Küsimus 1 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millised tõeväärtustabelid järgnevast kuuest esitavad nulli säilitavat loogikafunktsiooni ? vali kõik õiged : Vali üks või enam: esimene funktsioon on nulli säilitav ? teine funktsioon on nulli säilitav ? - VALE kolmas funktsioon on nulli säilitav ? - VALE neljas funktsioon on nulli säilitav ? viies funktsioon on nulli säilitav ? kuues funktsioon on nulli säilitav ? Küsimus 2 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millised tõeväärtustabelid järgnevast kuuest esitavad ühte säilitavat loogikafunktsiooni ? vali kõik õiged : Vali üks või enam: esimene funktsioon on ühte säilitav ? - VALE teine funktsioon on ühte säilitav ? - VALE kolmas funktsioon on ühte säilitav ? - VALE neljas funktsioon on ühte säilitav ? viies funktsioon on ühte säilitav ? - VALE kuues funktsioon on ühte säilitav ? Küsimus 3 Õige - Hinne 1,00 / 1,00
Completed on Friday, 2 December 2011, 05:48 PM 1 2 3 4 5 6 Time taken 3 mins 52 secs 7 8 9 10 11 12 Marks 14.00/14.00 Grade 100.00 out of a maximum of 100.00 13 Show one page at a time Question 1 Millised tõeväärtustabelid järgnevast kuuest esitavad nulli Finish review Correct säilitavat loogikafunktsiooni ? Mark 1.00 out of 1.00 vali kõik õiged : Select one or more:
Disjunktsioon V, OR Disjunktsioon kahe lause vahel on väär täpselt siis, kui mõlemad tema osalaused on väärad. Jüri õpib või vaatab telekat Välistav disjunktsioon xor, exclusive or On disjunktsioon, mis on väär ka juhul kui tema mõlemad osalaused on tõesed. Sa sööd kõik ära või sa saad karistada Implikatsioon , IF... THEN... Implikatsioon kahe lause vahel on väär täpselt siis, kui tema vasakpoolne osalause on tõene ja parempoolne osalause on väär. Tõeväärtustabelid p q p&q pq pq pq 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 Ülesanne A- sajab vihma Sajab vihma ja külmetab B sajab lund Sajab vihma või lund ja on külm C sajab rahet Sajab vihma, kuid ei saja lund D sajab Kui külmetab, siis sajab lund E on suvi Ei saja vihma ega lund F on talv Kui sajab lund, siis on talv
Tõeväärtustabelid Tähtsus järjestus: (); ¬, &, , , A ¬ Eitus, muudab tõeväärtust vastupidiseks. B t v v t ,,ja, ning, ka, aga, kuid" A B A & B Konjunktsioon on tõene ainult siis, kui kõik t t t tema osalaused on tõesed. t v v v t v v v v ,,või" A B A B Disjunktsioon on väär ainult siis, kui kõik t t t tema osalaused on väärad. t v t v t t v v v ,,Kui ..., siis" A B A B Implikatsioon on väär ainult siis, kui eeldus t t t on tõena ja järeldus on väär. t v v eeldus > järeldus v t t v v t ,,on võrdne" A B A B Ekvivalents on tõene siis, kui tema t t t osalausete tõeväärtused on võrdsed. t v v v t v v v t
Loogikaavaldiste teisendamine. t Pidevateks funktsioonideks on sellised funktsioonid, mille graafik on s koordinaatteljestikus esitatav pideva (kõver)joonena. n — Loogikafunktsioonid I Matemaatilises analüüsis, differentsiaal- ja integraalarvutuses tegeletakse Tõeväärtustabelid. Normaalkujulised loogikaavaldised. just pidevate funktsioonidega. Loogikafunktsiooni normaalkujude minimeerimine. Kuna pidevate funktsioonide argumentideks on reaalarvud, siis on "pidev Loogikafunktsioonide süsteemid. Loogikaelemendid matemaatika" just reaalarvude matemaatika. digitaalskeemides (Meenutame, et reaalarvud on kõikvõimalikud murdosaga arvud: nn. "komaga arvud")
A5 X X X X A6 X X X X A7 X X X X f(x1x2 x3x4) = A1 v A2 v A7 MDNK: f(x1x2 x3x4) = xx1 xx2 x3 V x1 xx2 xx3 V x2 x4 3 MDNK ja MKNK pole omavahel loogiliselt võrdsed, sest määramatuspiirkonna tõttu on nende tõeväärtustabelid erinevad (MDNK puhul on ka määramatuspiirkond arvestatud 1-de piirkonda). 4. Teisendada punktis 3 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK-kujule (ehk korrutada MKNK avaldises "sulud lahti" ja lihtsustada tekkiv DNK käsitsi). Võrrelda, kas saadud DNK ja MDNK langevad kokku. f(x1x2 x3x4) = (x1 V x3) ( xx2 V x4) (xx1 V x2 V xx3) = (x1xx2 V x1x4 V xx2 x3 V x3x4) (xx1 V x2 V xx3) = = xx1 xx2 x3 V xx1 x3x4 V x1x2x4 V x2x3x4 V x1xx2 xx3 V x1xx3 x4 Leitud DNK ei lange kokku MDNK-ga
4 p - 5% 5 p 9% 6 p - 0% 7 p - 31% b) A¬ B ja A&BA¬ B 1. 4. 3. 2. 2 1. . A B A&BA¬B) A¬B t t t t tv vv t v v t tt tt v t v t vv tv v v v t tt vt Vastus: Väited ei ole samaväärsed [7 punkti] Vigu tehti põhiliselt implikatsiooni tehtega. Samuti oli küllalt sageli vastus välja kirjutamata ja tabelist polnud aru saada, millises veerus tulemus asub. Olid ka mõned tõeväärtustabelid liiga väikese ridade arvuga. 0 p - 30% 1 p 5% 2 p - 5% 3 p 5% 4 P 0% 5 p 0% 6 p - 5% 7 p - 50% II variant Olgu meil laused: A Sajab vihma E On suvi B Sajab lund F On talv C Sajab rahet G On külm D Sajab H On soe Kirjutada valemite abil: c) Kui on soe ja sajab, siis on suvi
tõesed. Disjunktsioon – V, OR Disjunktsioon kahe lause vahel on väär täpselt siis, kui mõlemad tema osalaused on väärad. Implikatsioon -, IF...THEN... Implikatsioon kahe lause vahel on väär täpselt siis, kui tema vasakpoolne osalause on tõene ja parempoolne osalause on väär. Ekvivalents - Ekvivalents kahe lause vahel on tõene täpselt siis, kui mõlemad tema osalaused on ühesuguse tõeväärtusega. Eitus- , NOT Tõese lause eitus on väär ja vastupidi. Tõeväärtustabelid p q p&q pVq pq pq 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 Arutluse tõestamine 30.01.2014 Arutlust saab loogikas esitada kujul: E1 E2 E3 … En J kus E1 … En on lausearvutuse avaldistena esitatud eeldused ja J (kontrollimist ootav) järeldus.
Loogikafunktsiooni argumendiks olev kahendvektor on argumentvektor Küsimus 16 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 täida lünk õige sõnaga: Kui loogikafunktsiooni mingi muutuja ei mõjuta loogikafunktsiooni väärtust mitte kunagi, siis selline muutuja on muutuja mitteoluline Küsimus 17 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Milliseid 2-muutuja loogikafunktsioone esitavad need tõeväärtustabelid ? kolmas tõeväärtustabel (3) on konjunktsiooni inversioon neljas tõeväärtustabel (4) on välistav VÕI teine tõeväärtustabel (2) on pöördimplikatsioon esimene tõeväärtustabel (1) on disjunktsiooni inversioon viies tõeväärtustabel (5) on ekvivalents Küsimus 18 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 sisesta õige vastus arvuna:
Küsimus 1 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Kas järgnev väide on õige või vale: ? Pikk inversioon avaldise mingi osa kohal on samaväärne sulgude olemasoluga avaldise selle osa ümber Vali üks: Tõene Väär Küsimus 2 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Millisel tingimusel on 2 loogikaavaldist teineteisega võrdsed ? Vali üks või enam: . . . siis, kui neil mõlemal on täpselt samasugused tõeväärtustabelid . . . siis, kui mõlemas avaldises sisalduvad samad muutujad ja samad loogikatehted . . . siis, kui mõlemad sisaldavad samu loogikamuutujaid . . . siis, kui need mõlemad avaldised omandavad sama tõeväärtuse vähemalt ühe muutujaväärtuste komplekti korral kaks loogikaavaldist on alati võrdsed, kuna nad on mõlemad loogikaavaldised Küsimus 3 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Kas järgnev väide on õige ?
Õige teineteisega võrdsed ? Mark 1 out of 1 Vali üks või enam: . . . siis, kui neil mõlemal on täpselt samasugused tõeväärtustabelid . . . siis, kui mõlemas avaldises sisalduvad samad muutujad ja samad loogikatehted . . . siis, kui mõlemad eelnevad tingimused on täidetud samaaegselt . .
Avaldis võib olla samaaegselt nii DNK kui ka KNK Mark 1.00 out of 1.00 Select one: True False Question 19 Milliseid 2-muutuja loogikafunktsioone esitavad need tõeväärtustabelid ? Correct Mark 1.00 out of 1.00 esimene tõeväärtustabel (1) on viies tõeväärtustabel (5) on kolmas tõeväärtustabel (3) on teine tõeväärtustabel (2) on
A1 x x A2 x x A3 x x A4 x x A5 x x Minimaalne disjunktiivne normaalkuju on f(x1,x2,x3,x4)= x1 x2 x4 x1 x2 x3 x2 x3 x4 x1 x2 x3 Leitud MDNK ja MKNK on loogiliselt võrdsed (nende tõeväärtustabelid on võrdsed). 4. MKNK teisendamine DNK-kujule ( x1 x2 )( x1 x2 x3 )( x2 x3 x4 )( x2 x3 x4 ) ( x1 x2 )( x1 x2 x3 )( x3 x2 x2 x4 x2 x3 x3 x3 x4 x4 x2 x3 x4 ) ( x1 x2 )( x1 x2 x3 x1 x2 x4 x1 x2 x3 x1 x3 x1 x3 x4 x1 x2 x4 x1 x3 x4 x2 x3 x2 x4 x2 x3 x2 x3 x4 x2 x3 x4 x2 x 3 x4 x2 x3 x4 )
A2 2 1 1 - 0 A4 1,4 1 - 1 - A5 4,8 - - 1 1 Kirjutan välja MKNK: 3. Teisendada punktis 2 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK- kujule. V =V = V = V = V Seega saadud DNK on: V Karnaugh' kaardiga leitud MDNK: Võrdlen saadud DNK punktis 2 leitud DNK-ga. Tegemist ei ole kokkulangeva avaldisega. Arvutan mõlemale tõeväärtustabelid. x1 x2 x3 x4 f1 f2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1
0 1 - 0 - 1 1 1 - 0 - 1 1 1 0 0 0 0 MKNK = f(x1 x2 x3 x4) = (x1 v x2 v x3 v x4) (x2 v x4) (x1 v x4) (x1 v x3) Kas MDNK = MKNK? f d (x1 x2 x3 x4) f k (x1 x2 x3 x4), kuna nende lõpunimääratud tõeväärtustabelid ei ole loogiliselt võrdsed. All tabelis on näidatud määramatuspiirkondade väärtused kummagi kuju suhtes: MDNK MKNK 3 F D(0101) = 1 f k(0101) = 0 F D(0110) = 1 f k(0110) = 1 F D(1101) = 1 f k(1101) = 0 F D(1110) = 0 f k(1110) = 0 4 4. Teisendada punktis 3 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK-kujule
Loogilise võrdsuse kontroll: x1 x2 x3 x4 f MDNK MDNK ja MKNK ei ole MKNK loogiliselt 1 võrdsed, 1 1 0 0 0 0 kuna nende 0 0 0 1 0 0 0 tõeväärtustabelid on 0 0 1 0 1 erinevad. 1 1 0 0 1 1 - 0 0 0 1 0 0 Kokkuvõttes 0 tuli 0 kaks 0 0 1 0 1 erinevat 0 lõpuni0 0
5 0 1 0 1 1 1 MKNK: f ( x 1 x 2 x3 x 4 ) =¿ ( x 1 v x 4 ) ( 6 0 1 1 0 0 0 ´x 1 v ´x 3 v ´x 4 ) 7 0 1 1 1 1 1 8 1 0 0 0 1 1 9 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 2 1 1 1 0 1 1 1 3 1 1 1 1 0 1 1 4 1 1 1 1 1 0 0 5 Vastus: MDNK ja MKNK on loogiliselt võrdsed, sest nende tõeväärtustabelid on võrdsed 4. Teisendada punktis 3 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK- x x x x MDNK DNK 1 2 3 4 kujule 0 0 0 0 0 0 0 DNK: 1 0 0 0 1 1 1 2 0 0 1 0 0 0 f ( x 1 x 2 x3 x 4 ) =¿ ( x1 v x4 )( ´x 1 v 3 0 0 1 1 1 1 4 0 1 0 0 0 0 ´x 3 v ´x 4 ) = ( x 1 ´x 1 v x 1 ´x 3 v x 1 ´x 4 v
Sellise distributiivsuse kehtimise kontrollimiseks võib arvutada eelneva Seega jõudsime võrduse x ( y z ) = x y x z mõlemat poolt võrduse mõlema poole väärtused muutujate kõigi 8 väärtuskombinatsiooni x ¯y z x y ¯z , mis samuti kinnitab Ü teisendades sama avaldiseni korral ehk arvutame võrduse mõlema poole tõeväärtustabelid nende T võrduse kehtimist. võrdlemiseks: T /¯¯¯¯¯ ! tüüpiline viga: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ xyz x(y z) xy xz
xx 1 x3 ∨ xx 1 xx 4 ∨ xx 1 x2 x3 ∨ xx 1 x2 xx 4 ∨ xx 1 xx 2 ∨ xx 1 xx 2 x3 ∨ xx 1 xx 2 xx 4 ∨ xx 1 xx 2 xx 3 ∨ xx 1 xx 3 xx 4 ∨ x2 xx 3 xx 4 = = xx 1xx 2∨ xx 1x3 ∨ xx 1xx 4 ∨ xx 1 xx 2 xx 4 ∨ xx 1 xx 2 xx 3 ∨ xx 1 xx 3 xx 4 ∨ x2 xx 3 xx 4 = xx 1xx 2 ∨ xx 1x3 ∨ xx 1xx 4 ∨ x2 xx 3 xx 4 DNK kuju ei ühti MDNK-ga, sest tekib üleliigne implikant xx 1 x3, mis punktis 3 koostatud McCluskey tabelis ühtib implikantidega A3 ja A2. Tõeväärtustabelid x1 x2 x3 x4 x2 xx 3 xx 4 ∨ xx 1 xx 2 ∨ xx 1 xx 4 xx 1xx 2 ∨ xx 1x3 ∨ xx 1xx 4 ∨ x2 xx 3 xx 4 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1
1 1 0 1 -- 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 3. MDNK : ´x 3 x 2 x´ 1 ´x2 x 3 ´x 2 x 3 x´ 4 ´x 1 x´ 4 Karnaugh-iga MDNK McCluskey' meetodiga: A3 on üleliigne kuna teised katavad juba selle piirkonnad ära. Jäävad A2, A2, A4, A5 ehk: 1--1; -1-1; -00-; 111-, millest saame järgmise MKNK ( x´ 1 V x´4 ¿ ( x´ 2 V x´4 ¿ ( x 2 V x 3 )( x´1 V x´2 V x´3 ¿ Võrdlen MDNK ja MKNK tõeväärtustabeleid: MDNK ja MKNK tõeväärtustabelid on kohati erinevad, kuna esialgses funktsioonis olid määramatuspiirkonnad ning optimaalsete MDNK ja MKNK leidmiseks kasutasid kumbki määramatuspiirkondi erinevalt. (Erinevused esinevadki ainult algse funktsiooni määramatuspiirkondades) 4. ( x´ 1 V x´4 ¿ ( x´ 2 V x´4 ¿( x2 V x 3 )( x´1 V x´2 V x´3 ¿ = Kuna ei tulnud sarnane MDNK-le, võrdlen väärtusi Antud loogikaavaldise väärtused ei ole MDNK-ga võrdsed, kuna leitud DNK
kas järgnev väide on õige või vale? nmuutuja Boole'i funktsiooni tõeväärtustabelis on samapalju ridu nagu on nmõõtmelises Boole'i ruumis kahendvektoreid Vali üks: Tõene Väär Küsimus 21 Õige Hinne 1,00 / 1,00 sisesta õige vastus arvuna: Mitu rida on 3muutuja loogikafunktsiooni tõeväärtustabelis? Vastus: 8 Küsimus 22 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Milliseid 2muutuja loogikafunktsioone esitavad need tõeväärtustabelid ? 1 disjunktsiooni inversioon 2 pöördimplikatsioon 3 konjunktsiooni inversioon 4 välistav või 5 ekvivalents Vastus 1 kolmas tõeväärtustabel (3) on konjunktsiooni inversioon Vastus 2 viies tõeväärtustabel (5) on ekvivalents Vastus 3
a teiste sõnadega: loogikaavaldised / loogikafunktsioonid on teineteisega k { 0 , 1 } , millel on defineeritud 3 elementaarset loogikatehet: unaarne tehe i loogiliselt võrdsed, kui nende tõeväärtustabelid on täpselt samasugused n inversioon ja binaarsed tehted konjunktsioon ja disjunktsioon. h näide: x1 x ¯2 w= x2x1 w x
4 0100 - 1 1 5 0101 1 1 1 6 0110 0 0 0 7 0111 - 1 1 8 1000 0 0 0 9 1001 1 1 1 10 1010 0 0 0 11 1011 1 1 1 12 1100 0 0 0 13 1101 1 1 1 14 1110 0 0 0 15 1111 - 1 1 MDNK ja MKNK on teineteisega loogiliselt võrdsed, kuna nende tõeväärtustabelid on samasugused. 4. MKNK teisendamine DNK-kujule f ( x 1 ... x 4 )=( x´3 v x 4 ) ( x´ 1 v x 4 ) =( x´1 x´3 v x´3 x 4 v x´1 x 4 v x 4 )= x´1 x´3 v x 4 MKNK-st käsitsi teisendatud DNK on kokkulangev punktis 3 saadud MDNK avaldisega. 5. Taandatud DNK ja Täieliku DNK leidmine Taandatud DNK on kõikide lihtimplikantide disjunktsioon, võib sisaldada liigseid liikmeid x3x4
A5 0 0 X Graaf 3.3 Minimaalne konjuktiivne normaalkuju on A(2,3,5) ( x1 x 4)( x 3 x´ 4 )( x´ 1 x 2 x´ 3) (x1,x2,x3,x4) = Minu poolt MKNK-st käsitsi teisendatud DNK ei ole võrdne MDNK-ga, kuna nende tõeväärtustabelid on erinevad. x1 x2 x3 x4 MDNK MKNK DNK 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
Väiksemast arvust suurem: 1) Leiame suurema ehk teise numbri II täiendi. 2) Liidame saadud II täiendile väiksema numbri. 3) MSB nulliks. 4) Leiame teise täiendi. • Vii arv binaar- või detsimaalsüsteemi ja tee tehe seal. • Või teosta tehe otse. Näiteks: 2H + 5H = 7H ; 7H + 4H = BH 15. Milliste loogikaväratitega saab realiseerida ükskõik millist funktsiooni? NOR, NAND 16. Esita kolme argumendiga NOT, AND, NAND, OR, NOR, XOR ja XNOR tõeväärtustabelid. AND X1 X2 X3 f 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0
Üks rahvas! Üks juht" jne. Lausearvutuse süntaks ja semantika Lausearvutuse tähestiku moodustavad kolme tüüpi sümbolid: 1) lausemuutujate sümbolid: A, B, C ... (suured tähed) 2) loogiliste tehete sümbolid: ¬, &, , , 3) kirjavahemärgid: () Lausearvutuse süntaks aktsepteerib valemeid kujul: ¬A (A & B) (A B) (A B) (A B) Valemite välimised sulud väib ära jätta. Muid lausearvutuse valemeid (nt A¬, AB&, B(A), B(A), AB jne) ei ole. Lausearvutuse loogiliste tehete tõeväärtustabelid (vt ka Lisa) Eitus p ¬p t v v t Eitus muudab lause tõeväärtuse vastupidiseks. Konjunktsioon p q p&q t t t t v v v t v v v v Konjunktsioon on tõene ainult siis, kui mõlemad tema osalaused on tõesed. Disjunktsioon p q pq t t t t v t v t t v v v
Lihtimplikantide A1 ja A3 järgi saab välja kirjutada lõpuni määratud loogikafunktsiooni minimaalse konjunktiivse normaalkuju: f MKNK =( x 1 ∨ x 4 )( x´2 ∨ x 4) 4 3.3 VÕRDLUS Saime f MDNK =x 1 x´2 ∨ x 4 ja f MKNK =( x 1 ∨ x 4 )( x´2 ∨ x 4) . Tahame teada, kas saadud minimaalsed normaalkujud on teineteisega loogiliselt võrdsed või mitte. Selleks koostame kummagi loogikafunktsiooni jaoks tõeväärtustabelid ning võrdleme neid. x1 x2 x3 x4 f MDNK f MKNK x1 x2 x3 x4 f MDNK f MKNK 0000 0 0 1 0 00 1 1 0001 1 1 1 0 01 1 1 0 0 10 0 0 1 01 0 1 1
x 3 x4 ? kas leitud MDNK ja MKNK on teineteisega loogiliselt võrdsed ? x 1 x2 00 01 11 10 ? fD = fK ? 00 1 0 1 meenutame: T Ü 01 0 0 1 1 loogikaavaldised on võrdsed kui nende tõeväärtustabelid on samasugused. T 11 0 0 0 Osaliselt määratud funktsiooni esindajateks valitud MDNK ja MKNK võrdsus oleneb sellest, milleks nad arvutuvad määramatuspiirkonnas. 10 1 0 0 1
DNK = 1 2 3 v 1 4 v 2 4 v 3 4 v 1 2 3 4 MDNK = 1 2 4 v 1 2 3 v 2 3 4 v 1 2 3 4 v 1 2 3 4 X1 X2 X3 X4 MDNK DNK Minu poolt MKNK-st 0 0 0 0 1 1 1 käsitsi teisendatud DNK 0 0 0 1 0 0 0 ei ole võrdne MDNK-ga, kuna nende 0 0 1 0 1 1 1 tõeväärtustabelid on 0 0 1 1 1 1 1 erinevad. 0 1 0 0 - 1 1 Kokkuvõttes tuli kaks 0 1 0 1 0 0 0 erinevat lõpuni määratud funktsiooni: 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 - 0 0 : (1...4) = (0,2,3,4,9,10,12)1 1 0 0 0 0 0 0 : (1...4) =
Ümberpöördult, kui valem F1& F2&...&FnG on samaselt tõene, siis igal väärtustusel, millel valemid F1, F2,...,Fn on tõesed, on ka F1& F2&...&Fn tõene, mistõttu valem G on samuti tõene. Loogiliselt samaväärsed valemid. Lausearvutuse põhisamaväärsused. Valemite avaldamine etteantud tehete kaudu. Def 6. Valemeid F ja G nim samaväärseteks, kui nende tõeväärtused on võrdsed igal neid valemeis esinevate muutujate väärtused. Ehk siis valemite F ja G tõeväärtustabelid võrdsed. See tähendab lõplikud tõeväärtused. 2 Teoreem 4. Valemid F ja G on samaväärsed parajasti siis, kui valem FG on samaselt tõene. Tõestus... 2 Lausearvutuse põhisamaväärsused. Valemite avaldamine etteantud tehete kaudu. 2 Tõestus SML õpikus lk 21
Lihtimplikantide A1, A3, A5 ja A7 järgi saab välja kirjutada lõpuni määratud loogikafunktsiooni minimaalse konjunktiivse normaalkuju: 𝒇(xMKNK (x1x2x3x4) = A1 v A3 v A5 v A7 = (x1 v x2 v x3)(x1 v x 2 v x 3)(x 1 v x2 v x 3) Ʌ Ʌ (x 3 v x4) 6 3.3 VÕRDLUS Tuvastan, kas leitud MDNK ja MKNK on teineteisega loogiliselt võrdsed või mitte.Selleks koostame kummagi loogikafunktsiooni jaoks tõeväärtustabelid ning võrdleme neid. 𝒇(xMKNK(x1x2x3x4) = (x1 v x2 v x3)(x1 v x 2 v x 3)(x 1 v x2 v x 3)(x 3 v x4) 𝒇(xMDNK(x1x2x3x4) = x2 x 3 v x1 x 3 v x1 x2 x4 v x 1 x 2 x3 x4 Et kontrollida, kas saadud minimaalsed normaalkujud on teineteisega loogiliselt võrdsed või mitte, teeme tõeväärtustabeli, kus võrdleme kummagi funktsiooni väärtusi. x1x2x3x4 𝒇(xMDNK 𝒇(xMKNK x1x2x3x4 𝒇(xMDNK 𝒇(xMKNK
1A7 0 0 1 1 1 X A8 X X X 1 0 1 0 1 1 A1 & A6 & A8 1 0 1 1 0 0 MKNK f = (x1 v x3)(x2 v x3 v x4)(xx 1 v xx 3 v xx 4) 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 Koostan MDNK ja MKNK tõeväärtustabelid. 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 4 Tõeväärtustabelist selgub, et MDNK ja MKNK ei ole teineteisega loogiliselt võrdsed, sest funktsiooni minimeerimisel määrati nullide ja ühtede piirkonnad erinevalt. x1 x2 x3 x4 MDNK DNK 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1
3. Valemi välised sulud võib ära jätta. Tehetest parema ülevaate saamiseks võib kasutada tõeväärtustabeleid. 17_fl_i-v Tõeväärtustabeli vasakul pool esitatakse argumentide (komponentlausete) kõikvõimalikud tõeväärtused ning paremal pool esitatakse tehete tulemused. Kuna argumentidel saab olla vaid kaks väärtust (1 või 0), on tõeväärtustabelid väikese argumentide arvu korral küllaltki lühikesed: n argumendi korral on tabelis 2n rida. LAUSEARVUTUSE TEHETE TUTVUSTAV ÜLEVAADE (prioriteedi järjekorras) EITUS (ik negation, denial): Lause p eitus on lause, mis on tõene, kui p on väär ja mis on väär kui p on tõene. Tunnuseks on enamasti sõnade ei, pole ja mitte kasutamine. Nt Kass ei näu. Pole tõene väita, et tiiger näub. Tähistused: ¬p ~p p not p
0 0 0 1 0 0 1 0 meenutame: Ü 0 1 0 1 T loogikaavaldised on võrdsed kui nende tõeväärtustabelid on samasugused. 0 1 1 1 T 1 0 0 0 Osaliselt määratud funktsiooni esindajateks valitud MDNK ja MKNK 1 0 1 1 võrdsus oleneb sellest, milleks nad arvutuvad määramatuspiirkonnas
Lisaks operaatoritele, mida kasutatakse operandide võrdlemiseks, on loogilistes avaldistes kasutusel loogikatehted JA (loogiline korrutamine ehk konjunktsioon), VÕI (loogiline liitmine ehk disjunktsioon), POLE (loogiline eitus ehk negatsioon) ja mõned teised. Need tehted jäävad kahjuks väljapoole meie koolide matemaatika programmi, kuid programmeerimine ilma neid kasutamata läbi ei saa. Loogikatehetest saab kõige paremini aru, kui õppida selgeks vastavad tõeväärtustabelid (analoogia korrutustabeliga, see tuli ka pähe õppida): JA | tõene | väär | Selgituseks: ------################# (tõene JA tõene) on tõene tõene # tõene | väär # (tõene JA väär) on väär ------#-------+-------# (väär JA tõene) on väär väär # väär | väär # (väär JA väär) on väär ------#################
määratud operandide tõeväärtustega, kusjuures metamuutuja tõeväärtuseks on selle konkreetseks väärtuseks oleva lause tõeväärtus. 4 TÕEVRTUSTABELITEST (Kui üldine jutt liiga abstraktseks osutub, siis võiks allpool lihtsalt jälgida, kuidas tõesustabeleid kasutatakse.) Lausearvutuse formaalsete lausete ja metamuutujatest moodustatud avaldiste uurimiseks võib käsutada tõeväärtustabeleid ehk tõesustabeleid (truth tables).Tõeväärtustabelid on kahesugused. Ühtede puhul lähtutakse lausemuutujatest (mille tõeväärtused sõltuvad interpretatsioonist), teiste puhul metamuutujatest, mille väärtusteks olevatel lausetel võivad olla erinevad tõeväärtused. Tõeväärtustabelid räägivad alati mingist tehtest või tehetest. Tõeväärtustabelites on neli piirkonda. Esimest liiki tõesustabelite korral kirjutatakse ülemisse vasakusse nurka algsed lihtlaused ehk komponentlaused (neid võib olla ka vaid üks), millest
väärtuseks oleva lause tõeväärtus. 4 TÕEVÄÄRTUSTABELITEST (Kui üldine jutt liiga abstraktseks osutub, siis võiks allpool lihtsalt jälgida, kuidas tõesustabeleid kasutatakse.) Lausearvutuse formaalsete lausete ja metamuutujatest moodustatud avaldiste uurimiseks võib käsutada tõeväärtustabeleid ehk tõesustabeleid (truth tables). Tõeväärtustabelid on kahesugused. Ühtede puhul lähtutakse lausemuutujatest (mille tõeväärtused sõltuvad interpretatsioonist), teiste puhul metamuutujatest, mille väärtusteks olevatel lausetel võivad olla erinevad tõeväärtused. Tõeväärtustabelid räägivad alati mingist tehtest või tehetest. Tõeväärtustabelites on neli piirkonda. Esimest liiki tõesustabelite korral kirjutatakse ülemisse vasakusse nurka algsed lihtlaused ehk komponentlaused (neid võib olla ka vaid üks), millest
Lisaks operaatoritele, mida kasutatakse operandide võrdlemiseks, on loogilistes avaldistes kasutusel loogikatehted JA (loogiline korrutamine ehk konjunktsioon), VÕI (loogiline liitmine ehk disjunktsioon), POLE (loogiline eitus ehk negatsioon) ja mõned teised. Need tehted jäävad kahjuks väljapoole meie koolide matemaatika programmi, kuid programmeerimine ilma neid kasutamata läbi ei saa. Loogikatehetest saab kõige paremini aru, kui õppida selgeks vastavad tõeväärtustabelid (analoogia korrutustabeliga, see tuli ka pähe õppida): JA | tõene | väär | Selgituseks: ------################# (tõene JA tõene) on tõene tõene # tõene | väär # (tõene JA väär) on väär ------#-------+-------# (väär JA tõene) on väär väär # väär | väär # (väär JA väär) on väär ------################# VÕI | tõene | väär | Selgituseks:
annaabi.ee 
