elemendile pöördelement, nim. multiplikatiivseks rühmaks. Vektorite liitmine: AB'+BC'=AC' Kahe n-järku determinandi A ja B Rühma, millest defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab Aksioomid: korrutis A*B on võrdne teatava uue n- kommutatiivsuse seadust, nim kommutataiivseks rühmaks ehk Abeli järku determinandiga C, mille i-nda rea ja j-nda veeru ühine element cij saadakse rühmaks. 1. Igale paarile (lambda, a') seame determinandi A i-nda rea ja determinandi
Pooli vastastikune induktiivsus on vastavalt I 11 ( jX L + 2 jX M 12 + jX L 2 +Z 1 + 1 sellise märgiga, mis pidi läheb teises poolis vool ja kuidas on poolid omavahel ühendatud. I 11( jX M - jX M + jX L + Z 2 )+ 12 23 2 Determinandiga süsteemi lahendades, saame kätte mõlema kontuuri kompleksvoolud. Edasi Leiame potentsiaalid nii, et liikudes voolu suunas elektromotoorjõuallikas suurendab ning tarbijad vähendavad potentsiaali. Kompleksvõimsus S koosneb aktiivvõimsusest P ja reaktiivvõimsusest Q. Leitakse, korrutades pinge ja. 1 = voolu kaaskompleksi. Et leida võimsus tarbijatel, peame maha arvestama pinge elektromotoorjõu- allikal
vaadeldav rida/veerg esimestest determinandi liidetavatest, teises determinandi vaadeldav rida/veerg koosneb teistest liidetavatest, ülejäänud elemendid jäävad samale kohale. Om6 Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingile reale/veerule liita või lahutada mistahes arvuga korrutatud teatud teine rida/veerg. Om7 Kahe n- järku determinandi A ja B korrutis A B on arvuliselt võrdne teatava uue n- järku determinandiga C, mille i-nda rea ja j-nda veeru ühine element cij saadakse determinandi A i-nda rea ja determinandi B j-nda veeru vastavate elementide korrutamisel ning saadud tulemuste liitmisel. Om8 Kui determinandi mingi rea/veeru kõik elemendid on nullid, siis võrdub determinant nulliga. Om9 Kui determinandis kõik allpool/ülal peadiagonaali paiknevad elemendid on nullid, siis võrdub
1. Maatriksi ja transponeeritud maatriksi determinandid on võrdsed, s.t. |A| = |AT|. 2. Maatriksi kahe rea (veeru) äravahetamisel muudab maatriksi determinant märgi. 3. Kui maatriksis mingit rida (veergu) korrutada mistahes arvuga, siis maatriksi determinant korrutub sama arvuga. 4. Kui maatriksi mingile reale (veerule) liita mistahes arvuga korrutatud mistahes teine rida (veerg), siis uue maatriksi determinant on võrdne esialgse maatriksi determinandiga. 5. Kui determinandis on kaks ¨uhesugust rida (veergu), siis on determinant null. 6 Pöördmaatriks Olgu A n-järku maatriks. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist n-järku maatriksit B, mis rahuldab tingimust AB = E = BA, kus E on n-järku ühikmaatriks. Kui maatriksi A pöördmaatriks eksisteerib, siis pöördmaatriksit tähistame A-1. Regulaarne maatriks Me nimetame n-järku maatriksit A regulaarseks
6. Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele juurde liita mis tahes arv kordsed teise rea vastavad elemendid. 7. Kuna determinant on induktiivselt defineeritud (esmalt esimest järku, selle abil teist, selle abil kolmandat jne.), saame suuremaid determinante arvutada nende miinorite ehk alamdeterminantide summana. 8. Maatriksi ja determinantide korrutis on võrdne nende maatrikskorrutise determinandiga olenemata maatriksite järjekorrast . Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik. Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv
st. | A|=| AT | Maatriksi kahe rea(veeru) äravahetamisel muudab maatriksi determinant märgi Kui maatriksis mingit rida või veergu korrutada mitahes arvuga, siis maatriksi determinant korrutub sama arvuga Kui maatriksi mingile reale või veerule liita mitahes arvuga korrutatatud mistahes teine rida või veerg, siis uue maatriksi determinant on võrdne esialgse maatriksi determinandiga Kui determinandis on kaks ühesugust rida või veerdu, siis on determinant null 53.Pöördmaatriks-Olgu A n-järku maatriks. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist n-järku maatriksit B, mis rahuldab tingimuse AB=E=BA, kus E on n-järku ühikmaatriks. Pöördmaatriks leidub parajasti siis, kui ta on regulaarne. Tähitatakse A−1 . Arvutamine T 1 A 11 A 12 A−1=
on süsteemimaatriksi determinant |A | ja lugejaks determinant |Ai |, mis on eelmisest saadud i-nda veeru asendamisel vabaliikmete veeruga. CRAMERI VALEMID: xi = | Ai | / | A | , i = 1, 2, . . . , n. MAATRIKSVÕRRAND Maatrikskujul antud võrrand AX = B LAHENDUB MAATRIKSKUJUL parajasti siis, kui maatriksil A leidub pöördmaatriks A-1. Seega, kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriks on regulaarne, ehk ta on nullist erineva determinandiga ruutmaatriks (vrdl Crameri peajuhtumiga), siis on süsteemi võimalik lahendada maatrikskujul: X = A-1B. 18 GAUSSI MEETOD Gaussi (17771855) meetod on universaalne meetod lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks. Selle abil vastatakse küsimusele süsteemi lahenduvusest ja kui süsteem lahendub, siis leitakse tema üldlahend. Meetod tugineb järgmisele tulemusele. LAUSE
on süsteemimaatriksi determinant |A | ja lugejaks determinant |Ai |, mis on eelmisest saadud i-nda veeru asendamisel vabaliikmete veeruga. CRAMERI VALEMID: xi = | Ai | / | A | , i = 1, 2, . . . , n. MAATRIKSVÕRRAND Maatrikskujul antud võrrand AX = B LAHENDUB MAATRIKSKUJUL parajasti siis, kui maatriksil A leidub pöördmaatriks A-1. Seega, kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriks on regulaarne, ehk ta on nullist erineva determinandiga ruutmaatriks (vrdl Crameri peajuhtumiga), siis on süsteemi võimalik lahendada maatrikskujul: X = A-1B. 18 GAUSSI MEETOD Gaussi (17771855) meetod on universaalne meetod lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks. Selle abil vastatakse küsimusele süsteemi lahenduvusest ja kui süsteem lahendub, siis leitakse tema üldlahend. Meetod tugineb järgmisele tulemusele. LAUSE
Diakroonilist kasutatakse nimeuurimises traditsiooniliselt. Determinant – grammatilises mõttes põhisõna, apellatiivid ehk nimetused, mis tähistavad koha liiki (jõgi, järv, mets, küla). Oma otseses tähenduses olevad apellatiivid on nimetavas käändes. Kui determinanti nimes pole, on see elliptiline (ellips = väljajätt) nimetus, mis on tüüpiliselt asustusnimed, kasutatakse ainult atribuuti. Teoorias on elliptilised nimed olnud alati determinandiga, aga tänapäeval sünnivad kahepalgeliseks, st võivad olla determinandiga või ka mitte. Elliptilisus on tüüpiline asula- ja loodusnimedele, kus võib determinandi ära jätta, ilma et tähendus muutuks. Võib olla ka kokkukirjutus (nt Aruküla). Valedeterminant on näiteks Mõisaküla linnal. Atribuut – süntaktilises mõttes täiendsõna. Atribuudid võivad olla apellatiivid ehk üldsõnanimed,
kasutada eelmise lemma nihutame rida vimasele kohale ja elemendi aij kohale . Tõestus. Eeeldame, et i-ndas reas kõik elemendid peale ühe aij võrduvad nulliga. Esmärgiga on uus determinant võrdne det · 1. Nüüd vahetame uue (i+1) ja (i+2) rea ning peame Selleks kõigepealt vahetame i-nda ja (i+1) rea elemendid. Determinandi omaduse 3 kohaselt determinandi veel (-1)-ga korrutama, ehk uus determinant on nüüd 1 · det. Jätkame determinant on seotud esialgse determinandiga valemiga 1 · det ehk kuni arv aij on vimases reas. Selleks teeme kokkuvõttes n-i reavahetust, seega uus , , , , , , 1 · det. , , , 0 0 Edasi toimetame arvu aij kohale
t. X Mat(n, n) => | X |=| XT | 2) maatriksi kahe rea (veeru) äravahetamisel muudab maatriksi determinant märki. 3) Kui maatriksi kaks rida (veergu) on võrdsed, siis maatriksi determinant on 0 4) Kui maatriksi mingit rida (veergu) korrutada mistahes arvuga, siis maatriksi determinant korrutub sama arvuga 5) Kui maatriksi mingile reale (veerule) liita mistahes arvuga korrutatud mistahes teine rida (veerg), siis uue maatriksi determinant on võrdne esialgse maatriksi determinandiga. 6)Kui determinandis on kaks proportsionaalset rida, siis determinant võrdub nulliga. 7) Kolmnurksete maatriksite X1 ,X2 ,X3 ja X4 korral |X1|=|X2| = x11x22...xnn |X3|=|X4|= x1nx2,n-1...xn1 MIINOR: *Determinanti xi1 j1 x i1 j 2 ... xi1 jn x 2 j1 xi 2 j 2 ... xi 2 jn Mm := nimetame maatriksi m-järku miinoriks ... ... ... ...
3) nugiahel e. parasiittoiduahel. Laguahel toiduahel, mis algab eluta orgaanilise aine esmaseist tarbijaist ja lagundajaist ning lõpeb mikroobidega, kes lagundavad orgaanilise aine mineraliseerumiseni (anorgaaniliseks aineks) Toiduahelad ökosüsteemides põimuvad omavahel ja moodustavad nn. toiduvõrgu e. toitumissuhete võrgu e. konneksi Konsortsium katenaarium, kogum organisme (konsorte), keda toit (trofokonsordid) või elupaik (topokonsordid) seostab mingi kindla taimega (determinandiga). Taim on neile orgaanilise aine lähe või substraat. 3.Abiootilised tegurid: Abiootiliste tegurite hulka kuuluvad nii keemilised kui ka füüsikalised tegurid. Kõik tegurid toimivad organismile üheaegselt. Iga elemendi olemasolu v puudumine ohustab mingi liigi organimside eksisteerimist ja elujõulisust. Valgus Valgus on ökosüsteemis vajalik kiirgusenergiana läbifotosünteesi. 6CO2 + 6H2O + päike = C6H12O6 + 6O2 Organismide reaktsiooni päeva ja öö pikkusevahekorrale nimetatakse
Korrutame n¨uu ¨d maatriksi X veergu s arvuga a. T¨ahistame saadud maatriksit taas X abil. Omaduse 1 ja omaduse 3 t~oestatud osa abil saame |X | = |(X ) | = a|X | = a|X| = |X | = a|X|. 4 Kui maatriksi mingile reale (veerule) liita mistahes arvuga korru- tatud mistahes teine rida (veerg), siis uue maatriksi determinant on v~ ordne l¨ ahtemaatriksi determinandiga. T~ oestus. Liidame maatriksi X reale s arvu a-kordse t-nda rea. Saadud maatriksil, mida t¨ahistame X abil, on k~oik read samad, mis maatriksil X, v¨alja arvatud rida s. Seal on elemendid xs1 + axt1 , xs2 + axt2 , . . . , xsn + axtn . Valemi (3.1) abil saame |X | = (-1)I(1 ,2 ,...,n ) x11 . . . (xss + axts ) . . . xtt . . . xnn . P (1,2,...,n) 30
¨d maatriksi X veergu s arvuga a. T¨ahistame saadud maatriksit taas X abil. Omaduse 1◦ ja omaduse 3◦ t˜oestatud osa abil saame |X | = |(X ) | = a|X | = a|X| =⇒ |X | = a|X|. ♠ 4◦ Kui maatriksi mingile reale (veerule) liita mistahes arvuga korru- tatud mistahes teine rida (veerg), siis uue maatriksi determinant on v˜ ordne l¨ ahtemaatriksi determinandiga. T˜oestus. Liidame maatriksi X reale s arvu a-kordse t-nda rea. Saadud maatriksil, mida t¨ahistame X abil, on k˜oik read samad, mis maatriksil X, v¨alja arvatud rida s. Seal on elemendid xs1 + axt1 , xs2 + axt2 , . . . , xsn + axtn . Valemi (3.1) abil saame |X | = (−1)I(α1 ,α2 ,...,αn ) x1α1 . . . (xsαs + axtαs ) . . . xtαt . . . xnαn . P (1,2,...,n) 30
Atribuut on eristav osa, determinant paneb nime klassidesse-rühmadesse. Valedeterminant on tavaliselt omastavas käändes. Rahvakeeles determinante dubleeritakse: lähedased nimed pannakse kokku. Kui determinant nimes puudub, siis räägitakse elliptilisest nimest. Ellips e väljajätt. Arvatud, et nimed determinandita on vanad nimed, tänapäeval on asutusnimedel on determinant juurdemõeldav. Loodusnimedes on elliptilisust vähem, aga võimalik. Kui põhiosa determinandiga kokku, siis tekib põhi, mida ei saa ära jätta. Küla ei pruugi alati küla tähendada. Nime täiendosa atribuut võivad olla apellatiivid, isikunimed ja teised kohanimed. Ka järjendid, millest etümoloogiat läbi pole võimalik näha. Determinant alati tagajärjendis, atribuut alati eesjärjendis. Balti areaalis selline tavalisem. On piiripealne nähtus terminnimed nimed, kus just kui atribuuti pole, on vaid determinant, aga käibib
00 & 12 11 1 000 ' 0 % (& 1) 1 @ (&5 @ 3 & 4 @ 8) % 0 ' & (& 15 & 32) ' 47 000 4 00 2%3 0 3 0 00 Programmis MS Excel leiab maatriksi determinandi funktsioon MDETERM. Mõningaid determinandi omadusi. 1. * A * ' * A T * transponeeritud maatriksi determinant võrdub lähtemaatriksi determinandiga. * A * ' /0 / '4@3&5@2'2 * A T * ' /0 / '4@3&2@5'2 4 2 4 5 00 5 3 000 00 2 3 000 2. Kui omavahel vahetada kaks rida või kaks veergu, muutub determinandi märk vastupidiseks. * B * ' /0 / '5@2&4@3'&2
Antud maatriks on regulaarne, kuna maatriksi determinant 0, järelikult saab leida ka pöördmaatriksit. 2. Leiame kõik alamdeterminandid A ij = (-1)i + j Mij : A11 = -1, A12 = -4, A21 = -(-3) = 3, A22 = 2. -1 3 . 23. Koostame adjungeeritud maatriksit A = * - 4 2 24. Koostame pöördmaatriksit (transponeerime saadud maatriksit ja jagame determinandiga): 1 -1 3 A - 1 = . 10 - 4 2 5. Kontrollime, kas saadud maatriks on algmaatriksi pöördmaatriks. Tuleb veenduda, et A A- 1 = A- 1 A = E : 1 - 1 3 2 - 3 1 - 1 2 + 3 4 - 1 (-3) + 3 (-1) 1 10 0 1 0 . = = = = E. 10 - 4 2 4 - 1 10 - 4 2 + 2 4 - 4 (-3) + 2 (-1) 10 0 10 0 1 Vastus: 1 -1 3 A - 1 = . 10 - 4 2
Antud maatriks on regulaarne, kuna maatriksi determinant 0, järelikult saab leida ka pöördmaatriksit. 2. Leiame kõik alamdeterminandid A ij = (-1)i + j Mij : A11 = -1, A12 = -4, A21 = -( -3) = 3, A22 = 2. -1 3 3. Koostame adjungeeritud maatriksit A* = . - 4 2 4. Koostame pöördmaatriksit (transponeerime saadud maatriksit ja jagame determinandiga): 1 -1 3 A-1 = . 10 - 4 2 5. Kontrollime, kas saadud maatriks on algmaatriksi pöördmaatriks. Tuleb veenduda, et A A- 1 = A- 1 A = E : 1 - 1 3 2 - 3 1 - 1 2 + 3 4 - 1 (-3) + 3 ( -1) 1 10 0 1 0 . = = = = E. 10 - 4 2 4 - 1 10 - 4 2 + 2 4 - 4 ( -3) + 2 (-1) 10 0 10 0 1 Vastus: 1 -1 3 A-1 = .
Dihübriidne ristamine = ristatakse kahe tunnuse suhtes erinevaid homosügoote F1 x F1 ristamine: Mendel avastas, et tunnus, mis ei avaldunud I põlvkonnas tuli tagasi teises põlvkonnas suhtega 1:3 ehk iga vanema fenotüübiga sarnase organismi kohta tuli üks, mis oli sarnane ühe vanavanemaga. Fenotüübiline lahknemine seotud alleelide lahknemisega (lahknemisseadus). Kõik tagasiristamised erinevate fenotüüpidega isenditel olid ühesugused, mis näitab, et tunnus antakse üle ühe kindla determinandiga, millised omavahel kombineeruvad. 1. F1 oli alati sarnane ühe vanema tunnusega. 2. F2 ilmus välja F1 põlvkonnas kadunud tunnus, küll madala sagedusega, kuid alati 1:3. "Mendeli lahknemise printsiip": Retsessiivsed tunnused kahe erineva homosügootse isendi ristamisel ilmuvad alles teises põlvkonnas ja alati sarnase sagedusega Kaasaegne sõnastus lahknemise printsiibile: Gameetide küpsemisel geenid lookuses lahknevad ja kumbki neist paigutub ühte gameeti
ning kust ikkagi pärinevad kooliõpikute mõned müstilised võrrandisüsteemide lahendamisviisid. Käesolev peatükk ulatub kindlasti kooliprogrammist välja, aga ühtlasi aitab ehk paremini mõista teisi teemasid. Võibolla on kasulik enne lugemist lähemalt tutvuda võrrandite lahendamisega osas 4 [lk 176]. Determinant Determinandiga tutvumist võime alustada ühest üsna ehituslikust küsimusest. Mida saame konstrueerida kahe kahemõõtmelise vektoriga ja ning mida kolme kolmemõõtmelise vektoriga Kui kaks kahemõõtmelist vektorit pole juhuslikult samasihilised ehk kui neid ei saa asetada piki sama sirget, võime nende abil moodustada rööpküliku.
Konkurents väheneb iseenese toimel kas ühe osalise hävimise või osaliste erinevuste suurenemise tagajärjel. Konneks (biotsönootiline k.) koosluse organismide suhete süsteem, enamasti peamiste toiduahelate kogum ehk toiduvõrk. K-it võib kujutada võrgustikuna, milles liigipopulatsioonee või eluvorme ühendavad energia ja aine edasikandumist tähistavad nooled. Konsortsium kogum organisme (konsorte), keda toit või elupaik seostab mingi kindla taimega (determinandiga). Taim on neile orgaanilise aine lähe või substraat. Individuaalse k-i moodustavad ühe isendi, populatsioonilise k-i ühe liigi, sünusiaalse k-i lähedaste liikide kõik tarbijad ja asustajad. Konsortsium on konneksi osa, mis ühendab kõiki ühest produtsendist algavaid toiduahelaid. Vahetult taimset ainet kasutavad fütofaagid ja saprofaagid moodustavad k-i esimese kontsentri, neis toituvad karnivoorid ja parasiidid kolmanda kontsentri jne. Konsumendid e
2) laguahel e. detriitahel; 3) nugiahel e. parasiittoiduahel. Toiduahelad ökosüsteemides põimuvad omavahel ja moodustavad nn. toiduvõrgu e. toitumissuhete võrgu e. konneksi. Konsortsium katenaarium, kogum organisme (konsorte), keda toit (trofokonsordid) või elupaik (topokonsordid) seostab mingi kindla taimega (determinandiga). Taim on neile orgaanilise aine lähe või Toiduahelad ökosüsteemides põimuvad omavahel ja substraat. moodustavad nn. toiduvõrgu e. toitumissuhete võrgu e. konneksi Endla Reintam, 2008/2009 30 Konsortsium katenaarium, kogum organisme (konsorte), keda toit (trofokonsordid) või elupaik
Parema käe kolmiku korral näitab kruvi (lahti)liikumise suund vektor- korrutise a×b suunda (sul juhul pööratakse vektorit a vektori b suunas vastupäeva). Kui pöörata vektorit a vektori b suunas päripäeva, siis kruvi (kinni)liikumise suund näitab a × b suunda. Determinandiga toodud vale- mi korral mõtleme võrdusmärki, Omadus 13.10 kui skemaatilist seost. Probleem Vektorite a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) R3 vektorkorrutise kohta on selles, et determinandi väär-
annaabi.ee 
