asjadega. Eukleidese teoreem: täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub korrutisega, mille üks tegur on hüpotenuus ja teine selle kaateti ristprojektsiooni hüpotenuusil. 300. aasta paiku eKr uuris vanakreeka matemaatik Eukleides kauguste ja nurkade vahelisi seoseid algul tasandil (idealiseeritud lamedal pinnal) ja siis ruumis. Näiteks on kolmnurga sisenurkade summa alati 180°. Neid uurimusi tuntakse tänapäeval kahe ja kolmemõõtmelise eukleidilise geomeetriana (planimeetria ja stereomeetriana).Tänapäeva matemaatika keeles on kaugus ja nurk hõlpsasti üldistatavad 4mõõtmelistele, 5mõõtmelistele ja veel kõrgemamõõtmelistele ruumidele. nmõõtmelist ruumi kauguse ja nurga mõistega, mis annavad Eukleidese leitud seoste analoogi, nimetatakse nmõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks. Sten Renar Subatsjus
· Lemma- Lemma ehk abiteoreem on teoreem, millel pole küll iseseisvat tähtsust, kuid mis osutub vajalikuks vaadeldava matemaatilise teooria mõne teise teoreemi sõnastamisel. · Fundamentaaljada- Fundamentaaljadaks ehk Cauchy jadaks nimetatakse jada vn, mille elemendid teineteisele indeksi n kasvades lõputult lähenevad. · Hüpotenuus- Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas; ka selle külje pikkus · Sulund- Eukleidilise ruumi alamhulga sulundiks nimetatakse selle hulga kõigi puutepunktide hulka. Hulga sulund on kinnine hulk ning langeb kokku hulga kõikide selles ruumis sisalduvate kinniste ülemhulkade ühisosaga. · Catalani pind- Catalani pind on joonpind, mille moodustajad on paralleelsed fikseeritud tasandiga · Besseli võrrand- Besseli võrrandiks nimetatakse matemaatikas harilikku teist järku homogeenset diferentsiaalvõrrandit kus on kompleksarvuline parameeter
3. * = * ,V (kommutatiivsus) 4. *(+) = * + *; (+)* = * + * ,,V (distributiivsus) 5. c(*) = (c)* = *(c) cR, ,V (homogeensus) Näiteid: 1. * = ||||*||||*cos 2. V = Rn; = (a1; ...; an); = (b1; ...; bn); * = aibi = a1b1 + ... + anbn 3. V = Rn; c1, ..., cn >= 0; * = ciaibi = c1a1b1 + ... + cnanbn 4. V - suvaline n-mõõtmeline vektorruum (üle R); B - fkseeritav baas; = (a1; ...; an)B; = (b1; ...; bn)B; * = aibi 5. V = C[a;b]; f,gV; f(x), g(x); f*g = ab f(x)g(x)dx 25. Eukleidilise vektorruumi ja eukleidilise ruumi defnitsioon. Eukleidilises ruumis defneeritavad mõisted. Vektorruumi V koos temas fkseeritud skalaarkorrutisega nimetatakse eukleidiliseks vektorruumiks. Afinset ruumi A = (V,P), milles V on eukleidiline vektorruum, nimetatakse eukleidiliseks ruumiks. Eukleidilise ruumi A = (V,P) mõõtmeks nimetatakse vektorruumi V mõõdet. Eukleidilises ruumis defneeritavad mõisted: 1. vektori pikkus |||| = sqrt(*) 2
Teoreem vektorkorrutise ristseisust ja pikkusest (tõestuseta). Segakorrutise definitsioon. 1. Vektorite ja vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit × , mis on määratud võrdusega: a a aa aa × = 2 3 ;- 1 3 ; 1 2 . Vektorkorrutis × on risti mõlema teguriga ja . bb bb bb 2 3 1 3 1 2 Vektorkorrutise × pikkus × on arvuliselt võrdne vektoritele ja ehitatud rööpküliku pindalaga. Kolmemõõtmelise eukleidilise ruumi vektorite , ja segakorrutiseks nimetatakse vektorite ja vektorkorrutise × skalaarkorrutist vektoriga , s.t. arvu ( × ) . Vektorite ja vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit × , mis on risti vektoritega ja , mille pikkus ühtib vektoritele ja ehitatud rööpküliku pindalaga ning mille suund on antud kruvireegliga. 7. Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Kolmemõõtmelise ruumi tasandi võrrand, tasandi normaalvektor. x1 = c1 + s1t
ka mõndasid mõisteid. Leidsime üsna palju sobivat materjali. Töö eesmärgiks on referaadi lugejatele anda täpne ülevaade kolmnurkadest ning kolmnurga liikidest. Materjali kogumiseks kasutasime Internetti ning ka mõndasid raamatuid. 3 1. Kolmnurk Kolmnurk on 1elementaargeomeetrias (eukleidilises geomeetrias) kolme tipuga hulknurk. Kolmnurk on määratud eukleidilise ruumi kolme punktiga, mis ei asu ühel ja samal sirgel. Neid punkte nimetatakse kolmnurga tippudeks. Kolmnurk on kujund, mille moodustavad kolmnurga tippe ühendavad sirglõigud. Neid sirglõike nimetatakse kolmnurga külgedeks. Kuna kolmnurk asub ühel tasandil, siis tegemist on tasapinnalise kujundiga. Kolmnurga defineerimisel võib ka kohe tingimuseks seada, et kolmnurga tipud oleksid ühel tasandil.
märgitakse pigem üldisemalt tee kulgemine kaardil. 3. Kujunäitajad (shape measures): Kuju hindamine on kasulik määrates, kas polügooni piirjooni saab esitada kaardi mõõtkava muutmisel samasugusena või mitte. 4. Vahemaa näitajad (distance measures): Distantsi punktide, joonte ja polügoonide vahel saab hinnata mitut moodi. Võimalusteks antud vahemaid hinnata on lühima ristsirge vahemaana või eukleidilise vahemaana punktide, joonte või polügoonide vahel. Mõlemil juhul on võimalik vahemaad arvutada ainult kolmel erineval moel. Nendeks on vahemaa punktist punkti, vahemaa punkti puhvrist punkti puhvrisse ja vahemaa punktide puhvri vahel. Puhvri all on mõeldud antud juhul objekti reaalse asukoha ja kaardile märgitud objekti sümboli suuruse erinevust. Antud piiritlustega saab määrata, kas generaliseerimise probleem esineb
F) Kineetiline energia Kineetiliseks energiaks nimetatakse energiat, mis kehal on tema liikumise tõttu. Liikuva keha kineetiline energia Ek võrdub keha massi m ja kiiruse ruudu v2 poole korrutisega: Ek = mv2/2 Keha kineetilise energia muut võrdub keha poolt tehtud tööga. Süsteemis võib esineda ainult kineetilise ja potentsiaalse energia vastastikune muundumine. G)Vektorväli Vektorväljaks nimetatakse vektoranalüüsis funktsiooni, mis seab eukleidilise ruumi (või lokaalselt eukleidilise ruumi igale punktile vastavusse vektori. H. Töö tsentraalse jõu väljas Vektori võib lahutada komponentideks või avaldada mitme vektori summana. Seepärast võib ka ühe vektorvälja lahutada mitmeks väljaks. Kõige lihtsam (lihtsaim liidetav) on homogeenne väli. Homogeenseks nimetatakse välja, mille vektorid on igas ruumipunktis ühesuguse suuruse ja suunaga.St et homogeense välja vektor on ruumis konstantne. Näitena võib tuua
Ayeri arvates näitab see, et AB VALE! matemaatika võib anda meile uusi teadmisi maailma kohta (esimese korrutise näitel). ÕIGE! meie mõistuse piiratuse tõttu ei suuda me keerulisemaid tautoloogiaid vahetult (ilma teisendusteta) ära tunda. 9. Kui mõõdetaks paberile joonestatud kolmnurga sisenurgad ning leitaks, et nende summa ei võrdu 180o-ga, siis Ayeri arvates AC ÕIGE! on tegemist mõõtmisveaga või pole tegemist eukleidilise kolmnurgaga VALE! lükkaks see ümber väite, et eukleidilise kolmnurga sisenurkade summa on 180o III teema Millisel lausel pole tõeväärtust? A. Ei ole õige Tõeväärtust pole ilmselt vääral lausel, näiteks lausel Mõni paarisarv ei jagu 2-ga B. Ei ole õige Tõeväärtust pole aprioorset teadmist väljendaval lausel, näiteks lausel Iga paarisarv jagub 2-ga C
salvestada informatsiooni lõkspinnast läbi läinud kvantmateeria struktuuri kohta. Probleemi lahenduse peaks andma gravitatsiooni kvantteooria. Kuid mitmesuguste matemaatiliste ja põhimõtteliste raskuste tõttu sellist teooriat pole veel loodud. Must auk ikkagi annab välja ka mingit informatsiooni Hawking kinnitas 21. juulil 2006 Dublinis toimunud konverentsil, et must auk ikkagi annab välja ka mingit informatsiooni. Tema ettekande kokkuvõte nägi välja selline: "Eukleidilise kontuuriintegraali üle kogu topoloogiliselt triviaalse meetrika saab võtta aja lõigustamise teel ja on seega unitaarne, kui seda analüütiliselt Lorentsi omani jätkata. Teiselt poolt on kontuuriintegraal üle kõigi topoloogiliselt mittetriviaalsete meetrikate asümptootiliselt sõltumatu algolekust. Järelikult on totaalne kontuuriintegraal unitaarne ja mustade aukude moodustumisel ning aurustumisel informatsioon ei kao. Viis, kuidas info
Antud lauset eitades sattutakse loogilisse vasturääkivusse. Kuid Kanti eluajal olid tekkinud juba ka esimesed mitte-eukleidilised geomeetriad, mis võimaldasid näidata, et on võimalik üles ehitada vastuolude-vabu geomeetriaõpetusi, milles on loogiliselt võimalikud ka väited nagu “Kolmnurga sisenurkade summa on väiksem kui kaks täisnurka” või “Kolmnurga sisenurkade summa on suurem kui kaks täisnurka”. Seega pole eukleidilise geomeetria otsustuste subjekti ja predikaadi seosed loogiliselt paratamatud, vaid neid loogilisi subjekte saab ilma vasturääkivusse sattumata siduda ka teiste predikaatidega. Kant oli matemaatika uusimate arengutega väga hästi kursis. Üks esimesi mitte-eukleidilise geomeetria esindajaid oli tema sõber Johann Friedrich Lambert. Sellele vaatamata ei loobunud Kant veendumusest, et üksnes eukleidiline geomeetria on tõene. Seda sellepärast, et
16.3 Kolmnurga v~ orratus funktsioonide ruumis Kui f, g C[a, b], siis on kolmnurga v~ orratus b b b (f (x) + g(x))2 dx f 2 (x) dx + g 2 (x) dx a a a 17 Ortogonaalsus ja ristbaas 17.1 Ortogonaalsus ¨ Oeldakse, et eukleidilise ruumi V vektorid a, b V on ortogonaal- sed ehk risti, kui (a|b) = 0. VS-i nimetatakse ortogonaalseks, kui s¨ usteemi iga kaks erinevat vektorit on ortogonaalsed. VS-i nime- tatakse ortonormeerituks, kui 1) ta on ortogonaalne, 2) s¨ usteemi vektorid on u ¨hikvektorid, s.t normeeritud. N¨ aide Nullvektor on ortogonaalne eukleidilise ruumi iga vektoriga, kaasa arvatud iseendaga. VI
et alguses oli objekte viis paari, või et üks neist võeti ära sellal, kui ma neid loendasin, või et kaks nendest sulasid ühte või et ma olen valesti loendanud. Seletusena võetaks vastu ükskõik milli- ne empiiriline hüpotees, mis sobiks kõige paremini omaksvõetud faktidega. Ainus seletus, mida ühelgi tingimusel ei tunnustataks, on see, et kümme ei ole alati kahe ja viie korrutis. Veel üks näide: kui mõõtmiste käigus selgub, et millelgi, mis näib eukleidilise kolmnurgana, ei ole nurki, mille summa on 180 kraadi, siis ei ütle me, et oleme kohanud juhtumit, mis muudab kehtetuks matemaatilise propositsiooni, et eukleidilise kolmnurga kolme nurga summa on 180 kraadi. Ütleme, et ole- me valesti mõõtnud, või veelgi tõenäolisemalt, et see kolmnurk, mida mõõtsime, ei ole eukleidiline. Ja sellise protseduuri tee- me läbi kõigil neil juhtudel, kui matemaatiline tõde võib näida ümberlükatuna
vahetult (ilma teisendusteta) ära tunda. 3 Millise väitega nõustuks John Stuart Mill? a Õige! Matemaatika tõed (nt Pythagorase teoreem) on kogemusel põhinevad üldistused nagu ka loodusteaduse väited 1 Kui mõõdetaks paberile joonestatud kolmnurga sisenurgad ning leitaks, et nende summa ei võrdu 180o-ga, siis Ayeri arvates a Õige! on tegemist mõõtmisveaga või pole tegemist eukleidilise kolmnurgaga 2. Mida arvaks Ayer näiteks väitest Kodanik B ei viibi enam hullumajas eelduse korral, et kodanik B polegi hullumajas viibinud? b Õige! Taoline väide on tegelikult kahe väite konjunktsioon: Kodanik B viibis (hiljuti) hullumajas ja Kodanik B nüüd enam ei viibi hullumajas. Konjunktsioon tervikuna on väär. 1 Millel põhineb väite (propositsiooni) 7+5=12 tõesus? a
Viimase võrratuse vasak pool on kolmliige (ruutvõrrandi vasak pool) t suhtes, mis peab iga t korral olema positiivne (või null). See tähendab, et võrrandil on maksimaalselt üks lahend. Järelikult ruutvõrrandi diskriminant peab olema nullist väiksem (või võrdne nulliga): 3. Arvutame : Võttes saadud võrratuse mõlemast poolest ruutjuure, saamegi kolmnurga võrratuse. Definitsioon. Eukleidilise vektorruumi kahe vektori ja vaheliseks nurgaks nimetatakse sellist nurka , et See definitsioon on korrektne: Cauchy-Bunjakovski võrratusest järeldub, et kui ja , siis ehk Seega saab iga kahe nullist erineva vektori korral määrata nendevahelise nurga. 24. Ortogonaalne ja ortonormaalne baas. Definitsioon. Öeldakse, et vektorid ja on ortogonaalsed ehk risti, kui = 0. Termin "risti" on seotud järgmise aruteluga: kui = 0, siis
ehitatud rööpküliku pindalaga ning mille suund on antud kruvireegliga. Selles definitsioonis pole vaja teada vektorite ja koordinaate. Ühtlasi näitab see, et definitsiooniga 2 määratud vektor × ei sõltu teljestiku valikust vaadeldavas kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis. Def. 3. Kolmemõõtmelise eukleidilise ruumi vektorite , ja segakorrutiseks nimetatakse vektorite ja vektorkorrutise × skalaarkorrutist vektoriga , s.t. arvu ( × ) . Paragrahvis 2 toodud teoreemi ja võrduse (3) tõttu on vektorite , ja segakorrutise absoluutväärtus võrdne nendele vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga. Valem (3) annab eeskirja segakorrutise arvutamiseks.
Luulekogu „Teises keeles“ , kus algul pikem proosa kirjandus ühest eesti venelase saatusest, analüütiline pilk kahe kultuuri piiril kasvamisest jm. veel luulekogud „Usaldusliin“ ning vene k „Eesti disain“. Kirjutab ta viiest teemast: väikelinna elu Võrus, suhted vastassooga, etno-kultuuriline enesemääramine, kirjandus ise ja filosoofia (suht üldinimlikud asjad, suhtub teemadesse üsna otsekoheselt ja tõsiselt). Filimonov (s 1975) esimene romaan ilmus 2007 a „Mitte-eukleidilise geomeetria tsoon“ – raamatu moodustavad erinevate sotsiaalsete gruppide vestlused, minimaalne väline tegevus vm sündmustik, puudub geopoliitiline paradigma, rõhutatakse universaalset ruumi ilma hinnangute panemiseta vms. Vesteldakse elust endast, kvaliteedis, mida tähendab kooselu, kuidas olla õnnelik, mis on looming jne jne. Läheneb mingitele olemiste küsimustele analüütiliselt, toimub metafüüsiline projekt (autor pöördub lugejale poole, räägib kirjutamisest),
on eri tunnused. Nagu juba märkisime, moodustavad OTUd selles punktide parvi. 7.1.3.1. Eukleidiline kaugus arvutatakse Pythagorase teoreemi alusel: liidetakse iga tunnuse kohta käiva kahe OTU erinevuse ruudud: Σ (xki - xkj)2 (kus k tähistab mistahes tunnust, x selle mõõtmistulemust, i ja j aga võr- reldavaid taksoneid), ja võetakse saadud summast ruutjuur. See algoritm on sama nii kahe tunnuse kui ka kuitahes paljude tunnuste puhul. Kasutatakse ka eukleidilise kauguse asemel selle ruutu. 7.1.3.2. Kui enne juurimist jagame summa kasutatud tunnuste arvuga n, saame keskmise taksonoomilise kauguse. 7.1.3.3. Manhattani kvartalikaugus arvutatakse valemiga Mij = Σ │xki - xkj│ / n Lähtudes oletusest, et muutuste aluseks on iga tunnuse osas eraldi toi- munud mutatsioon(id), on Manhattani kvartalikaugus bioloogiliselt ja loo- giliselt mõneti ehk põhjendatum kui teised mõõtmisviisid. Tegelikult on
ristumiskohad) piirnev lahenduspind. Võrgustiku kaared kujutavad sõlmpunktipaaride vahelist reisikaugust või aega, mis on välja arvutatud lühima tee põhjal. Eeltoodud reisikaugusele tuleks lisada veel ka konkreetse piirkonna eripärad: liikluspiirangud, maastik vms. Kui paigutamist uuritakse linnakeskkonda kujutaval tasapinnal, siis kasutatakse sageli suurlinnamõõdustikku, sest mõnede linnade tänavad on rajatud suunaga idast läände ja põhjast lõunasse. Nii suurlinna– kui eukleidilise mõõdustiku puhul on vaja arvestuslikku keskmist kiirust, et arvestada läbitud tee ümber ajaks. Hoonete arvu alajaotuses ei ole ühe hoone asukoha matemaatiline käsitlus tavaliselt kuigi keeruline. Kahjuks ei garanteeri ühe hoone asukoha määramiseks kasutatavad meetodid optimaalseid tulemusi, kui neid muudetakse ja kohaldatakse mitme asukoha probleemide lahendamiseks. Unikaalsete asukohtade leidmist raskendab
Leidub sipelgaid, kes on kehtestanud orjandusliku süsteemi Tõesti, selle väite kehtivuse kontrollimiseks on vajalik kogemus, st faktid Milline väide on kooskõlas empirismiga? Ükski kogemusel põhinev väide ei saa olla paratamatu ja kindel Tõesti, kogemus ei garanteeri empirismi seisukohalt tõsikindlust Kui mõõdetaks paberile joonestatud kolmnurga sisenurgad ning leitaks, et nende summa ei võrdu 180o-ga, siis Ayeri arvates on tegemist mõõtmisveaga või pole tegemist eukleidilise kolmnurgaga Millise väitega nõustuks David Hume? Isegi kui kogemus on mingi väite (propositsiooni) tõesust kinnitanud 1000 korda (nt et Päike tõuseb idast), ei ole mingit loogilist tagatist, et see väide on tõene ka 1001-l juhul. Selle teadasaamiseks, et 91x79=7189 tuleb arvutada. Seda, et 3x4=12, teavad paljud ilma arvutamatagi. Ayeri arvates näitab meie mõistuse piiratuse tõttu ei suuda me keerulisemaid tautoloogiaid vahetult (ilma teisendusteta) ära tunda.
Leidub sipelgaid, kes on kehtestanud orjandusliku süsteemi Tõesti, selle väite kehtivuse kontrollimiseks on vajalik kogemus, st faktid Milline väide on kooskõlas empirismiga? Ükski kogemusel põhinev väide ei saa olla paratamatu ja kindel Tõesti, kogemus ei garanteeri empirismi seisukohalt tõsikindlust Kui mõõdetaks paberile joonestatud kolmnurga sisenurgad ning leitaks, et nende summa ei võrdu 180o-ga, siis Ayeri arvates on tegemist mõõtmisveaga või pole tegemist eukleidilise kolmnurgaga Millise väitega nõustuks David Hume? Isegi kui kogemus on mingi väite (propositsiooni) tõesust kinnitanud 1000 korda (nt et Päike tõuseb idast), ei ole mingit loogilist tagatist, et see väide on tõene ka 1001-l juhul. Selle teadasaamiseks, et 91x79=7189 tuleb arvutada. Seda, et 3x4=12, teavad paljud ilma arvutamatagi. Ayeri arvates näitab meie mõistuse piiratuse tõttu ei suuda me keerulisemaid tautoloogiaid vahetult (ilma teisendusteta) ära tunda.
Kuid y1,y2,y3 on tegelikult meie tavalise ( kolmemõõtmelise ) ruumi kolm koordinaati: x, y, z. Kuid see y4 ruumikoordinaat vastab ka ajale, seega y4 = t. Järelikult 4-mõõtmeline ruum ongi tegelikult meile tuttav aegruum ehk siis punkt P: 8 P = ( x, y, z, t ). Geomeetriast on teada n-mõõtmelise ( antud juhul siis 4-mõõtmelise ) eukleidilise ruumi põhi- vormid: s2 = (y1)2 + (y2)2 + (y3)2 + (y4)2 s2 = (y12-y11)2 + (y22-y21)2 + (y32-y31)2 + (y42-y41)2 ds2 = (dy1)2 + (dy2)2 + (dy3)2 + (dy4)2. Antud juhul need aga ei kehti. Kehtivad ainult siis, kui: s2 = (y1)2 + (y2)2 + (y3)2 ja y4
Kuid y1,y2,y3 on tegelikult meie tavalise ( kolmemõõtmelise ) ruumi kolm koordinaati: x, y, z. Kuid see y4 ruumikoordinaat vastab ka ajale, seega y4 = t. Järelikult 4-mõõtmeline ruum ongi tegelikult meile tuttav aegruum ehk siis punkt P: 9 P = ( x, y, z, t ). Geomeetriast on teada n-mõõtmelise ( antud juhul siis 4-mõõtmelise ) eukleidilise ruumi põhi- vormid: s2 = (y1)2 + (y2)2 + (y3)2 + (y4)2 s2 = (y12-y11)2 + (y22-y21)2 + (y32-y31)2 + (y42-y41)2 ds2 = (dy1)2 + (dy2)2 + (dy3)2 + (dy4)2. Antud juhul need aga ei kehti. Kehtivad ainult siis, kui: s2 = (y1)2 + (y2)2 + (y3)2 ja y4
Kuid y1,y2,y3 on tegelikult meie tavalise ( kolmemõõtmelise ) ruumi kolm koordinaati: x, y, z. Kuid see y4 ruumikoordinaat vastab ka ajale, seega y4 = t. Järelikult 4-mõõtmeline ruum ongi tegelikult meile tuttav aegruum ehk siis punkt P: 8 P = ( x, y, z, t ). Geomeetriast on teada n-mõõtmelise ( antud juhul siis 4-mõõtmelise ) eukleidilise ruumi põhi- vormid: s2 = (y1)2 + (y2)2 + (y3)2 + (y4)2 s2 = (y12-y11)2 + (y22-y21)2 + (y32-y31)2 + (y42-y41)2 ds2 = (dy1)2 + (dy2)2 + (dy3)2 + (dy4)2. Antud juhul need aga ei kehti. Kehtivad ainult siis, kui: s2 = (y1)2 + (y2)2 + (y3)2 ja y4
annaabi.ee 
