Diskreetne matemaatika Kodutöö (0)

Tallinna Tehnikaülikool 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diskreetne  Matemaatika  
Kodutöö 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ilya  Zaitsev 
179712IACB 
IACB12 
 
 
 
1. Matriklinumbrile vastav 4- muutuja loogikafunktsioon 
 
Matriklinumber : 179712 
7- kohaline  16-nd süsteemi arv:  3AC9200 
Seega ühtede piirkond on f(x … ) = Σ(0, 2, 3, 9, 10, 12)
1
x4
1  
9-kohaline 16-nd süsteemi arv: 4EC3 79E00 
Seega määramatuspiirkond on f(x …
1
x4) = (4, 7, 14) _  
Nullide piirkond: 1, 5, 6, 8, 11, 13, 15 
 
Minu funktsioon: 
f(x … x
1
4) = ∑(0, 2, 3, 9, 10, 12)1   (4, 7, 14)_ 
  
2.  Loogikafunktsiooni tõeväärtustabel  
 
X1  X2  X3  X4  ƒ 
0 
0 
0 
0 
1 
0 
0 
0 
1 
0 
0 
0 
1 
0 
1 
0 
0 
1 
1 
1 
0 
1 
0 
0 
- 
0 
1 
0 
1 
0 
0 
1 
1 
0 
0 
0 
1 
1 
1 
- 
1 
0 
0 
0 
0 
1 
0 
0 
1 
1 
1 
0 
1 
0 
1 
1 
0 
1 
1 
0 
1 
1 
0 
0 
1 
1 
1 
0 
1 
0 
1 
1 
1 
0 
- 
1 
1 
1 
1 
0 
2 
 
3. MDNK ja MKNK leidmine 
 
 MDNK Karnaugh ' kaardiga 
 
 
00 
01 
11 
10 
00 
1 
0 
1 
1 
01 
- 
0 
- 
0 
11 
1 
0 
0 
- 
10 
0 
1 
0 
1 
 
MDNK = f(x1…x4) = 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥̅4 v 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 v 𝑥2 𝑥̅3 𝑥̅4 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3 𝑥4 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥3 𝑥̅4  
 
MKNK McCluskey' meetodiga. 
 
Indeks  Intervall  M 
Indeks 
Intervallid 
M 
Indeks 
Intervallid 
M 
0 
- 
 
0-1 
- 
 
0-1-1-2 
- 
 
1 
0001 
x 
1-2 
0-01 
A2 
1-2-2-3 
01-- 
A4 
0100* 
x 
010- 
x 
 
1000 
A1 
01-0 
x 
 
2 
0101 
x 
2-3 
01-1 
x 
2-3-3-4 
-1-1 
A5 
0110 
x 
-101 
х 
-11- 
A6 
011- 
x 
-110 
3 
0111* 
x 
3-4 
-111 
х 
 
 
 
1011  
x 
1-11 
А3 
1101  
x 
11-1 
х 
1110* 
x 
111- 
х 
4 
1111  
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
0001 
0100 
0101 
0110 
0111 
1000 
1011 
1101 
1110 
1111 
1 
4* 
5 
6 
7* 
8 
11 
13 
14* 
15 
A1 
 
 
 
 
 
0 
 
 
 
 
A2 
0 
 
0  
 
 
 
 
 
 
 
A3 
 
 
 
 
 
 
0 
 
 
0 
A4 
 
0 
0 
0 
0  
 
 
 
 
 
A5 
 
 
0 
 
0  
 
 
0 
 
0 
A6 
 
 
 
0 
0 
 
 
 
0 
0 
3 
 
 
MKNK = f(𝑥1…𝑥4) = A1&A2&A3&A5&A6  
MKNK = f(𝑥1… 𝑥4) = (𝑥̅1v𝑥2v𝑥3v𝑥4) (𝑥1v𝑥3v 𝑥̅4) ( ̅1v𝑥̅3v𝑥̅4) ( 𝑥̅2v𝑥̅4) ( 𝑥̅2v𝑥̅3) 
 
Loogilise võrdsuse kontroll: 
X1  X2  X3  X4  ƒ 
MDNK 
MKNK 
0 
0 
0 
0 
1 
1 
1 
0 
0 
0 
1 
0 
0 
0 
0 
0 
1 
0 
1 
1 
1 
0 
0 
1 
1 
1 
1 
1 
0 
1 
0 
0 
- 
1 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
0 
0 
0 
1 
1 
0 
0 
0 
0 
0 
1 
1 
1 
- 
0 
0 
1 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
1 
0 
0 
1 
1 
1 
1 
1 
0 
1 
0 
1 
1 
1 
1 
0 
1 
1 
0 
0 
0 
1 
1 
0 
0 
1 
1 
1 
1 
1 
0 
1 
0 
0 
0 
1 
1 
1 
0 
- 
0 
0 
1 
1 
1 
1 
0 
0 
0 
 
MDNK ja MKNK on loogiliselt võrdsed. 
 
 
4 
 
4. MKNK  teisendamine  DNK- kujule  
 MKNK = (𝑥̅
) ( ̅
1v𝑥2v𝑥3v𝑥4) (𝑥1v𝑥3v𝑥̅4) (𝑥̅1v𝑥̅3v𝑥̅4
2v𝑥̅4) ( 𝑥̅2v𝑥̅3) 
 
DNK = (𝑥̅1 v 𝑥2 v 𝑥3 v 𝑥4)( 𝑥1 v 𝑥3 v 𝑥̅4)( 𝑥̅1 v 𝑥̅3 v 𝑥̅4)( 𝑥̅2 v 𝑥̅4)( 𝑥̅2 v 𝑥̅3) = (𝑥̅1 𝑥1 
v 𝑥̅1 𝑥3 v 𝑥̅1 𝑥̅4 v 𝑥2 𝑥1 v 𝑥2 𝑥3 v 𝑥2 𝑥̅4 v 𝑥3 𝑥1 v 𝑥3 𝑥3 v 𝑥3 𝑥̅4 v 𝑥4 𝑥1 v 𝑥4 𝑥3 v 𝑥4 𝑥̅4)( 𝑥̅1 
v 𝑥̅3 v 𝑥̅4)( 𝑥̅2 v 𝑥̅4) = (𝑥̅1 𝑥3 v 𝑥̅1 𝑥3 𝑥̅3 v 𝑥̅1 𝑥3 𝑥̅4 v 𝑥̅1 𝑥̅4 v 𝑥1 𝑥̅1 𝑥2 v 𝑥1 𝑥2 𝑥̅3 v 𝑥1 𝑥2 𝑥̅4 
v 𝑥̅1 𝑥2 𝑥3 v 𝑥2 𝑥3 𝑥̅3 v 𝑥2 𝑥3 𝑥̅4 v 𝑥2 𝑥̅4 𝑥̅1 v 𝑥2 𝑥̅4 𝑥̅3 v 𝑥2 𝑥̅4 v 𝑥1 𝑥3 𝑥̅1 v 𝑥1 𝑥3 𝑥̅3 v 𝑥1 𝑥3 
𝑥̅4 v 𝑥̅1 𝑥3 v 𝑥̅3 𝑥3 v 𝑥3 𝑥̅4 v 𝑥̅1 𝑥3 𝑥̅4 v 𝑥3 𝑥̅4 𝑥̅3 v 𝑥3 𝑥̅4 v 𝑥1 𝑥̅1 𝑥4 v 𝑥1 𝑥4 𝑥̅3 v 𝑥1 𝑥4 𝑥̅4 v 𝑥̅1 
𝑥3 𝑥4 v 𝑥3 𝑥̅3 𝑥4 v 𝑥3 𝑥4 𝑥̅4 v 0)( 𝑥̅2 v 𝑥̅4) = (𝑥̅1 𝑥3 v 𝑥̅1 𝑥̅4 v 𝑥1 𝑥2 𝑥̅3 v 𝑥2 𝑥̅4 v 𝑥3 𝑥̅4 v 𝑥1 𝑥4 
𝑥̅3)( 𝑥̅2 v 𝑥̅4)= = 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 v 𝑥̅1 𝑥3 𝑥̅4 v 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥̅4 v 𝑥̅1 𝑥̅4 v 𝑥1 𝑥2 𝑥̅2 𝑥̅3 v 𝑥1 𝑥2 𝑥̅3 𝑥̅4 v 𝑥2 𝑥̅4 
𝑥̅2 v 𝑥2 𝑥̅4 v 𝑥3 𝑥̅4 𝑥̅2 v 𝑥3 𝑥̅4 v 𝑥1 𝑥4 𝑥̅3 𝑥̅2 v 𝑥1 𝑥4 𝑥̅3 𝑥̅4 = 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 v 𝑥̅1 𝑥̅4 v 𝑥1 𝑥2 𝑥̅3 𝑥̅4 v 
𝑥2 𝑥̅4 v 𝑥3 𝑥̅4 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3 𝑥4 = 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 v 𝑥̅1 𝑥̅4 v 𝑥2 𝑥̅4 v 𝑥3 𝑥̅4 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3 𝑥4 
 
DNK = 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 v 𝑥̅1 𝑥̅4 v 𝑥2 𝑥̅4 v 𝑥3 𝑥̅4 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3 𝑥4 
MDNK = 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥̅4 v 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 v 𝑥2 𝑥̅3 𝑥̅4 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3 𝑥4 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥3 𝑥̅4 
X1  X2  X3  X4  ƒ 
MDNK 
DNK 
Minu poolt MKNK-st 
0 
0 
0 
0 
1 
1 
1 
käsitsi teisendatud DNK 
0 
0 
0 
1 
0 
0 
0 
ei ole võrdne MDNK-ga, 
kuna nende 
0 
0 
1 
0 
1 
1 
1 
tõeväärtustabelid on 
0 
0 
1 
1 
1 
1 
1 
erinevad. 
 
0 
1 
0 
0 
- 
1 
1 
Kokkuvõttes tuli kaks 
0 
1 
0 
1 
0 
0 
0 
erinevat lõpuni määratud 
funktsiooni: 
0 
1 
1 
0 
0 
0 
1 
 
0 
1 
1 
1 
- 
0 
0 
𝑀𝐷𝑁𝐾: (𝑥 …
1
𝑥4) = 
(0,2,3,4,9,10,12)1 
1 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
𝐷𝑁𝐾: 𝑓(𝑥1…𝑥4) = 
1 
0 
0 
1 
1 
1 
1 
𝛴(0,2,3,4,6,9,10,12,13,14)1 
1 
0 
1 
0 
1 
1 
1 
1 
0 
1 
1 
0 
0 
0 
1 
1 
0 
0 
1 
1 
1 
1 
1 
0 
1 
0 
0 
0 
1 
1 
1 
0 
- 
0 
1 
1 
1 
1 
1 
0 
0 
0 
 
5 
 
5.  Taandatud DNK ja täieliku DNK leidmine 
 
  Leiame taandatud DNK Karnaugh’ kaardi abil. 
 
 
00 
01 
11 
10 
00 
1 
0 
1 
1 
01 
- 
0 
- 
0 
11 
1 
0 
0 
- 
10 
0 
1 
0 
1 
 
TaDNK = f(x …x
1
4) = 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥̅4 v 𝑥̅1 𝑥̅3 𝑥̅4 v 𝑥2 𝑥̅3 𝑥̅4 v 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 v 𝑥̅2 𝑥3 𝑥̅4 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3 𝑥4 
 
 
  Täieliku DNK leiame ka Karnaugh’ kaardi abil. 
 
 
00 
01 
11 
10 
00 
1 
0 
1 
1 
01 
1 
0 
0 
0 
11 
1 
0 
0 
0 
10 
0 
1 
0 
1 
 
Täielik DNK = f(x1...x4) = 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥̅3 𝑥̅4 v 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 𝑥4 v 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 𝑥̅4 v 𝑥̅1 𝑥2 𝑥̅3 𝑥̅4 v 
𝑥1 𝑥2 𝑥̅3 𝑥̅4 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3 𝑥4 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥3 𝑥̅4  
 
 
 
 
 
 
6 
 
6. Täieliku KNK leidmine 
 
MKNK= f(x …
1
x4) = (𝑥̅1v𝑥2v𝑥3v𝑥4) (𝑥1v𝑥3v𝑥̅4) (𝑥̅1v𝑥̅3v𝑥̅4) ( 𝑥̅2v𝑥̅4) ( 𝑥̅2v𝑥̅3) 
 
Leiame täieliku KNK tõeväärtusetabeli abil. 
X1  X2  X3  X4  MKNK 
0 
0 
0 
0 
1 
0 
0 
0 
1 
0 
0 
0 
1 
0 
1 
0 
0 
1 
1 
1 
0 
1 
0 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
0 
1 
1 
0 
0 
0 
1 
1 
1 
0 
1 
0 
0 
0 
0 
1 
0 
0 
1 
1 
1 
0 
1 
0 
1 
1 
0 
1 
1 
0 
1 
1 
0 
0 
1 
1 
1 
0 
1 
0 
1 
1 
1 
0 
0 
1 
1 
1 
1 
0 
 
Kirjutame välja vektorid , mille korral funktsiooni väärtus on 0. 
 
TKNK = f(x …x
1
4) = (𝑥1 v 𝑥2 v 𝑥3 v 𝑥̅4)( 𝑥1 v 𝑥̅2 v 𝑥3 v 𝑥̅4)( 𝑥1 v 𝑥̅2 v 𝑥̅3 v 𝑥4)( 𝑥1 
v 𝑥̅2 v 𝑥̅3 v 𝑥̅4)( 𝑥̅1 v 𝑥2 v 𝑥3 v 𝑥4)( 𝑥̅1 v 𝑥2 v 𝑥̅3 v 𝑥̅4)( 𝑥̅1 v 𝑥̅2 v 𝑥3 v 𝑥̅4)( 𝑥̅1 v 𝑥̅2 v 𝑥̅3 v 
𝑥4)( 𝑥̅1 v 𝑥̅2 v 𝑥̅3 v 𝑥̅4) 
 
 
 
7 
 
7.  Shannoni disjunktiivne arendus ühe muutuja järgi 
 
MDNK = f(x1…x4) = 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥̅4 v 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 v 𝑥2 𝑥̅3 𝑥̅4 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3 𝑥4 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥3 𝑥̅4 
 
Shannoni disjunktiivne arendus x2 järgi: 
 
f(x1...x4) = 𝑥̅2 ( 𝑥̅1 1 𝑥̅4 v 𝑥̅1 1 𝑥3 v 0 𝑥̅3 𝑥̅4 v 𝑥1 1 𝑥̅3 𝑥4 v 𝑥1 1 𝑥3 𝑥̅4 ) v 𝑥2 ( 𝑥̅1 0 𝑥̅4 v 
𝑥̅1 0 𝑥3 v 1 𝑥̅3 𝑥̅4 v 𝑥1 0 𝑥̅3 𝑥4 v 𝑥1 0 𝑥3 𝑥̅4 ) = 𝑥̅2  ( 𝑥̅1 𝑥̅4 v 𝑥̅1 𝑥3 v 𝑥1 𝑥̅3 𝑥4 v 𝑥1 𝑥3 𝑥̅4 ) v 𝑥2 
(𝑥̅3 𝑥̅4 ) 
 
Tulemus: 𝑥̅ ( ̅
2  1 𝑥̅4 v 𝑥̅1 𝑥3 v 𝑥1 𝑥̅3 𝑥4 v 𝑥1 𝑥3 𝑥̅4 ) v 𝑥2 (𝑥̅3 𝑥̅4 ) 
 
8. Shannoni disjunktiivne arendus vabaltvalitud kahe muutuja järgi 
 
 
 
MDNK = f(x1…x4) = 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥̅4 v 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 v 𝑥2 𝑥̅3 𝑥̅4 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3 𝑥4 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥3 𝑥̅4 
 
Shannoni disjunktiivne arendus x
järgi:
3 ja x4 
 
 
f(x …x
1
4) = 𝑥3 𝑥4 ( 𝑥̅1 𝑥̅2 0 v 𝑥̅1 𝑥̅2 1 v 𝑥2 0 0 v 𝑥1 𝑥̅2 0 1 v 𝑥1 𝑥̅2 1 0 ) v 𝑥3 𝑥̅4 ( 𝑥̅1 𝑥̅2 
1 v 𝑥̅1 𝑥̅2 1 v 𝑥2 0 1 v 𝑥1 𝑥̅2 0 0 v 𝑥1 𝑥̅2 1 1 ) v 𝑥̅3 𝑥4 ( 𝑥̅1 𝑥̅2 0 v 𝑥̅1 𝑥̅2 0 v 𝑥2 1 0 v 𝑥1 𝑥̅2 1 1 
v 𝑥1 𝑥̅2 0 0 ) v 𝑥̅3 𝑥̅4 ( 𝑥̅1 𝑥̅2 1 v 𝑥̅1 𝑥̅2 0 v 𝑥2 1 1 v 𝑥1 𝑥̅2 1 0 v 𝑥1 𝑥̅2 0 1 ) =  
= 𝑥3 𝑥4 (𝑥̅1 𝑥̅2 ) v 𝑥3 𝑥̅4 ( 𝑥̅1 𝑥̅2 v 𝑥1 𝑥̅2 ) v 𝑥̅3 𝑥4 (𝑥1 𝑥̅2 ) v 𝑥̅3 𝑥̅4 ( 𝑥̅1 𝑥̅2  v 𝑥2 ) 
 
Tulemus: 𝑥3 𝑥4 (𝑥̅1 𝑥̅2 ) v 𝑥3 𝑥̅4 ( 𝑥̅1 𝑥̅2 v 𝑥1 𝑥̅2 ) v 𝑥̅3 𝑥4 (𝑥1 𝑥̅2 ) v 𝑥̅3 𝑥̅4 ( 𝑥̅1 𝑥̅2  v 𝑥2 ) 
 
9. Shannoni konjunktiivne arendus vabaltvalitud kahe muutuja järgi 
 
 
MDNK = f(x1…x4) = 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥̅4 v 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 v 𝑥2 𝑥̅3 𝑥̅4 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3 𝑥4 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥3 𝑥̅4 
 
Shannoni  konjuktiivne  arendus x
järgi:
2 ja x4 
 
 
 
 
f(x …x
1
4) = (𝑥2 v 𝑥4 v (𝑥̅1 0 0 v 𝑥̅1 0 𝑥3 v 1 𝑥̅3 0 v 𝑥1 0 𝑥̅3 1 v 𝑥1 0 𝑥3 0 ) ) (𝑥2 v 𝑥̅4 
v (𝑥̅1 0 1 v 𝑥̅1 0 𝑥3 v 𝑥2 𝑥̅3 1 v 𝑥1 0 𝑥̅3 0 v 𝑥1 0 𝑥3 1 ) ) (𝑥̅2 v 𝑥4 v (𝑥̅1 1 0 v 𝑥̅1 1 𝑥3 v 0 𝑥̅3 
0 v 𝑥1 0 𝑥̅3 1 v 𝑥1 0 𝑥3 0 ) ) (𝑥̅2 v 𝑥̅4 v (𝑥̅1 1 1 v 𝑥̅1 1 𝑥3 v 0 𝑥̅3 1 v 𝑥1 1 𝑥̅3 0 v 𝑥1 1 𝑥3 1 ))  
= (𝑥2 v 𝑥̅4 v 𝑥2 𝑥̅3 ) (𝑥̅2 v 𝑥4 v (𝑥̅1 𝑥3) ) (𝑥̅2 v 𝑥̅4 v (𝑥̅1 v 𝑥̅1 𝑥3 v 𝑥1 𝑥3 ))  
 
 
8 
 
10. Loogikafunktsiooni tuletis iga muutuja järgi 
 
 
MDNK = f(x1…x4) = 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥̅4 v 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 v 𝑥2 𝑥̅3 𝑥̅4 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3 𝑥4 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥3 𝑥̅4 
𝛿𝑓(𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 )  = 𝑓(𝑥
𝛿𝑥
10𝑥3𝑥4)⨁𝑓(𝑥11𝑥3𝑥4) =
2
(𝑥1 1 𝑥4  𝑉 𝑥1 1 𝑥3 𝑉 0 𝑥3 𝑥4 𝑉 𝑥1 1 𝑥3 𝑥4 𝑉 𝑥1 1 𝑥3𝑥4) ⊕
(𝑥1 0 𝑥4 𝑉 𝑥1 0 𝑥3 𝑉 1 𝑥3 𝑥4 𝑉 𝑥1 0 𝑥3 𝑥4 𝑉 𝑥1 0 𝑥3 𝑥4 ) =
(𝑥1 𝑥4 𝑉 𝑥1 𝑥3 𝑉 𝑥1𝑥3𝑥4 𝑉 𝑥1  𝑥3 𝑥4) (𝑥3 𝑥4) 𝑉 (𝑥1 𝑥4 𝑉 𝑥1 𝑥3 𝑉 𝑥1𝑥3𝑥4 𝑉 𝑥1  𝑥3 𝑥4) (𝑥3 𝑥4) =
(𝑥1 𝑉 𝑥4)(𝑥1 𝑉 𝑥3)(𝑥1 𝑉 𝑥3𝑉 𝑥4)(𝑥1 𝑉 𝑥3 𝑉 𝑥4)(𝑥3 𝑥4) 𝑉 (𝑥1 𝑥4 𝑉 𝑥1𝑥3 𝑉 𝑥1 𝑥3 𝑥4 𝑉 𝑥1 𝑥3 𝑥4 )(𝑥3 𝑉 𝑥4) =
( 𝑥1 𝑉 𝑥1 𝑥3 𝑉 𝑥1 𝑥4 𝑉 𝑥3 𝑥4)(𝑥1  𝑉 𝑥1 𝑥3 𝑉 𝑥1 𝑥4 𝑉 𝑥1  𝑥3 𝑉 0 𝑉 𝑥3 𝑥4 𝑉 𝑥1 𝑥4 𝑉 𝑥3 𝑥4 𝑉 0)(𝑥3 𝑥4) V( 𝑥1𝑥3 𝑥4              
 
𝑉 𝑥1𝑥3 𝑉 0 𝑉 𝑥1 𝑥3 𝑥4 𝑉 𝑥1 𝑥4 𝑉 𝑥1 𝑥3 𝑥4 𝑉 0) =
( 0 𝑉 0 𝑉 0 𝑉 0 𝑉 𝑥1𝑥3𝑥4 𝑉 0 𝑉 0 𝑉 0 𝑉 0 𝑉 0 𝑉 0 𝑉 0 𝑉 𝑥1 𝑥3 𝑥4 𝑉 0 𝑉 0 𝑉 0 𝑉 0 𝑉 𝑥1 𝑥4 𝑥3 𝑉 0 𝑉 0 𝑉 𝑥1 𝑥3 
𝑥4 𝑉 0 𝑉 0 𝑉 0 𝑉 0)( 𝑥3 𝑥4) 𝑉 ( 𝑥1  𝑥3 𝑥4 𝑉 𝑥1 𝑥3 𝑉 𝑥1 𝑥4 𝑉 𝑥1 
𝑥3 𝑥4 ) = ( 𝑥1𝑥3𝑥4 𝑉 𝑥1 𝑥3 𝑥4 𝑉 𝑥1 𝑥3 𝑥4 )( 𝑥3 𝑥4) 𝑉 ( 𝑥1  𝑥3 𝑥4 𝑉 𝑥1𝑥3 𝑉 𝑥1 𝑥4 𝑉 𝑥1 𝑥3 𝑥4 ) =
 𝑥1 𝑥3 𝑥4 𝑉 𝑥1 𝑥3 𝑥4 𝑉 𝑥1𝑥3 𝑉 𝑥1 𝑥4  𝑉 𝑥1 𝑥3 𝑥4        
 
Tulemus: 𝑥1 𝑥3 𝑥4 𝑉 𝑥1 𝑥3 𝑥4 𝑉 𝑥1𝑥3 𝑉 𝑥1 𝑥4  𝑉 𝑥1 𝑥3 𝑥4        
 
δf(x1x2x3x4 )  = f(x
δx
10x3x4)⨁f(x11x3x4) = (𝑥̅1 𝑥̅2 1 v 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 v 𝑥2 𝑥̅3 1 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3 0 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥3 
2
1 ) + (𝑥̅1 𝑥̅2 0 v 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 v 𝑥2 𝑥̅3 0 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3 1 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥3 0 ) = (𝑥̅1 𝑥̅2 v 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 v 𝑥2 𝑥̅3 v 𝑥1 
𝑥̅2 𝑥3)( 𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3) v (𝑥̅1 𝑥̅2 v 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 v 𝑥2 𝑥̅3 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥3)( 𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3) = (𝑥1 v 𝑥2) (𝑥1 v 𝑥2 v 𝑥̅3 ) 
(𝑥̅2 v 𝑥3 ) (𝑥̅1 v 𝑥2 v 𝑥̅3)( 𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3) v (𝑥̅1 𝑥̅2 v 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 v 𝑥2 𝑥̅3 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥3)( 𝑥̅1 v 𝑥2 v 𝑥3) = ( 
𝑥1v 𝑥1 𝑥2 v 𝑥1 𝑥̅3 v 𝑥1 𝑥2 v 𝑥2 v 𝑥2 𝑥̅3 ) (𝑥̅1 𝑥̅2 v 0 v 𝑥̅2 𝑥̅3 v 𝑥̅1 𝑥3 v 𝑥2 𝑥3 v 0 ) (𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3 ) 
v (𝑥̅1 𝑥̅2 v 0 v 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 v 0 v 𝑥̅1 𝑥2 𝑥̅3 v 𝑥2 𝑥̅3 v 0 v 0 v 0 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥3 ) = ( 0 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3 v 0 
v 𝑥1 𝑥2 𝑥3 v 0 v 0 v 0 v 𝑥1 𝑥2 𝑥3 v 0 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3 v 0 v 0 v 0 v 0 v 0 v 𝑥1 𝑥2 𝑥3 v 0 v 0 v 𝑥̅1 
𝑥2 𝑥3 v 𝑥2 𝑥3 v 0 v 0 v 0 v 0) (𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3 ) v (𝑥̅1 𝑥̅2 v 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 v 𝑥̅1 𝑥2 𝑥̅3 v 𝑥2 𝑥̅3 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥3) 
= (𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3 v 𝑥1 𝑥2 𝑥3 v 0 v 0 v 0 v 𝑥̅1 𝑥2 𝑥3 v 𝑥2 𝑥3 ) (𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3) v (𝑥̅1 𝑥̅2 v 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 v 𝑥̅1 𝑥2 
𝑥̅3 v 𝑥2 𝑥̅3 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥3 ) = 𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3 v 𝑥̅1 𝑥̅2 v 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 v 𝑥̅1 𝑥2 𝑥̅3 v 𝑥2 𝑥̅3 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥3 
 
Tulemus: 𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3 v 𝑥̅1 𝑥̅2 v 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 v 𝑥̅1 𝑥2 𝑥̅3 v 𝑥2 𝑥̅3 v 𝑥1 𝑥̅2 𝑥3 
 
11. MDNK-ga loogiliselt võrdne Reed -Mulleri polünoom. 
 
ƒ(x1, x2, x3 , x 4) = 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥̅3 𝑥̅4 ⊕ 𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥3 ⊕ 𝑥2 𝑥̅3 𝑥̅4 ⊕ 𝑥1 𝑥̅2 𝑥̅3 𝑥4 ⊕ 𝑥1 𝑥̅2 𝑥3 𝑥̅4 = 
(( 𝑥1 ⊕ 1)( 𝑥2 ⊕ 1)( 𝑥3 ⊕ 1) (𝑥4 ⊕ 1)) ⊕ (( 𝑥1 ⊕ 1)( 𝑥2 ⊕ 1) 𝑥3) ⊕ (𝑥2 (𝑥3 ⊕ 1)( 𝑥4 ⊕ 
1)) ⊕ (𝑥1(𝑥2 ⊕ 1)( 𝑥3 ⊕ 1) 𝑥4) ⊕ (𝑥1(𝑥2 ⊕ 1) 𝑥3(𝑥4 ⊕ 1)) = ((𝑥1 𝑥2 ⊕ 𝑥1 ⊕ 𝑥2 ⊕ 1)( 
𝑥3 𝑥4 ⊕ 𝑥3 ⊕ 𝑥4 ⊕ 1)) ⊕ ((𝑥1 𝑥2 ⊕ 𝑥1 ⊕ 𝑥2 ⊕ 1) 𝑥3) ⊕ (𝑥2(𝑥3 𝑥4 ⊕ 𝑥3 ⊕ 𝑥4 ⊕ 1)) ⊕ 
((𝑥1 𝑥2 ⊕ 𝑥1)( 𝑥3 𝑥4 ⊕ 𝑥4) ⊕ ((𝑥1 𝑥2 ⊕ 𝑥1)( 𝑥3 𝑥4 ⊕ 𝑥3)) = 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ⊕ 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ⊕ 𝑥1 
𝑥2 ⊕ 𝑥1 𝑥3 𝑥4 ⊕ 𝑥1 𝑥3 ⊕ 𝑥1 ⊕ 𝑥2 𝑥3 ⊕ 𝑥3 𝑥4 ⊕ 𝑥4 ⊕ 1  
 
 
9 
 
 
00 
01 
11 
10 
00 
1 
0 
1 
1 
01 
1 
0 
0 
0 
11 
1 
0 
0 
0 
10 
0 
1 
0 
1 
 
 
10