1*(Normi ja kauguse def. Näidata, et reaalarvu abs.väärtus rahuldab normi ja aksioome)Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 1). *Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile seab vastavusse skalaari d(u,v), kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). *Lause: Reaalarvu absoluutväärtus rahuldab normi aksioome. Tõestus: 2*( -ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed ümbrused. Lõpmatuse ümbrused)Punkti - ümbrukseks nim. hulka *Reaalarvu a R korral saame U(a) = {x R|a - < x < a + }. *Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. *Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a + ), kus > 0. *Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M , ), kus M > 0. *Suuruse miinus lõpmatus ...
1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed ümbrused. Lõpmatuse ümbrused. Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile u,v ∈V seab vastavusse skalaari d(u,v) ∈R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 1 ∀u,v∈V d(u,v) ≥ 0; d(u,v) = 0⇔v = u 2 ∀u,v∈V d(u,v) = d(v,u) 3 ∀u,v,w∈V d(u,v) ≤ d(u,w) +d(w,v) Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari ||u|| ∈ R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 1)∀u ∈ V ||u|| ≥ 0; ||u|| = 0 ⇔ u = 0, 2)∀u ∈ V, α ∈ R ||αu|| = |α| ||u||, 3)∀u, v ∈ V ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v|| Punkti ümbrusest võib mõelda kui niisugusest seda punkti sisaldavast hulgast, kus ükskõik mis suunas saab punktist õige pisut eemalduda ilma sellest hulgast väljumata. Punkti ε-ümbrus Hulka Uε(a) := {x ∈ V|d(a, x) < ε, ε > 0} nimetatakse punkti a ∈ V ε-ümbr...
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Automaatikainstituut Automaatjuhtimise ja süsteemianalüüsi õppetool TEHISNÄRVIVÕRGUD JA NENDE RAKENDUSED Õppematerjal Koostas: Eduard Petlenkov Tallinn 2004 1 Sisukord Eessõna .......................................................................................................................................2 1. Tehisnärvivõrgud ........................................................................................3 1.1. bioloogiline neuron ja bioloogilised närvivõrgud .......................................3 1.2. tehisneuron ...........................................
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Automaatikainstituut Automaatjuhtimise ja süsteemianalüüsi õppetool TEHISNÄRVIVÕRGUD JA NENDE RAKENDUSED Õppematerjal Koostas: Eduard Petlenkov Tallinn 2004 1 Sisukord Eessõna .......................................................................................................................................2 1. Tehisnärvivõrgud ........................................................................................3 1.1. bioloogiline neuron ja bioloogilised närvivõrgud .......................................3 1.2. tehisneuron ...........................................
Piirväärtus
Punkti ümbrus
Punkti a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku, millesse see
punkt kuulub.
Punkti a ümbruseks raadiusega > 0, nimetatakse arvtelje
vahemikku arvust a - kuni a + .
a- a a+
x
Ehk arv x kuulub arvu a ümbrusesse raadiusega , kui
a-
1* Normi ka kauguse Def. 1o puudu ||f||∞ = sup|f(x)|(x∈X) 5*(Jada definitsioon. Koonduvad jadad , jada piirväärtus. Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈V Koonduva jada piirväärtuse omadused + tõestus) piirväärtuse ühesuse tõestus.jada Jadaks nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N seab vastavusse skalaari ¿∨u∨¿ ∈ R , kusjuures on täidetud ...
1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed Lõpmata väikeseid (suuri) suurusi α(x) ja β(x) piirprotsessis x → a nimetatakse ekvivalentseteks ümbrused. Lõpmatuse ümbrused selles piirprotsessis, kui Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari || 8. Funktsiooni pidevus punktis. Uhepoolne pidevus. Katkevuspunktide liigid. u|| ∈ R, kusjuures on taidetud järgmised tingimused: Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on taidetud kolm tingimust: 1 ∀u ∈ V ||u|| >= 0; ||u||= 0 ⇔ u = Θ 1) ∃f(a); 2) ∃ limx→a f(x); 3) limx→a f(x) = f(a). Tahistatakse f(x) ∈ C(a) 2 ∀u ∈ V, α ∈ R ||αu|| = |α|||u|| ...
Funktsiooni m˜oiste Definitsioon 1 Kui on antud eeskiri, mis hulga X R igale elemendile seab vastavusse elemendi hulgast Y R, siis ¨oeldakse, et on antud funktsioon hulgal X. Funktsioone t¨ahistatakse matemaatikas f ,g,h,...,',jne. f (x) = avaldis x-ist f (x) = x + 1. Funktsiooni esitusviisid I Tabelina. x 1 3 10 f (x) 2 4 11 f (1) = 2, f (3) = 4 ja f (10) = 11. I Anal¨u¨utiliselt f (x) = valem muutujast x. f (x) = x + 1. Definitsioon 2 Anal¨u¨utilisel kujul esitatud funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnaks nimetatakse argumendi k˜oigi v¨a¨artuste hulka, mille korral see valem on m¨a¨aratud. M¨a¨aramispiirkonda t¨ahistatakse X. I Graafiliselt. Funktsiooni graafikuks nimetatakse punktihulka G = {(x,f (x))|x 2X}. Definitsioon 3 Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = f (x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = −f (...
Teemad: 5. Öeldakse, et { xn} on Cauchy jada ehk fundamentaaljada, kui iga > 0 korral leidub C N, 1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. -ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed et iga naturaalarvu n > C ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus |xn+p - xn| < . ümbrused. Lõpmatuse ümbrused. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on Cauchy jada. 2. Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. Määramispiirkond, muutumispiirkond. Jada kuhjumispunktiks nim. arvu, mille igas ümbruseson lõpmata palju vaadeldava jada Paaris ja paaritud funktsioonid. Perioodilised ja antiperioodilised funktsioonid. liikmeid. Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Lause. Ar...
Sisujuht 16. Esimest liiki katkevuspunkt - niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused. ...............6 2. Reaalarvu absoluutväärt...
LTMS.00.022 ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS Loengukursus Tartu Ülikooli loodus- ja täppisteaduste valdkonna üliõpilastele 2019./2020. õppeaasta Toivo Leiger Joonised: Ksenia Niglas Pisitäiendused 2016–20: Märt Põldvere, Natalia Saealle, Indrek Zolk, Urve Kangro 2 Sisukord 1 Reaalarvud 6 1.1 Järjestatud korpused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Korpuse aksioomid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Täielik järjestatud ...
1.1 Funktsioon DEF 1. Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud funktsioon f, tähistatakse y=f(x) DEF 2. Kui hulga X c R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y c R, siis öeldakse, et hulgal X on määratud ühemuutuja funktsioon f. [(x, y) I xX ja y=f(x)] DEF 3. Kui hulga X igale elemendile on vastavusse seatud vähemalt üks hulga Y element ja vähemalt ühele hulga X elemendile on vastavusse seatud mitu elementi hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud mitmene funktsioon f. DEF 4. Funktsioonide y=f(x) (xX) ja z=g(y) (yY ja f(X) c Y) liitfunktsiooniks ehk superpositsiooniks nimetatakse funktsiooni z=g(f(x)). DEF 5. Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes nim. paarisfunktsiooniks, kui f(-x)=f(x) DEF 6. Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes nim. paarituks funktsiooniks, kui f...
Reaalarvu a absoluutväärtuseks nim mittenegatiivset reaalarvu IaI, mis on defin seosega IaI=a, kui a0,,-a, kui a0 Arvu a ümbruseks, kus > 0, nimetatakse hulka U(a)={xIa-x} Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks, kus > 0, nimetatakse hulka [a; a + ) = {xIax+a} Suuruse + M-ümbruseks, kus M > 0, nimetatakse vahemikku (M;+). Kui M > 0, siis M-ümbruseks nim ühendit (-;-M) ja(M) Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui leidub niisugune konstant M0, et kõik muutuva suuruse väärtused, alates mingist x M väärtusest, täidavad tingimust - M x M , s.t. . FUNKTSIOON:. . Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Esitusviisid: Tabel, Analüütilisel kujul esitatud funktsiooni määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi väärtuste hulka, mille korral see valem on määratud.; F.gaafik...
MLT 6004 Kvantmehhaanika 1 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks Aine nimetus: Kvantmehhaanika Aine kood: MLT 6004 Õppejõud: dots Ain Ainsaar Eksami aeg: 06.01.2005 Kell: 11.00 Auditoorium: K-123 Konsultatsioon: 04.01.2005 Kell: 10.00 Auditoorium: P-512 I OSA KVANTMEHHAANIKA PÕHIMÕISTED 1. Milline on kvantmehhaanika rakenduspiirkond? Kvantmehhaanika uurimisobjektiks on mikroosakesed ja nende süsteemid. Makroskoopiliste kehade mõõtmed ja impulsid on nii suured, et nendega võrreldes on konstant h kaduvväik...
Süsteemi mõiste. Süsteemimudel. Muutujad ja parameetrid. Sisend-, oleku- ja väljundmuutujad. Millest sõltub süsteemi käitumine. Süsteemi matemaatiline mudel ja selle koostamine. Algolek ja selle sisu. Dünaamiline süsteem. Pidev- ja diskreetaja süsteemid. Süsteemi mõiste: Süsteem on omavahel seotud objektide terviklik kogum. Süsteem on see, mida saab vaadelda süsteemina (süsteem on subjektiivne – kui tahan, vaatan süsteemina, kui ei taha, ei vaata). Süsteem on funktsioon sisendist ja siseolekust, kui see võrrand teada, siis see võrrand on süsteem ehk süsteemimudel. Süsteemi omadused: element/objekt, sidemed (mistahes seosed elementide vahel, võivad olla orienteeritud, vastastikused, muutlikud, juhuslikud jne), terviklikkus, süsteemil on hierarhia, süsteemil on kindel käitumine. Põhiülesanded: süsteemide modelleerimine (mudelite koostamine), süsteemide analüüs (meetodid süsteemide uurimiseks), süsteemide süntees (meetodid süsteemide loomi...
MITME MUUTUJA FUNKTSIOON 1. Punkti ümbrus. Kinnine ja lahtine piirkond. Mitme muutuja funktsioon ja selle määramispiirkond. Def. 1.1. ( 0 0 )0 Punkti P x1 , x 2 ,..., x n ümbruseks n-mõõtmelises ruumis R n nimetatakse punktide hulka { U ( P ) , mis rahuldavad tingimust U ( P ) = Q( x1 , x 2 ,..., x3 ) R n ( P, Q ) < , kus } ( P, Q ) = PQ = (x1 - x10 ) + (x 2 2 - x 20 ) 2 ( + ... + x n - x n0 ) 2 Def. 1.2. Piirkonnaks D kahemõõtmelises ruumis nimetatakse selle ruumi osa, mis on piiratud mingi joonega L, mida nimetatakse rajajooneks. Kolme- või enamamõõtmelise ruumi piirkonnaks D ...
x1 , x2∈ A FUNKTSIOON (Ühene) ühe reaalmuutuja f-n – hulga X ⊂ R igale elemendile vastab element y hulgast Y ⊂ R. Mitmene f-n – hulga X igale elemendilt vastab vähemalt üks element hulgas Y ja vähemalt ühele hulga X elemendile Mittekahanev(monotoonselt kasvav): piirkonnas A⊂X , kui iga korral vastab mitu elementi hulgast Y. Määramispiirkond – hulk X. Muutumispiirkond – hulk Y. f ( X )={ y| y=f ( x ) ˄ x ∈ X } ⊆Y ...
1. Reaalarvud Reaalarvude hulga R kirjeldamisel peab oskama välja tuua järgmist: 1) Q ⊂ R – ratsionaalarvude hulk sisaldub reaalarvude hulgas 2) Aritmeetika (tehted reaalarvudega) ja järjestus Aritmeetika. Eeldame, et hulgas R on defineeritud reaalarvude liitmine ja korrutamine järgmiste omadustega: (A1) a + b = b + a kõikide a,b € R korral (liitmise kommutatiivsus) (A2) (a + b)+ c =a +(b + c) kõikide a,b,c € R korral (liitmise assotsiatiivsus) (A3) b + 0 = b iga b € R puhul (nullelemendi olemasolu) (A4) iga b € R puhul leidub -b € R korral omadusega b + (-b) = 0 (vastandelemendi olemasolu) (M1) ab = ba kõikide a,b € R korral (korrutamise kommutatiivsus) (M2) (ab) c = a (bc) kõikide a,b,c € R korral (korrutamise assotsiatiivsus) (M3) 1b = b iga b € R puhul (ühikelemendi olemasolu) (M4) iga b € R {0} puhul leidub b-1 € R omadusega bb-1=1 (pöördelemendi olemasolu) ...
Süsteemiteooria 3.kontrolltöö kordamisküsimused 1. Süsteemi mõiste- Süsteem on omavahel seotud objektide terviklik kogum. Süsteemi mõiste komponendid on element/objekt (süsteemi osis, mida käsitletakse süsteemi suhtes jagamatuna, tervikuna), sidemed (mistahes laadi seosed elementide vahel, mis võivad olla orienteeritud, vastastikused, muutlikud, juhuslikud jne) ning terviklikkus (võib tähendada elementide koosluse täielikkust, mõtestatust, teatavat ühtset sihipära, eesmärki, otstarvet, naabruslikkust, kokkuseotust jne, s.o põhjust või võimalikkust vaadelda teatavat kooslust süsteemina, võimaldab süsteemi vaadelda ka jagamatu tervikuna ja samas ümbrusest eristuvana). Süsteemi põhiomadusteks on struktuuri- ja käitumisomadused. Süsteemid võivad olla füüsikalised, bioloogilised, sotsiaalsed, mõttelised, abstraktsed, algoritmilised jne.B. R. Gaines'i paradoksaalse süsteemi definitsiooni järgi...
1.1 Süsteemi Mõiste? Omavahel seotud elementide terviklik kogum. Süsteemi seisukohalt elemente käsitatakse jagamatutena. Elementide seos tähendab elementide muutujate kohta teatavate seosetingimuste täidetust.Terviklikkust iseloomustab süsteemi jaoks ühtne funktsioon, eesmärk, otstarve jne, mis võimaldab süsteemi vaadelda ka jagamatu tervikuna ja samas ümbrusest eristuvana. Süsteemi põhiomadusteks on struktuuri- ja käitumisomadused.Süsteemid võivad olla füüsikalised, bioloogilised, sotsiaalsed, mõttelised, abstraktsed, algoritmilised jne. Süsteeme kirjeldatakse väga mitmesuguste mudelite abil - sõnaliselt, formaalkeelega, deskriptiivgraafiliselt, matemaatiliselt, semiootiliselt jne. 1.2 Süsteemimudel - Süsteemimudel on süsteemi käitumise ja/või struktuuri idealiseeritud kirjeldus. Süsteemimudelit võib kirjeldada verbaalselt, formaalkeeles, matemaatiliselt võrrandina või võrrandite süsteemina, programmina, riistvaralise seadmena. Kasut...
1 1 korral ak≠0(k>n) leidub lõplik või lõpmatu piirväärtus lim 𝑘 , siis selle rea koonduvusraadius avaldub kujul 𝑅 = lim 𝑘 . 14. Fourier’ teisenduse omadusi. Fourier’ teisenduse rakendusi. ...
YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaulikool ¨ [email protected] http://www.ttu.ee/gert-tamberg ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 1 / 25 ~ Oppeaine sisu ~ Oppeaine jaotub kahte ossa: 1 Diferentsiaalarvutus (loengud 1-9) 2 Integraalarvutus (loengud 10-16) ~ Oppeaine ~ lopphinne pannakse valja¨ viiepallisusteemis. ¨ Tudengil on ~ voimalik saada oma hinne katte ¨ semestri jooksul sooritatud kontrollto¨ ode ¨ ~ pohjal. Selleks tuleb kirjutada...
TTU¨ Matemaatikainstituut http://www.staff.ttu.ee/math/ Ivar Tammeraid http://www.staff.ttu.ee/itammeraid/ ¨ US MATEMAATILINE ANALU ¨ I Elektrooniline ~oppevahend Tallinn, 2001 Tr¨ ukitud versioon: Ivar Tammeraid, Matemaatiline anal¨ uu ¨ Kirjastus, ¨s I, TTU Tallinn 2001, 227 lk, ISBN 9985-59-289-1 ¨ Raamatukogu Viitenumber http://www.lib.ttu.ee TTU ~opikute osakonnas 517/T-15 c Ivar Tammeraid, 2001 Sisukord 0.1. Eess~ ona K¨aesoleva ~ oppevahendi aluseks on autori poolt viimastel aastatel Tallinna Tehnika¨ ulikoo- lis bakalaureuse~ oppe u ¨li~ opilastele peetud u ¨he muutuja funktsiooni diferentsiaal- ja inte- graalarvutuse loengud nimetuse "Matemaatiline anal¨ uu¨s I" all. Siiski ei ole tegu pelgalt u ¨hel semestri...
annaabi.ee 
