−π < φ≤ π . Positiivsed nurgad – kellaosutile vastassuunas Negatiivsed nurgad – kellaosuti suunas Polaar- ja ristkoordinaatide vaheline seos: {xy==ρcosφ ρsinφ Kompleksarvu trigonomeetriline kuju: z=x +iy= ρcosφ+iρsinφ=ρ(cosφ+isinφ) Järeldus: Kaks trigonomeetrilisel kujul esitatud kompleksarvu on võrdsed siis, kui Kompleksarvude moodulid on võrdsed Kompleksarvude argumentide vahe on 2π kordne Kompleksarvule z=ρ(cosφ−isinφ) vastav kaaskompleksarv on ´z =ρ ( cosφ−isinφ )= ρ(cos (−φ ) +isin(−φ)) . TEHTED TRIGONOMEETRILISEL KUJUL
osa,i- imaginaar ühik). Põhimõiste olgu z1=a1+b1i,z2=a2+b2i z1=z2 kui a1= a2 ja b1=b2, z=0 kui a=0 ja b=0,k- arvu z1=a1-b1i nim.kaas k-arvuks z1=a1+b1i. Arvutamine z1+z2= (a1+a2)+(b1+b2)i, z1-z2= (a1-a2)+(b1-b2), z1*z2= z 1 ( a1 +b 1 i ) (a 2+b 2 i) (a1+b1i)*(a2+b2), = z 2 ( a2 +b 2 i ) (a 2+b 2 i) 2) Kompleksarvu trigonomeetriline kuju ja tehted trigonomeetrilisel kujul. geomeetriline kujutamine k-arv/reaalarvu paar (a,b).saab k-arvu z=a+bi kujutada xy tasandil kus kordinaadid a-reaal osa, b- imaginaar osa ja vastavalt X-telg k-arvu reaal telg ja Y- telg imaginaar telg.XY tasandi iga punkt M(x,y) ongi z=x+iy trigonomeetriline kuju tähistame nurk X-teljel ja vektori OA pikkus r ,siis a=rcos ja b=rcos
kujul antud kompleksarvu. Saame: a + bi = r (cos + i sin ) Näiteks arv 2+3i tuleb via triginomeetrilisele kujule. Seega leian esmalt mooduli r = 13 (vt. b Ülevalt). Edasi tuleb leida nurk, selleks kasutan teadmist, et tan = . Saan, et tan = 1,5. a Sealt edasi leian nurga = 56° 18` Nüüd saan avaldada kompleksarvu trigonomeetrilisel kujul: 23i= 13cos 56 ° 18 , isin 56 ° 18 , . Tehted trigonomeetrilisel kujul kompleksarvudega: · Korrutamine trigonomeetrilisel kujul: Moodulid korrutatakse, argumendid liidetakse. r 1 cos 1i sin 1 r 2 cos 2i sin 2 =r 1r 2 cos 12 i sin12 Näide: 5(cos 50+ i sin 50)6(cos 30+ i sin 30) = 56 (cos(50+ 30 ) + i sin(50+ 30) = 30(cos 80+ i sin 80) · Jagamine trigonomeetrilisel kujul:
Arvu r on siin moodulid (vt. ka joonist). kompleksarvu moodul ja nurk kompleksarvu argument. Vaatleme näiteid selle y 1) | z | = 42 + 32 = 25 = 5; A kohta, kuidas kompleksarvu esitada trigonomeetrilisel kujul. 2) | z | = (-2)2 + 12 = 5 ; 3 Näide 2. Esitame trigonomeetrilisel kujul arvu 3 + 4i. 3) | z | = (-3) + (-2) = 13 ja 2 2 2 Kõigepealt leiame mooduli: B
Kompl 0 jaoks argumenti ei defineerita. Punkti z asukoht komplekstasandil ei muutu, kui argumendile
liita 2kPi, kus k on mingi täisarv. Seetõttu lepitakse kokku, et vaadeldakse ainult argumente vahemikus
-Pi
KOMPLEKSARVU JUURIMINE Kompleksarvu z n -astme juureks (n ∈ N ) nimetatakse kompleksarvu ω , mille korral ω n=z , s.o. √n z=w ⟺ w n=z cos φ 1+isin φ 1 Olgu z=ρ ( cosφ+isinφ ) ω=ρ1 ¿ z=ρ ( cosφ+isinφ )=ρn1 ( cos ( n φ1 ) +isin ( n φ 1) )=ωn Kaks trigonomeetrilisel kujul esitatud kompleksarvu on võrdsed siis, kui kompleksarvude moodulid on võrdsed ρn1= ρ , n φ1−φ=2 kπ , kus k ∈Z n φ+ 2 kπ kompleksarvude argumentide vahe on 2π kordne ρ 1=√ ρ , φ1 = ,
ehk z = r ( cos + i sin ) . (3) Avaldist võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu z = a + bi trigonomeetriliseks kujuks; suurust r nimetatakse kompleksarvu z mooduliks ja suurust selle kompleksarvu argumendiks; neid tähistatakse järgmiselt: r = z , = arg z . 2. Kompleksarvude liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise valemid. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. 1. Komplesarvude liitmine. Kahe kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z2 = a2 + b2i summaks nimetatakse võrdusega z1 + z2 = ( a1 + b1i ) + ( a2 + b2i ) = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) i (1) määratud kompleksarvu. Vektoritena kujutatud kompleksarve liidetakse vektorite liitmise reegli põhjal. 2. Kompleksarvude lahutamine.
t. kui nende reaalosad on võrdsed ja imaginaarosad on võrdsed; 2) kompleksarv võrdub nulliga, s.o. z = a + bi = 0 siis ja ainult siis, kui a = 0 ja b = 0. z = a + bi = r cos + i sin ehk z = r (cos + i sin ) Avaldist võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu z = a + bi trigonomeetriliseks kujuks; suurust r nimetatakse kompleksarvu z mooduliks ja suurust selle kompleksarvu argumendiks. 2. Kompleksarvude liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise valemid. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. Liitmine: z1 + z 2 = (a1 + b1i ) + (a 2 + b2 i ) = (a1 + a 2 ) + (b1 + b2 )i Lahutamine: z1 - z2 = (a1 + b1i) - (a2 + b2i) = (a1 - a2 ) + (b1 - b2 )i Korrutamine: z1 z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) = a1a2 + b1a2i + a1b2i + b1b2i 2 = (a1a2 - b1b2 ) + (b1a2 + a1b2 )i Trigonomeetriline: z1 z 2 = r1r2 [cos(1 + 2 ) + i sin(1 + 2 )] a +b i a a +b b a b +a b z r
* Veendutakse hüpoteesi kehtivuses n=1 korral; * Oletatakse, et väide on tõene mingi suvalise naturaalarvu k korral. Seejärel näidatakse, et sellisest oletusest järeldub väite tõesus k-le vahetult järgneva naturaalarvu k+1 korral. Sellest, et selline üleminek on võimalik järeldubki siis, et väide on tõene suvalise naturaalarvu korral. Tõestused, valemite tuletamised 1. Valem kahe kompleksarvu korrutamiseks trigonomeetrilisel kujul a = R (cos + i sin ) b = r (cos + i sin ) ab = Rr (cos + i sin )(cos + i sin ) = = ..................... = = Rr [(cos cos - sin sin ) + i (sin cos + cos sin )] ab = Rr [cos( + ) + i sin( + )] a = R (cos + i sin ) 2. b = r (cos + i sin ) Valem kahe kompleksarvu jagamiseks trigonomeetrilisel kujul a R (cos + i sin ) R (cos + i sin )(cos - i sin )
- hilisem andmete sisestamine arvutisse lihtne. Puistu rinnaslõikepindala määramine W. Bitterlichi meetodil. Puistu rinnaslõikepindala – on kõikide puude rinnaslõikepindalade summa 1,3 m kõrguselt juurekaelast 1 hektari kohta. Puu kõrguse mõõtmine Puu kõrgus on juurekaela ja ladvatipu kõrguste vahe. Puude kõrguste mõõtmiseks kasutatakse mitmesuguseid kõrgusmõõtjaid, need jaotatakse üldiselt kahte gruppi: - geomeetrilisel põhimõttel töötavad; - trigonomeetrilisel põhimõttel töötavad. Puu vanuse määramine Männaste loendamise teel ja juurdekasvupuuri abil. 2.2 Puistute eraldamise tunnused (tekkeviis, rindelisus, liigiline koosseis, vanus, boniteet, täius, kasvukohatüüp). Eestis riigimetsad on jaotatud metskondadeks. Ühe metskonna piires jaotatakse mets kvartaliteks. Selleks raiutakse metsamassiividest läbi sihid ning kogu metsaga ala jaotatakse ruudu või ristküliku kujulisteks osadeks e. kvartaliteks
K.arvude liitmine,korrutamine,jagamine algebralisel kujul. DEF. k.arvuks nim. Arvufoori (a,b) kus a,bR. esitatakse z=a+bi (a-reaalosa,b- imaginaar osa,i- imaginaar ühik). Põhimõiste olgu z1=a1+b1i,z2=a2+b2i z1=z2 kui a1= a2 ja b1=b2, z=0 kui a=0 ja b=0,k-arvu z1=a1-b1i nim.kaas k-arvuks z1=a1+b1i. Arvutamine z1+z2= (a1+a2)+(b1+b2)i, z1-z2= (a1-a2)+(b1-b2), z1*z2= (a1+b1i)*(a2+b2), 2. K.geomeetriline kujutamine, trigonomeetriline kuju.korrutamine ja jagamine trigonomeetrilisel kujul. geomeetriline kujutamine k-arv/reaalarvu paar (a,b).saab k-arvu z=a+bi kujutada xy tasandil kus kordinaadid a-reaal osa, b- imaginaar osa ja vastavalt X-telg k-arvu reaal telg ja Y-telg imaginaar telg.XY tasandi iga punkt M(x,y) ongi z=x+iy trigonomeetriline kuju tähistame nurk X-teljel ja vektori pikkus r ,siis a=rcos ja b=rcos.avaldist z=r(cos+isin) ongi trigonomeetriline kuju. Arvutamine z1*z2=r1r2, 3. K.arvu astendamine ja juurimine.
nende ,,kõrgused". 16. Trigonomeetrilise nivelleerimise kõrguskasv arvutakse valemist: hAB=a*sin v+i-v; kus a=viseerimiskiire pikkus, sinv=viseerimiskiire siinus kaldenurk, i=instrumendi kõrgus ja v=viseeritud punkti kõrgus teise punkti kohal. Lähteandmeteks instrumendi kõrgus, viseerimiskiire pikkus. Nivelleerimine toimub tänapäeval peamiselt elektrontahhümeetri ja reflektori abil. Trigonomeetrilisel niveleerimisel leitakse kõrguskasv kahe punkti vahel täisnurkse kolmnurga lahendamisega kaldenurga ja joonepikkuse kaudu. Maastiku kaldjoon moodustab kolmnurga hüpotenuusi, üks kaatet annab joone horisontaalprojektsiooni, teine kõrguskasvu. Täpsus mitu korda väiksem, kui geomeetrilisel niveleerimisel. 17. Kaldenurgad mõõdetakse kolme täisvõttega. Üks täisvõte koosneb kahest poolvõttest
Maatriksi rea juhtelement, treppmaatriks. Treppmaatriksi astak. Kronecker-Capelli teoreem 9. Gaussi meetodi sisu. 10. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, Kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. Juurte arv. 11. Geomeetriline vektor. Vektorite kollineaarsus, vektorite võrdsus. Nullvektor. Kolmnurka ja rööpküliku reegel. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust 12. Aritmeetiline vektor. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Aritmeetiline ruum. 13
teist ja kolmandat tüüpi elementaarteisenduseks. Gaussi meetodi sisu. 11.Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise valemid. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi (1.3) kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik. Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja teist liidetavatbi aga tema imaginaarosaks. Arvu, mille ruut on - 1 , nimetatakse imaginaarühikuks ja tähistatakse sümboliga i. Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z =a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest,
nurk. Kui sihipunkt asub instrumendi (teodoliidi) horisontaalteljest kõrgemal, on vertikaalnurk positiivne; kui sihipunkt asub teodoliidi horisontaalteljest madalamal, siis on vertikaalnurk negatiivne. Seega mõõdetakse vertikaalnurka horisontaaltasandi suhtes, lisades alati märgi ,,+" või ,, - ". Vertikaalnurga mõõtmiseks on instrumendis vertikaalring ja nurga mõõtmiseks on teada horisontaalsuunale vastav lugem 0°, 90°, 180° või 270°. Mis suurused mõõdetakse trigonomeetrilisel nivelleerimisel ja kuidas arvutatakse punkti kõrgus? Trigonomeetrilise nivelleerimisega mõõdistamisvõrgu punktide kõrguste määramisel mõõdetakse vertikaalnurgad teodoliidiga, mille lubatud maksimaalne mõõtehälve on 30", kahe võttega ja teodoliitidega, mille lubatud maksimaalne mõõtehälve on 15", ühe võttega. Mõõtevahendi ja viseerimismärgi kõrgus arvestatakse täissentimeetrini ümardatult. Mis on teada ja mis mõõdetakse kinnises käigus?
nii et wz=zw=1 9. liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega, st z 1(z2 + z3) = z1z2 + z1z2; (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3 z1, z2, z3 C korral Kompleksarvu algebraline kuju: z = (x; y) = (x; 0) + (0; y) = (x;0) + (y; 0)(0; 1) = x + yi; C = {x + yi | x, y R} Tuletatavad tehted: 1. vahe: z1 - z2 = z1 + (-1)*z2 2. jagatis: z1/z2 = z1 * z2-1, kui z2 0 Kompleksarvude vallas säiluvad reaalarvude vallast tuntud tehetega seotud omadused. 2. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju. Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega. Moivre'i valem. Kompleksarvude juurimine (Tõestusega). r - arvu z moodul |z|; - arvu z argument; i - imaginaarühik r = sqrt(x2 + y2); cos = x/r; sin = y/r z = x + yi = r(x/r + yi/r) = r(cos + isin) Kompleksarvu z 0 avaldist nurga ja arvu r abil nimetatakse tema trigonomeetriliseks kujuks. Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega: z1 = x1 + y1i = r1(cos1 + isin1); z2 = x2 + y2i = r2(cos2 + isin2) 1
Kompl 0 jaoks argumenti ei
defineerita. Punkti z asukoht komplekstasandil ei muutu, kui argumendile liita 2kPi, kus k on mingi
täisarv. Seetõttu lepitakse kokku, et vaadeldakse ainult argumente vahemikus -Pi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 15.3 Kompleksarvu algebraline kuju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 15.4 Tehted kompleksarvudega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 15.5 Kompleksarvu trigonomeetriline kuju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 15.6 Siinus ja koosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 15.7 Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 16 Kompleksarvu juured. Eksponentkuju 145 16.1 Kompleksarvu n-astme juured . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 16.2 Kompleksarvu eksponentkuju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 16.3 Algebraliste võrrandite lahendamisest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
- Eksitakse puude loendamisel - Eksitakse nn piiripealsete (0,5) puude loendamisel 3. Puu kõrguse mõõtmine Puu kõrgus on juurekaela ja ladvatipu kõrguste vahe. Kõrguse mõõtmiseks kasutatakse mitmesuguseid kõrgusmõõtjaid, neid võib tööpõhimõtte järgi jagada kahte gruppi: – geomeetrilisel põhimõttel töötavad- puu kõrgus leitakse sarnaste kolmnurkade külgede suhte abil. Kõige levinum selline kõrgusmõõtja on laudkõrgusmõõtja. – Trigonomeetrilisel põhimõttel töötavad- need on tänapäeval enim kasutatavad kõrgusmõõtjad. Sisuliselt mõõdetakse kaldenurki. Kõrguse mõõtmisel tuleks silmas pidada järgmist: - mõõtma peab puust ligikaudu samal kaugusel, kui kõrge on puu. Kõige parem, täpsem on viseerida puu latva 45° nurga all - kaugus puuni määratakse kas kaugusmõõtja või lindiga - tasasel maal liidetakse saadud kõrgusele oma silmade kõrgus (1,5m) juurde
mahu kiireks hindamiseks. c) Puu kõrguse mõõtmine Puu kõrgus on juurekaela ja ladvatipu kõrguste vahe (Krigul, 2005). Puude kõrguste mõõtmiseks kasutatakse mitmesuguseid kõrgusmõõtjaid, need jaotatakse üldiselt kahte gruppi: - geomeetrilisel põhimõttel töötavad – puu kõrgus leitakse sarnaste kolmnurkade külgede suhte abil. Kõige levinum selline kõrgusmõõtja on laudkõrgusmõõtja. - trigonomeetrilisel põhimõttel töötavad. Need on tänapäeval enim kasutatavad kõrgusmõõtjad metsanduses. Sisuliselt mõõdetakse kaldenurki. Kõrguse mõõtmisel tuleks silmas pidada järgmist: * kõrguse mõõtmisel peab mõõtja seisma puust ligikaudu samal kaugusel kui kõrge on puu. Kõige täpsem on viseerida puu latva 45o nurga all. * kaugus puuni määratakse kas optilise kaugusmõõtjaga v. lindiga. Sammudega mõõtmine on üldiselt ebatäpne, 1m
Selleks raiutakse naabermetsaosadest (koosseisu, vanuse, suhte abil. Kõige levinum selline metsamassiividest läbi sihid ning kogu täiuse, kõrguse, rinnasdiameetri, tagavara jne kõrgusmõõtja on laudkõrgusmõõtja. metsaga ala jaotatakse ruudu või ristküliku poolest). Puistute eraldamisel lähtutakse trigonomeetrilisel põhimõttel töötavad. Need on kujulisteks osadeks e. kvartaliteks. Tekib bioloogilistest, ökoloogilistest ja tänapäeval enim kasutatavad kvartalivõrgustik, mis võimaldab metsade metsamajanduslikest tingimustest. Üldjuhul kõrgusmõõtjad metsanduses. Sisuliselt paremat majandamist
annaabi.ee 
