Osa A: Algandmete tabel xi ni ni*xi ni*xi2 ni(xi-X)2 0 1 0 0 2132,5924 1 1 1 1 2041,2324 3 1 3 9 1864,5124 4 1 4 16 1779,1524 7 1 7 49 1535,0724 8 1 8 64 1457,7124 10 2 20 200 2617,9848 13 3 39 507 3302,7372 15 1 15 225 972,1924 20 2 40 800 1370,7848
Osa A. Tabel 1. xi ni xi*ni ni*xi2 ni*(xi-xk)2 0 1 0 0 2132,59 1 1 1 1 2041,23 3 1 3 9 1864,51 4 1 4 16 1779,15 7 1 7 49 1535,07 8 1 8 64 1457,71 10 2 20 200 2617,98
Tabel 1. nxi ni xi*ni ni*xi2 ni*(xi-xk)2 2 1 2 4 2512,01 6 1 6 36 2127,05 7 1 7 49 2035,81 12 1 12 144 1609,61 17 1 17 289 1233,41 18 4 72 1296 4656,70 20 1 20 400 1031,69
44, 45, 46, 48, 52, 52, 55, 56, 56, 62, 62, 65, 69, 71, 71, 71, 74, 74, 75, 75, 79, 79, 80, 82, 85, 86, 87, 91, 91, 95, 96, 98 Dixon-test Rlow=(x3-x1)/(xn-2-x1), n=60 -> Rlow=(4-0)/(95-0)=4/95=0,042 < Dkr=0,35 Rhigh=(xn-xn-2)/(xn-x3) = (98-95)/(98-4)=3/94=0,0319 Osa A. Hinnangud, usaldusvahemikud, statilised hüpoteesid ja jaotused Tabel 1. Valim xi-juhuslik arv, ni xi kordumiste arv n=60 xmin=0 , xmax=98 xi ni ni*xi ni*xi2 ni(xi-x)2 2282,92 0 1 0 0 84 2188,36 1 1 1 1 84 1916,68 4 1 4 16 84 1830,12 5 1 5 25 84 1745,56
15 12 33 95 10 87 25 1 62 52 98 94 62 46 11 71 79 75 24 91 40 71 96 12 82 4 6 96 38 27 7 74 20 96 69 86 10 80 25 91 74 85 22 5 39 0 38 75 95 79 xi ni xi*ni ni*xi2 ni*(xi-xk)2 0 0 1 0 0 2132,59 1 1 1 1 1 2041,23 3 3 1 3 9 1864,51 4 4 1 4 16 1779,15 7 7 1 7 49 1535,07 8 8 1 8 64 1457,71 10 10 2 20 200 2617,98
15 12 33 95 10 87 25 1 62 52 98 94 62 46 11 71 79 75 24 91 40 71 96 12 82 4 6 96 38 27 7 74 20 96 69 86 10 80 25 91 74 85 22 5 39 0 38 75 95 79 xi ni xi*ni ni*xi2 ni*(xi-xk)2 0 0 1 0 0 2132,59 1 1 1 1 1 2041,23 3 3 1 3 9 1864,51 4 4 1 4 16 1779,15 7 7 1 7 49 1535,07 8 8 1 8 64 1457,71 10 10 2 20 200 2617,98
Hüpoteesi H0 vastu võtmiseks peab 2 jääma kahe kriitilise väärtuse vahele: 39,62 < 56,667 < 82,12, seega võtan hüpoteesi vastu. 4. Grupeerin algandmed; guppe k=7 sammuga h=const. Leiame punkti 1 hinnangud nende alusel. vahemiku p(ni/n k xi ni xi*ni ni*xi2 ni*(xi-x)2 d: ) 1 0 - 14 7 9 63 441 0,150 14945,1 2 15 - 29 22 7 154 3388 0,117 4641,4 3 30 - 44 37 13 481 17797 0,217 1502,3
Osa A. Hinnangud, usaldusvahemikud, statistilised hüpoteesid ja jaotused xi ni xi*ni ni*xi2 ni*(xi-xk)2 0 1 0 0 2907,37 6 1 6 36 2296,33 7 1 7 49 2201,49 8 2 16 128 4217,29 9 1 9 81 2017,81 12 1 12 144 1757,29
Juhusliku suuruse x jaotusfu keskväärtus on 47,14286 1,5 d) dispersioon jaotusfunkt. F(x) 1 leian xi2*pi dispersioon on 48,97959 0,5 e) jaotusfunkt.graafik - treppgraafik 0 0 10 20 30 40 x F(x)
n x ( x ) i 2 i 2 30 1979529261 228693 2 n xi yi xi yi 30 3973897337 228693 479744 b n xi2 ( xi ) 2 30 1979529261 2286932 5.2 Kontrollime tulemust Exceli funktsiooni abil: a = 5767.47145 b = 1.34118603 5.3 Leitud parameetrite abil koostame regressioonisirge võrrand: y = 1.341186 x + 5767.4714 6. Determinatsioonikordaja r2 6.1.1 Mõõdetud väärtuste yi koguvariatsioon sv 2 (y i y )2 479839167.47 6.1
n x i x= i =1 Aritmeetiline keskmine n n n ( x - x ) - xi2 2 i D( x ) = i =1 i =1 Dispersioon n -1 = D( x ) Standardhälve Veetase Võrtsjärvel, Emajões ja Peipsil 1. august 31. august 1.
60*0,00903*14=7,58 n '7=60*0,00903*(102,85-98)=2,63 X2EMP=34,64 X2kr=9,5 2emp>2kr põhikogumi jaotuseks on ristkülikjaotus Osa B. Dispersioon analuus 9. ANOVA-test =0,05 H0: µ1=µ2=µ3=µ4=µ5 Tabel 6. FAKTOR Katse nr. F1 F2 F3 F4 F5 xi1 xi1^2 xi2 xi2^2 xi3 xi3^2 xi4 xi4^2 xi5 xi5^2 1 80 6400 12 144 71 5041 86 7396 5 25 2 25 625 33 1089 79 6241 10 100 79 6241 3 10 100 87 7569 75 5625 25 625 17 289 4 4 16 25 625 24 576 91 8281 43 1849
i 1 Vabaliikme B laiendmääramatuse U A (B ) hindamiseks kehtib järgmine valem: n n yi A xi B 2 xi2 U A ( B ) t n 2, i 1 n i 1 (13)
xi < x i . 0, x 4, 0,3, 4 < x 6, F ( x) = 0,4, 6 < x 8, 0,5 8 < x 9, 1 x > 9. X m x = xi pi = 4 0,3 + 6 0,1 + 8 0,1 + 9 0,5 = 7,1 . X 2x = M [ X 2 ] - m x2 = xi2 pi - m x2 = 4 2 0,3 + 6 2 0,1 + 8 2 0,1 + 9 2 0,5 - 7,12 = 4,89 . x = 2x = 4,89 = 2,211 . 62. X. F(x). . xi 2 4 8 pi 0,1 0,4 0,5 . F ( x) = P ( X < x) = P( X = x ) = p xi < x
.................. .................. xp1 xp2 . . . xpq yq1 yq2 . . . yqr korrutiseks nimetatakse (p, r)-maatriksit z11 z12 . . . z1r z z22 . . . z2r XY := 21 , .................. zp1 zp2 . . . zpr kus zij := xi1 y1j + xi2 y2j + . . . + xiq yqj , i Np , j Nr . (1.20) N¨aiteks maatriksite 1 -1 1 1 A= 2 1 -2 , B = (1 -2 3), C = 4 , D = (10) -1 3 -3 -1 korral definitsiooni 1.15 kohaselt eksisteerivad j¨argmised maatriksite kor- rutised
....... .................. xp1 xp2 . . . xpq yq1 yq2 . . . yqr korrutiseks nimetatakse (p, r)-maatriksit z11 z12 . . . z1r z z22 . . . z2r XY := 21 , .................. zp1 zp2 . . . zpr kus zij := xi1 y1j + xi2 y2j + . . . + xiq yqj , ∀ i ∈ Np , ∀ j ∈ Nr . (1.20) N¨aiteks maatriksite 1 −1 1 1 A= 2 1 −2 , B = (1 −2 3), C = 4 , D = (10) −1 3 −3 −1
Pool sammu 1,5 Tabel 4. Proovitüki 819 esimese rinde kuuse rühmitamise tulemused. 5 Rühma Klassi ülem. Klassi kuulumise Jaotus- Aritm. Ruut- Rühma tsenter piir sagedus tõenäosus funktsioon keskm. keskm. xi xüi ni pi F(xüi) ni*xi ni*xi2 5 6,5 25 0,040 0,040 125 625 8 9,5 54 0,086 0,126 432 3456 11 12,5 76 0,121 0,246 836 9196 14 15,5 92 0,146 0,392 1288 18032 17 18,5 116 0,184 0,577 1972 33524 20 21,5 128 0,203 0,780 2560 51200
2,8 3,36 3,92 4,48 5,04 5,6 6,16 6,72 3 3,6 4,2 4,8 5,4 6 6,6 7,2 2,6 2,8 3 3,12 3,36 3,6 3,64 3,92 4,2 4,16 4,48 4,8 4,68 5,04 5,4 5,2 5,6 6 5,72 6,16 6,6 6,24 6,72 7,2 6,76 7,28 7,8 7,28 7,84 8,4 7,8 8,4 9 Arvutused Ruutude I muutuja II muutuja Ruutjuur vahest summa Xi Yi Xi2+Yi2 sqrt(Xi - A*B3) A= 2,5 10 0,8 100,64 9,487232341 B= 1,587 14 1 197 13,6384594985 18 1,2 325,44 17,7202589567 22 1,4 485,96 21,7717150793 26 1,6 678,56 25,8071226116 30 1,8 903,24 29,8329947791 34 2 1160 33,8527336783 38 2,2 1448,84 37,8682925083 42 2,4 1769,76 41,8808736477
64; 1; 64; 40; 66; 66; 57; 13; 30; 49; 0; 68; 22; 73; 98; 20; 71; 45; 32; 95; 7; 70; 61; 22; 30; 84; 20; 89; 29; 32; 62; 55; 78; 55; 76; 11; 68; 71; 44; 98; 83; 52; 99; 54; 40; 32; 52; 48; 96; 62; 46; 31; 88; 73; 4; 61; 68; 75; 53; 31 Osa A. Hinnangud, usaldusvahemikud, statistilised hupoteesid ja jaotused. Korrastada algandmed arvreaks suuruse jargi ning hinnata eksed tabel 1 xi ni ni*xi ni*xi2 ni(xi-x)2 0 1 0 0 2816,0711 1 1 1 1 1 2710,93778 4 1 4 16 2407,53778 7 1 7 49 2122,13778 11 1 11 121 1769,60444 13 1 13 169 1605,33778
-5.48 5.81 1.12 30.03 -1.88 0.11 0.00 3.53 11.12 24.91 5.02 123.65 -5.98 11.12 3.46 35.76 2.22 1.64 0.55 4.93 43.596 10.152 197.908 7.247542 3.024275 xi yi xi2 xiyi (xi - xx )2 1.9 4.8 3.61 9.12 1.12 2.9 8.4 8.41 24.36 0.00 5.2 21.4 27.04 111.28 5.02 1.1 4.3 1.21 4.73 3.46 3.7 12.5 13.69 46.25 0.55 ∑ 53.960 195.740 10.152 V(x) 10.152
Diameetri 0,3-täiendkvantiil minu andmestiku põhjal on 10,13cm. 7. Karakteristikud Arvutan mõlemal andmestikul (rühmitamata ja rühmitatud) juhuslikku suurust (puu diameetrit) iseloomustavad karakteristikud. a) Leidsin aritmeetiline keskmise rühmitamata andmete korral (=average(d)), rühmitatud andmete korral ((sum(ni*xi))/63), ruutkeskmise rühmitamata andmete korral (=sqrt(sumsq(d)/count(d))), rühmitamata andmete korral ((sum(ni*xi2))/63) b) Leidsin hajuvust iseloomustavad karakteristikud rühmitamata andmete korral: dispersioon (=var(d)), standardhälve (stdev(d)), variatsioonikordaja (=100*sx/ x ), kvartiilhälve (ülemine kvartiil-alumine kvartiil), haare (max-min). Hajuvust iseloomustavad karakteristikud rühmitatud andmete korral: dispersioon- 1 k sx = 2
2,98 11,06 194,7 9,188 109,772 r- korrelatsioonitegur determinatsioonitegur t-statistik järelikult x ja y on korreleeritud z-statistik järelikult x ja y on korreleeritud 11. Leida ühefaktoriline lineaarne regressioonimudel y = b0 + b1 x ja analüüsida selle täpsust (võttes vastavates testides jm arvutustes olulisuse nivooks a = 0.05): 11.1 leida mudeli parameetrite hinnangud b0 ja b1 xi yi xiyi xi2 yi2 dxi dyi dxidyi dxi2 dyi2 1,00 2,80 8,90 24,92 7,84 79,21 -0,18 -2,16 0,39 0,03 4,67 2,00 5,10 19,30 98,43 26,01 372,49 2,12 8,24 17,47 4,49 67,90 3,00 3,70 13,10 48,47 13,69 171,61 0,72 2,04 1,47 0,52 4,16 4,00 2,20 6,80 14,96 4,84 46,24 -0,78 -4,26 3,32 0,61 18,15
Tasemeline korrelatsioon rxy xi x y i y n x y yx = Ax2 + Bx + C. Kaks taset andmeid. Spearman taseme korrelatsiooni koefitsient 6 d i2 B 1 n3 3 54. Paari regressiooni arvutamine vähimruutude meetodil. Meetodi hälbed x'i = xj - x; y'i = yj - y, b = x'i y'i / (x'i)2; x'i y'i = xi yi - n x y; (x'i)2 = (xi)2 - n x2. Dispersioon s2b= s2 / (x'i)2; s2a= xi2 s 2 ; n ( x' i ) 2 55. Regressioonijoone usaldusintervallid 1 x' 2 s p = s 1 2 2 p x ' 2 n 56. Andmetöötluse robustsed meetodid Eksete suhtes vähetundlikud 57. Aegread Iga rea liige seotud ajaga
Vx i=1 bo = y - b1 x x V on sisendi ruuthajuvus N Vx = ( xi - x ) 2 Vx = 9,752 i =1 Arvutused tegin Excelis b1 = 3,16 bo = 2,37 Lineaarne regressioonimudel: y = 2,37 +3,16 x 10.2 leida mudeli parameetrite hinnangute b0 ja b1 usaldusvahemikud P(b j - b j j b j + b j ) = 1 - b j = t ( w -1) s (b j ) 1- 2 s 2 ( y) N xi2 s 2 (b1 ) = s 2 (b0 ) = s 2 ( y ) Vx i =1 N V x Eelnevalt arvutatud Vx = 9,752 1 w s2 ( y) = w -1 r =1 ( y r - y0 ) 2 1 w y0 = yr w r =1 Exceli tabel mille abil arvutasin: s 2 ( y ) =1,92 s 2 (b0 ) = 2,205 s 2 (b1 ) = 0,197 t1- = t´0, 975 = 2,447 2 0 1
suuruste f(xi) ja katseandmete yi vahede ruutude summa oleks minimaalne. Erinevaid lähendfunktsioone: o Lineaarfunktsioon y = ax + b o Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c o y = aebx o y = a log x o y = a sin bx Arvutamine (lineaarsel juhul): o Kõigepealt saadakse katseandmed tabelina, kus on kirjas x ja y väärtused. o Edasi moodustatakse tabel, kus on eraldi veergudes kirjas i katsete arv, xi väärtus mingi katse korral, yi väärtus mingi katse korral, xi2 - väärtuse ruut mingi katse korral ja xiyi x ja y väärtuste korrutis mingi katse korral. Iga veeru lõpus on veergude summa. o Edasi moodustatakse normaalvõrrandite süsteem, millega määratakse ära kordajad a ja b. 3 o Normaalvõrrandite süsteem moodustatakse järgmiste valemite abil: a xi2 + b xi = xi yi i i i
Tähistame keha masskeskme tähega C . Olgu keha mass m. Tema inertsimoment masskeset läbiva telje suhtes avaldub n I C = mi ri 2 . (6.24) i =1 Kui paigutame koordinaatteljestiku selliselt, et koordinaatide alguspunkt asuks keha masskeskmes ja z-telg oleks suunatud piki masskeset läbivat telge, siis (6.24) avalduks ( ) n I C = mi xi2 + y i2 , (6.25) i =1 kus xi ja y i oleksid massielemendi mi x- ja y-koordinaat. Arvutame nüüd selle keha inertsimomendi mingi suvalise etteantud telje suhtes. Olgu seda etteantud telge masskeskmega ühendav vektor a (siin a pole kiirendus, vaid telgedevaheline kaugus!).
RSS ( a^ , b^ ) Tõestus vt näiteks A. loengutes. =0 a^ = xi yi - n x y Sauga, ,,Statistika õpik majanduseriala a^ xi2 - n x 2 üliõpilastele", lisa A.9. Kui CLRM (Classical Linear Regression Model) eeldused on täidetud, annab vähimruutude meetod parima lineaarse nihketa
Dispersioon: s2(y)=2,08 Mudeli parameetrite dispersioonid: s 2 ( y) 2, 08 s 2 (b1 ) = N = = 0, 23 9,19 ( xi - x ) 2 i =1 s 2 ( y) N xi2 s 2 (b0 ) = N = 0, 23 11,32 = 2, 60 N ( xi - x) 2 i =1 i =1 Kahepoolne usaldusvahemik: b0 = t1- (w - 1) s (b0 ) = 2, 4469 2, 60 = 6,36 2 b1 = t1- ( w - 1) s (b1 ) = 2, 4469 0, 23 = 0,56 2 Hinnangu b0 usaldusvahemik: P(-9,45<0<3,27)=0,95 Hinnangu b1 usaldusvahemik: P(1,47< 1<2,59)=0,95 11
9.3 12.6 12 15.6 7.9 6.4 6.45 14.8 8.25 11.9 16.35 8.15 17.25 11.75 11.65 13.85 11.45 15.15 14.75 Klassi Rühma Rühma Klassi kuulumise Jaotus- Aritm. Geom. tsenter ülem. piir sagedus tõenäosus funktsioon keskm. Ruut- keskm. keskm. xi xüi ni pi F(xüi) ni*xi ni*xi2 ni*ln(xi) 5.500 7 2 0.016 0.016 11 60.5 3.409 8.500 10 16 0.129 0.145 136 1156 34.241 11.500 13 28 0.226 0.371 322 3703 68.386 14.500 16 41 0.331 0.702 594.5 8620.25 109.640 17
n põhiühikutest s( xi ) = 2 dimensiooniavaldise alusel kas xi - x = xi2 - xi põhiühikute algebraliste korrutiste, jagatiste või n - 1 i =1 n - 1 i =1 i =1 astmete põhiühikute korrutiste abil. Dimensiooniavaldised määrab seitsme põhisuurusega suuruste süsteem, misühikute süsteemi koherentsusnõude tõttu annab üheselt ühikutevahelised seosed.
I C mi ri2 , (6.24) i 1 kus tähistab massielemendi kaugust masskeset läbivast teljest. Kui paigutame koordinaatteljestiku selliselt, et koordinaatide alguspunkt asub keha masskeskmes ja z-telg on suunatud vertikaalsihis (ühtib masskeset läbiva pöörlemisteljega), siis (6.24) avaldub n I C mi xi2 y i2 , (6.25) i 1 kus xi ja y i on massielemendi mi x- ja y-koordinaat. Tuletame nüüd valemi, mis võimaldaks arvutada selle keha inertsimomenti mingi suvalise pöörlemistelje suhtes, mis on masskeset läbiva teljega paralleelne. Antud joonisel on selleks punkti A läbiv, joonise tasandiga risti olev telg. Tähistame punkti A masskeskmega C
mõõdetavad. Väljundvoo vektori moodulit |2| võrreldakse seadesuurusega |2*| ning tulemus antakse momendiregulaatorisse. Seega stabiliseerib suletud juhtimissüsteem rootori aheldusvoo. Nüüd on aheldusvoo vektor kantud teljele x koormusnurgaga = 90°, 2y = 0, ja 2x = 2max = const (joonis 5.10, b). Toetudes valemitele (5.25), (5.23), ja (5.21), saame 3 3 M12 = - p2 xI2 y = pk22 xI1y . 2 2 Selle tulemusena on asünkroonmootori moment konstantse magnetvoo puhul võrdeline vooluga, nagu alalisvoolumasina korral (5.5). 181 2 I1x* IL1* |2*| 2 I1x I1x*
annaabi.ee 
