cos = 2 1 + tan 2 2 · Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ±arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z · Arkusfunktsioonide omadusi sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin( x) = arcsin x arccos( x) = arccos x arctan( x) = arctan x
2 1 + tan 2 · Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ± arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z · Arkusfunktsioonide omadusi sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin( x) = arcsin x arccos( x) = arccos x arctan( x) = arctan x Kasutatud kirjandus: Eksaminandile matemaatika riigieksamist, REK, 2001 Valemid asuvad keskkonnas www.kool.ee
2 1 + tan 2 · Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ± arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z · Arkusfunktsioonide omadusi sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin( x) = arcsin x arccos( x) = arccos x arctan( x) = arctan x Kasutatud kirjandus: Eksaminandile matemaatika riigieksamist, REK, 2001 Valemid asuvad keskkonnas www.kool.ee
väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe y väärtuse. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Logaritmfunktsioon ja selle määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik. Eksponentfunktsiooni y = ax pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. 5. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste. 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon.
π||k ∈ Z } ,Y=R (graafik) y = cot x : X = R / { k π π||k ∈ Z } ,Y =R (graafik) 4. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Logaritmfunktsioon ja selle määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik. Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. Üksühene funktsioon. Olgu antud funktsioon y = f(x). Vastavalt funktsiooni definitsioonile on tegemist kujutisega, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe kindla y väärtuse. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis
( y ) = f ' ( x) Tõestus y f ' ( x) = lim x 0 x x 1 1 1 1 ' ( y ) = lim = lim = lim = = y 0 y y 0 y x 0 y y f ' ( x) lim x x x 0 x MOTT. 10 Arkusfunktsioonide tuletised y = arcsin x x = sin y 1 1 1 1 (arcsin x) = = = = (sin y ) cos y 1 - sin 2 y 1- x2 1 (arcsin x)' = 1- x2 y = arccos x x = cos y 1 1 1 1 (arccos x) = = = = (cos y ) - sin y - 1 - cos 2 y - 1- x2 1 (arccos x)' =
üksühene. Funktsiooni f pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis igale y Y seab vastavusse kõigi selliste x X hulga, mille korral kehtib võrdus f(x) = y. Logaritmfunktsioon . Eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon x = loga y, kus a on logaritmi alus. Määramispiirkond X = (0;) Väärtuste hulk Y=R Graafik Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega. Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on arkusfunktsioonid. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. y = arcsin x : X = [-1; 1]; Y = [-/2; /2] ; y = arccos x : X = [-1; 1]; Y = [0; ] ; y = arctan x : X = R; Y = (- /2; /2) ; y = arccot x : X = R; Y = (0; ) 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y =f(x) ja y = g(x) ühise määramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa: y = (f + g)(x) = f(x) + g(x) Funktsioonide f ja g vahe: y = (f - g)(x) =f(x) - g(x)
Arvteljeks nim sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste { . ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab y = (t), [T, T] lõpmatusele lim () = - funktsioonide ahenditega. Arkusfunktsioonide Võrrandeid nimetatakse funktsiooni y=f(x) arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Igale arvtelje määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. Funktsioonil f on piirväärtus b kohal , kui suvalises piirprotsessis x,
u u v - uv = 46. Jagatise valem: v v2 47. 48. Liitfunktsiooni tuletise valem. dy dy du = 49. dx du dx 50. 51. Eksponentfunktsiooni ja logaritmfunktsiooni tuletis ning astmefunktsiooni tuletis mistahes reaalarvulise astendaja puhul (valemid). Funktsioonide y = tan x ja y = ln x tuletiste valemid. Logaritmiline diferentseerimine. Arkusfunktsioonide tuletiste valemid 52. ( x) = 1 53. ( x ) = x -1 54. (e x ) = e x 55. ( a x ) = a x ln a 1 (ln x) = 56. x 1 (log a x ) = 57. x ln a 58. (sin x) = cos x 59. (cos x) = - sin x 1 (tan x ) = 60. cos 2 x 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 1
4 MATEMAATILINE ANALÜÜS I 4) Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Logaritmfunktsioon ja selle määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik. Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. Olgu antud funktsioon = ! . Eeldame, et iga korral hulgast leidub ainult üks nii, et valitud on selle -i kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon ! on üksühene. Üksühese funktsiooni = ! pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale ! -le funktsiooni ! väärtuste hulgast vastavusse -i. Pöördfunktsiooni avaldise saame, kui lahendame võrrandi = ! muutuja suhtes.
üheseid pöördfunktsioone. Pöördfunktsiooni defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist esimene iga x [-/2, /2] korral. arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist esimene iga x [0, ] korral. arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y, neist esimene iga x (-/2, /2 ) ja kolmas iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) . Ilmutatud funktsioon funktsiooni y=f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldus, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Ilmutamata funktsioon Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y
erinev (joonised 1.6 ja 1.7). Võrreldes graafikuid joonistel 1.4 - 1.7 näeme, et y = loga x graafik on y = ax graafiku peegeldus sirge y = x suhtes. Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega: Arkusfunktsioonid: Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on nn. arkusfunktsioonid. Peamine probleem trigonomeetriliste funktsioonide pööramisel on see, et nad ei ole terves oma määramispiirkonnas üksühesed. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud: Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 5. Algebralised tehted funktsioonidega: Olgu antud kaks funktsiooni y = f(x) ja y = g(x) ühise määramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab igale x X vastavusse muutuja y väärtuse valemiga y = f(x)+g(x). Funktsioonide f ja g summa loomulik tähis on f +g
4. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune kompenseerimine, funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikute omavaheline seos. Logaritmfunktsioon ja tema määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik. Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. a. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid a.i. Funktsioon f on üksühene, kui igale argumendi x väärtusele vastab määramispiirkonnas üks kindel y ninh iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y=f(x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv.
x=logay
kus a on logaritmi alus. y=log ax määramispiirkond X=(0, ) väärtuste kulk Y=R.
Graafik on juhtudel a>1 ja 0
cos = 2 2 1 + tan 2 · Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ± arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z · Arkusfunktsioonide omadusi sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin( x) = arcsin x arccos( x) = arccos x arctan( x) = arctan x 8. Funktsiooni piirväärtus ja tuletis · Funktsiooni muut ja tuletis y = f(x + x) f(x)
x=logay kus a on logaritmi alus. y=logax
määramispiirkond X=(0, ) väärtuste kulk Y=R. Graafik on juhtudel
a>1 ja 0
Kehtivad seosed arccos[cosx]=x ja cos[arccosy]=y, neist esimene iga x korral. Funktsioonide y=tanx ja y=cotx pööramisel ahendatakse tanx vahemikule ja cotx vahemikule Funktsioonide y=tanx, x ja y=cotx, x Pöördfunktsioonid on vastavalt arkustangens x=arctany ja arkuskotangensx=arccoty. Kehtivad valemid arctan[tanx]=x, tan[arctany]=y, arccot[cotx]=x ja cot[arccoty]=y, neist esimene iga x ja kolmas iga x korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y=f(x) ja y=g(x) ühise määramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab igale x X vastavusse muutuja y väärtuse valemiga y=f(x)+g(x). Funktsioonide f ja g summa loomulik tähis on f+g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos y=(f+g)x=f(x)+g(x).
Kehtivad seosed arccos[cosx]=x ja cos[arccosy]=y, neist esimene iga x korral. Funktsioonide y=tanx ja y=cotx pööramisel ahendatakse tanx vahemikule ja cotx vahemikule Funktsioonide y=tanx, x ja y=cotx, x Pöördfunktsioonid on vastavalt arkustangens x=arctany ja arkuskotangensx=arccoty. Kehtivad valemid arctan[tanx]=x, tan[arctany]=y, arccot[cotx]=x ja cot[arccoty]=y, neist esimene iga x ja kolmas iga x korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y=f(x) ja y=g(x) ühise määramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab igale x X vastavusse muutuja y väärtuse valemiga y=f(x)+g(x). Funktsioonide f ja g summa loomulik tähis on f+g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos y=(f+g)x=f(x)+g(x).
y = loga x graafik on y = ax graafiku peegeldus sirge y = x suhtes. Arkusfunktsioonid. Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on nn. arkusfunktsioonid. y = sinx, x [-/2,/2] x = arcsiny : X = [-1,1], Y = [- /2, /2] y = cosx, x [0,] x = arccosy : X = [-1,1], Y = [0,] y = tanx, x (-/2,/2) x = arctany : X = R, Y = (- /2 , /2 ) y = cotx, x (0,) x = arccoty : X = R, Y = (0,) Arkusfunktsioonide graafikud on trigonomeetriliste funktsioonide ahendite graafikute peegeldused üle sirge y = x. 5. Algebralised tehted funktsioonidega. y = (f + g)(x) = f(x) + g(x) y = (f - g)(x) = f(x) - g(x) y = (fg)(x) = f(x)g(x) y = (f/g)(x) = f(x)/g(x) Liitfunktsiooni mõiste. z = (g f)(x) = g[f(x)] Liitfunktsiooni määramispiirkond. Xgf = {x||x Xf, f(x) Yg} Põhilised elementaarfunktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx, y = log a x, y =
Pöördfunktsiooni defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist I iga x [-/2, /2] korral. arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist I iga x [0, ] korral. arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y,neist I iga x (-/2, /2 ) ja III iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) . 5) · Algebralised tehted funktsioonidega y = (f +g)(x) = f(x) + g(x) y = (f g)(x) = f(x) g(x) y = (fg)(x) = f(x)g(x)
Pöördfunktsiooni defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist I iga x [-/2, /2] korral. arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist I iga x [0, ] korral. arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y,neist I iga x (-/2, /2 ) ja III iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) . 5) · Algebralised tehted funktsioonidega y = (f +g)(x) = f(x) + g(x) y = (f g)(x) = f(x) g(x) y = (fg)(x) = f(x)g(x)
1 2 cos x cos x cos 2 x cos 2 x 1 tan x = cos 2 x 1 analoogselt käib ka cot x =1 sin 2 x 21. Arkusfunktsioonide tuletised y = arcsin x x = sin y ( arcsin x ) = 1 = 1 cos y = 1 = 1 ( sin y ) 1 - sin y 2
Kuna trigonomeetrilised funktsioonid pole terves oma määramispiirkonnas üksühesed siis ei ole võimalik saada neile terves oma määramispiirkonnas üksühest pöördfunktsiooni. Pöördfunktsiooni defineerime nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. 1. ja , neist esimene iga korral 2. ja , neist esimene iga korral 3. ja , neist esimene iga korral 4. ja , neist esimene iga korral · Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad 1. 2. 3. 4. 5. · Algebralised tehted funktsioonidega Kui on antud kaks ühise määramispiirkonnaga funktsiooni ja siis kehtivad järgmised seosed: 1. 2. 3. 4. Summa, vahe ja korrutise määramispiirkonnaks on X, jagatise puhul aga kus · Liitfunktsiooniks nimetame funktsiooni mis saadakse mitme funktsiooni järjest rakendamisel.
Funktsioonid y = sin x, y = tan x ja y = cot x on paaritud ning y = cos x paaris. 4. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune kompenseerimine, funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikute omavaheline seos. Logaritmfunktsioon ja tema määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik. Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. Üksühese funktsiooni mõiste. Olgu antud funktsioon y = f(x). Vastavalt funktsiooni definitsioonile on tegemist kujutisega, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe kindla y väärtuse. Uksühese funktsiooni pöördfunktsioon. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i
Analoogiliselt saame II variandi puhul seose , millest h . b h a b Punkti kauguse küljest saab avaldada ka nurkade kaudu, kasutades arkusfunktsioone, mis on avaldatud külgede a, b ja c kaudu. Sellist lahendusmeetodit kasutades jääb punkti kauguse avaldis pikk ja kohmakas. Arkusfunktsioonide kaudu nurkade leidmisel on rohkem mõtet siis, kui kauguse avaldamine käib üle jõu ning tahetakse kaugust arvutuste teel kätte saada. 22 23 Ülesande lahendamine toetub joonisele, rõhutame seejuures - joonist tuleb õigesti kasutada. Antud
hemikule (- 2 , 2 ) ja cot x vahemikule (0, ). Funktsioonide y = tan x, x (- , ) ja y = cot x, x (0, ) 2 2 p¨o¨ordfunktsioonid on vastavalt arkustangens x = arctan y ja arkuskotangens x = arccot y. Kehtivad valemid arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y, neist esimene iga x (- 2 , 2 ) ja kolmas iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide m¨a¨aramispiirkonnad ja v¨a¨artuste hulgad on j¨argmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [- , ] , 2 2 y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (- , ) ,
hemikule (- 2 , 2 ) ja cot x vahemikule (0, ). Funktsioonide y = tan x, x (- , ) ja y = cot x, x (0, ) 2 2 p¨o¨ordfunktsioonid on vastavalt arkustangens x = arctan y ja arkuskotangens x = arccot y. Kehtivad valemid arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y, neist esimene iga x (- 2 , 2 ) ja kolmas iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide m¨a¨aramispiirkonnad ja v¨a¨artuste hulgad on j¨argmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [- , ] , 2 2 y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (- , ) ,
Arkusseekans arcsec : R (-1, 1) [0, ] 2 on üksühene pealekujutus. Arkuskooseekans arccsc : R (-1, 1) - 2 , 2 {0} on paaritu üksühene pealekujutus. 34 3.7. Põhilised elementaarfunktsioonid Märkus 3.11 Kirjanduses kasutatakse arkusfunktsioonide tähistamiseks ka kirju- tusviisi sin-1 (x), cos-1 (x), tan-1 (x) ja cot-1 (x). Viimane on tulnud f (x) pöördfunktsiooni f -1 (x) tähistamisest. Seda ei tohi segamini ajada argumendi x pöördväärtusega x-1 = x1 . Funktsioonide korral kirjutusviis f -1 (x) ei tähenda avaldist 1 f (x) , vaid ikkagi pöördfunktsiooni. Segaduse vältimiseks on kasulikum kasutada
annaabi.ee 
