erinev k-ndat järku miinor, nimetatakse selle maatriksi astakuks ja märgitakse üles järgmiselt: rang(A). Vastavalt sellele definitsioonile peab leiduma suurim naturaalarv k, mille korral Mvk pole null. Kui on naturaalarv, mis on k-st suurem, siis on vastavad miinorid nullid. Kronecker-Capelli teoreem: Lineaarvõrrandite süsteem on lahenduv siis ja ainult siis(parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriksi ja võrrandite süsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed. Kui teatava ruutmaatriksi korral leidub maatriks nx1, ei tohi olla nullmaatriks ja leidub reaalarv lambda nii, et on täidetud tingimus A*X=lambda*X, siis arvu lambda nimetatakse maatriksi A omaväärtuseks ja maatriksit X maatriksi A omavektoriks. Arvpolünoom ja selle nullkoht: avaldis Pn(x)=x01+x1x+x2x^2+...xnx^n Reaalarv x0, mille korral Pn(xo)=0 nim nullkohaks. Maatrikspolünoom ja selle nullkohad:Pn(A)=o*E+1A+2A^2+...+nA^n Maatriks Ao, mille korral Pn(Ao)=
esimestest liidetavatest ja teises võrrandisüsteem on lahenduv II järku jooned. Ellips Ellipsiks determinandis teistest liidetavatest; parajasti siis, kui võrrandisüsteemi nimetatakse tasandi nende ülejäänud read jäävad aga endisteks. 6. omadus maatriksi A ja laiendatud maatriksi punktide hulka , milliste kauguste Determinant ei muutu kui determinandi AB astakud on võrdsed (Öeldakse summa kahest antud punktist, mida ühe reaga liita mistahes teguriga ka, et süsteem on kooskõlas). nimetataks fookustek , on korrutatud teine rida. Determinant seda Lineaarne võrrandisüsteem on konstatrtne. omadust kasutatakse mõnede lahenduv_r _ r´ (see on nn. II järku jooned. Hüperbool elementide nulliks muutumiseks, et astakutingimus)
(sõltumatute valimite puhul Mann-Whitney U). Need statistikud tuleb teil raporteerida järgnevalt: Wilcoxoni Signed Ranks Test näitas, et otse vaatava pilguga pilte hinnati statistiliselt oluliselt atraktiivsemaks kui kõrvale vaatava pilguga pilte, Z = ..., p = .02. Alternatiivselt: Wilcoxoni Signed Ranks Test näitas, et otse vaatava pilguga piltide atraktiivsuse astakud olid statistiliselt oluliselt kõrgemad kui kõrvale vaatava pilguga piltide astakud, Z = ..., p = .02 6. PRAKTIKUM 1) KESKMISTE VÕRDLEMINE ENAM KUI KAHE GRUPI KORRAL (ONE-WAY ANOVA) Sageli hõlmavad eksperimentaalsed uuringud enam kui kahe grupi või tingimuse võrdlusi. Näiteks võib ravimiuurijaid huvitada, kas (a) ravim on parem kui platseebo ning (b) kui suur doos ravimit on parima mõjuga? Tihtipeale võrreldakse sellistes
Kui m-s leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor, kuid mitte ühtki nulllist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis öeldakse, et M-i astak on r. A-1 = (1/ |A|) A, kus |A| on M-i A determinant, nimetatakse M-i A pöördmaatriksiks. M-il A on olemas pöördmaatriks A-1 parajasti siis, kui ta on regulaarne, s.t. kui |A| 0. Kronecker-Cappeli teoreem: Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui võrrandisüsteemi maatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed Gaussi meetodi puhul teisendatakse laiendatud maatriksi küik elemendid allpool peadiagonaali nullideks, opereerides seejuures eranditult vaid maatriksi ridadega, välja arvatud tundmatute ümbernummerdamine e. veergude transponeerimine, kui see osutub vajalikuks. 4. Vektorid. Kahe vektori skalaar, vektor ja segakorrutis (defenitsioon) + valem. Parallelsuse ja risti tunnused. Arvutamine koordinaatide abil. Vektoriks nimetatakse suunaga sirglõik
maatriksi A astakuks ja märgitakse üles sümboliga rank(A) Maatriksi elementaarteisendused · M mistahes rida võib korrutada mistahes 0 erineva arvuga · M mistahes reale/veerule võib liita/lahutada mistahes arvuga korrutatud rida/veergu · 2 suvalist rida/veergu võib omavahel ära vahetada DEF 2: m A mk0 kõrgeimat järku nim rank(A)=mk KRONEKER-CAPELLI TEOREEM: LVS on lahenduv siis ja ainult siis, kui võrrandite süst maatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed CRAMERI peajuhtum m= n ja D 0 Xn = Dn / D Lugejas olev det Dn tuletatakse det D kindla rea kinni katmisel ja selle asendamisel vabaliikmete veeruga. Kompleksarvud X2 + 1 = 0 X2 = -1 x=i i2 = -1 i = sqrt(-1) = =a+b*i kui b 0, siis on imaginaararv (kompleksarv) kui a = 0, siis on puhtimaginaararv kui b = 0, siis on reaalarv DEF 1: Kui hulga H korral on määratud teatav tehe või arvutusop f ning kui siis selle hulga H
= r ei 4. Maatrikskuju a -b = b a 5. Vektorkuju = (a ; b) (cos + i sin)n = cosn + i sinn Maatriksi astak Def1 Maatriksi astakuks nimetatakse tema nullist erinevate miinorite kõrgemat järku. Astaku mõistele tugineb üldise l.v.s lahendamise küsimus. Kehtib järgmine Kronecker Capelli teoreem. L.v.s on lahenduv siis ja ainult siis (parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriks ja võrranditesüsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed. Def2 Maatriksi astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalset arvu. Def3 Maatriksi astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute veergude maksimaalset arvu. Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Olgu meil antud n vektorit E1, E2, E3,..., En ja olgu n reaalaru 1, 2, 3, ..., n. vektorite lineaarkombinatsioon 1 E1 + 2 E2 + 3 E3 + ... + n En = 0 (*) Def1 Öeldakse, et vektorid E1, E2, ..
Arvulise tunnuse puhul. Normaaljaotuse eeldus puudub. n 6 d i2 rS 1 i 1 n( n 2 1) d i si ti Spearmanni korrelatsioonikordaja d – astakute vahe. Algul tuleb leida mõlema tunnuse astakud ning need omavahel lahutada (esimesest teine). Seejärel võtan d ruutu ning liidan saadud arvud kokku. Panen tulemuse tabelisse, ning saan teada mis on korrelatsioonikordaja väärtus. Selle väärtuse järgi saame tõlgendada seose tugevust. 2nv 1 N nv n s N
keskmist astakut (mean rank); samuti on mitteparameetrilises analoogis olulisel kohal Wilcoxoni Z (sõltumatute valimite puhul Mann-Whitney U). Need statistikud tuleb teil raporteerida järgnevalt: Wilcoxoni Signed Ranks Test näitas, et otse vaatava pilguga pilte hinnati statistiliselt oluliselt atraktiivsemaks kui kõrvale vaatava pilguga pilte, Z = ..., p = .02. Alternatiivselt: Wilcoxoni Signed Ranks Test näitas, et otse vaatava pilguga piltide atraktiivsuse astakud olid statistiliselt oluliselt kõrgemad kui kõrvale vaatava pilguga piltide astakud, Z = ..., p = .02. Korrelatsioon Korrelatsiooni kasutatakse selleks, et uurida muutujate vahelisi seoseid ning nende seoste tugevust. Parameetriline seosekordaja on Pearsoni r, mitteparameetrilisteks seosekordajateks on Spearmani roo ning Kendalli tau. Mitteparameetriliste analüüside korral kasutatakse tihtipeale Spearmani roo statistikut, ent Kendalli
48. Usaldusnivoo (level of confidence) tõenäosus 1 , mille korral parameetri vahemikhinnang katab tema tegeliku väärtuse. Parameeter satub lubatud piiridesse. 49. Üldkogum ökon.modelleerimisel on üldkogumiks modelleeritav majandusprotsess. 50. Spearmani korrelatsioonikoefitsent (rs) järjenumbrite korrelatsioonikordaja. N: on vaja reastada 2 erineva grupi arvamused ning need järjestada ja võrrelda (järjenumbrid astakud astakkorrelatsioon) N: tippjuhtide ja töötajate arvamused. Siis saab Spearmani kasutada. Spearmani saab kasutada ka siis kui on vaja intervallskaalas esitatud andmeid analüüsida ning vähendada erindite mõju. Pearson mõõdab lineaarse seose tugevust, Spearman monotoonse seose tugevust. Monotoonne seos ühe tunnuse kasvamine toob kaasa teise kasvu, ühe tunnuse kahanemine toob kaasa teise kahanemise. 51
reavektor , CR , C 2) maatriksi A mingit reavektorit korrutatakse mingi arvuga C , CR , C seda tähistatakse A Maatriksi veergude elementaarteisendamieks 1) , CR , C, CR , C Kasutatakse lineaarvõrrandite süsteemide, maatriksvõrrandite lhendamiseks ja pöördmaatriksi leidmiseks.Maatriksi astaku r(A) leidmiseks on 2 meetodit.selle aluseks on elementaarteisendamine A .1) kui m.A on saadud teisenduste 1)ja 2) abil m.B A siis on nende astakud r(A)=r(B). Iga (m*n) maatriksit võib teisendada nii et tekib antud maatriksi vastav K-järku ühikmaatriks,kõik ülejäänud elemendid on nullid.siit atak r(A)=K 9. Lineaarvõrrandite süsteem ja selle maatriks kuju. .lineaarne võrrand süsteemiks on maatriksi lõplikust arvust lin.võrrandist koosnevat süsteem.. aij (i-m,j-n)-süsteemi kordajad,b-süsteemi vabaliikmed,x-tundmatud.arvud mis rahuldvad süsteemi (()) ongi süsteemi lahendus. A=-süst.maatriks
Test options alt saate määratleda olulisuse nivoo. - costumize tests alt Mann whitney U - Fields - testfields (milliseid keskmisi tulemus võrrelda soovin, nt antisotsiaalsus) - groups (sugu, kui tahan sugude vahelisi erinevus võrrelda) - Run - OutPut aknas avaneb tabel, sinna topelt klõps ja raporteerid tulemusi. Näidis raporteering: Meeste (n = 111, mastak = 139.66) ja naiste (n = 119, mastak = 92.96) keskmised astakud erinesid statistiliselt oluliselt määral, (Mann-Whitney) U = 9286.50, p = 0.00. Kahe sõltuva rühma keskmiste omavaheline võrdlemine: Olukorras kus on samu indiviide mõõdetud kaks korda on vaja kasutada paarikaupa võrdlemise t-testi. Analyze -> Compare means -> Paired Samples T test - lisad mõlemad mille keskmist tahad võrrelda ja ok Kuidas testida normaaljaotust?
kui maatriksil leidub vähemalt üks i- järku miinor, siis on maatriksi astak i. See definitsioon ütleb, et maatriks on täisastakuga, kui tema kõrgeimat järku miinor (determinant) erineb nullist Kronecker-Capelli teoreem. Lineaarvõrrandite süsteem on lahenduv siis ja ainult siis, kui süsteemi maatriksi astak on võrdne laiendatud maatriksi astakuga. Lahenduvuse uurimiseks moodustatakse laiendatud maatriks ja kontrollitakse, kas süsteemimaatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed 5. Pöördmaatriks, p.leidmine, p.abil ülesannete lahendamine Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks A-1 nimetatakse maatriksit, mis antud maatriksiga korrutamisel vasakult või paremalt annab ühikmaatriksi: AA-1 = A-1A = E. Pöördmaatriksi leidmise algoritm: 1. Leida DA;; DA 0, kui DA = 0, siis A-1 ei eksisteeri; 2. Arvutada Dik; Dki 1 3. Leida A-1 = = ( Dki ) ; DA DA 4
Näide. Üldise korrastatud (tunmatud on võrdusmärgist vasakul teineteise all, vabaliikmed on võrdusmärgi paremal pool) lineaarse võrrandisüsteemi saab kirjutada maatrikskujul AX=B, kus võrrandisüsteemi maatriks A, tundmatute maatriks X ja vabaliikmete maatriks B. Teoreem (Kronecker-Capelli) Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui võrrandisüsteemi maatriksi A ja laiendatud maatriksi AB astakud on võrdsed (Öeldakse ka, et süsteem on kooskõlas). Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv r = r´ (see on nn. astakutingimus). Gaussi ja Gauss-Jordani meetod. Näited Gaussi meetodi puhul teisendatakse laiendatud maatriksi AB kõik elemendid allpool peadiagonaali nullideks, opereerides sealjuures eranditult vaid maatriksi ridadega. Veergusid on vaid lubatud vahetada, mis vastab ju tundmatute ümbernummerdamisele. Gauss-Jordan
2. maatriksi ühe rea ( või veeru ) kõigi elementide korrutamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. 3. maatriksi ühe rea ( või veeru ) elementidele teise rea ( või veeru ) ühe ja sama arvu kordsete elementide liitmine. Maatriksi rea juhtelemendiks nimetatakse selle rea (vasakult) esimest nullist erinevat elementi. Kronecker-Capelli teoreem - Lineaarne võrrndisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui süsteemimaatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed, so rank( A) = rank( AL). 10.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Lineaarvõrrandite süsteemi esimest, teist ja kolmandat tüüpi elementaarteisenduseks. Gaussi meetodi sisu. 11.Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju
kindla arvväärtuse omistamise teel nim lvsi erilahenditeks. Maatriksi astak: miinoriks on selle maatriksi ridade ja veergude eemaldamise teel moodustatud det. Astak on selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeim järk. Maatriksi astak on r, kui sellel maatriksil 1)leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor 2)puuduvad nullist erinevad r-ist nõrgemat järku miinorid. Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Def. Kui maatriksitel A ja B on ühesugused järgud ja astakud, siis nim neid maatrikseid ekvivalentseteks ja kirjutatakse A~B (omadused: 1)refleksiivuss iga A~A 2)sümmeetria A~B B~A 3)transitiivsus A~B ja B~C A~C). Astaku leidmine: tuleb maatriks elementaarteisenduste abil teisendada tereppmaatriksiks, seejärel kasutada teoreemi treppmaatriksi astakust. Kronecker-Capelli teoreem.Öeldakse, et maatriksi astak on r, kui selle maatriksi rea ja veeru elementidest saab moodustada vähemalt ühe 0-st erineva r-järku miinori ja mitte ühtegi 0-st
59. Lõikuvad , siis kahe tasandi vaheline nurk cos = = ja n1 n 2 A + B12 + C12 A22 + B22 + C 22 1 2 võrrandsüsteemi maatriksite astakud on r ( A ) = r ( AL ) = 2 60. On risti , siis n1 n2 = 0 A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 A1 B1 C1 D1 61. On paralleelsed, siis n1 x n2 = 0 ja = = ja r ( A ) = 1 ning r ( AL ) = 2 A2 B2 C 2 D2 A1 B1 C1 D1 62. Ühtivad, siis n1 x n2 = 0 ja = = = ja r ( A ) = r ( AL ) = 1 A2 B2 C 2 D2
59. Lõikuvad , siis kahe tasandi vaheline nurk cos = = ja n1 n 2 A + B12 + C12 A22 + B22 + C 22 1 2 võrrandsüsteemi maatriksite astakud on r ( A ) = r ( AL ) = 2 60. On risti , siis n1 n2 = 0 A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 A1 B1 C1 D1 61. On paralleelsed, siis n1 x n2 = 0 ja = = ja r ( A ) = 1 ning r ( AL ) = 2 A2 B2 C 2 D2 A1 B1 C1 D1 62. Ühtivad, siis n1 x n2 = 0 ja = = = ja r ( A ) = r ( AL ) = 1 A2 B2 C 2 D2
18. Pärast haalamistööde lõpetamist tuleb liigsed trossid asetada puhtidesse või kerida poolidele ja pelid välja lülitada. 19. Haalamiseks tohib kasutada ainult korrasolevaid trosse, millistel on Klassifitseerimisühingu sertifikaat. Kasutada ei tohi vigastatud, roostes ja jäiki trosse. 20. On keelatud kasutada otsi, mille kuuekordne diameeter ületab trumli diameetri. 21. On keelatud kasutada pelitrumleid, millel on paralleelsed astakud. 22. On keelatud siduda trossidele sõlmi. 23. On keelatud lasta samas kiibist läbi ühes terasvaieriga või kinnitada kaks otsa ühele ja samale pollarile. 24. Haalamise ajaks tuleb kõik luugid ja illuminaatorid, millised on kaist madalamal, sulgeda. Haalamise ajal ei tohi suitsetada ega lobiseda!
.. + k r Ak r Tuleb välja, et maatriksi nn. elementaarteisendused ei muuda maatriksi astakut. Definitsioon. Maatriksi ridade (veerude) elementaarteisendusteks nimetakse üleminekut maatriksilt A maatriksile B järgmise kahe võimaliku reegli abil: 1. maatriksi mistahes rea (veeru) korrutamine arvuga. 2. mistahes reale (veerule) arvkordse teise rea (veeru) liitmine (lahutamine). Lause 2. Kui maatriks B saadakse maatriksist A elemntaarteisenduste abil, siis nende astakud on võrdsed e. Maatriksi astaku leidmiseks tuleb maatriks elementaarteisenduste abil teisendada nn. treppmaatriksiks. Definitsioon. Maatriksi rea juhtelemendiks nimetatakse selle rea (vasakult) esimest nullist erinevat elementi. Definitsioon. Öeldakse, et maatriks on trepikujuline ehk treppmaatriks, kui 1) read, mis koosnevad ainult nullidest, on maatriksi põhjas (all); 2) mistahes rea juhtelement (kui leidub) asetseb rangelt paremal temale eelneva rea juhtelemendist. Näide
poolidele ja pelid välja lülitada. 22 19. Haalamiseks tohib kasutada ainult korrasolevaid trosse, millistel on Klassifitseerimisühingu sertifikaat. Kasutada ei tohi vigastatud, roostes ja jäiki trosse. 20. On keelatud kasutada otsi, mille kuuekordne diameeter ületab trumli diameetri. 21. On keelatud kasutada pelitrumleid, millel on paralleelsed astakud. 22. On keelatud siduda trossidele sõlmi. 23. On keelatud lasta samas kiibist läbi ühes terasvaieriga või kinnitada kaks otsa ühele ja samale pollarile. 24. Haalamise ajaks tuleb kõik luugid ja illuminaatorid, millised on kaist madalamal, sulgeda. 25. Haalamise ajal ei tohi suitsetada ega lobiseda. 23 Haalamisotsad 24 25 26 Laeva tuleohutus ja päästevarustus
taarteisenduste abil. Meetodi aluseks on t¨ ahelepanek, et LVS-i elementaarteisendusi v~oib sooritada maatriksesituses, kasutades IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 9 LVS-i laiendatud maatriksi (peamiselt ridade) elementaarteisen- dusi. LVS teisendatakse elementaarteisendudte abil ekvivalentsele treppkujule. Meetod v~oimaldab 1) leida LVS-i maatriksi ja tema laiendatud maatriksi astakud, 2) kontrollida astakutingimust (koosk~olalisust), 3) selekteerida v¨alja vabad tundmatud (kui leiduvad), 4) koosk~olalisuse korral leida LVS-i k~ oik lahendid, olemasolu korral u ¨ldlahend. 7.6 Gaussi meetod (LVS-i lahendamine) 1) Kirjutame v¨alja LVS-i laiendatud maatriksi, eraldades sel- gelt vabaliikmete veeru. 2) Kasutades ridade elementaarteisendusi, teisendame LVS-i
2.8 Süsteemi üldlahend ja erilahend Definitsioon 2.13 Lineaarvõrrandisüsteemi A·x = b üldlahendiks nimetatakse niisugust lahendit, mis sisaldab suvalist konstanti (konstante) c R. Definitsioon 2.14 Lineaarvõrrandisüsteemi A·x = b erilahendiks nimetatakse niisugust lahendit, mis saadakse üldlahendist konstandile (konstantide) c mingi konkreetse arvulise väärtuse andmisel. Märkus 2.7 Lineaarvõrrandisüsteemil A · x = b leidub lahend, kui maatriksite A ja (A b) astakud võrduvad (olgu selleks astakuks r). Kui meil on m võrrandit ja n tundmatut, siis m = n = r: süsteemil on üks ja ainus lahend; n = r < m: süsteemil üks ja ainus lahend (osa võrrandeid ,,kattuvad"); m = r < n: lõpmata palju lahendeid, n - m vaba tundmatut; r < m n: lõpmata palju lahendeid, n - r vaba tundmatut. 2.9 Homogeenne lineaarvõrrandisüsteem Definitsioon 2.15 Lineaarvõrrandisüsteemi (2.5) A·x=b
annaabi.ee 
