täidetud 10.Mida tähendab, et sündmused on põhjuslikult seotud? Tähendab seda, et eelnevate sündmuste sündmustik on kuidagi seotud järgneva omaga ja samuti võib olla sel eelnevaga seondumisel ka põhjuslik seos. 11.Mis on füüsikaline printsiip ja aktsioon? füüsikaline printsiip -looduse vaatlemisel tehtud kõige laiema kehtivusalaga üldistus aktsioon- Matemaatiliste teooriate aluseks olevaid ilmselgeid ja tõestust mittevajavaid väiteid nimetatakse aksioomideks 12.Mis on kineetiline ja potentsiaalne energia? Kineetiline energia-kehade liikumisoleku energiat Potentsiaalne energia-kehade omavaheline vastastikmõju energia 13.Defineeri töö ja energia? Töö-füüsikaline suurus, mis kirjeldab protsessi keha või kehade süsteemi üleminekut ühest olekust teise Energia- skalaarne füüsikaline suurus, mis iseloomustab keha või jõu võimet teha tööd.
Hulkade A ja B ühend on a, b, c, d, e ja f. Defineerimine Defineerimine on mõiste lahti seletamine võimalikult täpselt ja lühidalt. Algmõiste Ei defineerita, aga teame. Mõisted Defineerime algmõiste abil. Teoreem Kui mingi lause tõesust saab matemaatikas põhjendada varem teada olevate tõdede abil, siis nimetatakse seda lauset teoreemiks. Lauseid, mida pole küll keegi tõestanud, kuid mille tõesuses pole põhjust kahelda, nimetatakse aksioomideks. Teoreemi tõesuse põhjendamist nimetatakse tõestamiseks. Teoreemi eeldus ja väide Teoreemis saab eristada kaht osa eeldust ja väidet. Teoreemi eeldus ütleb, mis on antud või mis on teada. Väide aga ütleb, mida saab eeldusest järeldada ehk mida on tarvis tõestada. Näide. Kui-siis vormis on sõnastatud teoreem kui naturaalarv lõppeb nulliga, siis see arv jagub viiega. Selle teoreemi väide on : see arv jagub viiega. Pöördteoreem
Füüsika üldprintsiibid 1. Mis on aksioom, mis on printsiip. Aksioomideks nimetatakse matemaatiliste teooriate aluseks olevaid ilmselgeid ja tõestust mittevajavaid väiteid. Füüsikaline printsiip on looduse vaatlemisel tehtud kõige laiema kehtivusalaga üldistus. Mõlemad on alusväited, mida eraldi ei tõestata ja mille tõesust kinnitab kõige neist tuletatu kehtivus. Füüsika kirjeldab tegelikke loodusobjekte: kehi, välju ja nendega toimuvaid nähtusi. Füüsikateooriate aluseks võib võtta vaid selliseid tõdemusi, mida vaatlused ja katsed alati kinnitavad
iseseisvaks kordamiseks või teadmiste kontrollimiseks. Iga küsimuse lõpus oleva rohelise kastikese täitmine õige vastuse ees oleva tähega annab järgmisele reale liikumise korral tulemuseks ÕIGE. Kui Te ei leidnud esimesel korral õiget vastust, siis võite uuesti proovida. JÕUDU TÖÖLE! Küsimused ja kommentaarid on oodatud aadressil [email protected] Mõisteid, mida ei defineerita nimetatakse a) algmõisteteks; b) teoreemideks; c) aksioomideks; d) tundmatuteks; e) eeldusteks. Lauseid, mida pole keegi tõestanud, aga mille tõesuses pole põhjust kahelda nimetatakse a) algmõisteteks; b) teoreemideks; c) aksioomideks; d) eeldusteks; e) Thaleese teoreemideks. Kolmnurga mediaan on kolmnurga a) nurgapoolitaja; b) keskristsirge; c) kõrgus; d) alus; e) küljepoolitaja. Trapetsi kesklõik on alustega a) risti; b) lõikuv ; c) paralleelne; d) võrdne; e) ühtiv. Kõrvunurkade summa võrdub
Algmõisted on näiteks: punkt, sirge, tasand, ruum jne. Mõitet defineeritakse mõiste eritunnuse kaudu. Näiteks ruudu definitsiooni: ruut on nelinurk, mille kõik nurgad ja küljed on võrdsed eritunnus on nelinurk. 3.teoreem, pöördteoreem, teoreemi eeldus ja väide. Kui mingi lause tõesust saab põhjendada varem teadaolevate tõdede abil, siis seda lauset nimetatakse teoreemiks. Teoreemi tõesuse põhjandamist nimetatakse tõestamiseks. Näide: Aksioomideks nimetatakse tõdesid, millele tugineb teoreem. Teoreemis esitatud väite õigsust tõestatakse aksioomidest ja varem tõestatud teoreemidest lähtudes. Teoreemi eeldus ütleb mis on antud või teada. Teoreemi väide ütleb, mida on tarvis tõestada. Teoreemi eelduse ja väite äravahetamisel tekib esiagse teoreemi pöördlause. Kui teoreemi pöördlause on tõene on tegu pöördteoreemiga. Pöördteoreemid võib kokku võtta sõnaühendi parajasti siis abil
Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. 3 Teoreem Kui mingi lause tõesust saab põhjendada varem teadaolevate tõdede abil, siis seda lauset nimetatakse teoreemiks. Teoreemi tõesuse põhjendamist nimetatakse tõestamiseks. Lauseid, mida pole küll keegi tõestanud, kuid mille tõesuses pole põhjust kahelda, nimetatakse aksioomideks. Aksioomi Iga kaht erinevat punkti läbib ainult üks d: sirge. Iga sirglõiku on võimalik lõpmatult 4 pikendada. Teoreemi eeldus ja väide Eelduses pannakse kirja see, mis on teada (antud) ning väide ütleb, mida tuleb tõestada. Kui eeldus, siis väide. Teoreemi Kolmnurga sisenurkade summa on d: 180. Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist.
IIIs(mõju ja vastumõju seadus):2 punktmassi Liikumishulk=m*v momendiga. Kui välisjõudude mom on 0, siis mõjuvad teineteisele piki neid ühendavat sirget Jõu impulss on jõu ja ajavahemiku korrutis kin momendi tuletis on 0, sest kin mom ise on võrdvastupidise jõuga. (F*dt), kui punktmassi liikumishulgaks aga nim const. 1)New seadusi nim tihti aksioomideks(tõesed vektoriaalset suurust, mis võrdub massi ja Jõu elementaartööks nim jõu ja tema väited, mida ei saa tõestada) kiiruse korrutisega F*t=m*v inertsimoment rakenduspunkti elementaarsiirde korrutist 2)New seadused kehtivad ainult maamunal Pöörlemise korral M*t=I* (dA=F*dr) Lineaarne liikum: töö A=F*dr), 3)Mis on aeg? Kuidas määratakse
[ f (e3 ) ] = ( a21 a22 a23) [e3 ] Maatriksi A nimetatakse lineaarteisenduse maatriksiks antud baasi korral. Geomeetrilises mõttes pakuvad huvi sellised vektorid, mis säilitavad oma sihi teatava lineaarteisenduse korral. Aksioom3 Nullvektorist erinevat vektorit x nimetatakse lineaarteisenduse f omaväärtusele vastavaks omavektoriks, kui on rahuldatud tingimus: f ( x ) = x . Vektorarvutus Algmõistetele tuginedes sõnastatakse teatavad laused, mida nimetatakse aksioomideks ehk postulaatideks. Aksioom1 Eksisteerib vähemalt üks punkt. Aksioom2 Igale kahele kindlas järjekorras võetud punktile a ja b seatakse vastavusse parajasti üks vektor. Aksioom3 Iga punkti A ja vektori a korral leidub parajasti üks punkt B, nii et punktidele A ja B vastab vektor. Aksioom4 Kui AB = CD kehtib, siis ka AC = BD. Toodud nelja aksioomi ja liitmise definitsiooni põhjal saame järeldada järgmist:
asendusvõte) 12. Tekstülesannete lahendamine lineaarvõrrandsüsteemi abil. 13. Defineerimine ja algmõisted. Definitsioon on mõiste lühike ja täpne seletus. Mõisted, mida ei saa seletada nimetatakse algmõisteteks. Algmõisteid ei defineerita, vaid neile antakse nii täpne kirjeldus, kui see võimalik on ja tuuakse selgituseks näiteid 14. Teoreem ja aksioom. Eeldus ja väide. Pöördteoreem. Põhitõdesid, mida ei saa tõestada, nimetatakse aksioomideks. Teoreem on lause, mille õigsust tõestatakse arutluse abil. Teoreem koosned eeldusest ja väitest. Kui vahetame ära eeldus ja väite, saame pöördlause: v => e Antud lause pöördlause võib olla nii tõene kui ka väär. Kui pöördlause on tõene, siis nimetame seda pöördteoreemiks. 15. Kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekkivad nurgad. Nurki, mille haarad lõikajal on vastassuunalised ja mis asuvad ühel pool lõikajat, nimetatakse lähisnurkadeks.
6’. (WÉM) = max(1 – W, M) Võib suurema vaevata veenduda, et eelmainitud „üks-ühele- tõlge“ on teostatav. Hulgateooria valemid ja neile klassikalisel viisil leitud põhjendused • Hulgateooria valemite ehk selges ja ranges vormis (formaadis) esitatud ning hulkade kohta käivate väidete põhjendamine peab samuti toimuma selgel ja rangelt kokkulepitud viisil. Kokkulepe 1. Osa valemeid loetakse põhjendatuteks a priori. Neid nimetatakse hulgateooria aksioomideks (põhipostulaatideks vms). Kokkulepe 2. Osa valemeid loetakse põhjendatuteks lähtuvalt mingitest teistest valemitest, kui on olemas selgelt ja rangelt fikseeritud viisid – reeglipärased tuletussammud – kuidas ühtedest valemitest lähtudes, liigutakse teisteni, lõpetades põhjendatava valemiga. Kui seejuures alustatakse põhjendamist aksioomidest ja ainult aksioomidest, siis kõneldakse tõestamisest ning tõestamist esitavatest tõestustest.
olemasolevat loodust. · Matemaatikas ei tehta vaatlusi ega katseid, vaid tulemused saadakse rangete loogiliste arutluste teel. Kuna matemaatika ei kirjelda päris loodust, võib selle teooriate aluseks võtta väiteid ja oletusi, mis ei nõua katselist tõestust. NT. Matemaatikateooriate, näiteks Eukleidese loodud geomeetria aluseks võetud ilmselged loogikale vastavad väited ei vaja tõestust. Selliseid tõestust mittevajavaid alusväiteid nimetataks aksioomideks. 1. Arv 0 on väikseim naturaalarv. 2. Läbi kahe erineva punkti saab tõmmata ainult ühe sirge. 3. Paralleelsed sirged ei lõiku. · Füüsikas kirjeldatakse ja selgitatakse mitte mõtetes kujutletavaid, vaid tegelikke looduslikke objekte ning nendega toimuvaid nähusi. Füüsikateooriate aluseks tohib võtta vaid selliseid tõdemusi, mida vaatlused ja katsed kinnitavad. Seejuures peavad alustõdemuste katselised
5) Lisada liikmetele puuduvad lausemuutujad ning viia uuesti disjunktsioonid konjunktsioonidest sügavamale. 6) Järjestada igas liikmes literaalid ja jätta ära korduvad liikmed. Formaalse aksiomaatilise teooria üldskeem. Teooria korrektsus ja täielikkus semantika suhtes. Formaalse aksiomaatilise teooria üldskeem 1) Fikseeritakse tähestik ja antakse valemi definitsioon. 2) Osa valemeid loetakse aksioomideks. Neid pole teoorias vaja tõestada. 3) Fikseeritakse lõplik hulk tuletusreegleid kujul 1 ,2 ,..., , mis lubavad valemitest 1 , 2 , ... , vahetult tuletada valemi G. Def 2. Aksiomaatilist teooriat T nim semantika S suhtes · korrektseks, kui iga teoorias T tuletatav valem on semantikas S tõene. · täielikuks, kui iga semantikas S tõene valem on teoorias T tuletatav. (Def 1
Loogiliselt õige(formaalselt kehtiva) arutluse käigus saame tõestest eeldustest paratamatult tõese tuletise(lõppjärelduse). Loogika püüab leida reeglite komplekti, mille järgimine tagab arutluskäigu kehtivuse. Formaalselt kehtiv arutlus ei taga tõest tuletist, kui vähemalt üks eeldustest on väär. Sel juhul öeldakse, et arutlus on FORMAALSELT KEHTIV, aga sisult ebaõige. Loogika PRINTSIIPID, mille abil saab eristada õiget ja ebaõiget arutlust, neid nimetatakse loogika AKSIOOMIDEKS, põhireegliteks või seadusteks. TRADITSIOONILISES LOOGIKAS TUUAKSE ESILE 4 LOOGIKA PÕHISEADUST: 1) SAMASUSSEADUS : ühes ja samas arutluses peab kõiki väljendeid(märke, sõnu, fraase, lauseid) kasutama ühes ja samas tähenduses ehk ÜHE ARUTLUSE VÄLTEL EI TOHI MÄRKIDE, SÕNADE JA FRAASIDE TÄHENDUSED MUUTUDA. 2) VASTUOLU VÄLTIMISE SEADUS e. VASTURÄÄKIVUSSEADUS : ühes ja samas arutluses ei tohi ükski väide olla korraga tõene ja väär.
(liigierinevus) aga külgede võrdsus ja nurkade võrdsus. 38. Teoreem- · Kui mingi lause tõesust saab matemaatikas põhjendada varem teada olevate tõdede (teiste tõeste lausete) abil, siis öeldakse, et see lause on teoreem. · Teoreem nelinurga külgede keskpunktidest: · Suvalise nelinurga külgede keskpunktide järjestikusel ühendamisel saadav nelinurk on rööpkülik. 39. Aksioom- Lauseid, mida loetakse tõeseks põhjendamata, nimetatakse matemaatikas aksioomideks 40. Teoreemi eeldus ja väide- · Igas teoreemis on võimalik eristada kahte osa teoreemi eeldust ja väidet. · Eeldusest näeme, mis on teada, mis antud. Väites selgub aga mida tuleb näidata, tõestada. · Klassikaline teoreemi sõnastus on kujul: · Kui ....................., siis ...................... · Kui nelinurk on romb, siis tema diagonaalid on risti · Eeldus: nelinurk on romb (näitab, mis meil uuritava objekti kohta teada on on nelinurk, on romb)
Eeldus on kujul B<->C Väide on kujul () Eeldus on kujul () Väide on kujul () Eeldus kujul () 5. AKSIOMAATILISED TEOORIAD Mitteformaalse aksiomaatilise teooria skeem: o Fikseeritakse mingi hulk antud teoorias uuritavaid objekte, nendel defineeritud funktsioone ja seoseid ning sümboolika nende tähistamiseks o Teatud hulk väiteid loetakse tõesteks a priori (ilma tõestuseta). Neid väiteid nimetatakse selle teooria aksioomideks o Teooria arendamine seisneb nn. teoreemide tõestamises. Teoreemideks loetakse väiteid, mida saab tõestada ,,ainult aksioome kasutades". Väidete mugavamaks sõnastamiseks võidakse olemasolevate mõistete baasil defineerida uusi Peano aritmeetika aksioomid: o ¬ = 0 o = = o [ + 0 = ] o [ + = ( + )] o [ 0 = 0] o [ = + ] o Kõik valemid kujul 0 &[ ]
Et punktile mõjuvad jõud moodustavad alati koonduva jõusüsteemi ja koonduval jõusüsteemil N on alati olemas resultant F = F , siis võib võrrandi (2.9) asemel kasutada ka =1 võrrandit (2.1), kus jõu F all tuleb mõista punktile mõjuvate jõudude resultanti. 5. Märkusi Newtoni seaduste kohta. A. Newtoni seadused ei ole tõestatavad ja seetõttu ongi neid õigem nimetada aksioomideks. Nendele neljale aksioomile on üles ehitatud kogu klassikaline J. Kirs Loenguid ja harjutusi dünaamikast 8 mehaanika. Nende õigsuse üle otsustame kaudsel teel, võrreldes nende põhjal saadud tulemusi katsete ja vaatluste materjaliga. Nii on leitud, et nad ei ole üldkehtivad, vaid nende kehtivuspiirkond on piiratud. Nad ei kehti väga suurte kiiruste puhul (mis on võrreldavad valguse kiirusega) ja samuti ei kehti nad
16 X=20%*80+50%*100+30%*150=111krooni Selline metoodika sobib lihtaktsiaga kaasneva rahavoo arvutamiseks. Rahavoogude ajaldatud laekumisest saab rääkida täpselt ainult võlakirjade ja eelisaktsiate korral, hoopis keerulisem on dividendisummade arvestus lihtakstsiatega tehingutes. Finantsjuhtimise korraldamisel on kasutusel teatud üldistavad põhimõtted, mida nimetatakse finantsjuhtimise aksioomideks. Põhimõtted: 1. Riski ja tulu valik. Finantsjuhtimises ei tohiks kunagi võtta kanda suuremaid riske, kui ei loodeta kompenseerida neid ületava tuluga. Enamik ettevõtteid suudab teatud perioodidel säästa finantsressursse ja järelikult on finantsjuhtide ees probleem, kuidas neid kasutada. On võimalus vaba ressusrss kohe kasutada, kuid tarbimise võib ka tulevikku lükata. Investeeringud tulevikku erinevad riski ning oodatava tulemi poolest
Kui need osakesed liiguvad kiiremini, siis eksisteerivad nad kauem, sest liikuvas süsteemis aeg kulgeb aeglasemalt. Relatiivsusteooriast tuleneb niinimetatud absoluutkiiruse printsiip, mis ütleb: väli liigub aine suhtes alati suurima võimaliku kiirusega ehk absoluutkiirusega aga ainelised objektid liiguvad omavahel suhteliste kiirustega, mis sõltuvad taustsüsteemi valikust. Analoogiliselt on matemaatikud loonud teooriaid lähtudes mõnest põhitõest, mida nemad nimetavad aksioomideks. Aksioomid ei ole samuti tõestatavad nagu füüsika põhiprintsiibid, kuid neist lähtudes võib luua täiesti üldkehtivaid ja rakendatavaid teooriaid (positiivse ja negatiivse kõverusega ruum). Näiteks füüsikas on üldkehtiv atomistlik printsiip, mis väidab, et loodus ei ole lõputult ühel ja samal viisil osadeks jagatav. Tänaseks teada ja kätte saadavad osakesed, millest on moodustunud aatomid, on prooton, neutron ja elektron. Kuid
Ajalooliselt on geopoliitiliste riikidena käsitletud Rooma impeeriumi, tatarlaste, mongolide Kuldhordi, türklaste Ottomani impeeiumi, Hispaania kuningriiki ja Briti impeeriumi. Suurriikide poliitika tuumaks on omavaheline konkurents ja püüdlus domineerida oma konkurentide üle. Selles konkurentsis sõltuvad riikide võimuressursid nende geograafilistest resurssidest, rahva arvukusest, loodusvaradest, riikide kaitstavusest jm. Kaasaegne geopoliitiline teooria loeb poliitiliseks aksioomideks järgnevad printsiibid: 1) rahvuslike (riiklike) huvide primaat sotsiaalsete gruppide huvide ees; 2) territoriaalne konservatism ehk riigi piiride puutumatuse printsiip; 3) sõjalis-poliitiline valmisolek ühenduses regulaarse poliitilise dialoogiga; 4) globaalne demograafiline kontroll, selleks et kaitsta riikide rahvuslikku identiteeti; 5) globaalne energeetiline sõltuvus,mis sunnib riike oma huvide kaitseks looma sõjalisi blokke, taotlema baase, toetama sõbralikke ja
laiema kehtivusalaga üldistus. • On väga oluline mõista, et see, mida pidada printsiibiks ja mida mitte, on iga vaatleja vaba otsus. Aksioomid matemaatikas ja printsiibid füüsikas • Kuna matemaatika ei kirjelda otseselt loodust, siis võib selle teooriate aluseks võtta väiteid, mis ei nõua katselist tõestust, kuid on täielikus vastavuses meie igapäevase kogemusega. Matemaatiliste teooriate aluseks olevaid ilmselgeid ja tõestust mittevajavaid väiteid nimetatakse aksioomideks (kr aksioma 'kindel, vaieldamatu’). • Arv null on väikseim võimalik naturaalarv. • Läbi kahe erineva punkti saab tõmmata ainult ühe sirge. • Läbi sirgel mitte asuva punkti saab tõmmata ühe ja ainult ühe antud sirgega paralleelse sirge. • Paralleelsed sirged ei lõiku. Atomistlik printsiip • Kehi ei saa lõputult väiksemateks osadeks jagada nii, et saadud osadel säiliksid kõik jagatava terviku omadused. • Kehtib atomistlik printsiip, mis väidab, et
Definitsioon. Arvu (skalaari) ja aritmeetilise vektori korrutiseks nimetatakse aritmeetilist vektorit Näide: Teoreem. Vektorite liitmine ja skalaariga korrutamine kõigi aritmeetiliste vektorite hulgal V rahuldavad omadused V1-V8 eelmise paragrahvi teoreemist. 20. Vektorruum Eelpool nägime, et nii geomeetriliste kui aritmeetiliste vektorite korral kehtisid teatud omadused V1-V8. Need omadused võetakse vektorruumi aksioomideks. Kõiki objekte, mille korral need omadused on rahuldatud, nimetatakse edaspidi vektoriteks. Definitsioon. Hulk V on vektorruum üle reaalarvude hulka kui temal on defineeritud liitmine ja skalaariga korrutamine nii, et V5. )= , V6. , V7. = , V8. 1 = Definitsioon. Vektorruumi elemente nimetatakse vektoriteks. Näited: 1) Reaalarvude hulk on liitmise ja korrutamise tehte suhtes vektorruum.
formaalne loogikasüsteem peab sisaldama kolme järgmist komponenti: süntaksit, tuletamisreegleid ja semantikat. · Süntaks on reeglite süsteem, mis määrab ära antud loogika poolt vaadeldavate väidete keele, s.o. milline väide üldse on nimetatud loogika väide ja milline mitte, tõesusest ja tuletatavusest sõltumatult. · Tuletamisreeglite süsteem on iga loogika kõige olulisem osa. Reeglid jaotuvad eeldusteta aksioomideks ja juba tuletatud väidetest uute väidete tuletamise reegliteks. Reeglite süsteem määrab, millised väited on antud loogikas tuletatavad, s.o. ``õiged.''. · Semantika annab formaalsetele loogikaväidetele tähenduse. Formaalse loogikasüsteemi semantika määrab kõigepealt ära, missugust osa maailmast väited kirjeldavad. Sageli vaadeldakse seejuures mingit lihtsat
2) 2 Olgu veel siinkohal öeldud, et jaotusseaduseks võib üldjuhul olla kuitahes keeruline funktsioon q f x , kus x on varda pikikoordinaat alguspunktiga varda vasemas otspunktis A. §2. Staatika aksioomid Kõik staatika teoreemid ja võrrandid on tuletatavad mõningatest lähtekohtadest, mida tunnustatakse ilma matemaatiliste tõestusteta ja mida nimetatakse staatika aksioomideks. Staatika aksioomid kujutavad endast hulgaliste katsete ja vaatluste üldistamise tulemust kehade J. Kirs Loenguid ja harjutusi staatikast 9 tasakaalu ja liikumise alal, mida on praktika korduvalt kinnitanud. Seega on staatika üles ehitatud rangel aksiomaatilisel alusel. Selleks on vajalikud järgmised 6 aksioomi. 1. aksioom. Tasakaalu aksioom.
¬(x y , x < y) 3. x y , ¬(x < y) 4. x y , x y Leidub reaalarv x nii, et mis tahes reaalarvu y korral x y. 2. LOENG Lausearvutuse põhimõisted Loogika (kr. logiké techne mõtlemiskunst, logos sõna, mõiste, mõistus) on teadus õigest mõtlemisest, selle vormidest ja struktuuridest. Traditsioonilise loogika aluseks on mõtlemisseadused, mida kutsutakse ka loogika aksioomideks: 1. samasuse seadus 2. vasturääkivuste lubamatuse seadus 3. välistatud kolmanda seadus 4. küllaldase aluse seadus Matemaatiline loogika on loogika haru, milles loogikaprobleemide käsitlemiseks kasutatakse matemaatilisi meetodeid. Kokkulepped: Lausearvutuse lauseks võib olla igasugune lause, mille puhul saame rääkida selle sisu vastavusest tegelikkusele. Seejuures eeldame, et 1. Iga lause on kas tõene või väär (välistatud kolmanda seadus) 2
On n¨aidatud, et X on T4 -ruum. Kuna ruum X rahuldab tingimust T1 , siis teoreemi 6.1 p˜ohjal tema iga u ¨heelemendili- ne alamhulk on kinnine ja tingimuse T3 t¨aidetus ruumis X j¨areldub tingimuse T4 t¨aidetusest. Viimasest teoreemist j¨areldub, et iga normeeritud ruum ja ruum Rn rahuldavad tingimusi T0 , T1 , T2 , T3 , T4 . Definitsioon 6.2 N˜oudeid T0 , . . . , T4 nimetatakse eral- duvuse aksioomideks. Definitsioon 6.3 Eralduvuse aksioomi T2 rahuldavat to- poloogilist ruumi nimetatakse Hausdorffi ruumiks. 64 6 ERALDUVUSE AKSIOOMID 6.2 Hausdorffi ruumi omadusi Kuna Hausdorffi ruumid on sagedamini esinevaid topoloogilisi ruume, siis j¨argnevalt loetletakse nende t¨ uu¨pilisemaid omadusi. Teoreem 6.25 Olgu X Hausdorffi ruum ja Y mis tahes topo- loogiline ruum. Siis 10 ruumi X iga l˜oplik alamhulk on kinnine;
annaabi.ee 
