kesklõiguks. TEOREEM: Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. EELDUS: DE on kolmnurga kesklõik ( millest saame, et AD = DC ja CE = EB) VÄIDE: 1) 2) 1) DE = EF , CE =EB, , (tunnus KNK) BF = DC BF = DC ja DC = AD BF =AD. põiknurgad võime väita, et nelinurk ABFD on rööpkülik. ABFD on rööpkülik, siis on 2) DF = AB (rööpkülik) Järelikult on siis Eukleidese teoreem Täisnurkse kolmnurga kaatet on hüpotenuusi ja hüpotenuusil võetud selle kaateti projektsiooni keskmine võrdeline. Peame näitama, et ja , kus f ja g on siis nende kaatetite ristprojektsioonid. , sest mõlemad on . Analoogsel põhjusel on Kolmnurga sisenurkade summa on 180°
Kolmnurk Hulknurk,millel on P=a+b+c S=ah 3 nurka 2 Täisnurkne Kolmnurk, mille P=a+b+c S=ab kolmnurk üks nurk on 2 täisnurk Võrdhaarne Kolmnurk, mille P=a+2b S=ah kolmnurk kõik küljed on 2 võrdsed Romb Rööpkülik, mille P=4a S=ah kõik küljed on S=d1*d2 võrdsed 2 Rööpkülik Nelinurk, mille P=2*(a+b) S=ah=b*h vastasküljed on paralleelsed Trapets Nelinurk, mille üks P=a+b+c+d S=ab*H paar külgi on 2 paralleelsed ja
TEEMA: DEFINEERIMINE JA TÕESTAMINE Defineerimine mõiste täpne ja lühike määratlus Algmõiste mõiste, mida ei defineerita (punkt, sirge, tasand, ruum, hulk, arv, suurus) Ülesanne: defineeri ja õpi selgeks järgmised mõisted: 1. Lõik, murdjoon, hulknurk 2. Nelinurk, rööpkülik, ristkülik, ruut, romb, trapets. 3. Ristuvad ja lõikuvad sirged, paralleelsed sirged. 4. Täis-, nüri- ja teravnurkne kolmnurk; võrdhaarne ja võrdkülgne kolmnurk. 5. Kolmnurga kõrgus. 6. Ring ja ringjoon, diameeter, raadius, kõõl. 7. Alg- ja kordarv, naturaalarv, täisarv. 8. Liig- ja lihtmurd. 9. Murru taandamine ja laiendamine. 10. Nurk, sirgnurk, täisnurk, kõrvunurgad, tippnurgad. 11. Üks- ja hulkliige, sarnased üksliikmed. 12
on võrdsed ja II- sed ja kõik nurgad on täisnurgad. 3. Lähisnurkade summa 180°. 4. Diagonaalid poolitavad teineteist. 5. Diagonaal jaotab kaheks võrdseks täisnurkseks kolmnurgaks. 6. Diagonaal poolitab ristküliku nurga. 7. Sisenurkade summa 360°. Rööpkülik 1. Vastasküljed on võrdsed ja paralleelsed. P= 2 (a+b) Nelinurk, mille vastasküljed on võrdsed ja II- sed on 2. Vastasnurgad on võrdsed. S= ah rööpkülik. 3. Diagonaal jaotab kaheks võrdseks kolmnurgaks. 4. Lähisnurkade summa on 180°.
. ............................................................ .. S= ............ ................................................... Joonesta rööpkülik, mille küljed on 5,2 cm ja 3 cm ning nurk nende 5p vahel 30*. Joonesta kõrgus, mõõda see ja arvuta pindala. Püströöptahuka ruumala on 128 cm3 , põhja pindala on 86 cm2 ja 2p põhja ümbermõõt on 43 cm. Arvuta täispindala. ..........................................
Romb-rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed Robmi omadused: · romb on sümeetriline oma diagonaalide suhtes · rombi diagonaalid on teineteisega risti ja nad poolitavad rombi nurki · vastasnurgad on võrdsed · diagonaalid poolitavad teineteist · lähisnurkade summa on 180 C · rombi diagonaalid jaotavad rombi neljaks võrdseks osaks Pindala:S-ah S- d1 x d2 : 2 Ümbermõõt: P-4a Rööpkülik-nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed. Rööpküliku omadused: · vastasküljed on võrdsed · vastasnurgad on võrdsed · lähisnurkade summa on 180 C · diagonaal jaotab rööpküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks · diagonaalid poolitavad teineteist Trapets-kaks külge on paralleelsed ja kaks mitte 1. Võrdhaarne trapets · haarad on võrdsed alusnurgad on võrdsed täisnurkne trapets: üks haar on risti alusega S-a plus b : 2
Pythagorase teoreem (a2+b2=c2), Eukleidese teoreem (a2=fc ja b2=gc).Teoreem hüpotenuusile tõmmatud kõrgusest (h2=fg), Thalese teoreem (diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk). 14. Võrdkülgne kolmnurk.(a=b=c) a 3 a2 3 Kõrguse ja pindala avaldamine külje kaudu. h= jaS = 2 4 NELINURGAD Rööpkülik, ristkülik. ruut, romb Nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed, nimetatakse rööpkülikuks. Rööpküliku omadused (1. vastasküljed on võrdsed; 2. vastasnurgad on võrdsed; 3. lähisnurkade summa on sirgnurk; 4. diagonaalid poolitavad teineteist; 5. diagonaalide lõikepunkt on rööpküliku sümmeetriakeskpunkt; 6. diagonaal jaotab rööpküliku võrdseteks kolmnurkadeks; 7. diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude
Pythagorase teoreem (a2+b2=c2), Eukleidese teoreem (a2=fc ja b2=gc).Teoreem hüpotenuusile tõmmatud kõrgusest (h2=fg), Thalese teoreem (diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk). 14. Võrdkülgne kolmnurk.(a=b=c) a 3 a2 3 Kõrguse ja pindala avaldamine külje kaudu. h jaS 2 4 NELINURGAD Rööpkülik, ristkülik. ruut, romb Nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed, nimetatakse rööpkülikuks. Rööpküliku omadused (1. vastasküljed on võrdsed; 2. vastasnurgad on võrdsed; 3. lähisnurkade summa on sirgnurk; 4. diagonaalid poolitavad teineteist; 5. diagonaalide lõikepunkt on rööpküliku sümmeetriakeskpunkt; 6. diagonaal jaotab rööpküliku võrdseteks kolmnurkadeks; 7. diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude
1. Rööpküliku üks külg on 48,7cm ja teine moodustab sellest 60%. Arvuta rööpküliku ümbermõõt. 2. Arvuta rööpküliku nurgad, kui 1) Kahe nrga summa on 150kraadi. 2) Kahe nurga vahe on 20kraadi 3) Üks nurk on teisest 25% 4) Vastasnurkade osad ühel pool diagonaali on 32kraadi ja 48kraadi. 3. Arvuta rööpküliku pindala, kui rööpküliku alus on a ja kõrgus on h. 1) a= 9,5m ja h=102dm 2) a=540m ja h=1,8km 4. Joonesta rööpkülik, mille küljed on 4cm ja 5cm ning diagonal 7cm. Joonesta pikemale küljele kõrgus(h), mõõda see ning arvuta rööpküliku ümbermõõt ja pindala. HEAD LAHENDAMIST!!!!! =D Vastused: 1)8dm 2)2 nurka on:15kraadi ja 75kraadi; 100kraadi ja 80kraadi; 36kraadi ja44kraadi; 80kraadi ja 100kraadi. 3)96,9m2 ja 2. 0,972km2 4)18cm;19,6cm2
Täisnurkne kolmnurk: kolmnurk: a2+b2=c2 koosinusteoreem: a2=b2+c2-2bc x cosa sina=vastaskaatet/hüpotenuus S=ah/2 cosa=lähiskaatet/hüpotenuus S=absin/2 tana=vastaskaatet/lähiskaatet S=ruutjuur p(p-a)(p-b)(p-c) Ümberringjooneraadius R=c/2 P=a+b+c/2 S=ab/2 S=pr-> siseringjoone raadius 1/3 v.k.k. S=abc/4R->ümberringjoone raadius 2/3 Rööpkülik: Romb: P=2(a+b) P=4a S=ah1=bh2 S=ah S=absina S=d1xd2/2 ; S=a2sina d12+d22=2(a2+b2) d12+d22=2(a2+a2) ; d12+d22=4a2 Ristkülik: trapets: P=2(a+b) k=a+b/2 S=ab S=a+b/2xh S=kh Ruut: S = a² P=4xa Ristkülik: S=axb P = 2(a + b) Kolmnurk: S=axh:2
Tõestus: Lõikugu kolmnurgas ABC mediaanid BE ja CF punktis G. Joonestame välja lõigu AG ning pikendame seda nii palju, et ta lõikaks külge BC punktis D. Teoreemi tõestamiseks peame näitama, et 1. AD on mediaan, st. BD = DC ja 2. AG=2GD (BG=2GE ja CG=2GF) Esimese tõestuse võtmemomendina on meil vaja pikendada lõiku AD punktini K nii palju, et AD = GK ning ühendame tipu K kolmnurga tippude B ja C-ga. Teine võtmemoment seisneb näitamises, et BKCG on rööpkülik. Tõestame ära väite esimese osa, st. näitame, et AD on mediaan. Vastavalt eeldusele on punkt F lõigu AB keskpunkt ja konstruktsiooni põhjal on punkt G lõigu AK keskpunkt. Sellest järeldub, et lõik FG on kesklõik. Vastavalt teoreemile kolmnurga kesklõigust on . Kolmnurga AKC puhul saame läbi viia samasuguse arutelu, mille tulemusena järeldub, et . Järelikult on nelinurk BKCG rööpkülik.
(a+b)(a² -ab +b²) =a³ +b³ Pythagorase joonis: c a b sin=a/c sin=b/c cos=b/c cos=a/c tan=a/b tan=b/a Rööptahukas: Sp=ab, Sk=2(a+b)h, V=Sp*h Koonus: Sp=r , Sk=rm, V=Sph/3=r2h/3 2 Püramiid: V=1/3Sph Ring: C=2r S=r2 Silinder: c=2r, Sk=2rh, St=Sk+2Sp, Sp=r2, V=r 2h=Sp*h Kera: S=4r2, V=4/3r3 Kuup: S=6*a2, V=a3 Kolmnurk: S = a x h : 2, P=a+b+c Trapets: S = (a + a2) : 2 x h, P = a + a2 + c + d Rööpkülik: S=a*h, P=2(a+b) Romb: S=a*h, P=2(a+b) Risttahukas: S=2(ab+ac+bc), V=abc Rööpkülik: S=a*h
Taandamine Lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. Laiendamine Lugeja ja nimetaja korrutamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. Ringjoon Selliste punktide hulk, mis asetseb võrdsel kaugusel ringjoone keskpunktist. Teravnurkne kolmnurk Kolmnurk, millel on kõik nurgad alla 90 kraadi. Nürinurkne kolmnurk Kolmnurk, mille üks nurk on suurem kui 90 kraadi. Nürinurk Nurk, mis on suurem kui 90 kraadi Protsent 1/100 suurusest. Rööpkülik Nelinurk, mille vastasküljed on võrdsed. Algmõiste Mõiste, mis võetakse teadmiseks ilma defineerimata Hulkade ühisosa Hulkade ühisosa on kahe hulga ühine osa. Hulkade ühend Hulk, mille elementideks on mõlema hulga elemendid. Definitsioon Lause, millega määratakse uue mõiste sisu. Kõrvunurgad Nurgad, millel on ühine haar ja teised haarad moodustavad sirge. Tippnurgad Nurgad, mille haarad moodustavad lõikuvad sirged.
ISESEISEV TÖÖ nr. 2 Rööpkülik · Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed. · Joonis nr. 1. · Vastasküljed on võrdse pikkusega, 2 paari paralleelselt ja võrdse pikkusega külgi. · Vastasnurgad on võrdsed. A=C B=D Reeglina 1 paar teravnurgad ja 2 paar nürinurgad. Rööpküliku lähisnurkade summa on 180°. Lähisnurgad on 1 külje erinevaes otstes olevad nurgad. A+C=180° A+D=180° D+B=180° B+C=180° · Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist. Joonis nr. 2. BE= DE AE=CE · Ristkülikut, mille üks nurk on 90°, nimetatakse ristkülikuks. · Joonis nr. 3. a) JAH, B+C=180° b) JAH, A+C=180° A= 90° B=90° C=90° D=90° · Rööpküliku ümbermõõtu arvutatakse valemiga P= 2(a+b). Rööpküliku pindala saab arvutada kahe valemiga. (Laius korrutada kõrgusega). 1) S=ah1 2) S= ah2 Joonis nr 4. · Vaatlen joonist nr. 4. Leian rööp...
Nürinurkne kolmnurk- kolmnurk, mille üks külg on suurem kui 90kraadi Teravnurkne kolmnurk- kolmnurk, mille kõik nurgad on väiksemad kui 90 kraadi Täisnurkne kolmnurk- kolmnurk, mille üks nurk on 90kraadi Korrapärane hulknurk- hulknurk, mille kõik küljed ja nurgad on võrdsed Ristkülik- nelnurk, mille kõik nurgad on täisnurgad ja vastasküljed on võrdsed j paralleelsed Ruut- võrdsete külgede ja nurkadega nelinurk Rööpkülik-Võrdsete ja paralleelsete vastaskülgedega nelinurk Romb- Rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed Trapets- nelinurk, millel on kaks paralleelset ja kaks mitteparalleelset vastaskülge Ringjoon- antud punktist jääval kaugusel asetsevate punktide hulk Ring-ringjoonega piiratud tasandiosa, koos seda piirava ringjoonega Tühihulk- hulk, milles pole ühtegi elementi Osahulk-hulk, mille kõik elemendid on ka teise hulga elemendid
Romb Rööpkülik Trapets Täisnurkne kolmnurk Sirge tasandil Siinusteoreem Vektor Silinder Püstprisma Kolmnurka pindala Koonus Korrapärane püramiid Aritmeetiline jada Geomeetriline jada Kera Hääbuv geomeetriline jada Liitprotsent
Rööpkülik Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, millel on kaks paari paralleelseid vastaskülgi. Rööpküliku vastasküljed on võrdsed. Rööpküliku lähisnurkade summa on 180 kraadi. Rööpküliku vastasnurgad on võrdsed. Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist. Rööpküliku erijuhud on ristkülik, romb ja ruut - esimesel juhul on nurgad võrdsed (täisnurgad), teisel küljed võrdsed ja kolmandal nii nurgad kui ka küljed võrdsed. Valemid Rööpküliku pindala: Rööpküliku ümbermõõt: Rööpkülikus kehtib veel üks seos:
Vastasküljed on paralleelsed ja võrdsed Vastasnurgad on võrdsed Diagonaalid poolitavad teineteist Diagonaal jaotab rööpküliku kaheks pindvõrdseks kolmnurgaks Lähisnurkade summa on 180º ( Diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga: d 12 + d 22 = 2 a 2 + b 2 ) Ümbermõõt. P = 2( a + b ) Pindala: S = ah S = a b sin ROMB On võrdsete külgedega rööpkülik, seega on rombil kõik rööpküliku omadused. Lisaks on rombi diagonaalid risti ja poolitavad rombi nurgad, Rombi kõrgused on pikkuselt võrdsed. 1 Rombi diagonaalide lõikepunkt on siseringjoone keskpunkt r = h 2 d 12 + d 22 = 4a 2 Ümbermõõt: P = 4a Pindala: S = a h S = a 2 sin 1
vastav võrrand p suhtes · Leiame funktsiooni y=sin3x perioodi. 6x + 3 p 3p 2 cos sin =0 · 2 2 sin3(x+p)=sin3x; sin3(x+p)-sin3x =0 32. Ühe ja sama mõiste kahe omaduse tarvilikkuse ja piisavuse seos, näide · Ühe omaduse eksisteerimine või puudumine toob kaasa teise omaduse eksisteerimise või puudumise. Öeldakse, et need omadused on tarvilikkuse ja piisavuse seoses. · Mõiste rööpkülik. Omadused: täisnurga olemasolu ja diagonaalide võrdsus. · Kolmnurk: nurkade võrdsus, külgede võrdsus. 33. Ühe ja sama mõiste kahe omaduse sõltumatuse seos, näide · Ühe omaduse olemasolu ei mõjuta teise omaduse olemasolu. Öeldakse, et omadused on sõltumatuse seoses. · Mõiste rööpkülik. Omadused: kõikide külgede võrdsus, diagonaalide võrdsus. · Kolmnurk: nürinurga olemasolu, kahe nurga võrdsus. 34
Tähised ja valemid Tähised P= ümbermõõt H= ruumilise kujundi kõrgus (suur kõrgus) S= pindala Sp = põhjapindala Sk = külgpindala St = täispindala V= ruumala C= ringjoone pikkus a, b, c, jne = kujundi küljed h = tasapinnalise kujundi kõrgus (väike kõrgus) valemid Rööpkülik S= ah P=2a + 2b Romb S= d1d2 2 P= 4a Kolmnurk S = ah 2 P=a+b+c Ruumilised kujundid (püströöptahukas, risttahukas, kuup, kolmnurkne püstprisma) Sk = PH St = Sk + 2Sp V= SpH Ring C= 2r S=r² π = 3,14
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Geomeetria Täisnurkne kolmnurk c = a 2 +b 2 a 2 = fc b 2 = gc h 2 = fg ab = hc c = 2R Kolmnurk P = a +b +c ah ab sin a 2 sin sin S= = = 2 2 2 sin a b c = = = 2R sin sin sin a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos Ruut d2 S = a2 = 2 Ristkülik S = ab Rööpkülik S = ah = ab sin Romb d1 d 2 S = ah = = a 2 sin 2 Trapets a +b S= h = kh 2 a +b k= 2 Ring d 2 S = r 2 = 4
Prismat, mille kõigi külgede tasandid ristuvad põhjade tasandiga, nimetatakse püstprismaks. Vastupidisel juhul nimetatakse prismat kaldprismaks. Prismasid võib eristada ka nende põhjade kuju järgi. Kui prisma põhi on nnurk, siis nimetatakse prismat nnurkseks prismaks. Vastavalt räägitakse kolmnurksest prismast, nelinurksest prismast jne. Prismat, mille põhjaks on korrapärane hulknurk, nimetatakse korrapäraseks prismaks. Rööptahukas on nelinurkne prisma, mille põhjaks on rööpkülik. Risttahukas on nelinurkne püstprisma, mille põhjaks on ristkülik. Prisma pindala Prisma (kogu)pindala S on külgpindala Sk ja põhitahkude pindala Sp summa S = Sk + 2Sp kus külgpindala avaldub põhja ümbermõõdu P ja prisma kõrguseH korrutisena: Sk = PH Prisma kõrguseks nimetatakse selle põhjade vahelist kaugust. Prisma ruumala Prisma ruumala on selle põhja pindala Sp ja prisma kõrguse H korrutis: V = SpH
an = a · a · ... · a a1 = a a0 = 1 P= 4a S= a · h + = 180º n tegurit romb Aritmeetiline ruutjuur rööpkülik P= 2(a+b) S= a · h + = 180º Tehted astmetega kolmnurk P= a+b+c + + = 180 Korrutamise ja tegurdamise valemid
ehk logaritmfunktsioon ja logaritmvõrrand logaritmfunktsioon: logaritmvõrrandite lahendusvõtted: 1. potentseerimine 2. asendusvõte 3. logaritmi definitsiooni kasutamine võrrandisüsteem ja võrratussüsteem liitmis- või asendusvõte! GEOMEETRIA Tasandilised kujundid kolmnurk Heroni valem: r – siseringjoone raadius täisnurkne kolmnurk koosinusteoreem siinusteoreem R – ümberringjoone raadius ruut ristkülik rööpkülik trapets romb ringjoon, ring, sektor l – sektori kaare pikkus S – sektori pindala korrapärane kuusnurk Ruumilised kujundid risttahukas kuup püst- ja kaldprisma korrapärane püramiid silinder koonus kera TULETISED JA TEKSTÜLESANDED tuletised korrutise tuletis: jagatise tuletis: liitfunktsiooni tuletis: ekstreemumkohad nullkohad: positiivsus: negatiivsus: ekstreemum:
Kolmnurk: S = a x h : 2 (pindala = alus x kõrgus : 2) P=a+b+c Trapets: S = (a + b) : 2 x h (pindala = alus1; + alus2 : 2 x kõrgus) P=a+b+c+d Rööpkülik: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Romb: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Ring: C = 2r ( ringi pikkus = 2 x 3,14 x raadius) S = r² ( pindala = 3, 14 x raadius ruudus) Kera: S = 4 r² V = 4 : 3 r³ Silinder: Sp = r² Sk = rm St = 2Sp + Sk V = 1/3 r²h Koonus: Sp = r² Sk = rm St = Sp + Sk V = 1/3 r²h Kuup: S = 6 x a² V = a³ Risttahukas: S = 2(ab + ac + bc) V = abc Pythagorase teoreem: a² + b² = c² c=c²
Kolmnurk: S = a x h : 2 (pindala = alus x kõrgus : 2) P=a+b+c Trapets: S = (a + b) : 2 x h (pindala = alus1; + alus2 : 2 x kõrgus) P=a+b+c+d Rööpkülik: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Romb: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Ring: C = 2πr ( ringi pikkus = 2 x 3,14 x raadius) S = πr² ( pindala = 3, 14 x raadius ruudus) Kera: S = 4 π r² V = 4 : 3 π r³ Silinder: Sp = π r² Sk = π rm St = 2Sp + Sk V = 1/3 π r²h Koonus: Sp = π r² Sk = π rm St = Sp + Sk V = 1/3 π r²h Kuup: S = 6 x a² V = a³ Risttahukas: S = 2(ab + ac + bc) V = abc Pythagorase teoreem: a² + b² = c² c=√c²
Prisma 12.klass Prisma ruut, risttahukas Näited Korrapärane kuusnurkne prisma külgserv põhiserv Korrapärane kolmnurkne prisma · Risttahukas · S=2(ab+ac+bc) · V=abc · d = a² + b² + c² · Prisma · V=Sph · S=Sk+2Sp · Sk=nah · V=Sph · ÕPIKUST lk.141 põhiserv Kaldprisma St=Sk+2Sp Sk=pm p-ristlõike ümbermõõt, m-külgserv V=Sph Lõiked · RÖÖPKÜLIK-nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed Ülesanne 262 Rööpküliku eriliigid: · RUUT-nimetatakse nelinurka, mille lähisküljed on võrdsed · RISTKÜLIK-nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on võrdsed ja paralleelsed ningnurgad on täisnurgad · ROMB-nimetatakse rööpkülikut, mille lähisküljed on võrdsed. · TRAPETS-nimetatakse nelinurka, mille kaks vastaskülge on paralleelsed, kuid teised küljed ei ole paralleelsed. · Korrapärseks hulknurgaks nimetatakse kumera...
Ring S=r2 ; P=2r Rööpkülik S=ah ; P=2(a+b) Ruut S=a ; P=4a 2 Romb S=d1*d2/2 = a*h Ristkülik S=a*b ; P=2(a+b) Trapets S=a+b/2*h = k*h ; P=a+b+c+d Kolmnurk S=a*h:2 ; P=a+b+c Täisnurkne kolmnurk S=1/2*ah ; Risttahukas S=2(ab+ac+bc) ; V=abc Viete teoreem: X1+X2 = -p Püstprisma Sk=P*h ; St=Sk+2Sp; V=Sp*h X1*X2 = q Kuup Sp=a ; Sk=4*a 2 2 Silinder Sp=r2 ; St=2r ; Sk=2rh ; V=r2h Kera S=4r2 ; V= 4/3 r3 Koonus Sp=r2 ; Sk=rm ; St=r ; V= 1/3 r2h Korrapärane püramiid Sk=P*h ; St=Sk+2Sp ; V=Sp*h Püramiid Sk=Pm/2 ; St =Sk+Sp ; V=1/3Sp*h · (a+b)(a-b)= a²- b² · (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ · (a+b)²= a²+2ab+b² · (a+b)(a²-ab+b²)= a³+b³ · (a-b)²= a²-2ab+b² · (a-b)(a²+ab+b²)= a³-b³ · (a+b)³= a³+3a²b+3ab²+b³ Sin = a/c a = c*sin c = a/sin Sin = b/c Cos = b/c b = c*cos ax2 + bx + c = 0 -b +- b2 ...
Reede, 27.02.2015 #6 4.5. TRAPETS Joonis 1. Joonisel 𝒔||𝒕 ja 𝒖 ∦ 𝒗. Seega nelinurk ABCD on trapets. Definitsioon 1: Nelinurka, mille kaks külge on paralleelsed ja teised kaks mitte, nimetatakse trapetsiks. Näiteülesanne: 646 Trapets ja rööpkülik ei ole teineteise erijuhud. Definitsioon 2: Trapetsi paralleelseid vastaskülgi nimetatakse alusteks ja mitteparalleelseid vastaskülgi haaradeks. Alused: 𝐴𝐵 ja 𝐶𝐷 Haarad: 𝐴𝐷 ja 𝐵𝐶 Definitsioon 3: Aluste lähisnurki nimetatakse alusnurkadeks. Alusnurkade paarid: ∠𝐴 ja ∠𝐵; ∠𝐶 ja ∠𝐷 Haarade lähisnurkade paarid: ∠𝐴 ja ∠𝐷; ∠𝐵 ja ∠𝐶 Näiteülesanne: 647
1. Pindala Ümbermõõt on kujundit ümbritsevate külgede pikkuste summa. Ristküliku pindala on korrutis: alus korrutatud sellega ristuva kõrgusega. Kolmnurga pindala on pool sama aluse ja kõrgusega ristkülikust, sellepärast valemis on esitatud lisategur ½, seega ½ alus kord kõrgus. Ringi puhul tuleb kasutada konstaanti , mis on 3,14. Ristkülik Ümbermõõt: P = 2(a + b) Pindala: S = ab Erijuhtum: Ruut Ümbermõõt: P = 4a Pindala: S = a2 Rööpkülik Ümbermõõt: P = 2(a + b) Pindala: Sa = a h Romb Ümbermõõt: P = 4a ef Pindala: S = 2 Trapets Ümbermõõt: P =a+b +c + d a +c Pindala: S= ha 2 Kolmnurk Ümbermõõt: P = a+b+ c a hc Pindala: S= 2 Erijuhtum: Täisnurkne kolmnurk Ümbermõõt: P = a+b+ c a b Pindala: S= 2 Ring
(a+b)2 = (a+b) . (a+b) = a2+2ab+b2 Ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2) (a-b)2 = (a-b) . (a-b) = a2-2ab+b2 A3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b2 A3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 Kui D<0 siis lahendid puuduvad Kui D=b siis on 2 ühesugust lahendit Kui D>0, siis on 2 erinevat lahendit. RUUT P=4a S=a2 P=2(a+b) Ristkülik S=ab Rööpkülik S=ah = D1+D2 P= 2(a+b) Romb S=ah=D1D2 P=4a Trapets S=a+b . h P=a+b+c+d RING C= d=2 r S= r2 D=2r Võrdkülgne kolmnurk P= 3a S= ab Võrdhaarne kolmnurk P=2b+a S= ah Täisnurkne kolmnurk P=a+b
Teoreem (võrdsuse tunnus KKK). Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis on need kolmnurgad võrdsed. 10.Teoreemi eeldus - teoreemi osa; ütleb, Ül.605,606 mis on antud või mis on teada; teoreemi Teoreem. Kui nelinurk on rööpkülik, siis üldkuju on p q eeldus on p tema vastasnurgad on võrdsed. Eeldus: nelinurk on rööpkülik NB kasutatakse teoreemi sõnastamisel ja Teoreem. Arv, mille ristsumma jagub 3-ga, tõestamisel jagub ka ise 3-ga. Eeldus: arvu ristsumma jagub 3-ga 11.Teoreemi väide - teoreemi osa; ütleb, Ül.605,606 mida on tarvis tõestada; teoreemi üldkuju Teoreem
Ristuvad sirged- on lõikuavd sirged, mille lõikumisel tekivad täisnurgad. Paralleelsed sirged- on sirged, mis asuvad ühel tasandil, kuid ei lõiku. Ringjoon- on tasandi antud punktist mingil kindlal positiivsel kaugusel olevate selle tasandi punktide hulk. Ring- on ringjoone poolt piiratud tasandi osa. Diameeter- on sirglõik, mis ühendab kaht ringjoone punkti ja läbib ringi keskpunkti. Kõõl- on ringjoone kaht punkti ühendav lõik. Ruut- on võrdsete külgede ja nurkadega nelinurk. Rööpkülik- on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed. Romb- on nelinurkne tasapinnaline kujund, mille kõik küljed on võrdsed. Trapets- on kumer nelinurk, mille 2 külge on omavahel paralleelsed ja 2 ülejäänud küljed ei ole. Võrdkülgne kolmnurk- on kolmnurk, mille kõik küljed on võrdse pikkusega. Võrdhaarne kolmnurk- on kolmnurk, mille 2 külge on võrdse pikkusega. Erikülgne kolmnurk- on kolmnurk, mille kõik küljed on erineva pikkusega.
ruuduga, a2 + b2 = c2 . Eukleidese teoreem: täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti hüpotenuusil oleva projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega, a 2 = fc , b 2 = gc . Teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest: täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile joonestatud kõrguse ruut võrdub kaatetite projektsioonide korrutisega, h2 = f g . Rööpkülik Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist. Rööküliku diagonaal jaotab rööpküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks. Rööpküliku diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude kahekordse summaga: 2 2 ( ) d1 + d 2 = 2 a 2 + b 2 . Rööpküliku pindala: 1) S = ah ; 2) S = ab sin = ab sin . Trapets
osaga, mida see murdjoon piirab. Võrdkülgne kolmnurk, mille kõik kolm külge on võrdsed. Võrdhaarne on kolmnurk, mille vähemalt kaks külge on võrdsed. Erikülgne on kolmnurk, mille kõik küljed on erineva pikkusega. Täisnurkne on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. Nürinurkne on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk, s.o suurem kui 90o. Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o väiksemad kui 90o Rööpkülik ehk rööpnelinurk on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed ning võrdsed. Rombiks nim. nelinurka , mille küljed on võrdsed nurgad, aga mitte. Ringjoon on tasandi antud punktist mingil kindlal positiivsel kaugusel olevate selle tasandi punktide hulk. Diameetriks nim. lõiku, mis läbib kekspunkti ja ühendab ringjoone kaht punkti. Raadius on matemaatiline lõik, mis ühendab ringjoone või sfääri punkti keskpunktiga Ringi moodustab ringjoone sees olev tasandi osa koos ringjoonega.
4. siseringjoone raadius . Ruut nurgad 90°, küljed võrdsed, diagonaalid risti ja poolitavad teineteist, võrdse pikkusega. 4, , 2. Ristkülik nurgad 90°, vastasküljed võrdsed ja paralleelsed, diagonaalid võrdsed ja poolitavad teineteist. 2 , , . Rööpkülik vastasküljed paralleelsed ja võrdsed, diagonaalid poolitavad teineteist, lähisnurkades summa 180°, vastasnurgad võrdsed, diagonaal jaotab rööpküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks. 2 , , , 2 . Romb küljed võrdsed, diagonaalid risti ja poolitavad teineteist, diagonaalid poolitavad nurgad. · 4, , , .
Ruut Diagonaal: Pindala: S = a2 Ümbermõõt: P = 4·a Ruudu kõik küljed on võrdsed ja nurgad täisnurgad. Ristkülik Diagonaal: Pindala: S = a · b Ümbermõõt: P = 2(a + b) Ristkülikuks nimetatakse rööpkülikut, mille kõik nurgad on täisnurgad. Romb + = 180º Pindala: S = a · h Ümbermõõt: P = 4·a Rööpkülik + = 180º Pindala: S = a · h Ümbermõõt: P = 2(a + b) Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. Kolmnurk + + = 180º Pindala: Ümbermõõt: P = a + b + c Võrdkülgne kolmnurk Kõrgus: Pindala: Ümbermõõt: P = 3 · a Täisnurkne kolmnurk
___1___ . Sirgeid , mille lõikumisel tekib täisnurk nim . ___2___ . ______3_____ on sirged , millel ei ole ühtki ühist punkti . Kolmnurga tipust vastasküljeni tõmmatud ristlõiku nim. ___4___ . Kolmnurka , mille üks nurk on täisnurk nim . ____5____ kolmnurgaks . Kolmnurk , mille kõik küljed on erineva pikkusega nim __6_. Kolmnurk , mille kaks külge on ühe pikkusega on __7___ . Ruut on ___8___ , mille kõiik nurgad on __9__ . ___10___ on rööpkülik , mille kõik küljed on võrdsed. Ringjoone diameetriks nim lõiku , mis ühendab ringjoone__11___ ja ___12___ . Joon , mille iga punkt asetseb ringjoone keskpunktist võrdsel kaugusel on __13__ . Naturaalarvu , millel on ainult kaks tegurit ( 1 ja see arv ise ) nim ___14___ . Naturaalarvu , millel on enam kui kaks tegurit nim __15___ . Arv , millega antud arv jagub nim ___16___ . Arv , mis jagub antud arvuga on ___17___ . Murd , mille lugeja on nimetajast väiksem on __18__
3. P=2(a+b) 4. S=ab ROMB 1. Romb on nelinurkne tasapinnaline kujund, mille kõik küljed on võrdsed. 2. Romb on rööpküliku erijuhtum. Seetõttu on rombil kõik rööpküliku omadused. Rombiks nimetatakse rööpkülikut, mille küljed on võrdsed. 3. Rombi diagonaalid on risti, poolitavad teineteist ja nurki (vt nurgapoolitaja). 4. S=ah 5. S=d1d2/2*h 6. Rombi, mille nurgad on täisnurgad, nimetatakse ruuduks. RÖÖPKÜLIK 1. Rööpkülik ehk rööpnelinurk on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed. 2. Vastasküljed on võrdse pikkusega. 3. Vastasnurgad on võrdsed. 4. Lähisnurkade summa on 180 kraadi. 5. Diagonaalid poolitavad teineteist 6. Diagonaalide lõikepunkt on rööpküliku sümmeetriakeskpunkt 7. S=ah RING 1. Ring ehk kinnine ring on ringjoone poolt piiratud tasandi osa. 2. Ring sisaldab kõiki punkte, mis on kas ringjoonel või ringjoone sees. 3
12.Nürinurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk. 13.Erikülgne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik küljed on erineva pikkusega. 14.Võrdhaardne kolmnurk on kolmnurk, mille kaks külge on võrdsed. 15.Võrdkülgne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik küljed on võrdsed. 16.Kolmnurga aluseks nimetatakse seda kolmnurga külge, mille suhtes kõrgus määratakse. 17.Kolmnurga kõrgus on algusele selle vastastipust joonestatud ristlõik ning ka selle ristlõigu pikkus. 18.Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed. 19.Ristkülik on tasandiline nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad. 20.Ruut on nelinurk, mille kõik küljed on võrdsed. 21.Rombiks nimetatakse rööpkülikut, mille lähisküljed on võrdsed. 22.Trapetsiks nimetatakse nelinurka, mille kaks vastaskülge on paralleelsed (nimetatakse alusteks), kuid teised küljed ei ole paralleelsed (nimetatakse haaradeks) 23.Diagonaal on nelinurga vastastippe ühendav lõik. 24
VEKTORID Vektor on matemaatiline suurus, mida iseloomustavad 1) arvväärtus ja 2) suund mingil sihil. Vektorit esitatakse suunaga sirglõiguna. Kahe vektori liitmiseks nihutatakse vektoreid iseendaga paralleelselt nii, et 1) teise vektori algus oleks esimese vektori lõpus. Nende summa vektor algab esimese algusest ja lõpeb teise lõpus. 2) Liidetavate vektorite algused on ühes punktis. Nende alusel moodustatakse rööpkülik, nende summa vektor algab ühisest algusest ja on mööda rööpküliku diagonaali viimase pikkuseline. a b a b
69. Pythagorase arvud naturaalarvude kolmik, mis rahuldab võrrandit a2+b2=c2. 70. Pythagorase teoreem täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga. 71. Ratsionaalarv arv, mida saab esitada kujul a/b, kus a ja b on täisarvud ning b ei võrdu nulliga. 72. Reaalarv lõpmatu kümnendmurruna esitatav arv. 73. Risttahukas püstprisma, mille põhjad on ristkülikud. 74. Romb võrdsete külgedega rööpkülik. 75. Ruut 1. võrdsete külgedega ristkülik. 2. arvu teine aste. 76. Ruutfunktsioon funktsioon y=ax2+bx+c. 77. Ruutkolmliige avaldis kujul ax2+bx+c, kus a, b ja c on antud arvud ja x on muutuja. 78. Ruutvõrrand võrrand ax2+bx+c=0, milles a, b ja c on antud arvud ja x tundmatu. 79. Rööpkülik paralleelsete vastaskülgedega nelinurk. 80. Samasus võrdus, mis kehtib temas esinevate muutujate mistahes väärtuste korral. 81
Teravnurkne kolmnurk-kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad Täisnurkne kolmnurk-kolmnurk, mille üks nurk on 90 kraadi Võrdhaarne kolmnurk-kolmnurk, mille kaks külge on võrdsed Võrdkülgne kolmnurk-kolmnurk, mille kõik küljed on võrdsed Erikülgne kolmnurk-kolmnurk, mille kõik küljed on erineva pikkusega Ruut-võrdsete külgede ja nurkadega nelinurk Ristkülik-nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad ja vastasküljed paralleelsed Rööpkülik-nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed ning võrdsed Trapets-kumer nelinurk, mille kaks külge (alused) on omavahel paralleelsed ja kaks ülejäänud külge (haarad) ei ole omavahel paralleelsed. Romb-nelinurkne tasapinnaline kujund, mille kõik küljed on võrdsed Ring-ringjoone poolt piiratud tasandi osa Ringjoon-punktide hulk, mis on ringi keskpunktist ühel ja samal kaugusel Kolmnurga kõrgus-ristlõik kolmnurga külje ja tema vastastipu vahel
V. Kandinsky ,,Kompositsioon nr. 7", ,,Unistuslik improvisatsioon", ,,Sügis Baieris", ,,Väike maal kollasega" P. Klee ,,AD Parnassum", ,,Peatee ja kõrvaltee" P. Mondrian ,,Õitsvad puud", ,,Kompositisoon punase, kollase, sinisega", ,,Kompositsioon 2: Jooned ja värvid", ,,Broadway boogiewoogie" Le Corbusier ,, Villa Savoye" Le Corbusier ,,Modulor" Ozenfant ,, Kitarr ja pudelid" Malevits ,, Puuraidur", ,,Suprematism. Supremus nr. 58", ,,Must ruut", ,,Supermatistlik kompositsioon, must rööpkülik ja punane ruut" 3. Sõnum maailmale, põhimõtted? Kunst peab olema mõtteline, meeltega tajumatu, ebakonkreetne, ühekülgne, terviklik teadmus. Eesmärgiks oli mitte jäljendada loodust isegi mitte deformeerivalt, vaid püütakse kunstilist tähendust saavutada pelki värve, jooni, pindu ja mahte ühendades.
summa on 180º. Kaks sirget on paralleelsed, kui nad asetsevad samal tasandil ega pikendamisel lõiku. 17. Kolmnurga välisnurk ja selle omadus. Kolmnurga sisenurkade summa. Välisnurk on kolmnurga sisenurga kõrvunurk. Kolmnurga sisenurkade summa on 180 kraadi. 18. Kolmnurga kesklõik, selle omadus. Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab tema kahe külje keskpunkte. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga alusega ja tema pikkus võrdub poolega sellest. 19. Rööpkülik, ristkülik, romb, ruut ja nende omadused. Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed. Vastasküljed on võrdse pikkusega. Vastasnurgad on võrdsed. Lähisnurkade summa on 180 kraadi. Diagonaalid poolitavad teineteist Ristkülik on nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad. Ristküliku vastasküljed on omavahel paralleelsed. Romb on nelinurkne kujund, mille kõik küljed on võrdsed. Rombiks nimetatakse rööpkülikut, milled küljed on võrdsed.
Defineerimine ja tõestamine. Planimeetria elemente. Kordamine Matemaatika 8.klass Rita Punning Krootuse Põhikool Kordavad teemad ehk millest täna räägime: Defineerimine, teoreem, eeldus, väide, pöördteoreem; Kõrvu-, tipp-, kaas-, põik-, lähisnurgad; Sirgete paralleelsus; Rööpkülik, kolmnurk; Kolmnurga ja trapetsi kesklõigud; Kolmnurga mediaanid. 2 Defineerimine Mõiste täpset ja lühidat määratlemist nimetatakse selle mõiste defineerimiseks. Mõisted, mida ei defineerita, nimetatakse algmõisteteks. Algmõisted näiteks punkt, sirge, tasand, ruum jne. Kas järgmised mõisted on korrektsed? Kolmnurga kõrguseks nimetatakse kolmnurga tipust tõmmatud lõiku.
S=pr, kus r on siseringjoone raadius S=ah S=abc/4R, kus R on välisringjoone raadius Trapets S=a2*sin S=(a+b/2)*h S=0,5* d1*d2 Rööpkülik Sarnased kolmnurgad d12+d22=2(a2+b2) / S=ah / S= a*b*sin S1/S2=k2 (k=sarnasustegur) Silinder Sk = 2rh; St = Sk+2Sp=2rh+2r2 =2r(h+r); Sp = r2; V = r2h Koonus Sk = rm; St = Sp+Sk=r2+rm=r(r+m);V = 1/3r2h Kera S = 4r2; V = 4/3r3 Rööpkülik S=a*h Romb S=d1*d2 2 Trapets S=a+b*h 2
V= S= hr 2( h + r ) 17) Ruut PINDALA (S) [ühik2] ÜMBERMÕÕT (P) [ühik] S = a2 P = 4a P2 a külg S= P=4 S 16 18) Rööpkülik PINDALA (S) [ühik2] ÜMBERMÕÕT (P) [ühik] P = 2( a + b) = S = ah = ab sin = 2 ( h + a sin ) = ab sin = sin h ( P - 2b ) 2 ( S + bh ) S= P=
· Põiknurgad on võrdsed parajasti siis, kui lähisnurkade summa on 180 . · Kaks sirget on paralleelsed parajasti siis, kui nende lõikumisel kolmanda sirgega tekivad võrdsed põiknurgad. · Kaks sirget on paralleelsed parajasti siis, kui nende lõikumisel kolmanda sirgega tekivad lähisnurgad, mille summa on 180 . · Kui nelinurgas on üks paar võrdseid ja paralleelseid vastaskülgi, siis see nelinurk on rööpkülik. 6.Kolmnurga sisenurkade summa, kesklõik ja mediaanid. Välisnurgaks nimetatakse kolmnurga nurga kõrvunurka. Igal kolmnurgal on 6 välisnurka, mis on paarikaupa võrdsed kui tippnurgad. · Kolmnurga sisenurkade summa on 180 . · Kolmnurga välisnurk võrdub temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga. Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte. · Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest
laengule mõjuva jõu ja laengu suhtega. E=F/q Vektori E suund ühtib positiivsele laengule mõjuva jõu suunaga . ühikuks 1N/C = 1V/m . Leiame punktlaengu q0 poolt tekitatud elektrivälja tugevuse. See laeng mõjub vastavalt Cou. seadusele laengule q jõuga. .punktlaengu elektrivälja tugevuse valem. Väljade superpositsiooniprintsiip. Kui mitu laetud osakest tekitavad ruumipunktis elektrivälja tugevustega ,siis resultantvälja tugevus selles punktis on Joonis (rööpkülik) -- Väljatugevused liituvad geomeetriliselt. Elektrivälja piltlikumaks ettekujutamiseks kasutatakse jõujooni. Elektrivälja jõujoon on mõtteline joon, mille igas punktis on E vekstor suunatud piki selle joone puutujat. Joonis (nooltega ring , ringist ka väljas). Homogeense välja jõujooned on omavahel II sirged, mille vahekaugus ei muutu. E=q/ eps. Eps0 S. Joonis- kast nooltega. + üleval, - all.--homogeenne väli kahe plaadi vahel. Töö elektriväljas. Potentsiaalne energia
annaabi.ee 
