ax2 + bx + c = 0 ruutliige lineaarliige vabaliige © Külli Nõmmiste Jõhvi Gümnaasium 2 3 · Ruutvõrrandit, kus ükski kordaja ei võrdu nulliga nimetatakse Biruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax4 + bx2 + c = 0. täielikuks ruutvõrrandiks
Ruutvõrrandid ja nende lahendamine 2x2 - 8x + 35 = 0 2x2 ruutliige, millest 2 on ruutliikme kordaja -8x lineaarliige, millest -8 on lineaarliikme kordaja 35 vabaliige Mittetäielikud ruutvõrrandid: a) puudub vabaliige Üldkuju: ax2 + bx = 0 Lahendamine: 2x2 = - 4x Teisendada normaalkujule 2x2 + 4x = 0 | : 2 Kui võimalik, jagada läbi x2 kordajaga x2 + 2x = 0 Tuua x sulgude ette x (x + 2) = 0 See avaldis on võrdne nulliga,kui sulgude ees olev arv on 0 või sulgude sees olev avaldis on võrdne nulliga b
8 49 30,60 12883,90 9,4637337489 322 9 52 30,60 11263,30 9,3293049316 325 10 52 30,00 11830,50 9,3784362215 325 U(W)= 3,5892E-021 U()= 0,000189547 R=f(t) POOLJUHT tõus = -987,7248044713 ± 37,5052 vabaliige = 60168,646650188 ± 1391,086 METALL tõus = 0,1031007895 ± 0,004689 vabaliige = 25,0251789272 ± 0,173918 lnR = f(1/T) tõus = 4242,5915068859 ± 56,43427 vabaliige = -3,6980391629 ± 0,182802 lnR 1/T , 1/K 11
ax2 + bx + c = 0 ruutliige lineaarliige vabaliige © Rainis Jõepera · Ruutvõrrandit, kus ükski kordaja ei võrdu nulliga nimetatakse Biruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax4 + bx2 + c = 0. täielikuks ruutvõrrandiks. Lahendamiseks teeme asenduse x2 = z ning võrrand omandab tavalise ruutvõrrandi kuju.
Sisesta mõõtmistulemused siia Kui siin on mõni "Viga", siis paranda Sisesta punktide arv siia (kuni 100 x & y paari) x y Rida korras? punktide arv = 1 Korras korrektsete puntide arv = 0 2 Korras tõus = #DIV/0! ± #DIV/0! 3 Korras vabaliige = #DIV/0! ± #DIV/0! 4 Korras (10-ne astmena) tõus = #DIV/0! ± #DIV/0! 5 Korras (10-ne astmena) vabaliige = #DIV/0! ± #DIV/0! 6 Korras Andmed korrektsed? = Vähe punkte 7 Korras VÄRVIDE TÄHENDUS
Sisesta mõõtmistulemused siia Kui siin on mõni "Viga", siis paranda Sisesta punktide arv siia (kuni 100 x & y paari) x y Rida korras? punktide arv = 25 1 37 27,4 Korras korrektsete puntide arv = 25 2 42 27,7 Korras tõus = 0,10015 ± 0,00440 3 47 28,3 Korras vabaliige = 23,36810 ± 0,24092 4 51 28,6 Korras (10-ne astmena) tõus = 1,00147087E-01 ± 4,4E-03 5 57 29,5 Korras (10-ne astmena) vabaliige = 2,33680985E+01 ± 2,4E-01 6 60 29,8 Korras Andmed korrektsed? = Korrektsed 7 64 30 Korras VÄRVIDE TÄHENDUS 8 68 30,3 Korras
28,6 28,4 28,2 28,0 27,8 27,6 27,4 27,2 27,0 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 Temp; °C Tõus: 0,10371 ± 0,00511 Vabaliige: 25,96553 ± 0,17968 Leian takistuse temperatuuriteguri k (graafiku tõus) = · R0 (vabaliige) Leian takistuse temperatuuritegurile määramatuse ( ) ( ( )) ( ( )) Võttes osatuletised, saan: ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( )
1Mis on ruutvõrrand? Ruutvõrrand on võrrand ax2+bx+c=0, kus a on antud arvuna ja ei võrdu 0. 1Kirjuta ruutvõrrnadi lahendivalem. X1;2=-b+-... 1Mis on ruutvõrrandi diskriminant? Diskriminandiks nimetatakse ruutjuure alust avaldist b2-4ac. 1Mis on normaalkujuline ruutvõrrand? Normaalkujuline ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille vasakul poolel esimesel kohal positiivse kordajaga ruutliige, teisel kohal lineaarliige ja kolmandal kohal vabaliige ning paremal pool 0. 1Mis on täielik ruutvõrrand? Täielik ruutvõttand on ruutvõrrand, kus on olemas ruutliige, lineaarliige, vabaliige ja a ei võrdu 0-ga. 1Mis on mitetäielik ruutvõrrnad? Kui puudub lineaarliige või vabaliige või mõlemad. 1Mis on taandatud ruutvõrrand? Taandatud ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille ruutliikme kordaja on võrdne 1-ga, a=1 1Sõnasta taandatud ruutvõrrandi lahendite omadused. Viete'i valemid 1Mis on ringjoone puutuja?
Täpsemaks, aga samal ajal arvutuslikult töömahukamaks meetodiks lähendusjoone leidmisel on nn vähimruutude meetod. Selle meetodiga leitakse lähendusjoon, millest katsepunktide kõrvalekallete ruutude summa oleks minimaalne. Eeldame mõõdetud suuruste xi ja yi vahelist lineaarset sõltuvust y i A xi B . (9) Sirge tõus A ja vabaliige B leitakse valemitega: n x i x yi y A i 1 n , (10) x x 2
1.5 RUUTVÕRRAND Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax2 + bx + c = 0, kus a 0. Kordajad a, b ja c on reaalarvud ning x tundmatu (otsitav). Ruutvõrrand on teise astme algebraline võrrand. Ruutvõrrandi liikmeid nimetatakse järgmiselt: ax2 ruutliige, kus a on ruutliikme kordaja; bx lineaarliige, kus b on lineaarliikme kordaja; c vabaliige. Ruutvõrrandi lahendivalem on - b ± b 2 - 4ac x= () 2a Avaldist D = b2 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. · Kui D > 0, siis ruutvõrrandil on 2 erinevat lahendit. · Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil 2 võrdset lahendit. · Kui D < 0, siis ruutvõrrandil reaalarvulised lahendid puuduvad. Kui ruutliikme kordaja on negatiivne arv, siis enne võrrandi lahendamist korrutame
Selles võrrandis p = -7 ja q = 10. Võrrand lahendid x1 ja x2 peavad täitma tingimusi: x1 + x2 = 7 ja x1 x2 = 10. Need arvud, mille summa on 7 ja korrutis on 10, on 5 ja 2. Seega x1 = 5 ja x2 =2. Sama tulemuseni jõuame ka lahendivalemi abil: x =3,5 ± 12, 25 -10 =3,5 ± 2,25 =3,5 ±1,5 Seega x1 = 3,5 + 1,5 = 5 ja x2 = 3,5 1,5 = 2. Ruutvõrrandeid, milles puudub lineaarliige või vabaliige, nimetatakse mittetäielikeks ruutvõrranditeks. Neid on kasulik lahendada lihtsamalt (lahendivalemit kasutamata). Näide 10. 2x2 4,5 = 0, on mittetäielik ruutvõrrand, milles puudub lineaarliige. Võrrandi lahendamiseks avaldame kõigepealt x2, siis x. 2x2 4,5 = 0 : 2 x2 - 2,25 = 0 x2 = 2,25 x = ± 2,25 x = ± 1,5 x1 = 1,5 ja x2 = -1,5 Näide11
Ruutfunktsioon y=ax+c, kus a ja Valemis y=ax+c Graafikuks on y=ax+c: c on antud arvud on ax ruutliige ja parabool, mis on ning x ja y on c vabaliige. sümeetriline y muutujad. telje suhtes. Parabooli haripunkt on punktis (0;c). Kui a>0, siis avaneb parabool
Joone võrrand Lineaarfunktsioon Funktsiooni, mida saab esitada kujul y = ax+ b nimetatakse lineaarfunktsiooniks. Avaldis ax on lineaarliige. Arv b on vabaliige, b väärtus vastab argumendi (x) väärtusele 0. Arv a näitab, mille võrra muutub funktsioon (y), kui argument (x) suureneb ühe võrra. Lineaarfunktsiooni y = ax + b graafikuks on sirge, mis lõikub y-teljega punktis (0;b) ja läbib punkti (1; a+b). Sirge tõus a näitab, kui palju muutub sirgel oleva punkti ordinaat (y) siis, kui abstsiss (x) kasvab ühe ühiku võrra. Ruutfunktsioon Ruutfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on esitatud ruutavaldisega
Sisesta m??tmistulemused siia Kui siin on m?ni "Viga", siis paranda Sisesta punktide arv siia (kuni 100 x & y paari) x y Rida korras? punktide arv = 17 1 0,003472222 5,5162473508 Korras korrektsete puntide arv = 17 2 0,003424658 5,3724967647 Korras t?us = 3541,07299 ± 3 0,003378378 5,2045559867 Korras vabaliige = -6,77274 ± 4 0,003333333 5,0278201189 Korras (10-ne astmena) t?us = 3,54107299E+03 ± 5 0,003289474 4,8820440597 Korras (10-ne astmena) vabaliige = -6,77273970E+00 ± 6 0,003246753 4,7527277503 Korras Andmed korrektsed? = Korrektsed 7 0,003205128 4,5747109785 Korras 8 0,003164557 4,4296256135 Korras V?RVIDE T?HENDUS 9 0,003125 4,2780540443 Korras
Metalli takistuse sõltuvus temperatuurist 30.5 30 29.5 29 28.5 28 Takistus, 27.5 27 26.5 26 25.5 20 25 30 35 40 45 50 55 Temperatuur, oC tõus = 0,09227 ± 0,00917 vabaliige = 25,46482 ± 0,31691 Pooljuhi takistuse sõltuvus temperatuurist 10 9.5 9 Naturallogaritm pooljuhi takistamisest, ln 8.5 8 7.5
kesklõiguks. · Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alusega ja võrdub aluste aritmeetilise keskmisega (poolsummaga). · Trapetsi pindala võrdub kesklõigu ja trapetsi kõrguse korrutisega. S=kh P= a+b+c+d (ümbermõõt) S=k×h (pindala) 6. Ruutvõrrand · · · · · Täielik Mittetäielik -puudub lineaarliige -puudub vabaliige -puudub lineaar ja vabaliige Taandatud Normaalkujul
105 100 2 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50 95 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 Temperatuur t °C Graafik 1. Metalli takistuse temperatuurisõltuvus tõus = 0,43219 ± 0,01274 vabaliige = 104,83410 ± 0,42291 Leian metalli takistuse temperatuuriteguri α: k=α· R0 , kus k – graafiku tõus, R0 – vabaliige. k α= R 0 −3 α=0,43219:104,8341=4,122608· 10 Leian määramatuse: √ 2 2 U C (α)= ∂α ∂α
15. Mis on ruutvõrrand? Mida nimetatakse normaalkujuliseks ruutvõrrandiks? Mida nimetatakse täielikuks ruutvõrrandiks? Mida nimetatakse mittetäielikuks ruutvõrrandiks? Mis on taandatud ruutvõrrand? Võrrandit ax + bx + c = 0, milles a, b ja c on antud arvud (a ei võrdu nulliga) ja x on tundmatu, nimetatakse ruutvõrrandiks. Võrrand, mille vasakul poolel on esimesel kohal positiivse kordajaga ruutliige, teisel kohal lineaarliige, kolmandal kohal vabaliige ning paremal poolel null, on normaalkujuline ruutvõrrand. Kui normaalkujulises ruutvõrrandis on kõik kolm liiget olemas (üheski kordaja pole 0), siis on tegemist täieliku ruutvõrrandiga. Kui ruutvõrrandis puudub lineaarliige või vabaliige või need mõlemad, siis see võrrand on mittetäielik ruutvõrrand. Ruutvõrrandit, mille ruutliikme kordaja a = 1, nimetatakse taandatud ruutvõrrandiks. 16. Kuidas lahendada mittetäielikku ruutvõrrandit? Puudub vabaliige:
37 36 112,5 7061,2 0,0032347 8,86237 38 34 111,7 7552,4 0,0032557 8,92962 39 32 111 8019,1 0,0032771 8,98958 Metalli graafik tõus = 0,35 ± 0,01 =a/b vabaliige = 100,26 ± 0,52 U()= Metall 127 126 125 124 Page 1 123 122 121 120 Metall 127 Sheet1 126 125 124
34 33 32 31 Takistus, 30 29 28 27 26 20 30 40 50 60 70 80 90 Temperatuur, °C tõus = 0,10814 ± 0,00169 vabaliige = 24,26704 ± 0,09054 10,5 10 Naturaallogaritm pooljuhi takistusest, ln 9,5 9 8,5 8
Võrdeline seos Pöördvõrdeline seos Lineaarfunktsioon Y=ax Y=a/x Y=ax + b a-võrdetegur a-võrdetegur ax-lineaarliige x;y-muutujad x;y-muutujad b-vabaliige y/x = a Yx = a Sirge (0;0) ja (1;a) Hüperbool Sirge y = ax (o;b) A<0 II ; IV A<0 II ; IV A> 0 I ;III A> 0 I ;III Lineaarfunktsioon
Ruutfunksioon on seos kahe muutuja vahel.Ühele muutujale antakse väärtused ja teine arvutatakse nende põhjal. Muutujad=x ja y c=vabaliige kordajad:a-ruutliikmekordaja b-lineaarliikme kordaja Funktsiooni saab esitada tabelina,valemiga,graafikuna,järjestatud arvupaaridesse. Graafikuks : parabool Parabool on sümmeetriline oma telje suhtes.Telg läbib alati parabooli haripunkti. y=ordinaat x=abstsiss nullkoht:need on punktid,kus funktsioonigraafik lõikab x-telge. korrutis on 0,kui üks teguritest on 0
Ruutfunktsioon Across 4. Ruutfunktsiooni graafikuks on joon, mida nimetatakse Parabooliks 6. c on ? Vabaliige 7. bx on Lineaarliige 8. Sümmeetriatelje ja parabooli ühist punkti nimetatakse Haripunktiks Down 1. funktsiooni, mis on esitatud ruutavaldisega nimetatakse Ruutfunktsiooniks 1. Parabool avaneb üles, kui kordaja a on Positiivne 2. Punkte x-teljel, kus parabool lõikab või puudutab x-telge nimetatakse nullkohtadeks 3. Parabool avaneb alla, kui kordaja a on Negatiivne MARI LIIS LEPPOJA
Ühe tundmatuga lineaarvõrratus üldkujul on ax > b või ax < b. RUUTVÕRRAND JA VÕRRATUS Ruutvõrrand on teise astme algebraline võrrand. Ühe tundmatuga ruutvõrrand on teisendatav kujule kus a ≠ 0 Ruutvõrrandi lahendid on antud valemiga Ruutvõrrandi liikmed - ruutliige (tundmatu teise astme liige); bx - lineaarliige (tundmatu esimese astme liige); c - vabaliige (ei sisalda tundmatut). Ruutvõrrand, mille vasakul poolel on esimesel kohal positiivse kordajaga ruutliige, teisel kohal lineaarliige, kolmandal kohal vabaliige ning paremal poolel null, on normaalkujuline ruutvõrrand. Näiteks võrrand on normaalkujuline, kuid võrrand ei ole. Kui normaalkujulises ruutvõrrandis on kõik kolm liiget olemas (ükski kordaja ei ole
#include
R=0,5 F=7,1 Ftabeli(p=0,95)=3,6 DW=1,5 Regressioonimudel standardiseeritud mastaabis y = 0,12x1 + 0,28x2 Interpreteerida mudelid. Mis andmeid veel oleks vaja, mida nad näitaksid? Kui energiaga varustatus kasvab 1 võrra, siis ettevõtte tootlikkus kasvab 90,8 võrra (põhivaraga varustatuse muutumatuks jäädes). Kui põhivaraga varustatus kasvab 1 võrra, siis ettevõtte tootlikkus kasvab 133,6 võrra (energiaga varustatuse muutumatuks jäädes). Vabaliige b=23,2; vabaliige näitab, milline on sõltuva tunnuse y väärtus, kui sõltumatu tunnus x=0. St, kui energiaga ja põhivaraga varustatus on 0, siis y=23,2. R=0,64, seega ühe suuruse kasvamine suurendab teise keskväärtust. Korrelatsioonikordaja absoluutväärtus iseloomustab korrelatsiooni tugevust: mida suurem on lineaarse korrelatsiooni-kordaja keskväärtus, seda tugevam on seos suuruste vahel. Siin keskmine seos.
Ruutfunktsioon Funktsiooniks nimetatakse seost kahe muutuja vahel, kus ühe muutuja igale võimalikule väärtusele vastab teise suuruse üks kindel väärtus. · x ja y on muutujad · x on argument · y on funktsiooni väärtus · a on kordaja ehk mingi arv Argumenti + väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks, ning muutuja y vastavate väärtuste hulka funtsiooni väärtuste piirkonnaks. Määramispiirkond- x Väärtuste piirkond- y · Ruutfunktsiooni graafikuks on parabool. · Parabool on sümmeetriline y-telje suhtes. · Parabooli sümmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks. · Parabooli ja tema telje ühist punkti nimetatakse parabooli haripunktiks. Mida suurem on kordaja a absoluutväärtus, seda kitsam on parabool. Argumendi x neid väärtusi, mille korral funktsiooni väärtus on null, nimetatakse funktsiooni nullkohtadeks. Hulkliiget, mille li...
6 18,94 23,03 2,045 4,182025 7 18,835 23,14 2,1525 4,63325625 8 18,775 23,22 2,2225 4,93950625 9 18,695 23,29 2,2975 5,27850625 650 nm 0,00000065 (10-ne astmena) tõus = 4,066105E-007 ± 1,1771E-008 R (10-ne astmena) vabaliige = 1,696691E-006 ± 7,4449E-008 R= 0,6255546016 ± 1,1771E-008 0,019285 0,02267 0,0016925 2,8645563E-006 0,01916 0,0228 0,00182 3,3124E-006 0,01904 0,02291 0,001935 3,744225E-006 0,01894 0,02303 0,002045 0,000004182
207,61 10,081 Standard Error 0,2506178 214,18 11,200 Observations 10 227,03 11,230 ANOVA x y df SS Regression 1 3,2827547444 vabaliige -2,0057989331 Residual 8 0,5024741556 tõus 0,0588035857 Total 9 3,7852289 Coefficients Standard Error vabaliige Intercept -2,005799 1,6744575692 tõus a Läbimüük, tuh
Lineaarvõrrandi lahendamine. Ruutvõrrandi lahendamine Lineaarvõrrand Ühe tundmatuga lineaarvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax + b = 0, kus a 0 ja b on antud arvud ja tähega x on tähistatud tundmatut. Seejuures nimetatakse korrutist ax lineaarliikmeks ja b vabaliikmeks. Näiteks on lineaarvõrrandid vabaliige lineaarliige 2 x 3 0, (tundmatu on tähistatud tähega x) 5 z 0, (tundmatu on tähistatud tähega z, vabaliige b = 0) Lineaarvõrrandid ei ole: 2 x 2 3 0, (kuna tundmatu on ruutu tõstetud) 2 3 5, (kuna tundmatut seoses ei esine) algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Lineaarvõrrandi lahendamine Lineaarvõrrandi ax + b = 0
9 0.003401 51 21 294 42091 6557.7 0.003401 52 19 292 42212 6680.5 0.003425 ineaarne Regressioon Arvutused simene graafik Mõlemal graafikul on tegemist lineaarse sõltuvuseg metalli takistus Rm (Y-telg) temperatuur (X-telg) Metall tõus = vabaliige = eine Graafik Kelvinites 1/(273*+temp) Pooljuht tõus = Pooljuhi takistuse logaritm vabaliige = Y-telg Boltzmanni konstant ln(pooljuht) 9.1762250043 Takistuse temperatuuriteguri α leidmine metalli k 9
Ruutfunktsioon Ruutfunktsiooni üldkuju: Ruutliige on funktsiooni pealiikmeks, kuna ruutliige määrab selle graafiku iseloomu ja kuju. Lineaarliige ja vabaliige mõjuvad vaid graafiku asukohta koordinaatteljestikus. Ruutfunktsiooni graafik on parabool Parabooli kuju sõltub ruutliikme kordaja suurusest ja märgist: Parabooli joonestamine: · Koosta väärtuste tabel. · Joonesta koordinaattasand. · Kanna arvutatud punktid koordinaattasandile. · Ühenda tasandile kantud punktid. Parabooli haripunkti koordinaatide arvutamine Parabooli nullkohtade arvutamine
40 5 17.45 21.30 4 17.51 21.21 3 17.69 21.13 lambda tõus (k) 3.53937499999999E-007 R 5.44519231E-01 (10-ne astmena) tхus = 3.53937500E-07 (10-ne astmena) vabaliige = 1.94554750E-06 Uc(R 0.0257222713 rj (m) (rj)^2 l p lv 0.002095 0.000004389 rj 2 0.002025 4.1006250000E-006 0.001925 3.705625E-006 rj2=f(j) 0
Langev sirge axlineaarliige * Kui a on väiksem, kui 0 sirge bvabaliige/algkordinaad on tegu langeva sirgega. alineaarliikme kordaja/sirge tõus y ja xmuutujad Vabaliige näitab punkti kus funktsioonigraafik (sirge) lõikab y telge. Lineaarliikme kordaja näitab kas tegu on tõusva või langeva sirgega. Sirge tõus näitab mitu ühikut muutub y, kui x suureneb 1 ühiku võrra. N: y=2x+3 x 3 2 1 0 1 2 3 *Langev sirge y 9 7 5 3 1 1 3 *Sirge lõikab punkti (0;3) *Y väheneb 2 ühiku võrra II I
(Niisugust funktsiooni nimetatakse mõnikord ka lineaarse asemel "afiinseks" funktsiooniks (inglise keeles affine function), sest mõned matemaatikud jätavad "lineaarsuse" mõiste funktsioonidele kujul f (x) = ax.) Kahe muutuja vahelise lineaarse seose puhul kehtib muutujate x ja y vahel seos y = ax + b, kus a ja b on konstandid, a on lineaarliikme kordaja, Selle funktsiooni graafikuks on sirgjoon tõusuga a ja tema väärtus b on vabaliige, kohal x=0 on b. Järgnevatel joonistel on toodud kaks näidet. ax on lineaarliige, x, y on muutujad, x on sõltumatu muutuja, y on sõltuv (xst). Või seos x = cy + d, kus c ja d on konstandid. Kui muutujate muutumispiirkonnaks on reaalarvude hulk ning ka konstandid on reaalarvulised, siis iga lineaarse seose graafik Cartesiuse ristkoordinaadistikus on sirge ning iga sirge on mõne lineaarse seose graafik.
Yi-sõltuv muutuja, riietele ja jalanõudele tehtavad kulutused i-ndas riigis aastatel 2007 ja 2010 X1i-sõltumatu muutja, SKP inimese kohta i-ndas riigis aastatel 2007 ja 2010(eurodes) X2i- netosissetulek i-ndas riigis aastatel 2007 ja 2010 (ostujõu pariteedi ühikutes) X3i-töötuse määr i-ndas riigis aastatel 2007 ja 2010 (%) D1i- fiktiivne muutuja, mis tähistab aastat (D1i=0 aastal 2007 ja D1i=1 aastal 2010) ui- juhuslik komponent ehk vealiige β0 – mudeli vabaliige β1 – mudeli vabaliige, mis näitab, kui X1 muutub 1 ühiku võrra, siis Y muutub β1 ühiku võrra. β2 – mudeli vabaliige, mis näitab, kui X2 muutub 1 ühiku võrra, siis Y muutub β2 ühiku võrra. β3 – mudeli vabaliige, mis näitab, kui X3 muutub 1 ühiku võrra, siis Y muutub β3 ühiku võrra. i=1,2,3...n; n=58 – valimi maht 1.2 ANDMED Mudelis kasutatavad andmed pärinevad Eurostati andmebaasist. Andmed on aastate
Kuupide vahe valem: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) Summakuubi valem: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Vahekuubi valem: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ 9.arvu ruutjuureks nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu , mille ruut on antud arv a. (Näide9) 10.(Näide 10) Lineaarvõrrandiks nimetatakse võrrandit, kus tundmatu esineb vaid esimeses astmes. Lineearvõrrandeid saab alati esitada kujul ax + b = 0, kus Ax2 on lineaarliige ja b on vabaliige, a on lineaarliikme kordaja. 11.Kui kahe avaldise vahel on võrratusmärk,siis sellist üleskirjutist nimetatakse võrratuseks. (Näide11) 12.Võrdust,mille mõlemal poolel on jagatis,nimetatakse võrdeks. Võrde välisliikmete korrutis võrdub tema siseliikmete korrutisega (Näide12) 13.ruutvõrrand on kus ax2 -ruutliige,bx-lineaarliige,c-vabaliige 2 Täielik ruutvõrrand on ax +bx+c=0 Mittetäielik ruutvõrrand on ax2+c=0 või ax2+bx=0
(sihifunktsioon kasvab tõkestamatult) Gaussi meetodil arvutatakse lahendi uus esitus, mille baaslahend on lubatav. Uues baaslahendis on sihifunktsiooni väärtus suurem kui eelmise esituse baaslahendis. Kui uue maatriksi sihifunktsiooni reas ei ole enam negatiivseid elemente, on maksimum leitud; kui on, tehakse järgmine samm Duaalne simpleksmeetod Reeglid 1. Kui leidub vähemalt üks negatiivne vabaliige, alustatakse duaalse simpleksmeetodiga 2. Juhtreaks valitakse kõige negatiivsema vabaliikmega rida. Näide Juhtreaks saab teine rida Juhtelemendiks valitakse negatiivne element sellest reast Kui negatiivseid elemente ei ole, on üles-anne vastuoluline Hinnang selle rea negatiivsele elemendile saadakse sihifunktsiooni rea elemendi jagamisel hinnatava elemendiga Duaalne ülesanne
muutujad. 1 ja 3 veerandis, kui a<0, siis 2 ja 4 veerandis. Lineaarfunktsioon: Y=ax+b, Lineaarfunktsiooni Graafikuks on kus a ja b väljendab valem y=ax+b, sirge. 0 kuulub on antud kus ax on lineaarliige ja b määramispiirkonda. arvud on vabaliige ehk Sirge ei läbi alati 0 ning x ja algordinaat. punkti. Sirge läbib y on y teljel punkti b. muutujad. Ruutfunktsioon Y=ax,kus Valemi y=ax põhjal vastab Graafikuks on y=ax: a on muutuja x igale väärtusele parabool, mis on y antud arv muutuja y üks kindel teljega ning x ja väärtus
Kaht sirget, millel on ainult üks ühine punkt nimetatakse lõikuvateks sirgeteks. Mediaan on variatsioonirea keskmine liige. On ka kolmnurga. tippu vastasküljega keskpunktiga ühendav lõik. Naturaalarv on sõltuvalt kontekstist kas üks arvudest 1, 2, 3, ... ( ) või üks arvudest 0, 1, 2, 3, ... ( ). Kõikide naturaalarvude hulka tähistatakse sümboliga . Normaalkujuline ruutvõrrand on võrrand, kus on lineaarliige, ruutliige ja vabaliige. Nt. 2x² + 5x 6 = 0 Nullkoht on argumendi väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on 0. (ehk siis x väärtus, mille korral y=0) Nurk on geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks ühest ja samast punktist väljuvat kiirt koos tasandi osaga, mis jääb nende kiirte vahele. Paarisarv on täisarv, mis jagub kahega. Nt. (0), 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... Kahe paarisarvu liitmisel saadakse paarisarv, ning kahe paarisarvu korrutamisel saadakse samuti paarisarv. Nt. 18+18=36; 18*18=324.
baasilahendid kanoonilisel kujul (simpleksmeetidiga) 14. Millised on simpleksmeetdi puhul juhtveeru ja juhtrea valiku reeglid? Juhtveerg - sihifunksiooni kõige suurema absoluutväärtusega negatiivne arv Juhtrida - vabaliikmete ja juhtveeru elemendi minimaalne jagatis min(Va / Je) 15. Milline on simplekstabeli optimaalsuse tunnus? kui simplekstabelis sihifunktsioonile vastavas kordajate reas puuduvad negatiivsed kordajad, siis vastav baaslahend on optimaalne ja vabaliige sihifunktsioonile vastavas kordajate reas annab sihifunktsiooni optimaalse väärtuse 16. Mida näitavad simpleksmeetodi puhul lisamuutujate optimaalsed väärtused? See näitab ülejääki 17. Millised on duaalse simpleksmeetdi puhul juhtveeru ja juhtrea valiku reeglid? Juhtrida - Kõige väikseima absoluutväärtusega negatiivne vabaliige Juhtveerg - juhtrea elemendi ja sihifunksiooni elemendi maksimaalne jagatis, ainult kus juhtrea element on negatiivne 18
ab= a b Mittenegatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite aritmeetilise ruutjuure korrutisega Jagatise ruutjuur a a = b b Positiivsete arvude jagatiste aritmeetiline ruutjuur võrdub nende arvude aritmeetiliste ruutjuurte jagatisega. Ruut võrrand Võrrandit ax²+bx+c=0, milles a, b ja c on antud arvud (a0) ja x on tundmatu, nimetatakse ruutvõrrandiks. ax² + bx + c = 0 a ruutliikme kordaja ax² ruutliige b lineaarliikme kordaja bx lineaarliige c vabaliige Valem. Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mida saab esitada kujul . Seejuures tähistavad a, b ja c reaalarvulisi kordajaid. Ruutvõrrandi lahendamiseks saab kasutada valemit . Kui a=1, on tegemist taandatud ruutvõrrandiga, kuid ka sellisel juhul on võimalik lahendeid leida üldise ruutvõrrandi lahendivalemi abil. Diskrimnant
Def2 DV y`=f(x,y) nim. homogeenseks, kui f(x,y) on 0-astme homogeenne f-n: F(tx,ty)=f(x,y), t>0 HDV y`=f(x,y) taandub muutujate (x,u) suhtes eraduvate muutujatega DV asendusega u=y/x. Saab kasutada ka asendust v=x/y, siis on muutujad (y,u) Lineaarve DV DV nim. Lineaarseks, kui ta on lineaarne otsitava f-I ja selle tuletise suhtes. Esimest järku lineaarse DV üldkuju on A(x)y`+B(x)y+C(x)=0. Siin A(x) ja B(x) on võrrandi kordajad ning C(x) on vabaliige. Tuletisega liige on võrrandi pealiige. Kui A(x) ei 0 0-ga, siis võime võrrandi mõlemad pooled pealiikme ees oleva kordajaga läbi jagada. y`(x)+B(x)/A(x)*y+C(x)/A(x)=0 Kui asendame B(x)/A(x)=p(x) jaC(x)/A(x)=-q(x) saame võrrandi viia kujule Y`+p(x)y=q(x), kui q(x)=0, siis on tegu LDV (võrrandi puudub vabaliige), kui aga q(x) ei=0, siis tuleb LmitteHDv Bernoulli võrrand y`+p(x)y=q(x)ya kus (- , ) . Kui = 0 või = 1 , siis on tegi L võrrandiga
Üldkuju 7.klassis matemaatikas õpid erinevate seoste üldkujusid: Võrdelise seose üldkuju, lineaarfunktsiooni üldkuju, pöördvõrdelise seose üldkuju ning arvu üldkuju. Võrdelist seost esitatakse tavaliselt kujul y=ax .Selle kohta siis mõned näited : y=-5x ; y=10x ; y=1/5x ; y=-2/5x .Lineaarfunktsiooni kirjutame tavaliselt kujul y=ax+b . See on tulnud võrdelisest seosest kuid sellel on juures vabaliige ehk b . Lineaarfunktsiooni üldkujust näiteid : y=2x-3 ; y=2/5x+10 ; y=- 5x+9 ; Pöördvõrdelise seose põhikuju on y=a/x . Näited : -8/x ; 25/x ;6/x . Kahekohalise arvu üldkuju võib kirjutada: a · 10 + b kui ka 10a+b . Samamoodi kolmekohalise arvu üldkuju: a · 102 + b · + c ehk 100a+10b+c . Neljakohalise arvu üldkuju: a · 103 + b · + c · + d ehk 1000a+100b+10c+d . Viiekohalise arvu üldkuju: a · 104 + b · + c · + d · + e ehk 10 000a+1000b+100c+10d+e jne.
12. 18. 09. 06 ruutvõrrand. Ruutjuurte teisendusi k 2a = k a Selgitus. 2) ül 4 (103-125) Ruutvõrrand. Ruutvõrrandi kordajad. Ruutliige, lineaarliige, vabaliige. Normaalkujuline Ruutvõrrand. Mittetäielikud ruutvõrrand, täielik 13. 19. 09. 06 Ruutvõrrand. ruutvõrrandid. Selgitus. 3) lk 39, 45, ül 134 138, 159-164 ruutvõrrand, mittetäielik
Sirge tõusu ja selle määramatuse arvutamine Mõnikord on vaja uurida funktsionaalset sõltuvust kahe füüsikalise suuruse, näit. x ja y vahel. Käsitleme siinkohal ainult juhtu, kus see sõltuvus on lineaarne, s.t. seda saab esitada valemina kujul y = kx + m , kus k on lineaarliige ja m vabaliige. Graafiliselt kujutab niisugust sõltuvust xy- teljestikus sirge, lineaarliiget k nimetatakse sel juhul sirge tõusuks. Nimetatud sõltuvuse lähemaks uurimiseks anname suurusele x erinevaid väärtusi ja mõõdame neile vastavad suuruse y väärtused. Tulemused kanname paarikaupa xy- teljestikku kui katsepunktid. Alljärgneval joonisel on need kujutatud kui ristikeste keskpunktid. Kuigi tegelikult peaks sõltuvus suuruste x ja y vahel olema lineaarne, ei tarvitse
NB juuremärgi all tuleb saadud arvud omavahel korrutada või jagada 2 11.Ruutvõrrand - võrrand ax +bx+c=0, Ül.1321,1324 milles antud arvud a,b,c (a 0), tundmatu Määrata kordajad ja liikmed. 2 2 1)2x +5x+7=0 x; kordajad a,b,c; ruutliige ax ; lineaarliige kordajad a=2 b=5 c=7 bx; vabaliige c 2 liikmed: ruutliige 2x ; lineaarliige 5x; vabaliige 7 Leida antud arvuhulgast NB ruutvõrrand võib olla normaalkujuline, täielik, mittetäielik, taandamata, taandatud lahendeid.2 võrrand x -x-12=0
6 67,5 340,5 2,94*10-3 243 519 6,2519 7 73,0 346,0 2,89*10-3 164 598 6,3936 8 80,5 353,5 2,83*10-3 0 762 6,6360 Arvutused: A=16,766 B= -3592,4 (leitud ln paur=f(1/T) graafiku võrrandi järgi, kus x kordaja on B ning vabaliige on A) H aur J B=- H aur = - B R = 29867,21 R mol Graafikud: Järeldused: Arvutatud keemistemperatuur 354,63K=81,63~82°C on üsna lähedane benseeni keemistemperatuurile (80,1°C). Tõenäoliselt oli katsel tegemist benseeniga.
puuduvad väärtused, mis muidu ei ole arvulised. Tabel 1. Faktorite seos testi keele õppimiseks kuluva ajaga (minutit nädalas) Regressioonikordaja Olulisuse tõenäosus Õpetaja toetus 1,41 0,191 Kodused õppimist toetavad vahendid -0,40 0,768 Distsiplineeriv keskkond -3,80 0,003 Vabaliige 199,9 0,000 Lineaarne regressioonimudel N=1554, R²=0,006 Determinatsioonikordaja R² näitab, kui suure ulatuse sõltuva muutuja variatsioonist antud sõltumatu muutuja ära seletab. Antud sobivusastet näitava statistiku väärtus on 0,006, mis tähendab, et seos sõltuva ja sõltumatute tunnuste vahel on väga nõrk. Ka mudeli statistilise olulisuse kontroll dispersioonanalüüsi ANOVA abil (F=3,26) näitab, et tegemist ei ole testi
Kahe tundmatuga lineaarvõrrand: 1) pooled vahetada- ei muutu ükski märk 2) „Iga roju oma koju“- üksikuid liikmeid võib viia ühelt võrdusmärgi poolt teisele, selle liikme ees olev märk muutub. 3) sarnased liikemd koondada. 4) korrutada või jagada võrrandi mõlemad pooled nullist erineva arvuga Kahe tundmatuga võrrandi normaalkuju on: esimesel kohal tähestikus eespool oleva tähega liige, teisel kohal tähestikus tagapool oleva tähega liige ja paremal pool võrdusmärki vabaliige. Muutuja avaldamine: 1) avaldatavat muutujat sisaldav liige või liikmed vasakule poole ja kõik ülejäänud paremale poole võrdusmärki. 2) Koonda, kui saab või tegurda. 3) Jagada avaldatava muutuja kordajaga Graafiline võte: 1)Võtan esimese võrrandi ja avaldan muutuja y. 2) Teen tabeli graafiku joonestamiseks 3) Võtan teise muutuja ja avaldan muutuja y ja teen tabeli. 4) joonistan sirged ühele ja samale koordinaatteljestikule nii, et tekib lõikepunkt,kui võimalik.
annaabi.ee 
