Sirge tõusunurgaks nimetatakse nurka (alfa), mis on x-telje positiivse suuna ja sirge vahel. Sirge tõusuks nimetatakse suurust tan(alfa). Sirge algordinaadiks nimetatakse ordinaadi väärtust, kus sirge lõikab y-telge. Sirge võrrand kahe puntki abil: x-x1 / x2-x1 = y-y1 / y2-y1 Sirge võrrand ühe punkti ja sihivektoriga: x-x1 / s1 = y-y1 / s2 Sirge võrrand punkti ja tõusuga: y-y1 = k(x-x1) Sirge võrrand tõusu ja algordinaadiga: y = kx + b Ühel sirgel on lõpmata palju sihivektoreid. Teame järgnevaid sirge määramise viise: kahe punkti abil, punkti ja sihivekotriga, punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga. Sirge on omavahel risti kui nende tõusude korrutis on -1, s.t. k1 * k2 = -1. N: 12x 3y = 0; 2x + 8y 9 = 0 s1(3;12) s2(-8;2) s1*s2=3*(-8)+12*2=0 Sirge üldvõrrand: ax + by + c = 0 => s(prim) = (-b; a) Kahe sirge vastastikused asendid: s: a1x + b1y + c1 = 0 t: a2x + b2y + c2 = 0
- Nurk kahe vektori vahel 2. Sirge võrrandid y 2 - y1 k = tan = - Sirge tõus ja tõusunurk x 2 - x1 y - y1 = k ( x - x1 ) - Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand y = kx + b - Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand x - x1 y - y1 - Kahe punktiga määratud sirge võrrand = x 2 - x1 y 2 - y1 x - x1 y - y1 = - Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand sx sy
ei ole määratud Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand y P(x;y) y 2 y1 A(x1;y1) tan x x2 x1 s y y1 k ( x x1 ) Näide. Koosta sirge võrrand, kui sirge läbib punkti A(4;-3) ning sirge tõus on k=-2 y 3 2( x 4) y 2 x 5 Tõusu ja algordinaadiga sirge võrrand y kx b y=2x- 3 algordinaat sirge tõus 2 1 Näide. Koosta sirge võrrand, kui sirge läbib y-telge punktis -3 ning sirge tõus on k=4 y 4x 3 y 4x 3 Kahe punktiga määratud sirge võrrand y P(x;y) B(x2;y2) y y1 x x1
Sirge tõusuks nimetatakse selle sirge tõusunurga tangensit. y - y1 k = tan = 2 x 2 - x1 Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand: y - y1 = k ( x - x1 ) Algordinaat sirge ja y-telje lõikepunkti y-koordinaat. Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand: y = kx + b Kahe punktiga määratud sirge võrrand: y - y1 x - x1 = y 2 - y1 x 2 - x1 Sirge võrrand telglõikudes: x y + =1 a b y-teljega paralleelse sirge võrrand on x = a x-teljega paralleelse sirge võrrand on y = b Sirge sihivektoriks nimetatakse iga vektorit, mille siht langeb kokku sirge sihiga. Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand: x - x1 y - y1 = sx sy Nurk kahe sirge vahel: k1 - k 2 tan =
Ruumilised kujundid risttahukas kuup püst- ja kaldprisma korrapärane püramiid silinder koonus kera TULETISED JA TEKSTÜLESANDED tuletised korrutise tuletis: jagatise tuletis: liitfunktsiooni tuletis: ekstreemumkohad nullkohad: positiivsus: negatiivsus: ekstreemum: kasvamisvahemik: kahanemisvahemik: puutuja kohal : vektor ja sirge tasandil vektorite skalaarkorrutis: vektorid on risti, kui vektorid on paralleelsed, kui tõusu ja algordinaadiga määratud sirge: punkti ja tõusuga määratud sirge: kahe punktiga määratud sirge: punkti ja vektoriga määratud sirge: sirge üldvõrrand: sirgete paralleelsus: sirged on paralleelsed, kui sirgete ristseis: aritmeetiline jada geomeetriline jada hääbuva jada summa:
Punkte x-teljel, kus parabool lõikab või puudutab x-telge nimetatakse nullkohtadeks. Nendes punktides on funktsiooni väärtus 0. Sirge võrrand Sirge võrrandi üldkuju on y=ax+b Võrrandi lahendi leidmiseks on antud kaks punkti A(a;b) ja B(c;d), mis asuvad ühel sirgel. = Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand A(a;b) =(c;d) on sisevektor Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand A(a;b) k=sirge tõus y b = k(x a) Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand k=sirge tõus b=algordinaat y=kx + b
Sirged tasandil Sirge esitamise viisid: 1. Kahe punktiga esitatud sirge võrrand: Olgu antud kaks punkti , siis sirge võrrandiks on 2. Punkti ja sihivektoriga esitatud sirge võrrand: Olgu antud punkt ja sihivektor , siis sirge võrrandiks on 3. Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand: Olgu antud punkt ja tõus , siis sirge võrrandiks on 4. Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand: Olgu antud tõus k ja algordinaat b (y telje koordinaat, kus sirge läbib y-telge) y = kx + b 5. Sirge võrrand telglõikudes: Läbigu sirge koordinaattelgi punktides (a; 0) ja (0; b), siis sirge võrrand on Sirge üldvõrrandiks on Ax + By + C = 0, kus sihivektori koordinaadid on ja normaalvektori koordinaadid . Normaalvektor on risti sihivektoriga . Sirge tõusu saab arvutada valemitega . Punkti kaugus sirgest Ax + By + C =0 .
(tan x)´ = LÕIK, SIRGE, VEKTOR, TASAND Lõigu pikkus ruumis: d = Tasandi projektsiooni pindala: Sp = Vektorite paralleelsuse tingimus: Vektorite ristseisu tingimus: Skalaarkorrutis: Nurk vektorite vahel: Vektorite liitmine ja lahutamine: Vektori pikkus: Ühel tasandil olevaid vektoreid nimetatakse komplanaarseteks. Komplanaarsuse tingimus: Sirge võrrand tasandil Kahe punktiga: Punkti ja sihivektoriga: Punkti ja tõusuga: Tõusu ja algordinaadiga: NB! Ruumis saab leida ainult kahe punktiga. Sirgete asend ruumis Paralleelsuse tingimus: Millal lõikub, millal kiivne: Tasandi võrrandi üldkuju: Asendid Sirge on paralleelne tasandiga, kui: Lõikab, kui: On tasandil, kui : Nurga leidmine sirge ja tasandi vahel: Nurga leidmine kahe tasandi vahel: Ringjoone võrrandi üldkuju: NB! Tuleta meelde täisruudu eraldamise võte KUUPIDE VALEMID a3 + b3 = a3 b3 = (a + b)3 = (a - b)3 = TÕENÄOSUS Permutatsioonid:
SIRGE VÕRRANDID Üldvõrrand - ax + by=c või ax + by +c =0 x-teljega paralleelne sirge y=a y-teljega paralleelne sirge x=b koordinaattelgede vahelise nurga poolitaja võrrand: I ja III veerand y=x; II ja IV veerand y=-x punktiga A(x1;y1) ja vektoriga v=(sx;sy) määratud sirge = punktidega A(x1;y1) ja B(x2;y2) määratud sirge punktidega A(a;0) ja B(0;b) ehk telglõikudes ,ääratud sirge punktiga A(x1;y1) ja tõusuga k määratud sirge y-y1 =k(x-x1) tõusuga k ja algordinaadiga b määratud sirge y=kx+b nurk sirgete y=k1x+b1 ja y=k2x+b2 vahel tan=||
· vektori pikkus ja nurk vektorite vahel; · vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnused; · joone võrrandi mõiste; · sirge võrrand tasandil; · kahe sirge vastastikused asendid; · ringjoone võrrand; · parabooli võrrand. Põhioskused · Tehete sooritamine vektoritega geomeetriliselt ja koordinaatkujul; · vektorite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel; · sirge võrrandi koostamine, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga, kahe punktiga, punkti ja sihivektoriga; · sirge tõusu määramine; · kahe sirge vahelise nurga arvutamine; · ringjoone ja parabooli võrrandite koostamine; · sirgete, ringjoonte ja paraboolide (kui selle telg on y-telg või y-teljega paralleelne sirge) joonestamine nende võrrandite järgi; · mistahes joone (ka funktsiooni graafiku) skitseerimine selle võrrandi järgi; · kahe joone lõikepunktide leidmine. Valemid · Lineaartehted vektoritega
2 B2 y - (-1) x - (-3) = 1 2 - (-1) 0 - (-3) -3 A 0 x y +1 x + 3 = -1 3 3 -2 B1 y = x + 2. (s1) Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand Algordinaat on sirge ja y-telje lõikepunkti ordinaat. Sirge võrrandiks, kui on teada tõus k = tan ja algordinaat b, on y = kx + b y A(0; b) 0 x Tõusu ja ühe punktiga määratud sirge võrrand Sirge võrrandiks, kui on teada tõus k = tan ja mingi punkt A(x1; y1) sirgelt, on
s2 1 8y 24 = x + 1 K= = s1 7 x 8y + 25 = 0 K > 0 , sirge on tõusev. 4. Leia punktiga A(-2 ; 3) ja tõusunurgaga = 45 o määratud sirge võrrand. Valmista joonis. K = tan = tan 45 o = 1 Sirge võrrand punkti ja tõusu järgi: Y YA = K(X XA) y 3 = 1(x (-2)) y3x2=0 yx5=0 5 1 5. Leia tõusu K = ja algordinaadiga b = - määratud sirge võrrand. Teisenda saadud 2 4 võrrand üldkujuliseks. Sirge võrrand tõusu ja algordinaadi järgi: y = Kx + b 5 1 5 1 y= x + - y= x- 2 4 2 4 5 1 ÜLDVÕRRAND: y = x+ =0 4 4y 10x + 1 = 0 2 4 6. Koosta sirge võrrand, kui sirge läbib punkte A(0 ; 4) ja B(-3 ; 0).
55. Punktiga A( x1 ; y1 ) ja vektoriga v =( s x ; s y ) määratud sirge x - x1 y - y1 = sx sy 56. Punktidega A( x1 ; y1 ) ja B ( x 2 ; y 2 ) määratud sirge y - y1 x - x1 = y 2 - y1 x 2 - x1 57. Punktidega >A(a;0) ja B(0; b) ehk telgiõikudes määratud sirge x y + =1 a b 58. Punktiga A( x1 ; y1 ) ja tõusuga k määratud sirge y - y1 = k ( x - x1 ) 59. Tõusuga k ja algordinaadiga b määratud sirge y = kx + b 60. Nurk sirgete y = k1 x + b1 ja y = k 2 x + b2 vahel k1 - k 2 tan = 1 + k1 k 2 MUUD 61. Lõigu AB keskpunkti koordinaadid, kui A( x1 ; y1 ) ja B ( x 2 ; y 2 ) ja keskpunkt on x + x 2 y1+ y 2 C ( x c ; y c ) , siis C 1 ; 2 2 62. Lõigu AB otspunktid on A ja B ning punkt C jaotab lõigu suhtes m:m mx + nx1 my 2 + ny1
55. Punktiga A( x1 ; y1 ) ja vektoriga v =( s x ; s y ) määratud sirge x - x1 y - y1 = sx sy 56. Punktidega A( x1 ; y1 ) ja B ( x 2 ; y 2 ) määratud sirge y - y1 x - x1 = y 2 - y1 x 2 - x1 57. Punktidega >A(a;0) ja B(0; b) ehk telgiõikudes määratud sirge x y + =1 a b 58. Punktiga A( x1 ; y1 ) ja tõusuga k määratud sirge y - y1 = k ( x - x1 ) 59. Tõusuga k ja algordinaadiga b määratud sirge y = kx + b 60. Nurk sirgete y = k1 x + b1 ja y = k 2 x + b2 vahel k1 - k 2 tan = 1 + k1 k 2 MUUD 61. Lõigu AB keskpunkti koordinaadid, kui A( x1 ; y1 ) ja B ( x 2 ; y 2 ) ja keskpunkt on x + x 2 y1+ y 2 C ( x c ; y c ) , siis C 1 ; 2 2 62. Lõigu AB otspunktid on A ja B ning punkt C jaotab lõigu suhtes m:m mx + nx1 my 2 + ny1
ja lahutamine. kollineaarsuse tunnuseid; Vektori 5) lahendab kolmnurka vektorite korrutamine abil; arvuga. 6) leiab lõigu keskpunkti Lõigu keskpunkti koordinaadid; koordinaadid. Kahe 7) tuletab ja koostab sirge vektori vaheline võrrandi (kui sirge on määratud nurk. Vektorite punkti ja sihivektoriga, punkti ja kollineaarsus. Kahe tõusuga, tõusu ja algordinaadiga, vektori kahe punktiga ning teisendab skalaarkorrutis, selle üldvõrrandiks; määrab kahe selle rakendusi, sirge vastastikuse asendi tasandil, vektorite ristseis. lõikuvate sirgete korral leiab Kolmnurkade sirgete lõikepunkti ja nurga sirgete lahendamine vahel; vektorite abil. 8) koostab hüperbooli, parabooli ja Sirge võrrand. ringjoone võrrandi; joonestab Sirge üldvõrrand. ainekavas esitatud jooni nende
Kordaja a näitab sirge tõusu a b ab = 0 41. Sirge nurga tõus ja sirge tõus y - y1 11. klass k = tan = 2 x 2 - x1 50. Trigonomeetria 42. Punkti ja tõusuga määratud sirge. Tõusu ja 51. Kaldnurkse kolmnurga lahendamine algordinaadiga määratud sirge võrrand Vt. Punkt 31,32,33 Y - y1 = k ( X - x1 ) 52. Funktsioonid 53. Võrdeline sõltuvus y = kx + b y = ax , kus x 0 ja a 0 43. Kahe punktiga määratud sirge võrrand Graafik on sirge:
x xA y yA = l m 35. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud tõusuga k, ehk sirgete kimbu võrrand y yA = k ( x xA ) x xA y yA yB yA 36. Sirge võrrand läbi kahe antud punkti A ja B = , kus sirge tõus k = xB x A yB y A xB x A 37. Sirge võrrand antud tõusu ja algordinaadiga. y = k x + b 38. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud normaalvektoriga n = ( A: B ) A A ( x xA ) +B (y yA ) = 0, kus sirge tõus k = tan = B A C 39. Sirge üldvõrrand Ax + By + C = 0, kus sirge tõus k = ja algordinaat b =
x xA y yA = l m 35. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud tõusuga k, ehk sirgete kimbu võrrand y yA = k ( x xA ) x xA y yA yB yA 36. Sirge võrrand läbi kahe antud punkti A ja B = , kus sirge tõus k = xB x A yB y A xB x A 37. Sirge võrrand antud tõusu ja algordinaadiga. y = k x + b 38. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud normaalvektoriga n = ( A: B ) A A ( x xA ) +B (y yA ) = 0, kus sirge tõus k = tan = B A C 39. Sirge üldvõrrand Ax + By + C = 0, kus sirge tõus k = ja algordinaat b =
kitsas matemaatikas, kuid erinevused sisus on olulised. Kitsas matemaatikas peab kolmanda kursuse lõpetaja oskama selgitada vektori mõistet ja selle koordinaate; liitma ja lahutama vektoreid ning korrutama vektoreid arvuga nii geomeetriliselt kui ka koordinaatkujul; arvutama vektori pikkust; leidma vektorite skalaarkorrutist ning tundma vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnuseid. Õpilane koostab sirge võrrandi, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga või kahe punktiga ning määrab sirgete vastastikuse asendi ja leiab vajadusel nende lõikepunkti. Õpilane tunneb ja joonestab sirgeid, paraboole ja ringjooni nende võrrandite järgi ning koostab ringjoone võrrandi keskpunkti ja raadiuse järgi. Samuti peab õpilane oskama leida joonte lõikepunkte, kui üks joontest on sirge, ja lahendama rakendusliku sisuga ülesandeid vektorite ja joonte võrrandite abil.
Olgu otsitava sirge mis tahes punkt M(x;y). Nüüd AM=(x-x1;y-y1) ja järeldub et · Sirge tõus. Positiivset nurka a, mis on x-telje positiivse suuna ja sirge vahel, on tõusunurk. Tõusva sirge tõus on pos, langeva sirge tõus neg. · Punkti ja tõusuga määratud sirge. Antud on sirge üks punkt A ja tõus k (või tõusunurk). Võttes üheks punktiks A ja teiseks sirge mis tahes punkti saame · Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge. Sirge algordinaadiks nimetatakse ordinaadi väärtst, kus sirge lõikab y- telge. Teisiti öeldes, algordinaat on sirge ja y-telge lõikepunkti ordinaat (tähistatakse b). Kui on antud sirge tõus k ja algordinaat b, siis on sisuliselt antud k ja sirge punkt A(0;b). 7.2 Sirge üldvõrrand Lineaarset võrrandit Ax+By+C=0, kus vähemalt A0 või B0, nimetatakse sirge üldvõrrandiks. Meeldejäävamaks sihivektoriks on aga vektor s=-B·s1=(-B;A) seega,
..................................................................................34 Nurk kahe vektori vahel......................................................................................................... 34 Joone võrrand......................................................................................................................... 34 Sirge tõusunurk, sirge tõus..................................................................................................... 34 Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand................................................................... 35 Kahe punktiga määratud sirge võrrand...................................................................................35 Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand......................................................................35 Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand.............................................................................. 36 Sirge võrrand telglõikudes..
mille koosinus on a. Ülesannete lahendamisel leiame nurga tavaliselt arvuti abil, –1 kasutades selleks klahvi cos © Allar Veelmaa 2014 26 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium SIRGE VÕRRAND PUNKTI JA TÕUSUGA MÄÄRATUD SIRGE VÕRRAND. TÕUSU JA ALGORDINAADIGA MÄÄRATUD SIRGE VÕRRAND Sirge tõus k = tan , kus y y1 k x x1 Sellest võrdusest saame, et y y1 k x x1
( x2 - x1 ) + ( y2 - y1 ) + ( z2 - z1 ) 2 2 2 d = AB = ja lõigu AB keskpunkti koordinaadid x +x y + y2 z +z x0 = 1 2 , y0 = 1 , z0 = 1 2 . 2 2 2 8.2 Sirge tasandil Tõusuga k ja algordinaadiga b määratud sirge: y = kx + b , k = tan , kus on sirge tõusunurk (sirge ja x-telje positiivse suuna vaheline nurk). Tõusuga k ja ühe punktiga ( x1 ; y1 ) määratud sirge: y - y1 = k ( x - x1 ) . Kahe punktiga ( x1 ; y1 ) ja ( x2 ; y2 ) määratud sirge: x - x1 y - y1
2 2 2 d AB ja lõigu AB keskpunkti koordinaadid x x y y2 z z x0 1 2 , y0 1 , z0 1 2 . 2 2 2 8.2 Sirge tasandil Tõusuga k ja algordinaadiga b määratud sirge: y kx b , k tan , kus on sirge tõusunurk (sirge ja x-telje positiivse suuna vaheline nurk). Tõusuga k ja ühe punktiga x1 ; y1 määratud sirge: y y1 k x x1 . Kahe punktiga x1 ; y1 ja x2 ; y2 määratud sirge:
annaabi.ee 
