YMX0221 kõrgem-matemaatika-1-eksam teooria (0)

Kõrgem matemaatika I kordamisküsimused eksamiks  
1. Kompleksarvu definitsioon.    Kompleksarvuks (algebralisel kujul) nimetatakse arvu z = a + ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on 
imaginaarühik.  Imaginaarühik, defineeritakse võrdusega i2 = −1.  Kõigi kompleksarvude hulka tähistatakse C. 
 
2. Kompleksarvu kujutamine tasandil.    kompleksarvu  z  =  a  +ib  saab  esitada  punktina  (a;  b)  tasandil  ja  selle  punkti  kohavektorina.    Selles kontekstis nimetatakse  xy-tasandit komplekstasandiks,   abstsisstelge nimetatakse reaalteljeks (x)    ja ordinaattelge imaginaarteljeks (y)     3. Kompleksarvu algebraline kuju.     Kaks kompleksarvu algebralisel kujul  z 1  = a 1  + ib 1  ja z 2  = a 2  + ib 2  on võrdsed parajasti siis,  kui   1)   on võrdsed nende reaalosad, st a 1  = a 2  ja   2)  on  võrdsed nende imaginaarosad, st b 1  = b 2     4. Kompleksarvu kaaskompleksarv. Kaaskompleksarvu omadused koos tõestusega. 
Geomeetriliselt esitatud kompleksarvud on võrdsed siis, kui nende kohavektorid on 
võrdsed ja kaks vektorit on võrdsed parajasti siis, kui on võrdsed nende vastavad 
koordinaadid. Kompleksarvu z = a + ib kaaskompleksarvuks nimetatakse kompleksarvu         so kompleksarvu, mille reaalosa on a ja imaginaarosa  −b. Geomeetriliselt vastab sellele  vektor  (a; −b), so vektor, mis on vektori (a; b) peegeldus reaaltelje (x-telje) suhtes.  Kaaskompleksarvu kaaskompleksarv on kompleksarv ise, st z = z,sest             


 
6. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju. Moodul ja argument 
Definitsioon . Kui kompleksarvu  z = a + ib esitada vektorina (a; b), siis selle vektori pikkust  nimetatakse kompleksarvu mooduliks, mida tähistatakse |z|-ga, st    seega reaalarvu moodul on võrdne tema absoluutväärtusega.  Nurka kompleksarvu esitava vektori ja reaaltelje positiivse suuna vahel tähistame ϕ =Argz 
ja nimetame kompleksarvu argumendiks.    
 
 


5. Tehted kompleksarvudega. Põhjendada kompleksarvude korrutamise ja jagamise 
omadus.    Kompleksarvudega saab sooritada kõiki reaalarvude puhul tuntud aritmeetilisi 
operatsioone. Neid saab liita, lahutada, korrutada, jagada, astendada ja juurida.   Definitsioon.  Kompleksarvude  z 1  = a 1  + ib 1  ja z 2  = a 2  + ib 2  summaks on kompleksarv       z 1  + z 2  = (a 1  + a 2 ) + i(b 1  + b 2 )       Näide.  (2 + 5i) + (3 − 3i) = (2 + 3) + (5 − 3)i = 5 + 2i.  Definitsioon .    Kompleksarvude  z 1   ∈ C ja z 2   ∈ C vaheks z 1   − z 2  on summa z 1   + (−z 2 ). Kompleksarvude lahutamisel  lahutatakse reaal- ja imaginaarosad eraldi.   Näide.  (2 + 3i) − (3 + 2i) = (2 − 3) + (3 − 2)i = −1 + i.  Algebralisel kujul esitatud kompleksarve korrutatakse nagu tavalisi kaksliikmeid. Kui   z 1  = a 1  + ib 1  ja z 2  = a 2  + ib 2  siis     jagamine       Astendamine     
 
 
 


8. Maatriksi mõiste.    9. Maatriksite liitmine. Maatriksite liitmise omadused.       
 


10. Maatriksite korrutamine. Maatriksite korrutamise omadused.     


11. Maatriksite transponeerimine. Transponeerimise omadused.      Null maatriks      Ühik maatriks     
 
 
 
 
 
 
 


 
 
  13. Lineaarne võrrandisüsteem.    


14. Lineaar võrrandisüsteemi lahendamine.     
 
  15. Gauss’i ellimineerimise meetod.  
    Gaussi meetod on  järgmine:                         


16. Lineaarvõrrandisüsteemi üldlahend ja erilahend.       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18.  oma väärtus ja omavektorite leidminekui aega jääb üle     


  19. Pöördmaatriks. Pöördmaatriksi leidmine.  
     
Pöördmaatriksi leidmine     
 
  21. Determinandi mõiste. Determinandi leidmine  
 


   
25Funktsioon ja selle erinevad esitusviisid. Elemntaarfunktsioonid. Funktsioonide omadused.       27. Paaris-  ja paaritu funktsioon. (mille osas sümmetrilise ja omadused, 2 näidet) 


  Iga paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes 
    Kõik paaritud funktsiooni graafikud on sümmeetrilised koordinaatide alguspunkti suhtes.  
 
28. Perioodiline funktsioon.      30. Pöördfunktsioon. Pöördfunktsiooni leidmine. 
       
 


   
  32. Liitfunktsioon. Liitfunktsiooni moodustamine.         
 
 
 
 
 
 


35. Jada piirväärtus.      33. Funktsiooni piirväärtuse definitsioonid piirprotsessis x → a, x → a+, x → a−, x → ∞, x 
→ −∞. Definitsioone osata selgitada graafiliselt.     
 
 
 
 
 
 
 
 
 


34. Funktsiooni piirväärtuse omadused.     36. Funktsiooni pidevus ja katkevus          37. Funktsiooni tuletise mõiste. Ja selle geomeetriline tähendus 
     
Geomeetriline tähendus   


   
 
!38. Funktsiooni tuletise leidmine definitsiooni abil.       
.     


43. Funktsiooni diferentsiaal. Diferentsiaali omadused.   44. Funktsiooni f(x) algfunktsioon.       45.  Määramata integraali definitsioon.      46. Määramata integraali omadused.  


   
    48. Muutujate vahetus määramata integraalis.   


49. Ositi integreeerimine  määramata integraalis.     51. Funktsiooni f(x) määratud integraal lõigul [a;b].    52. Määratud integraali olemasolu.     53. Määratud integraali omadused.    


                  54. Newton-Leibnizi valem.  


55. Muutujate vahetus määratud integraalis.     56. Ositi  integreerimine määratud integraalis.     57. Defineerida harilik diferentsiaalvõrrand. selle järk ja lahend  


      59. Cauchy ülesanne.     60. Diferentsiaaalvõrrandi üldlahend ja erilahend.    


61 Homogeene diferentsiaalvõrrand.