Vektorite ja vaheliseks nurgaks NO NO nimetatakse nurka , mis on määratud võrdusega cos , = . Öeldakse, et vektorid ja on omavahel risti ehk ortogonaalsed ja tähistatakse , kui = 0 . 6. Vektorkorrutise definitsioon. Teoreem vektorkorrutise ristseisust ja pikkusest (tõestuseta). Segakorrutise definitsioon. 1. Vektorite ja vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit × , mis on määratud võrdusega: a a aa aa × = 2 3 ;- 1 3 ; 1 2 . Vektorkorrutis × on risti mõlema teguriga ja . bb bb bb 2 3 1 3 1 2 Vektorkorrutise × pikkus × on arvuliselt võrdne vektoritele ja ehitatud rööpküliku pindalaga. Kolmemõõtmelise eukleidilise ruumi vektorite , ja segakorrutiseks nimetatakse vektorite ja vektorkorrutise × skalaarkorrutist vektoriga , s.t. arvu ( × )
1'-5'. Kõik reepri vektorid on paarikaupa risti ja kõigi reepri vektorite pikkus on 1 ühik, öeldakse ka et sel korral on valitud ristbaas e ristreeper, nim ristkoordinaatideks. Skalaarkorrutist ja areaalkorrutist seob järgmine võrdus ab = a2·b 2-(a·b) 2 Lagrance seos. Kahele vektorile x ja y seame vastavusse uue vektori millist nimetatakse lähtevektorite vektorkorrutiseks ja märgime üles sümboliga x×y. Om:1y×x=-x×y; 2y=x x×x=0; 3(x×y)×z=x×z+y×z; 4 (·x)×y=x×(·y)= ·(x×y). Ruumi kolmele vektorile seatakse vastavusse üks arv millist nim nende vektorite segakorrutiseks ja tähist sümbolitega (x×y)·z. Om: 1' (x×y×)·z=x·(y×z) 2' segakorrutis ei muutu tegurite tsüklilisel ümberpaigutamisel; 3' [xyz] 2... Ruumi E3 kolmele vektorile on võimalik
vektoritevaheliseu nurga kogud determinant selle sama teguriga. koosinuse korrutisega. See omadus võimaldab determinandi Pöördmaatriks on vaid ruutmatriksil. Kui maatriksi tüüp Vektorkorrutis Vektorite alfa ia rea või veeru elementid ühist tegrui determinandi märgi ette tuua mis on n_n, siis ka pöördmaatriks on beeta vektorkorrutiseks harilikult lihtsustab tunduvalt arvutusi. n_n-maatriks. Definitsioon. n2- nimetatakse vektorit y , mille 4. omadus maatriksi A pöördmaatriks on n2- pikkus on arvuliselt võrdne Kui determinandis on kaks rida maatriks A_1,mille jaoks A_A_1 _ niisuguse rööpküliku pindalaga omavahel võrdsed, siis determinant A_1 _A _ I. mis on ehitatud vektoritele alfa ja võrdub nulliga
omavahel risti. . · Vektorite skalaarkorrutis on kommutatiivne. . · Vektorite skalaarkorrutis on assotsiatiivne skalaariga korrutamise suhtes. . · Skalaariga korrutamise on distributiivne. . · Vektori sklaarruuduks nim vektori skalaarkorrutist iseendaga. . . Kahe vektori vektorkorrutiseks nim vektorit, mis rahuldab järgmisi tingimusi a) b) c) Moodul võrdub vektoritele ehitatud rööpküliku pindalaga. Omadused: · Vektorkorrutis on antikommutatiivne · Vektorkorrutis on assotsiatiivne arvulise teguri suhtes · Vektorkorrutis on distriutiivne · 2. Maatriksid Maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit. Maatriksis on m rida ja n veergu. Maatriksi reaindeks on ai ja veeruindeks on aj.
3. Skalaarkorrutis on assotsiatiivne arvuga korrutamise suhtes: k(a · b) = (ka) · b. 4. (a +b) · c = a · c +b, c distributiivsus. Arvutamise valem koordinaatides ristreeperis Parema käe kolmik Kolmevektorilist vektorsüsteemi {x, y, z} nimetatakse parema käe kolmikuks, kui vaadelduna vektori z lõppp-punktist toimub vektori x pööre vektorini y lühemat teed pidi kellaosuti liikumise suunale vastupidises suunas. Vektorkorrutis Vektorite x, y vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit x×y, mis on määratud järgmiste tingimustega: 1. |x×y| = |x||y| sin ∠(x, y), kus ∠(x, y) on nurk vektorite x ja y vahel 2. vektor x×y on risti nii vektoriga x, kui ka vektoriga y 3. vektorsüsteem {x, y, x×y} on parema käe kolmik Vektorkorrutamise omadused 1. vektorid x, y on kollineaarsed vektorid parajasti siis, kui x×y = 0, st kui vektorite x, y vektorkorrutis on võrdne nullvektoriga 2
6.Vektorkorrutise definitsioon. Teoreem vektorkorrutise ristseisust ja pikkusest (tõestuseta). Segakorrutise definitsioon. Vaatleme kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis vektoreid = ( a1 ; a2 ; a3 ) , = ( b1 ; b2 ; b3 ) , mis on antud koordinaatidega xyz-teljestikus. Def. 1. Vektorite ja vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit × , mis on määratud võrdusega a a a a a a × = 2 3 ;- 1 3 ; 1 2 . (1) b2 b3 b1 b3 b1 b2 r r r
Kolmemõõtmelises ruumis on 3 korordinaati, st i,j ja k. Nt. +=(ax+bx)i +(ay+by)j + (az+bz)k jne. Skalaarkorrutis Definitsioon. Kahe vektori a ja b skalaarkorrutis on arv a·b= |a||b| cos( a,b) . Rakendusi: 1)Pikkus |a|=a · a=a2x+a2y+a2z 2)Ristseisu tunnus ab axbx + ayby + azbz =0 3)Vektorite vaheline nurk cos(a,b)=a ·b/ |a||b| Vektorkorrutis Kahe vektori korrutisi on 2 liiki: skalaarkorrutis a·b on arv, vektorkorrutis a x b aga vektor. Def. Vektorite a ja b vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit c = a x b , 1. mis on risti vektoritega a ja b (seega ka nende läbi mineva tasandiga). 2. vektorid a, b ja c moodustavad parema käe kolmiku 3. ja selle pikkus on võrdne vektoritele a ja b ehitatud rööpküliku pindalaga, s.t. |c| = a b sin(a, b) Kui vektorid on anutd komponentide või koordinaatidega, siis arvutatakse nende vektorkorrutis determinante kasutades. Vektorkorrutise omadused: 1)a x b=-b x a 2) (ka)xb=a x (kb)=k(a x b)
⃗x · ⃗y = x1y1 + . . . + xnyn. Vektorvälja ⃗f divergentsiks kohal ⃗x nimetatakse järgmist skalaari: ∂ ∂ ¿ ⃗f ( ⃗x )= ⃗ ∇ ∙ ⃗f ( ⃗x )= f 1 ( ⃗x ) +…+ f ( ⃗x ) ∂x 1 ∂ xn n 22. Defineerida vektorkorrutis ja vektorvälja rootor. Kolmemõõtmeliste vektorite ⃗x = (x1, x2, x3) ja ⃗y = (y1, y2, y3) vektorkorrutiseks nimetatakse järgmist vektorit: ⃗x · ⃗y=(x 2 y 3−x 3 y 2 , x 3 y 1 −x1 y 3 , x 1 y 2 −x2 y 1) Vektorvälja ⃗f rootoriks kohal ⃗x nimetatakse järgmist vektorit: Kordamisküsimusi 4. teema kohta 1. Lineariseerida funktsioon y = f(x) punkti x = a ümbruses. Milline on lineaarse lähendi graafik? ∆y = f′(a)∆x + β . Asendame siin ∆x = x − a ja ∆y = f(x) − f(a). Saame f(x) − f(a) = f′(a)(x − a) + β .
^ ^| |c1 c2 c3 | * |a3 b3 c3| | |+bI+cII |^ ^ ^| | 0 0 ^| (^ + 0)(^ + 0 + 0) = ()(^^)(^^) = ||||2 * ||^||2 * ||^||2 => |D| = |||| * ||^|| * ||^|| Kolmandat järku determinandi absoluutväärtus võrdub selle determinandi reavektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga 35. Vektorkorrutise defnitsioon. Vektorkorrutise omadused (tõestustega). Kui = (a1; a2; a3) ja = (b1; b2; b3), siis nende vektorite vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit x = (|a2 a3|; -|a1 a3|; |a1 a2|) (|b2 b3|; |b1 b3|; |b1 b2|) Vektorite ja vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit x , mis on risti vektoritega ja , mille pikkus ühtib vektoritele ja ehitatud rööpküliku pindalaga ning mille suund on antud kruvireegliga. Omadused: 1. , ( x ) ( x ) = |a1 a2 a3| = 0. Analoogiliselt ( x ) = 0 |b1 b2 b3| |a1 a2 a3|-I 2. x = (defnitsioonist) 3. x = -( x ) (defnitsioonist) 4
Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks ab nim nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist. St Avaldis koordinaatides: a*b = (a1b1 + a2b2 + a3b3) Skalaarkorrutis leiab rakendusi vektorite pikkuste arvutamisel ning vektorite, sirgete ja tasandite vaheliste nurkade leidmisel. 18. Kahe vektori vektorkorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused). Kahe ruumivektori a ja b vektorkorrutiseks nim sellist vektorit c, mille siht on risti vektoritega a ja b ; suund ühtib parema käe kruvi kulgeva liikumisega, kui pöörata vektorit a vektori b poole; pikkus on arvuliselt võrdne vektorite a ja b ehitatud rööpküliku pindalaga. Avaldis koordinaatides: i j k x1 y1 z1 axb = x1 y1 z1 a b c =x 2 y2 z2
19.arvutamise valem koordinaatides ristreeperis- a ∙ b=x 1 x 2 + y 1 y 2+ z 1 z2 20.Parema käe kolmik-kolmevektorilist vektorsüsteemi { x , y , z } nimetatakse parema käe kolmikus, kui vaadelduna vektori z lõpp-punktit toimub vektori x pööre vektorini y lühemat teed pidi kellaosuti liikumise suunale vastupidises suunas 21.Vektorkorrutis-Vektorite x,y vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit x× y , mis on määratud järgmiste omadustega |x × y|=| x|| y|sin ∠( x , y) ,kus ∠( x , y) on nurk vektorite x ja y vahel Vektor x× y on risti vektoriga x, kui ka vektoriga y Vektorsüsteem { x , y , x × y } on parema käe kolmik 22.vektorkorrutamise omadused-
millised asetsevad risti. 1 2 3 a b , sest 1 2 3 a c 2 2 0 0 a c b c 2 2 0 0 b c VEKTORITE VEKTORKORRUTIS Olgu antud vektorid a jab . Definitsioon. Vektorite a ja b vektorkorrutiseks nimetatakse niisugust vektorit c = a x b , mis on sihilt risti nii vektoriga a kui b , suund on määratud kruvireegliga (parema käe kolmik) ja pikkuselt võrdne vektoritele a ja b ehitatud rööpküliku pindalaga: | c |=S. Joonis: c Koordinaatkujul avaldub see järgmiselt: b
Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks ab nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist. (või vektorite vastavate koordinaatide korrutis ab = (x1x2 + y1y2 + z1z2)) rakendusi: Kaks vektorit asetsevad risti ( ) parajasti siis, kui = || || cos 90° = 0 18. Kahe vektori vektorkorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused). Kahe ruumivektori a ja b vektorkorrutiseks nimetatakse sellist vektorit c, mille: siht on risti vektoritega a ja b ; suund ühtib parema käe kruvi kulgeva liikumisega, kui pöörata vektorit a vektori b poole; pikkus on arvuliselt võrdne vektorite a ja b ehitatud rööpküliku pindalaga. vektorite a ja b vektorkorrutist tähistatakse a × b. omadused: samasihiliste/paralleesete (vektorite vaheline nurk = 0° või 180° ehk sin = 0) ehk kollineaarsete vektorite vektorkorrutis on null.
Baer, vektorkorrutis, Coriolise kiirendus, Maa pöörlemise nurkkiirus, Foucault' pendel, passaathoovused, El Niño, Ekmani hoovus, geostroofiline tuul, tsüklon, antitsüklon, Cromwelli ekvatoriaalne vastuhoovus). o Karl Ernst von Baer avastas jõgede kallaste uhtumise seaduspärasuse põhjapoolkera jõed uhuvad rohken paremat, lõunapoolkera jõed vasakut kallast. Ekvaatoril efekt puudub. Seda põhjustab Coriolise jõud. o Vektorkorrutis kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit c, mille pikkus on arvuliselt võrdne vektorite a ja b poolt määratud rööpküliku pindalaga. Suund on määratud parema käe reegliga. o Coriolise jõud kallutab põhjapoolkeral liikumist kiiruse suunast paremale, Coriolise kiirenduse suurus vektorkorrutise valemi järgi on V 2 sin = V f . V- keha kiirus, f- Coriolise parameeter (konspekt III, lk 42 tabel). o Maa pöörlemise nurkkiirus (täheööpäeva järgi): = 7,29 ().
Arvutamise valemid koordinaatides ristbaasis - VEKTORKORRUTIS: Parema (vasaku) käe kolmik Mittekomplanaarset 3-vektorilist vektorsüsteemi { a1 , a2 , a3 } nim. parema (vasaku) käe kolmikuks, kui seotud vektori AA1 pööre seotud vektorini AA2 lühemat teed pidi vaadelduna punktist A3 toimub vastupäeva (vastavalt päripäeva). Vektorkorrutis - Vektorite E3 vektorkorrutiseks, mida tähistatakse abil, nim vektorit mis määratakse 3 tingimusega: 1) | | = | || |sin( , ) 2) | | 3) vektorsüsteem on parema käe kolmik OMADUSED: 1)vektorsüsteem on lin sõltuv => 2)vektorkorrutamine on kaldsümmeetriline: 3): 4) (x ) × y = ( x × y ) Vektorkorrutise koordinaadid parema käe ristkoordinaatide kaudu: x2 x3 x1 x3 x1 x2
Korrutamine skalaariga: vektori v korrutamine skalaariga a saame tulemuseks uue vektori, mille moodul on a korda v moodulist, suund aga säilib, kui a on positiivne, ning on sellega vastupidine, kui a on negatiivne. Skalaarkorrutis: vektorite a ja b skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist. a*b=|a|*|b|*cos α Vektorkorrutis: vektorite a ja b vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit a x b. a x b=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1) Projektsioonid ja nende seos mooduliga: Vektori projektsioon tuleb varustada plussmärgiga, kui komponentvektori suund langeb ühte telje suunaga ja miinusmärgiga, kui vektori komponent teljel on teljega vastassuunaline. Vektori projektsiooni omadused: võrdsete vektorite projektsioonid samale teljele on võrdsed; vektori korrutamisel arvuga korrutub sama arvuga ka tema projektsioon;
2) Vektori pikkust saab leida valemiga Tõestus. 1) Arvutame vektorite ja skalaarkorrutis: Ortonormaalne baasi omaduse (1) kohaselt 2) Nüüd vektori pikkuse definitsiooni kohaselt 25. Vektorite vektorkorrutis Vaatleme kolmemõõtmelise (n=3) eukleidilise vektorruumi ning valime seal mingi ortonormaalse baasi B = ; } (mille suunad langevad kokku koordinattelgede suunadega) Definitsioon. Vektorite ja vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit , mille korral on täidetud tingimused: 2. Vektorkorrutise pikkus on võrdne veltoritele ja ehitatud rööpküliku pindalaga, st SABCD = , kui AB = ja AD = ; Seega 3. Vektorid , , moodustavad parema käe kolmiku; Vektorkorrutise omadused: 1. - vektorkorrutis on antikommutatiivne 2. Kui ja , siis Tõestus: 3.
x) (posit astmenäitaja: bakterikoloonia kasv ajas, kapitali suurenemine), (neg: radioaktiivselt lagunevate tuumade arv, valguskvantide arvu vähenemine). 172. Diferentsiaalvõrrand seob suuruste muutusi. Integreerimine dif.pöördf. Ja tuletise kaudu f-i otsimine. Vektorid on samad: kui sama siht suund pikkus. 173. Skalaarkorrutis: tulemuseks skalaar. Skal.korrutis on kommutatiivne. Ristiolevate vektorite skalaarkorrutis on 0. 174. Vektorkorrutiseks on vektor, mis on korrutatavate vektoritega ristuvas tasapinnas. Suuna määramiseks kruvireegel. 175. Gradiendiks nim: mitme muutuja f-i korral nim f-i kiireima kasvamise suunda ja kiirust antud punktis isel-vat vektorit. Ernest Ratherford – orbitaalmudeli „isa“. Orbitaalmudel vastuolud: *aatomite seletamatu stabiilsus. *aatomite eristamatus. *karakteristlik joonsperkter. Sünkrotonkiirgus- kiirgavad kiirendusega liikuvad laengud, spekter pidev
sõrmed näitavad voolu suunda, siis näitab välja sirutatud pöial juhtmele mõjuva jõu suunda. Vasaku käe reegel 75 Matemaatiline vahepala: kuidas portreteerida vektorkorrutist Elektromagnetism on põhimõtteliselt kolmemõõtmeline: enamus tema valemitest sisaldavad vektorkorrutist. Tuletame meelde definitsiooni: Kahe vektori vektorkorrutiseks on vektor, mille mooduliks on teguritele ehitatud rööpküliku pindala ning mis on risti mõlema vektoriga. Vektorid , ja moodustavad parempoolse kolmiku. Niisiis: korrutiseks olev vektor on risti tasandiga, mille moodustavad kaks korrutatavat vektorit. Need kaks (nimetatakse teguriteks) võivad olla teineteise suhtes mistahes nurga all, korrutis on aga igal juhul nende tasandiga risti. See annabki meile võimaluse vektorkorrutise portreteerimiseks. Paneme tegurid joonise
b = b - b|| = b - a. a, a 123 PEATÜKK 13. VEKTORID RUUMIS 13.7 Vektorkorrutamine Märkus 13.14 Vektorkorrutis defineeritakse ainult ruumis E3 või R3 . Definitsioon 13.30 Vektorite a, b E3 vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit a × b, mis rahuldab järgmist kolme tingimust: 1. |a × b| = |a| · |b| · sin (a, b); Kui skalaarkorrutis a, b ,,mõõ- 2. a × b a a × b b, s.t. a ja b on risti vektoriga a × b; tis" vektorite paralleelsust (kol-
annaabi.ee 
