Matemaatiline analüüs I kontrolltöö (0)

Tallinna Tehnikaülikool - Matemaatika - Matemaatiline analüüs

1 HALB

Lõik failist

Matemaatiline analüüs I kontrolltöö
Punktid 1-22

Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse
omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga
definitsioon.

Arvtelje mõiste
Arvteljeks nim sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Igale arvtelje punktile vastab ainult üks reaalarv ja vastupidi.

Reaalarvu absoluutväärtus
Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset arvu
|a|= a, kui a
0, -a, kui aM

Suuruse miinus lõpmatuks ümbruseks nim suvalist vahemikku (-M;-), kus M>0. Arv x kuulub minus lõpmatuse ümbrusesse kui x0, siis on graafiku kõrgus positiivne, st graafik on ülalpool x-telge.
Kui f(x)0 nii, et iga xX korral kehtib võrdus f(x+c)=f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks .

Kasvavad ja kahanevad funktsioonid

Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x₁ ja x₂ nii, et x₁

Astmefunktsioonid
y=, kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkonna väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Määramispiirkond on järgmine:

a=p/q, kus p,q Z ja q on paaritu. (Täisarvuliste astendajatega funktsioon)

a=p/q, kus p,q Z ja q on paaris või a on irratsionaalne arv. (Paaris juured)

Eksponent - ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud

y=, kus astme alus a on konstantne ja rahuldab väärtust a>0. Lisaks , sest a=1 korral saame konstantse funktsiooni y==1. Eksponentfunktsiooni korral . y= on kasvav kui a>1. y= on kahanev kui 0f(x), siis nimetatakse arvu f(x₁) funktsiooni suurimaks väärtuseks lõigul [a,b]
Suurima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul kõrgeim punkt.

Kui leidub punkt x₂ lõigul [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x₂)≤f(x), siis nimetatakse arvu f(x₁) funktsiooni vähimaks väärtuseks lõigul [a,b]
Vähima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul madalaim punkt.

Funktsiooni absoluutseid maksimume ning miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks.

Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega. Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga.

Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega

Esimene omadus: Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse selle lõigul.

Teine omadus: Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel.

Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga
Kui funktsioon on pidev lõigul [a,b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c)=0.

Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev. Tuletis kui funktsioon. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised .

Funktsiooni tuletise definitsioon
Funktsiooni tuletis punktis a on defeineeritud järgmiselt f’(a)=

Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted
Kui funktsioon omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse, et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks.

Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu
∆x=x-a argumendi muut kohal a
∆y= f(x)-f(a) funktsiooni muut kohal a

Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev

Tuletis kui funktsioon
Kui funktsioon on diferentseeruv oma määramispiirkonna alamhulga D kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv hulgas D.
Olgu funktsioon diferentseeruv hulgas D. Siis igale arvule x hulgast D vastab üks kindel reaalarv f’(x). Seega f’ on funktsioon, mis on määratud hulgas D.

Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised

(

Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena.

Funktsiooni diferentsiaali definitsioon
Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f’(a) ja argumendi muudu ∆x=x-a korrutist ja tähistatakse dy või dx.
dy=f’(a)*∆x

Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena
Diferentsiaal sõltub kahest suurusest : punktist a, kus diferentsiaal on arvutatud ja argumendi muudust ∆x. [dy(a,∆x)]
Järgnevalt arvutame funktsiooni y=x diferentsiaali dx. Kuna (x)’=1, siis y=x
dx=∆x
Argumendi diferentsiaal võrdub argumendi muuduga.
Olgu y=f(x) suvaline funktsioon. Asendame ∆x dx-ga
dy=f’(a)dx
Tuletise valem diferentsiaalide suhte kaudu: f’(a)=

Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral. Tõestada korrutise reegel. Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid.

Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral

Tõestada korrutise reegel. Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid

Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid

Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine . Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem ). Parameetrilise funktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem).

Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine
y=f(x), antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y)=0
Funktsiooni tuletamiseks tuleb lahendada võrrand F(x,y)=0 muutuja y suhtes.
Antud funktsiooni saab diferentseerida ka nii, et teda pole vaja eelnevalt ilmutada.
Tuletise võib võtta otseselt, lähtuded F(x,y)=0. Tuleb arvestata. Et kõik y-it sisaldavad liikmed võrrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y=f(x)

Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem)
Olgu üksühese funktsiooni y=f(x) pöördfunktsioon x=g(y)
Tõestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f’(x)=. Pöördfunktsiooni x=g(y) argument on y ja sõltuv muutuja x. Järelikult g’(y)= . Kasutades neid valemeid saame:

Parameetrilise funktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem)
Olgu funktsioon y=f(x) antud parameetrilisel juhul võrranditega. Siis kehtib valem .
Tõestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f’(x)=. Funktsiooni x= argument on t ja sõltuv muutuja x. Järelikult . Analoogiliselt saame funktsiooni , mille argument on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose . Kasutades neid valemeid saame:

Joone puutuja definitsioon. Tuletada joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) . Joone normaalsirge definitsioon. Tuletada joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) . Diferentseeruvuse geomeetriline sisu.

Joone puutuja definitsioon
Olgu tasandil xy-teljestikus antud joon y=f(x). Joone y=f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel mööda joont y=f(x). (JOONIS)

Tuletada joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a))
Olgu tasandil xy-teljestikus antud joon y=f(x). Joone y=f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel mööda joont y=f(x). (JOONIS)
Puutuja võrrand s avaldus punktis A=(a,f(a)) kujul y-f(a)=p(x-a), kus p on s tõus. Momendil on p(puutuja) veel tundmatu kaugus. Avaldame suuruse p(puutuja) funktsiooni f tuletise kaudu. (JOONISEL) on lõikaja AP tõusunurk tähistatud β-ga. Seega on lõikaja AP tõus p(lõikaja)=tanβ. Täisnurkselt kolmnurgalt APQ näeme, et
Vaatleme nüüd piirprotsessi x→a. Kui x→a, siis P läheneb punktile A mööda joont y=f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y=f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p(puutuja). Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal:
Järeldub puutuja võrrand:
Valem kehtib juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f’(a) on määratud. Kui puutuja tõusunurk on , siis ei ole f’(a) määratud ja puutuja võrrand on x=a.

Joone normaalsirge definitsioon
Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y=f(x) puutujatega selles punktis.

Tuletada joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a))
JOONIS
Joonisel on kujutatud joone y=f(x) puutuja s ja normaalsirge n koos oma tõusunurkadega α ja β. Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p=tanφ. Kuna φ=a+ ja tanα=f’(a), siis
Eelneva valemi ning valemi y-b=p(x-a) põhjal on punkti A=(a,f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine:

Diferentseeruvuse geomeetriline sisu
JOONIS
Punktides A₁ ja A₂ on joon sile, seal on tema puutujad üheselt määratud. Puutujate tõusunurgad erinevad -st, järelikult on funktsioonil f argumendi väärtustel x=a₁ ja x=a₂ olemas lõplikud tuletised. Seevastu punktis A₃ joon murdub. Punktiiriga on kujutatud lõikajate piirsirged mõlemapoolsel lähenemisel A₃-le. Need on erinevad, seega ei ole puutujad määratud. Argumendi väärtusel x=a₃ funktsiooni tuletis puudub.
20

Lae alla, et näha rohkem ▪ ▪ ▪

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 15 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2014-02-08 Kuupäev, millal dokument üles laeti

51 laadimist Kokku alla laetud

0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

kaijo90 Õppematerjali autor

Matemaatilise analüüsi 1.teooriakontrolltöö punktide vastused

matemaatiline analüüs kontrolltöö piirväärtus graafik muutuja lõpmatult kahanev võrrand pöördfunktsioon tuletis puutuja liitfunktsioon

Sarnased õppematerjalid

pdf

Matemaatiline analüüs 1, teooria, spikker, kontrolltöö 1, matan

Parameetrilisel kujul antud funktsioon Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laienemine juhtudele a = ± ja b = 1.Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda 4.Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Vaatleme funktsiooni y=f(x). Toome lisaks muutujale x ± absoluutväärtuse Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni ja y sisse ka kolmanda muutuja t. x= (t). Siis saab ka Funktsioonil f on piirväärtus kohal a, kui suvalises piirprotsessis xa, mis omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune muutuja y avaldada parameetri t kaudu. y = (t). rahuldab tingimust xa

Algebra ja analüütiline geomeetria

docx

Matemaatiline analüüs I KT

Matemaatiline analüüs 1. Arvtelg sirge, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Öeldu põhjal saab reaalarvud samastada sirge (arvelje) punktidega. Absoluutväärtuse mõiste reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset arvu. Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunktivahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuste omadused: Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a ; a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-; a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x-a| < . Reaalarvu vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a-], kus >0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse

Matemaatiline analüüs

docx

Matemaatiline analüüs II teooria töö

1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. · Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vaheline kaugus arvteljel. · Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | · Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. o Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. o Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist pooll?

Matemaatiline analüüs 2

docx

Matemaatiline analüüs I - I teooria töö

Matemaatika analüüs i

docx

Matemaatiline analüüs I 1. teooria KT

1. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| =a kui a 0; -a kui a < 0. Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a||b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| ||a| - |b|| Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - ,a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-,a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x - a| < . Tõkestatud hulgad. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a,b) nii, et A (a,b). 2. Jäävad ja muutuvad suurused. Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suu

Matemaatiline analüüs 1

doc

Matemaatiline analüüs

Täisprogramm Selle programmi järgi saab ette valmistada teooria kontrolltööde B (so raskemateks) variantideks. Esimese kontrolltöö materjal hõlmab lõike 1 22 ja teise kontrolltöö materjal hõlmab lõike 23 - 45. Igas kontrolltöös on 5 küsimust. Üks küsimus viiest on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast. Vähemalt kaks küsimust viiest sisaldavad tõestusi, tuletuskäike või põhjendusi. Programm järgib otseselt õppejõu konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude

Matemaatiline analüüs

doc

Matemaatiline analüüs KT1 vastused

MATEMAATILINE ANALÜÜS I KONTROLLTÖÖ 1.Arvtelje mõiste- Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus- |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Loetleda absoluutväärtuse omadused- 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b|/ Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused- Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-, a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x - a| < . Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a - , a] siis ja ainult siis, kui selle

Matemaatiline analüüs i

doc

Matemaatiline analüüs I 1 kt teooria

Täisprogramm Selle programmi järgi saab ette valmistada teooria kontrolltööde B (so raskemateks) variantideks. Esimese kontrolltöö materjal hõlmab lõike 1 22 ja teise kontrolltöö materjal hõlmab lõike 23 - 45. Igas kontrolltöös on 5 küsimust. Üks küsimus viiest on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast. Vähemalt kaks küsimust viiest sisaldavad tõestusi, tuletuskäike või põhjendusi. Programm järgib otseselt õppejõu konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Def. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Def

Matemaatiline analüüs 2

Rohkem sarnaseid