. 11. Vaba langemise võrrandid. 2 = 0 + - 2 = 0 + 12. Vektori projektsioonide arvutamine etteantud sihis (joonis, valem). = | | = | | 13. Vektori mooduli arvutamine. Vektori moodul võrdub ruutjuurega tema projektsioonide ruutude summast: | | = 2 + 2 + 2 14. Vektorite liitmise kolmnurga reegel (joonis). 15. Vektorite liitmise rööpküliku reegel (joonis). 16. Vektorite liitmine koordinaatteljestikus (valem). + = ( + ) + ( + ) + ( + ) 17. Vektorite skalaarkorrutise definitsioonvalem ja joonis. Kahe vektori skalaarkorrutis - nende vektorite moodulite ja vektorite vahelise nurga koosiinuse korrutis: = | || | 18. Vektorite skalaarkorrutis projektsioonides. = + + 19. Vektorite vektorkorrutise definitsioon, valem ja joonis. Kruvi reegel. Kahe vektori ja vektorkorrutis ×
t vahemaad olid mitme tuhande kilomeetri pikkused)! 2 6. (15 punkti) On antud funktsioonid f ( x) = sin 2 x ja g ( x) = cos - x - cos x - . 3 3 1) Näidake, et g ( x ) = - cos x . 2) Leidke võrrandi f ( x) = - cos x lahendid, mis asuvad lõigul [0;2 ] . 3) Joonestage ühes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f ( x) ja y = g ( x) graafikud ning lahendage joonise põhjal võrratus f ( x) < g ( x) lõigul [0;2 ] . ___________________________________________________________________________ Lahendus. 1) 2 2 2 g ( x) = cos - x - cos x - = cos cos x + sin sin x - cos x cos - 3 3 3 3 3
on null, st · Vektori skalaarruut võrdub vektori pikkuse ruuduga, so 6.12 Vektorite skalaarkorrutiste omadusi · Skalaarkorrutis on kommutatiivne, st · Skalaarkorrutis on assotsiatiivne skalaariga (arvuga) korrutamise suhtes · Skalaarkorrutis on distributiivne vektorite liitmise suhtes, st 6.13 Skalaarkorrutiste avaldamine vektorite koordinaatide kaudu Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne nende vektorite samanimeliste koordinaatide korrutiste summaga. Koordinaatteljestikus oleva ühikvektori koordinaatideks on vektori ja x-telje positiivse suuna vahelise nurga cos ja sin 6.14 Kahe vektori skalaarkorrutiste rakendusi Koosinusteoreemi saab tõestada vektorite skalaarkorrutist kasutades Joone võrrand 7.1 Sirge võrrand Sirge võrrand peaks arvatavasti olema võrrand, mis sisaldab sirge mis tahes punkti koordinaate x ja y kui muutujaid. · Läbi kahe punkti saab joonestada vaid ühe sirge. Tähendab, kui on antud kaks punkti oma koordinaatidega,
Kaks võistlejat asuvad kohe mõõtma, kolmas aga arvutama. Mida ta arvutab ja mis tulemuse ta saab? Lahendus: Meil on vaja leida nende kolme vektori summa ⃗ Selleks leiame nende vektorite x- ja y- Skeem: komponenedid, mis aga on võimalik kui me teame nende vektorite nurka x- ja y- koordinaatteljestikus . Esimese vektori ⃗⃗⃗ nurk on 90: - 32: = 58⁰ Teise vektori ⃗ urk on 180: + 36: = 216⁰ ja Kolmanda vektori ⃗⃗⃗ nurk on 270⁰. X-ja Y komponendid saame kasutades valemeid ja , seega
15.- 40 100 -60 14.- 30 120 -90 13.- 20 140 -120 12.- 10 400 -380 11.- 0 500 -500 10.- 0 600 -600 Kasutades näites 6 toodud andmeid koordinaatteljestikus, saame nõudluse ja pakkumise struktuuri esitada graafiliselt (joonis 5). Nagu näeme, graafikus nõudluse ja pakkumise kõverad lõikuvad (punktis T). Nõudlus- ja pakkumiskõverate lõikepunkti nimetatakse turu tasakaalupunktiks, sellele vastavat hinnataset tasakaaluhinnaks ning kaubakogust tasakaalukoguseks. Tasakaalukoguse korral on nõutavad ja pakutavad kogused turul võrdsed. Joonis 5. Nõudlus- ja pakkumiskõverad. Nõudluse-pakkumise mudel. See joonis vajab
y sin x 0 1 0 -1 0 2 2 2 2 y 2 sin x 0 1 2 1 0 -1 -2 -1 0 Joonestame koordinaatteljestikus funktsiooni y 2 sin x graafiku lõigul 0; 2 . 13 14 y y = 2sin x - // . . x
mittelineaarseks. Kuna mittelineaarelemendi takistus pole konstantne, siis ei saa niisugust elementi sisaldavat ahelat arvutada Ohmi seaduse järgi. Kui elemendi (või elementide) pinge voolu tunnusjoon(ed) on teada, võib kasutada näiteks graafilist meetodit. Vaatleme kahe jadamisi ühendatud mittelineaarse elemendiga elektriahelat, mille pingevoolu tunnusjooned on teada. Ahela arvutamiseks vaadeldakse nende tunnusjooni ühises koordinaatteljestikus. Jadaühenduses läbib mõlemat elementi sama vool I , pinge moodustub aga osapingete summast 1 2 U =U U , Kahe mittelineaarse elemendi rööpühenduse korral on elementide pinged võrdsed ja üldvool võrdub haruvoolude summaga 1 2 I I . I 7. Magnetvoog. Magnetväli. Magnetiline induktsioon Magnetvoog on füüsikaline suurus, mis näitab magnetvälja suutlikkust läbida vaadeldavat pinda. kus on magnetvoog;
20.- 200 0 19.- 100 0 18.- 80 20 17.- 60 60 16.- 50 80 15.- 40 100 14.- 30 120 13.- 20 140 12.- 10 400 11.- 0 500 10.- 0 600 Kasutades näites 6 toodud andmeid koordinaatteljestikus, saame nõudluse ja pakkumise struktuuri esitada graafiliselt (joonis 5). Nagu näeme, graafikus nõudluse ja pakkumise kõverad lõikuvad (punktis T). Nõudlus- ja pakkumiskõverate lõikepunkti nimetatakse turu tasakaalupunktiks, sellele vastavat hinnataset tasakaaluhinnaks ning kaubakogust tasakaalukoguseks. Tasakaalukoguse korral on nõutavad ja pakutavad kogused turul võrdsed. 9
Kuna mittelineaarelemendi takistus pole konstantne, siis ei saa niisugust elementi sisaldavat ahelat arvutada Ohmi seaduse järgi. Kui elemendi (või elementide) pinge-voolu tunnusjoon(ed) on teada, võib kasutada näiteks graafilist meetodit. 2.2.1 Mittelineaarelementide jadaühendus Vaatleme kahe jadamisi ühendatud mittelineaarse elemendiga elektriahelat, mille pinge-voolu tunnus- jooned on teada. Ahela arvutamiseks vaadeldakse nende tunnusjooni ühises koordinaatteljestikus. Jadaühenduses läbib mõlemat elementi sama vool I , pinge moodustub aga osapingete summast U = U 1 + U 2 , siis on vaja liita pinged, mis vastavad samale voolule. 37 Valime voolu I 1 ja tõmbame rõhtteljega paralleelse sirge, mis joonise mõõtkavas vastab sellele voolule. Lõigud 1-2 ja 1-3 väljendavad nüüd osapingeid U 1 ja U 2 . Nende liitmisel saabki punkti 4, mis on ühise pinge-voolu tunnusjoone punkt
dokumentides antud täiskäigu erinevate reziimide valimiseks ühtne Väntvõlli pööramine soodustab õli sattumist kõigisse õlitamist torustikus . Peaklapi avamise ajal peavad mootori indikaatorkraanid peamasina võimsuse ja pöörete arvu diagramm. vajatavatesse punktidesse enne mootori käivitamist. Väntvõlli olema avatud. Kontrollitakse , et ei oleks süsteemi ja klappide Diagrammi koordinaatteljestikus efektiivrõhu ja pöörete (pe ja n) pööramise ajal enne käivitamist tuleb aeg-ajalt pöörata silindrite lekkeid. absoluutväärtuste asemel on antud nende logaritmfunktsioonid. õlituslubrikaatoreid. Diiselmootori käivitamist mõjutavad tegurid: Tulemusena on vastavate karakteristikute parapoolsed kõverad Autonoomne ringlusõlipump peab töötama kogu mootori tööks
5: funktsioonid y = x2 ja y = |x| y 1 -2 - 2 x -1 Joonis 1.6: funktsioon y = cos x paarisfunktsiooni graafikule kuulub punkt x; f (x), siis definitsioonis esitatud tingimuse kohaselt kuulub graafikule ka punkt -x; f (x). Need kaks punkti paiknevad koordinaatteljestikus s¨ ummeetriliselt y-telje suhtes. J¨arelikult on iga paarisfunktsiooni graafik s¨ ummeetriline y-telje suhtes. Definitsioon 1.5. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarituks, kui x X korral f (-x) = -f (x). 6 y y = x3 2
annaabi.ee 
