2a- reaaltelg (a-reaalpooltelg) 2b- imaginaartelg (b-imaginaarne pooltelg) Parabool Parabooliks nim tasandi nende punktide hulka, mille kaugus antud punktist ja antud sirgest on võrdne. Mainitud punkti nim parabooli fookuseks ja sirget parabooli juhtsirgeks. Fookuste kaugus juhtsirgest tähistatakse p ja nim parabooli parameetriks. F(0; p/2) fookuse koordinaadid y= -p/2 juhtsirge võrrand 2p- fokaallaius Paraboolil, mille sümmetriatelg on x-telg, mille haripunkt on punktis (0,0), mille juhtjooneks on x=-p/2 ja fookus punktis (p/2;0) on võrrandiks y2=2px. 2p>0 parabool on sümmeetriline y-telje suhtes ja avaneb y-telje positiivses suunas. 2p<0 parabool on sümmeetriline y-telje suhtes ja avaneb y-telje negatiivses suunas. Paraboolil, mille sümmetriatelg on y-telg, mille haripunkt on punktis (0,0), mille juhtjooneks on x=-p/2 ja fookus punktis (0;p/2) on võrrandiks x2=2py. 2p>0 parabool on sümmeetriline x-telje suhtes ja avaneb x-telje postiivses suunas.
Veergusid niisuguste punktide hulka. mis ja samas veerus, saame tabeli, on vaid lubatud vahetada, mis asuvad võrdsel kaugsel antud mida nimetatakse maatriksiks. vastab ju tundmatute punktist mida nimetatakse Maatriksitele saab määrata nende ümbernummerdamisele. Siis tuleb fookuseks ja antud sirgest mida summa, vahe, korrutise ja seda vastuses arvestada. nimetatakse juhtjooneks. maatriksi arvuga korrutamise. Vektorid, tehted vektoritega Vektor
Ühekatteline pöördhüperboloid tekib hüperbooli pöörlemisel ümber kaastelje. 56. Kuidas tekib üldkujuline silindriline (kooniline) pind? Silindriline pind tekib sirgjoone liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab antud juhtjoont ja jääb paralleelseks antud sihisirgega. Kui juhtjoon on teist järku joon, siis tekib teist järku silinder. Kooniline pind tekib sirgjoone liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab juhtjoont . kui juhtjooneks on ellips, saadakse elliptiline koonus. 57. Kuidas tekib silndroid (konoid)? Silndroid tekib sirgjoone liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab kahte antud juhtjoont ja jääb paralleelseks antud juhtpinnaga. Konoid on silindroid, mille üheks juhtjooneks on sirge. 58. Kuidas tekib normaal- ja kaldkruvipind? Normaalkruvipind- tekib sirgjoone kruvijoonelisel liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab
Hüperbool Tasandi nende punktide hulka, mille kauguste vahe tasandi kahest antud punktist on absoluutväärtuselt konstantne. x2/a2 + y2/b2 = 1 e = c/a a reaalne pooltelg b imaginaarne pooltelg c fookuse kaugus sümeetria keskpunktist Asümptoot sirge, millele hüperbool kulgemisel lõpmatusse piiramatult läheneb Parabool Tasandi niisuguste punktide hulk, mis asuvad värdsel kaugusel antud punktist, mida nimetatakse fookuseks ja antud sirgest, mida nimetatakse juhtjooneks. (y-b)2 = 2p (x-a) H (a;b) 7. Funktsiooni mõiste. Määramispiirkond Elementaar funktsioon funktsioon, mis on saadud elementaar põhifunktsioonist ja const lõpliku arvu aritmeetriliste tehete ning liitfunktsioonide ja pöördfunktsioonide moodustamise reegli abil. Hulka X nimetatakse funktsiooni y= f'(x) määramis piirkonnaks y = {y (y = f(x)) x X} Muutuja x väärtuste hulka X, mille puhul funktsioon f(x) väärtus on lõplik (reaalarvulina väärtus)
Abi selleks leiab eelmisest punktist Parabooli skitseerimine. Parabooli kanoonilise võrrandi koostamiseks on vaja teada parabooli haripunkti ning fookuse ja juhtjoone vahelist kaugust p. Seejärel valime juba sobiva võrrandi kuju: (1) y2 = 2px (parabool avaneb paremale) (2) y2 = -2px (parabool avaneb vasakule) (3) x2 = 2py (parabool avaneb üles) (4) x2 = -2py (parabool avaneb alla) Näide 4 Koostame parabooli kanoonilise võrrandi, kui parabooli haripunkt on (0; 0) ja juhtjooneks on sirge y = -2. Lähteandmete põhjal võime öelda, et parabool avaneb ülespoole (tee joonis! parabool avaneb alati juhtoonest nö eemale). Seega võime valida juba sobiva võrrandi kuju, milleks antud juhul on võrrand (3). Leiame nüüd fookuse ja juhtjoone vahelise kauguse p. Fookus ja juhtjoon asuvad haripunktist võrdsel kaugusel, seega antud juhul on p = 4, sest haripunkti ja juhtjoone vaheline kaugus on kaks ühikut
Kuidas tekib üldkujuline silindriline (kooniline) pind? Kuidas tekib silindroid (konoid)? nimetatakse pinda, mille tekitab kindlate tingimuste kohaselt liikuv sirgjoon (moodustaja). Neist tähtsamad on loetletud allpool. Silindriline pind tekib sirgjoone liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab antud juhtjoont p ja jääb paralleelseks antud sihisirgega s (joon. 5.8, a). Kui juhtjooneks on teist järku joon, siis on tegemist teist järku silindriga (elliptiline, hüperboolne või paraboolne). Kooniline pind tekib sirgjoone liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab antud juhtjoont p ja läbib antud punkti T (joon. 5.8, b). Kui juhtjooneks on ellips, saadakse elliptiline koonus. Puutujatepind moodustub sirgjoone liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis jääb etteantud ruumikõvera puutujaks
51. Skitseerige rõngaspind kaksvaates.? 52. Kuidas tekib üldkujuline silindriline (kooniline) pind? Silindriline pind tekib sirgjoone liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab antud juhtjoont ja jääb paralleelseks antud sihisirgega. Kui juhtjoon on teist järku joon, siis tekib teist järku silinder. Kooniline pind tekib sirgjoone liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab juhtjoont . kui juhtjooneks on ellips, saadakse elliptiline koonus. 53. Mis juhtumil sfäär lõikab pöördpinda mööda ringjooni? Kui sfääri keskpunkt asetseb pöördpinna teljel. 54. Mis tingimustel saab pindade lõikejoone tuletamisel kasutada abisfääride võtet? Abisfääride võtet saab kasutada mõlemad pinnad on pöördpinnad nende pöördpindade teljed lõikuvad telgede tasand on ekraaniga paralleelne. 55. Milline on abisfääride võtte kasutamisel väikseim abisfäär?
ndat tükki kui ka i-nda tüki pindala.Valime igalt tükilt ühe punkti P ja moodustame järgmise summa: Vn= ƒ (P1) ∆S1 + ƒ (P2) ∆S2+…+ ƒ (Pn) ∆Sn Seda summat Vn nim funktsiooni ƒ integraalsummaks piirkonnas D Kahekordse integraali geomeetriline sisu : Olgu ƒ(x,y)≥0. Vaatleme keha Q, mis on ülalt piiratud pinnaga z = (x,y) alt tasandiga z = 0 ja küljelt silindriga, mille moodustajad on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon. Saadud treppkeha Z ruumala läheneb keha Q ruumalale, kui piirkonna D tükeldus muutub järjest peenemaks, st єn →0. Eelnevalt nägime, et treppkeha Z ruumala on võrdne ƒ integraalsummaga Vn. Järelikult kahekordse integraali defnitsiooni põhja Q ruumala= Lim Vn = ∫∫ ƒ(x,y)dxdy єn →0 D Kahekordse integraali omadusi 1
ja A2(a;0) y-telge hüperbool ei lõika. Hüperbooli asümptoodiks nim sirget millele hüperbool kulgemisel lõpmatusse piiramatult läheneb. Risthüperbooliks ehk võrdhaarseks hüperbooliks nim hüperbooli mille reaal- ja imaginaartelg on võrdsed, (a=b). Siit järeldub, et risthüperbooli asümptoodid ristuvad. Parabool Parabooliks nim tasandi niisuguste punktide hulka mis asuvad võrdsel kaugusel antud punktist, mida nim fookuseks ja antud sirgest mida nim juhtjooneks. Fookuse kaugust juhtjoonest tähistatakse tähega p, mida nim parabooli parameetriks. x²=2py so parabooli kanooniline võrrand. Selle võrrandiga antud parabool on sümmeetriline y-telje suhtes ja tema tipp ehk haripunkt asetseb koordinaatide alguspunktis. Parabool võib olla sümmeetriline ka x-telje suhtes. Sel juhul asetseb parabooli fookus x-teljel ja juhtjoon on paralleelne y-teljega. y²=2px Maatriksid Ruutmaatriks ja ristkülikmaatriks
Kahekordne int. arv kaksikint järgi. 5. Kahekordse integraali geomeetrilised rakendused: ruumala, tasapinnalise ja ruumilise kujundi pindala, näiteid 1) Ruumala Kui Kahekordse integraali definitsioonist nägime, et kui integreeruvuspiirkonnas D unktsioon f suuremvõrdne 0, siis kahekordne integraal üle piirkonna D võrdub keha ruumalaga, mis on piiratud pinnaga z=f(x,y), xy-tasandiga(z=0) ja silindrilise pinnaga, mille moodustajad on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon: V=ʃʃDf(x,y)dxdy 2)Tasandilise kujundi pindala: S=ʃʃDdxdy 3)Ruumilise kujundi pindala: Kui pinna z=f(x,y) proj. xy-tasandil on D, kusjuures fn koos oma osatul. on pidev selles piirkonnas D, on selle pinnatüki pindala: S=ʃʃDsqrt(1+z’x2+z’y2) 6. Kahekordse integraali füüsikalised rakendused: aine mass, tasandilise kujundi masskese, tasandilise kujundi inertsmoment, näide 1)Aine mass: Olgu piirkonnas D antud mingi aine pindtihedus γ= γ(x,y),
7. Kui hüperbooli sümmeetriakeskpunkt on punktis P0(x0,y0) on hüperbooli võrrandiks (x-x0) 2/a2 (y-y0) 2/b2=1, üldvõrrandiks Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0, kus A ja C on eri märgiga ja parameetrilisteks võrranditeks x=x0+- acosht ja y=y0+-bsinht, t[0,2 ]. II järku jooned. Parabool Def. Parabooliks nimetatakse tasapinna R2 niisuguste punktide geomeetrilist kohta, mis asuvad võrdsel kaugusel antud punktist F, mida nimetatakse fookuseks ja antud sirgest L, mida nimetatakse juhtjooneks. Parabooli fookuse F kaugust juhtjoonest L tähistatakse 2r. Kanooniline võrrand y=ax2.Parabooli omadused: 1. Parabool on sümmeetriline y-telje suhtes, s.t. kui f(x) =ax2, siis f(-x) = f(x). 2. Parabooli tipp ehk haripunkt asub koordinaatide alguses. 3. Kui a>0, siis parabool avaneb üles (nagu ülaloleval joonisel), a<0 korral avaneb parabool alla. 4. Parabool võib olla sümmeetriline ka x-telje suhtes. Siis asub parabooli fookus x-teljel ja juhtjoon on paralleelne y-teljega
2. Kahekordse integraali mõiste ja geomeetriline sisu. · Kui on pidev piirkonnas D, siiis on integraalsummal V n taolises piirprotsessis lõplik väärtus. Seda piirväärtust nim funktsiooni kahekordseks integraaliks piirkonnas D ja tähistatakse (x,y)dxdy · Olgu (x,y)0. Vaatleme keha Q, mis on ülalt piiratud pinnaga z = (x,y) alt tasandiga z = 0 ja küljelt silindriga, mille moodustajad on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon. Saadud treppkeha Z ruumala läheneb keha Q ruumalale, kui piirkonna D tükeldus muutub järjest peenemaks, st n 0. Eelnevalt nägime, et treppkeha Z ruumala on võrdne integraalsummaga Vn. Järelikult kahekordse integraali defnitsiooni põhja Q ruumala= Lim Vn = (x,y)dxdy n 0 D 3. Kahekordse integraali omadusi. 1) [ (P) + g(P)] dS = (P)dS + g(P)dS
Punkte F1 ja F2 nim hüperbooli fookusteks. Hüperbool on teist järku joon, mille iga punkti kauguste vahe fookustest on absoluutväärtuselt konstantne. Koordinaatkuju: Kanooniline võrrand: 27. Parabool (mõiste, kanooniline võrrand, tähiste selgitused) Parabooliks nim kõigi selliste punktide P hulka tasandil, millest iga punkti kaugused etteantud sirgest s ja sellel mittekuuluvast punktist F on võrdsed. Sirget s nim selle parabooli juhtjooneks, punkti F aga fookuseks. Teist järku joon, mille iga punkt paikneb fikseeritud punktist (fookusest) ja etteantud juhtjoonest võrdsel kaugusel. Kanooniline võrrand: 28. Ühe ja mitme muutuja funktsiooni mõisted. Elementaarfunktsioonid. Ühe muutuja funktsioon kui igale muutuja x väärtusele piirkonnas X vastab üks kindel muutuja y väärtus piirkonnas Y, siis öeldakse, et on antud funktsioon x-st ehk y=f(x). X sõltumatu muutuja, y sõltuv muutuja.
Piirväärtust nim. funktsiooni z=f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse sümboliga Piirkonda D nim. integreerimispiirkonnaks. Kui f(x,y)0 piirkonnas D, siis kahekordne integraal tähendab geomeetriliselt niisugust kõversilindri ruumala, mis alt on piiratud xy- tasandi piirkonnaga D, ülalt funktsiooni z=f(x,y) graafikuks oleva pinnaga ja küljelt silinderpinnaga, mille moodustaja on paralleelne z-teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon. Kahekordse integraali omadusi: 1. Kahe funktsiooni summa kahekordne integraal on võrdse nende funktsioonide kahekordsete integraalide summaga: 2. Kui c on konstant, siis: 3. Kahe funktsiooni vahe kahekordne integraal on võrdne nende funktsioonide kahekordse integraalide vahega: 4. Kui piirkond D on jaotatud kaheks piirkonnaks D1 ja D2, millel pole ühiseid seesmisi punkte, ja funktsioon z=f(x,y) on
Seega mõlema hüperbooli fookused asuvad ringjoonel . 33. Parabool Definitsioon. Olgu tasandil fikseeritud sirge u ja väljaspool seda sirget punkt F. Parabooliks nimetatakse kõigi selliste punktide P hulka tasandil, mille kaugus sirgest u võrdub tema kaugusega punktist F: (1) Punkti F nimetatakse vaadeldava parabooli fookuseks, sirget u aga tema juhtjooneks. Seega parabooli korral Olgu p juhtjoone ja fookuse vaheline kaugus. Valime juhtjooneks u sirge võrrandiga x = -p/2 2 ja fookuseks punkti F(p/2; 0). Kirjutame ümber juhtjoone võrrandi sirge üldvõrrandina: Kui vaadeldava parabooli suvaline punkt on P ( x ; y ) , siis arvutades nõutavad kaugused võrduses (1), saadakse p x+ 2 2 p
f ( P)dS = dy f ( P)dx moodustajate juhtjooneks on piirkonna D rajajoon, piiratud keha Q l 0 i i ruumala j =1 c m 0
Joon. 47 8.3. Joonpinnad Joonpind tekib sirge liikumisel, kui ta lõikab igas oma asendis ühte või mitut juhtjoont . 8.3.1. Laotuvad joonpinnad Kõikidest joonpindadest osutuvad laotuvateks pindadeks ainult joonpinnad ja neistki ainult silindriline ja kooniline. Silindriline pind tekib sirgjoone liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab etteantud juhtjoont j ja jääb paralleelseks etteantud sirgega s (sihisirgega) (joon. 48). Kui juhtjooneks on murdjoon, saame prismalise pinna. 24 Kooniline pind tekib sirgjoone liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab antud juhtjoont j ja läbib antud punkti T (tippu) (joon.49). Kui juhtjoon on murdjoon, saame prismalise pinna. j T s s
Kui funktsioon on positiivne, on ka integraal positiivne: f(x,y) 0 , P( x, y ) D f ( x, y )dxdy 0 D Kahekordse integraali geomeetriline tõlgendus Antud kahe muutuja funktsioon w=f(x,y), integreeruv piikonnas D. Def: funk. on pos vaadeldavas piikonnas, siis keha, mis on piiratud pealt antud funktsiooni graafikuga, alt selle piirkonnaga D ja silindriga, mille moodustajad on paral w teljega ja juhtjooneks on piikonna D rajajoon, niisugust keha nim. kõversilindriks. Kui jaotame piirkonna D n osaks ja mõõdame pindala Si ning valime punkti Pi ja arvutame fun. väärtuse selles punktis Pi, siis Vi=f(Pi)Si Vk = lim Vi = lim f ( Pi )S i = f ( x, y )dxdy n n D Kahekordse integraali arvutamine ristkoordinaatides Def: olgu tasandilise piirkonna D jaoks teada, et D x = [a,b]. Öeldakse, et D on regulaarne y-telje
Vaatleme üleminekut sfäärkoordinaatidele, kus teisendus on kujul silinderpinnaga, mille moodustaja on paralleelne z-teljega ning juhtjooneks piirkonna D rajajoon. Kahekordse 𝑥 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛ψ cosφ punktil leidub niisugune ümbrus Uε (x2,y2), et iga P(x, y) ∈ Uε(x2, y2) on f(x, y) > f(x1, y1). Näide 1. Definitsioon 2 järgi on kahe muutuja funktisoonil z = x2 + y2 punktis P0(0; 0) lokaalne miinimum, sest f(0; 0) = 0 ja mis tahes integraali omadused: Omadus 1
4) Olgu piirkonna D pindala S, siis kehtib valem
S = dS
D
5) Olgu m f(P) vähim väärtus piirkonnas D ja M f(P) suurim väärtus piirkonnas D, siis
m dS f ( P ) dS M dS
D D D
6) Keskväärtusteoreem. Leidub punkt A hulgas B nii, et kehtib võrdus
f ( P)dS = f ( A) dS
D D
17. Kahekordse integraali geomeetriline tähendus
Pinnaga z=f(x,y), tasandiga z=0 ja silindriga, mille z-teljega paralleelsete moodustajate juhtjooneks on piirkonna D rajajoon, piiratud keha Q
ruumala
VQ = limVn = f ( P ) dS
n 0
D
18. kahekordse integraali arvutamine ristkoordinaatides
ristkülikukujulise piirkonna korral. Tuletatud vastav valem
Olgu ristkülikukujuline piirkond D antud võrratustega axb ja cyd. jaotame lõigu
[a,b] osalõikudeks punktidega a=x0
f Pi Si. D On selge, et n max S i 0 . Piirkonda D nimetatakse integreeruvuspiirkonnaks. Kui integreeruvuspiirkonnas f 0 , siis f x, y dxdy võrdub keha ruumalaga, kus keha D on piiratud pinnaga z f x, y , xy-tasandiga z 0 ja silindrilise pinnaga, mille moodustajad on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks on piirkonna D rajajoon (vt. allpool olevat joonist) Ketib järgmine Teoreem 4. Kinnises piirkonnas pidev funktsioon on integreeruv selles piirkonnas. 1.3.1 Kahekordse integraali omadused. Kahekordsel integraalil on järgmised omadused 1. Aditiivsus. Kui D D 1 D 2 , siis f x, y dxdy f x, y dxdy f x, y dxd D D1 D2 2. Lineaarsus
2) Dimeetrilised ehkkahem66dulised Kuhjakujulisepo6rdpinnatinglaotusesaami- = p66rdpindsilindrilise pinna (m* m.; m";em, ). seks asendatakse ribadest moodustatudldhismudeligafioon. 3) Trimeetrilised ehkkolmem66dulised 5.20,b). Kogu pind jaotatakse v6rdseteks ( mr *mr afir ) . pinna sobivalaiusegaribadeksnii,et silindrilise juhtjooneks kujuneb riba keskkohal olev meridiaan,kusjuuresmoodustajadon juht- Vastavalt kasutatud projektsiooniliigile ja joonegaristi. Nende moodustajate otspunkid moondetegurite vahekorralesaavad aksono- asetsevad ribasid uksteisest eraldavatel meetrialiigid ka oma nimetuse.Jdrgnevalt meridiaantasanditel.Tinglaotusesaamiseks tutvustamerist-ja kaldaksonomeetria olulise- piisab 0he taolise riba t6elise kuju maidliike. vdljajoonestamisest
0 piirkonnas D, siis geomeetriliselt t¨ahendab kahekordne integraal f (x, y)dxdy D niisuguse k~oversilindri ruumala, mis alt on piiratud xy-tasandi piirkonnaga D, u¨lalt funktsiooni z = f (x, y) graafikuks oleva pinnaga ja k¨ uljelt silinder- pinnaga, mille moodustaja on paralleelne z-teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon. Eeldame, et piirkonnas D on t¨aidetud tingimus f (x, y) g(x, y). Kahe- kordse integraali omaduse t~ottu [f (x, y) - g(x, y)]dxdy = f (x, y)dxdy - g(x, y)dxdy. D D D M~olemad kahekordsed integraalid t¨ahendavad geomeetriliselt k~oversilindri ruumalasid, esimene neist on pealt piiratud funktsiooni z = f (x, y) graafi-
annaabi.ee 
