k on konstant. Jagunevad sama- ning vastassuunalisteks. Kahte vektorit nimetatakse võrdseteks, kui nad on samasihilised, samasuunalised ja ühepikkused. Nullvektor on vektor, mille algus- ja lõpp-punkt ühtivad. Vastandvektoriteks nimetatakse vektoreid, mis on samasihilised, võrdse pikkusega aga vastandsuunalised. Vektori koordinaatide leidmiseks lahutatakse lõpp-punkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid. Vastandvektori koordinaadid erinevad märgi poolest. Vektori pikkus võrdub ruutjuurega selle vektori koordinaatide ruutude summast. Ühikvektoriks nimetatakse vektorit, mille pikkus on üks. Vektorite summa. Kolmnurgareegel Rakendame liidetavad vektorid nii, et esimese vektori lõpp-punkt on teisele vektorile alguspunktiks. Summavektor algab esimese vektori alguspunktist ja lõpeb teise vektori lõpp-punktis. Rööpkülikureegel Liidetavad vektorid on rakendatud ühisesse alguspunkti
Kui vektori alguspunkt A(a1;a2) ja lõppunkt B(b1;b2) , siis vektori AB koordinaadid leiame AB =(b1-a1;b2 a2) Vektori lõpppunkti B(-4;-3) vastavatest koordinaatidest lahutame vektori AB alguspunkti A(-3;3) vastavad koordinaadid. vastandvektori BA koordinaadid on vastandmärgilised AB Antud vektori pikkus on võrdne tema vastandvektori pikkusega ja tähistatakse / AB /=/ BA / Kui =(a;b), siis pikkus leitakse: AB / AB /=
Nt. sõites autoga, auto sinu jaoks ei liigu aga puud küll. LIIKUMIST ISELOOMUSTAVAD SUURUSED 1)aeg- t (s) 2)teepikkus- s (m) 3)nihe- s-> 4)kiirus- v (m/s) VEKTORID Vektor on suunaga suurus. Vektoreid kujutatakse joonistel nooltena. Vektori pikkus on moodul (absoluutväärtus) 1) Vektorite liitmine Vektoreid liidetakse kas kolmnurga või rööpküliku reegli järgi ja ainult graafiliselt. 2) Vektorite lahutamine Vektorite lahutamiseks võib vektorile liita teise vektori vastandvektori. Lahutamiseks võib nad kanda ka ühisesse alguspunkti. Vektorite vahe viib teise lõpust esimese algusesse. Nihe on vektor, mis viib keha algasukohast lõppasukohta.
u (a; b) v (c; d ) w u v (a c; b d ) Et liita kahte vektorit, selleks paigutame need vektorid nii, et esimese vektori lõpp-punkt ühtib teise algusega Summavektor ühendab esimese vektori algust teise lõpuga Vastandvektor v (a; b) v ( a;b) v v O Vektorite lahutamine Vektori lahutamine tähendab selle vektori vastandvektori liitmist Kui v ( a; b) u (c; d ) v u v (u ) (a; b) (c;d ) (a c; b d ) Selleks et lahutada ühest vektorist teine vektor, paigutame need vektorid nii, et nad lähtuksid ühisest alguspunktist. Vektorite vahe vektor lähtub lahutatava vektori lõpp- punktist ja suundub vähendatava vektori lõpp-punkti. Vektori korrutamine arvuga
u (a; b) v (c; d ) w u v (a c; b d ) Et liita kahte vektorit, selleks paigutame need vektorid nii, et esimese vektori lõpp-punkt ühtib teise algusega Summavektor ühendab esimese vektori algust teise lõpuga Vastandvektor v (a; b) v ( a;b) v v O Vektorite lahutamine Vektori lahutamine tähendab selle vektori vastandvektori liitmist Kui v ( a; b) u (c; d ) v u v (u ) (a; b) (c;d ) (a c; b d ) Selleks et lahutada ühest vektorist teine vektor, paigutame need vektorid nii, et nad lähtuksid ühisest alguspunktist. Vektorite vahe vektor lähtub lahutatava vektori lõpp- punktist ja suundub vähendatava vektori lõpp-punkti. Vektori korrutamine arvuga
a Vektorite liitmise hulknurga reegel: a+b+c+d d a c b Vektorite lahutamine. -b Esiteks. Vektorite lahutamiseks võime liita vastandvektori: a-b b a - b = a + (-b) . a Teiseks võime kasutada lahutamise rööpkülikureeglit. Kui vektorid väljuvad ühest punktist, siis a - b vektor ühendab teise vektori lõpp-punkti esimese vektori lõpp-punktiga. b a-b a
t ja ⃗b =⃗0 + b⃗ =( ⃗a + ⃗c ) + b⃗ =( a⃗ + ⃗b ) + c⃗ = ⃗0 +⃗c =⃗c Tekkinud vastuolu tõestab lause. LAUSE: Iga vektori ⃗a korral 0 ⃗a =⃗0 . Tõestus: 0 ⃗a =( 0+0 ) a⃗ =0 ⃗a +0 ⃗a , seega aksioomi 3) põhjal saame 0 ⃗a =⃗0 . LAUSE: Iga vektori ⃗a vastandvektori −⃗a määrab eeskiri −⃗a=(−1)⃗a . Tõestus: ⃗a + (−1 ) ⃗a=1 ⃗a + (−1 ) ⃗a= (1−1 ) ⃗a=0 a⃗ =0⃗ järelikult (−1 ) a⃗ =−⃗a . NÄITEID VEKTORRUUMIDEST Teoreem: Hulk Rn on vektorruum üle reaalarvude hulga R. See vektorruum on aritmeetiline ruum ja selle elemendid on aritmeetilised vektorid. Seotud vektor – suunatud sirglõik, mille algus- ehk rakenduspunkt on fikseeritud.
a2 +…+ λ p−1⃗ a p−1+ λ p +1⃗ a p+1 +..+ λk ⃗ ak . Liites viimase võrduse mõlemale poolele vektori ap ⃗ vastandvektori a p=(−1)⃗ −⃗ ap ja kasutada vektorruumi aksioome: λ1 ⃗ a1 + λ2 ⃗ a2 +…+ λ p−1⃗
a a b c A c d AB d B Vektorite lahutamine Vektorite lahutamine tähendab vastandvektori liitmist. b a b -a -a -a b Vektori korrutamine arvuga
a a b c A c d AB d B Vektorite lahutamine Vektorite lahutamine tähendab vastandvektori liitmist. b a b a a a b Vektori korrutamine arvuga
a a b c A c d AB d B Vektorite lahutamine Vektorite lahutamine tähendab vastandvektori liitmist. b a b a a a b Vektori korrutamine arvuga
Igal sihil on kaks suunda. Paralleelsetel sirgetel on sama siht. Vektoreid tähistatakse kas 2 suure tähega või 1 väikse tähega. AB vastandvektor on BA; v vastandvektor on v Vektorid on võrdsed kui nendel on sama pikkus ja suund. Sama sihiga ehk samasihilisi vektoreid nimetatakse kollineaarseteks. Vektorid on kollineaarsed siis, kui nende koordinaadid on võrdelised (s.t. vastavate koordinaatide jagatised on võrdsed). Vektori lahutamisel asendame lahutamise vastandvektori liitmisega. Vektori liitmisel liidame vastavad koordinaadid, lahutamisel lahutame. Vektorid i ja j ristuvad ühik vektorid. Ühe ühiku pikkused, teljestiku sihis. Vektori koordinaatide leidmiseks lahutan lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid. Vektori pikkus võrdub ruutjuurega koordinaatide ruutude summast. Sellist vektorit, mille algus punktid on koordinaatide alguspunktis nim kohavektoriks. Kohavektori koordinaadid on samad, mis vektori lõpp koordinaadid.
on järgmise vektori alguspunktiks; vektor, mis on suunatud murdjoone alguspunktist lõpppunkti on antud vektorite summa. See on hulknurgareegel vektorite liitmiseks. · Liitmisel kehtib assotsiatiivsuse seadus 6.5 Vektori lahutamine · Sama sihi, pikkuse, kuid erineva suunaga vektorid on vastandvektorid. · Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks, tähistatakse sümboliga 0. · Kahe vektori lahutamise saab asendada lahutatava vektori vastandvektori liitmisega. 6.6 Vektori korrutamine arvuga · Vektor, mille pikkus on 1, on ühikvektor. · Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes · distributiivsus arvude liitmise suhtes · distributiivsus vektorite liitmise suhtes. · Arvu k ja vektori a 0 korrutiseks nimetatakse vektorit ka, mille pikkus 6.7 Vektori koordinaadid Iga koordinaattasandil oleva vektori v saab üheselt avaldada koordinaattelgede suunaliste ühikvektorite I ja j kaudu.
Liitmist ja skalaariga korrutamist nimetatakse lineaarseteks teheteks. Teoreem. Lineaarsed tehted kõigi geomeetriliste vektorite hulgal V rahuldavad järgmisi omadusi: 1° + = + iga , V korral (liitmise kommutatiivsus); 2° ( + ) + = + ( + ) iga , , V korral (liitmise assotsiatiivsus); 3° leidub selline vektor V , et + = + = iga V korral (nullvektori olemasolu); 4° iga vektori V jaoks leidub selline vektor V , et + = + = (vastandvektori olemasolu); 5° ( a + b ) = a + b iga a, b ja V korral; 6° a ( + ) = a + a iga a ja , V korral; 7° ( ab ) = a ( b ) iga a, b ja V korral; 8° 1 = iga V korral. 4. Aritmeetiline vektor. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Aritmeetiliste vektorite skalaarkorrutis. Skalaarkorrutise 5 omadust. Def. 1. n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks nimetatakse n arvu ( a1; a2 ; ..
• Joonesta,(alusta nullpunktist) a=(2;5), b=(0;-4), c=(-1;2), d=(-2;-3) Vektorid • Joonista vektor ja leia vektori koordinaadid, kui on antud vektori algus- ja lõpp-punkt: A(7;6), B(2;1) AB=? C(-2;3), D(4;2) CD=? Vektorid Vektorid • Leia eelmise ülesande vektorite pikkus ning lisaks veel k=(-6;8) |k|=? G(2;7), H(5;3) |GH|=? Vektorid Vektorite liitmine ja lahutamine (lahutamine on vastandvektori liitmine) (kolmnurgareegel) Vektorid Vektorid Vektorid Vektorid • Mees liikus punktist P 200m lõunasse punkti Q ja sealt 500m põhja suunas ning jõudis punkti R. • Leia PR graafiliselt ja algebraliselt. Vektorid Pall löödi kahel juhul mõlema vastasmeeskonna mängija poolt. Kummal juhul lendab pall suurema kiirendusega? Vektorid Vektorite liitmine ja lahutamine (rööpkülikureegel) Vektorid Vektorid
Liitmine: (liites vektorile selle vastand vektori, saame alati nullvektori.) vektorite summaks nim vektorit · Kolmurgareegel liidetavad vektorid ühendada järjest summavektor tõmmata esimese alguspunktist viimase lõppunkti; · Rööpküliku reegel liidetavate vektorite alguspunktid on samad, summavektor tuleb tômmata alguspunktist rööpküliku vastasnurka. Lahutamine: Kahe vektori x ja y vahe defineeritakse kui vektori x ja vektori y vastandvektori y summa st: 15. Vektori lahutamine telgedesihilisteks komponentideks. Vektori koordinaadid (mõiste, leidmine). Vektori lahutamine telgede sihilisteks komponentideks - st antud vektori esitamine telgedesuunaliste ühikvektorite summana: a(a1;a2;a3) a = a1i+a2j+ a3k. Vektori koordinaadid: võttes vektori alguspunktiks koordinaatide alguspunkti, saame vektori lõpp-punktiks punkti, mille koordinaadid vastavad vektori koordinaatidele. 16
See töötab hästi, kui vektorid on juba ühisesse punkti rakendatud. Oluline on ka fakt, et rööpküliku teine diagonaal on nende vektorite vaheks (3). Geomeetriliste tehete juures vektoritega on oluline, et igal korral märgataks, kuidas vektorid rakendatakse (järjestikku või ühisesse alguspunkti) ja milline vektor on tulemuseks. Kahe vektori vahe mõiste tuleb kas pähe õppida või näidata kohe alguses, et vektori lahutamise saab asendada vastandvektori liitmisega. Kunagi ammu õpetati vektorit põhikooli viimases klassis ja tolleaegses töövihikus olid väga head ülesanded. Enne vektori koordinaatide leidmist on aeg sisse tuua ühikvektorid ning näidata vektori avaldamist nende kaudu. Vektori koordinaatide leidmise reeglit on vaja osata selgitada (lugeda). Vektori pikkuse leidmine on ju Pythagorase teoreemi rakendamine. Analüütilises geomeetrias on tal väga oluline koht
0 - nullvektor 0 = (0;0) 0 =0 ( AA = 0 ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur r AB + BC + CD + DE + EA = AA = 0 r r r v+0=v r r Vektori v vastandvektor on vektoriga v ühepikkune, kuid vastassuunaline. r r uuur uuur v vastandvektoriks on - v ; AB vastandvektoriks on BA . r r r Vektori ja tema vastandvektori summa on nullvektor: v + (- v ) = 0 Vektorite lahutamine Vektori r r lahutamise r r võib taandada tema vastandvektori liitmisele. a - b = a + (- b ) r r Olgu antud kaks vektorit koordinaatidega a (a1;a2) ja b (b1;b2). u r r
kui kordaja on negatiivne, muutub vektor vastassuunaliseks. Geomeetrilise vektori a korrutiseks arvuga nimetatakse vektorit a, mis rahuldab tingimusi: vektorite liitmine ja lahutamine: Kolmurgareegel liidetavad vektorid ühendada järjest summavektor tõmmata esimese alguspunktist viimase lõppunkti; Rööpküliku reegel liidetavate vektorite alguspunktid on samad, summavektor tuleb tômmata alguspunktist rööpküliku vastasnurka. lahutamine toimub vastandvektori liitmisel. 15. Vektori lahutamine telgedesihilisteks komponentideks. Vektori koordinaadid (mõiste, leidmine). Vektori lahutamine telgede sihilisteks komponentideks st antud vektori esitamine telgedesuunaliste ühikvektorite (, ja ) summana: a (a1; a2; a3) => a = a1i+ a2j+ a3k. võttes vektori alguspunktiks koordinaatteljestiku alguspunkti, saame vektori lõpp-punktiks punkti, mille koordinaadid vastavad vektori koordinaatidele.
Vektoril on algus- ehk rakenduspunkt ja lõpp-punkt. Näiteks jõud, kiirus ja nihe. Skalaarid suurus, mis omab arvväärust aga mitte suunda. Mudeliks on reaalarv! Näiteks temperatuur, rõhk ja mass. 2 Tehted vektoritega vektoreid a ja b saab liita geomeetriliselt, kui esimese vektori lõpp-punkt ja teise vektori alguspunkt asuvad samas kohas. Liidetavate järjekord ei ole oluline. Kahe vektori lahutamise tehte saab asendada lahutatava vektori vastandvektori liitmisega, ehk b asemel tuleb -b. Vektori a komponendid ax ja ay same leida valemitega Vektori pikkuse ehk mooduli saab Pikkuse-nurga saab avaldada teades, et Kahe vektori vektorkorrutis on vektor , mille moodul on võrdne vektorite moodulite ja nendevahelise nurga
K, kui on defineeritud hulga V elementide liitmine ja hulga V elementide korrutamine korpuse K skalaaridega nii, et on t¨ aidetud j¨argmised tingimused: 1) a + b = b + a a, b V (liitmise kommutatiivsus) 2) (a + b) + c = a + (b + c) a, b, c V (liitmise assotsiatiivsus) 3) o V nii, et a + o = a = o + a a V (nullvektori o V olemasolu) 4) a V - a V nii, et a + (-a) = o = -a + a (vastandvektori -a olemasolu) 5) (a + b) = a + b K, a, b V (distributiivsus) 6) ( + )a = a + a , K, a V (distributiivsus) 7) (a) = ()a , K, a V (skalaariga korrutamise assotsiatiivsus) 8) 1a = a a V (unitaalsus) Vektorruumi elemente nimetatakse vektoriteks. Lisaks eeldatak- se, et V on kinnine vektorite liitmise ja skalaaridega korrutamise suhtes, s.t vektorite summad ja vektorite korrutised skalaaridega kuuluvad vektorruumi V .
Vektorit O (0;0) nimetatakse nullvektoriks. Vektori v = (a; b) vastandvektoriks nimetatakse vektorit – v = (–a; –b) Näide. Vektori v = (4; –3) vastandvektor on vektor – v = (–4; 3). Vektori v = (a; b) ja selle vastandvektori – v = (–a; –b) summa on nullvektor O (0;0) Vektori lahutamine tähendab selle vektori vastandvektori liitmist. Kui v = (a; b) ja u = (c; d), siis v – u = v +(– u ) = (a; b) + (–c; –d) = (a – c; b – d)
(täienda ise oma tabelit uute vektoritega ja joonista need teljestikku) 3 tund: Vektorite liitmine ja summa vektori projektsioonide määramine. Praktiline õppimine tunnis. Koju jääb valida ise viis suvalist vektorit ja kujutada nende viis liitumist joonistel. Ülesanne õhupalli liikumisest kahes risti jäävas suunas. Leida ruumiline nihe. Nihe on vektor, mis ühendab keha algasukohta tema lõppasukohaga. ● Oska vektoreid liita (või lahutada, mis tähendab „vastandvektori“ liitmist). 4 tund: Järgneb II töö teoreetilistele küsimustele 1.-3. tunnist ja vektorite liitmise oskusele 5 tund: Kehad, nende mõõtmed ja liikumine. Füüsikaliste suuruste pikkus, kiirus ja aeg tulenevus vaatleja kujutlusest. Pikkus on ruumiline mõõde kahe punkti vahel, mis on mõõdetud piki mõttelist joont või keha külge. Tähised võivad olla vabalt valitud, sagedamini esinevad tähised a,b,c,r,d,l,s, põhiühik 1m.
hulknurga reegli järgi, nimetatakse vektoriteks. Vektorid on näiteks kiirus, nihe, jõud. Vektorite eristamiseks skalaaridest märgitakse nende tähise kohale nooleke. Vektorite liitimine: kahe vektori liitmine rööpküliku reegli järgi v=v 1+v2; kui vektoreid on rohkem kui kaks, on otstarbekam liita neid hulknurga reegli järgi v=v1+v2+v3 Vektorite lahutamine: ühe vektori lahutamine teisest on samaväärne vastandvektori liitmisega. Vastandvektoriteks nimetatakse ühesuguse pikkusega, kuid vastassuunalisi vektoreid. 1 Korrutamine skalaariga: vektori v korrutamine skalaariga a saame tulemuseks uue vektori, mille moodul on a korda v moodulist, suund aga säilib, kui a on positiivne, ning on sellega vastupidine, kui a on negatiivne. Skalaarkorrutis: vektorite a ja b skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite
tasandist ehk valemiga |Ax0 + By0 + C| d(P, l) = , l E2 . (14.16) A2 + B 2 14.7 Nurk kahe sirge vahel Olgu antud lõikuvate sirgete l1 ja l2 sihivektorid s1 ja s2 ruumis E. Kui asetada sihivektorite alguspunktid sirgete lõikepunkti, siis võib leida nur- gad vektorite s1 ja s2 vahel, kuid ka s1 ja vastandvektori -s2 vahel. Kui sirged on paralleelsed, siis nurkade kohta jääb põhimõte samaks, kuigi sir- getel ei pruugi olla lõikepunkti. Definitsioon 14.14 Sirgete l1 ja l2 vaheliseks nurgaks nimetatakse nende sirgete sihivekto- rite s1 ja s2 ning s1 ja -s2 vahelistest nurkadest vähimat ehk (l1 , l2 ) = min{(s1 , s2 ), (s1 , -s2 )} [0, ].
annaabi.ee 
