TÕENÄOSEIM SAGEDUS Ülesanne 1 Praakdetaili tootmise tõenäosus on 0,035. Leida tõenäoseim praagi hulk 500 detaili tootmisel. m*=täisosa(np-q+1), kus m*-tõenäoseim sagedus n=500 p=0,035 q=1-0,035=0,965 m*=500*0,035-0,965+1=17,535 Vastus: Tõenäoseim praagi hulk on 17 detaili. Ülesanne 2 Kulli ja kirja visatakse 5 korda. Leida tõenäosus, et kull tuleb peale: a) vähem kui kaks korda; b) mitte vähem kui kaks korda. a) vähem kui kaks korda n= 5 5 on väike - kasutan binoomjaotust Tõenäosus, et kull tuleb peale p=0,5 Meid huvitavad variandid (kull tuleb 0 või 1 korda) m p 0 0,03125 1 0,15625
1.Praak detaili tootmise tõenäosus on 0,0345. Leida tõenäoseim praagi hulk 500 detaili tootmisel. 0,035 n=500 6,3 p= p=0,035 n*p-q+1 n=17 q= 1-p=0,965 q=1-p 17,935 tõenäoseim praagi hulk on 17 detaili 2. Binoomjaotus Kulli ja kirja visatakase 5x . Leida tõenäosus et kull tuleb peale poole : a) vähem kui 2x b) mitte vähem kui 2x A. m p 0 0,03125 1 0,15625 0,1875 true- sama vastus mis p(a) P(A) 0,1875 EELNEVATE SUMMA B m= P 2 0,3125
p= 0.45 n= 11 0 1 0.0125381105 2 0.0512922703 3 0.125899209 4 0.2060168874 5 0.2359829802 6 0.1930769838 7 0.1128371983 8 0.046160672 9 0.0125892742 10 0.002060063 11 0.0001532278 bab ühe viskega korvi, on 0,45. Korvpallur teeb 16 viset. Kui suur on tõenäoseim korvide arv? p 0.45 p n 16 n 7 0.1968692226 testitud ja õige 6 8 0.1812091708 5 6 0.1684325571 7 9 0
Leida tõenäoseim sademeteta päevade arv septembri esimeses dekaadis, kui mitmeaastaste vaatluste põhjal es Kuna septembris on 30 päeva ja dekaad on 10päeva jagad 16 sademete päeva 3-ga. 16/3= 5,33 Ja küsitud on sademeteta päeva siis 10-5,33=4,67 astaste vaatluste põhjal esineb septembris sademeid keskmiselt 16 päeval.
20. Esimene õhutõrjepatarei tegi 10 lasku, teine patarei 8 lasku ja kolmas patarei 12 lasku. Tabamise tõenäosused olid vastavalt 0,3; 0,4 ja 0,2. Üks lask tabas lennukit. Missugusele patareile see lask kõige tõenäosemalt kuulus? (teisele). 21. Tõenäosus, et ajalehed saabuvad sidejaoskonda õigeaegselt, on 0,85. Leida tõenäosus, et viiest sidejaoskonnast vähemalt neli saavad ajalehed õigeaegselt. (0,8352) 22. Märgi tabamise tõenäosus on 0,25. Tulistati 21 lasku. Leida tõenäoseim tabamuste arv ning vastav tõenäosus. (5 ja 0,199) 23. Kindlustusagendil on üksikkliendiga lepingu sõlmimise tõenäosus 0,4. Agent kohtus 5 kliendiga. Koostada sõlmitud lepingute arvu jaotustabel. Leida vaadeldava juhusliku suuruse keskväärtus, dispersioon ja jaotusfunktsiooni graafik. (2 ja 1,2) 24. Sõiduki remondiks kuluv aeg (tundides) allub eksponentsiaalsele jaotusele parameetriga = 0,25. Kui suur on tõenäosus, et ühe sõiduki remondiaeg on alla kuue tunni? (0,777) 25
skeem, kus tasemeid kujutatakse horisontaalsete lõikudena. Mida kõrgemal lõik on, seda suurem energia sellisele olekule vastab. Mingile energiatasemele vastav energia väärtus on määratud ühe täisarvuga, mida kutsutakse Kõige madalam tase vastab elektroni põhiolekule (n = 1), kus elektroni tõenäoseim kaugus tuumast on minimaalne. Sellises olekus saab elektron olla kuitahes kaua. Teistelt tasemetelt püüab ta esimesel võimalusel üle minna põhiolekusse. Kui elektron satub mingil põhjusel kõrgemale energiatasemele, siis öeldakse, et aatom on ergastatud. Sellele vastab suurem energia kui on aatomil põhiolekus. Kuna looduses kehtib energia miinimumi printsiip, siis iga keha või süsteem püüab võimalusel minna üle
87. Lähtudes ideaalse gaasi olekuvõrrandist, leidke seos isotermilise protsessi oleku kirjeldamiseks. Tehke graafik. 88. Lähtudes ideaalse gaasi olekuvõrrandist, leidke seos isohoorilise protsessi oleku kirjeldamiseks. Tehke graafik. 89. Lähtudes ideaalse gaasi olekuvõrrandist, leidke seos isobaarilise protsessi oleku kirjeldamiseks. Tehke graafik. 90. Lähtudes joonisest, tuletage molekulaarkineetilise teooria põhivõrrand. 91. Lähtudes Maxwelli jaotusseadusest, leidke tõenäoseim kiirus. 92. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage baromeetriline valem. 93. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage Boltzmanni jaotusseadus. Ellimineerige ka gaasi universaalkonstant. 94. Mis võrrandiga on tegemist? Seletage tähised. 95. Mis võrrandiga on tegemist? Seletage tähised. 96. Mis võrrandiga on tegemist? Seletage tähised. 97. Mis on vabadusastmed ideaalse gaasi molekulidele rakendatuna? 98
oleku kirjeldamiseks. Tehke graafik. 90. Lähtudes joonisest, tuletage molekulaarkineetilise teooria põhivõrrand. S m v p - m v m v =m v + p m v = -m v + p p = 2m v 91. Lähtudes Maxwelli jaotusseadusest, leidke tõenäoseim kiirus. mv 2 dn m 32 - 2 kT =( ) e 4v 2 n0 dv 2kT 92. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage baromeetriline valem. 93. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage Boltzmanni jaotusseadus. Ellimineerige ka gaasi universaalkonstant. 94. Mis võrrandiga on tegemist? Seletage tähised. d M = -D S t dx 95. Mis võrrandiga on tegemist? Seletage tähised. 96. Mis võrrandiga on tegemist
selle olemus juriidilised andmekogud, ametkondlik kasutus, probleem- eesmärk pole sama, mis loendusel Küsitlusuuringud (valimuuringud) Tüübid- ühekordne; korduv; ristlõikeline; pikilõikeline läbiviimine küsitleja kohalkäimine; telefoniküsitlus; postiküsitlus; elektrooniline küsitlus Rahvastikuprognoosid Suletud rahvastikku kuuluvad surmad ja sünnid, avatud rahvastikku ka saabujad ja lahkujad põhivariandid: baasstsenaarium; kõrge (optimistlik); madal (pessimistlik); tõenäoseim Ränne peamised rändevood Euroopas: lõuna põhi ränne ja euroopa rändekriis ida lääs ränne ja euroopa ühine tööturg ränne - ränne = elukohavahetus = migratsioon Rände mõjutegurid: välised, keskkonnast tulenevad töö ja õppimise võimalused jne inimestest tulenevad, isikutunnused, elusoovi ja mobiilsuskapital vahetegurid ja takistused, institutsioonid, poliitika, võrgustikud, eluase jne tunnetuslikud, stress ja koha kasulikkus
tõenäosuse korrutis. P( A ) = P( H 1 ) P( A H 1 ) + P( H 2 ) P( A H 2 ) + + P( H n ) P( A H n ) . Bernoulli valem Kui sündmuse A tõenäosus igal katsel on p, siis tõenäosus, et n katse korral sündmus A toimuks k korda, leitakse valemiga Pn,k = C kn p k q n - k , kus q = p(A ) =1 -p . Tõenäoseim sündmuse toimumiste arv Kui sündmuse A tõenäosus on igal katsel p, siis sündmuse A tõenäoseim toimumiste arv n katse korral m* rahuldab võrratusi np - q m* np + p .
Molekulide suhteline arv kiirustevahemikus v 1 kuni v 2 3 v2 leitakse valemiga N N = f (v )dv , kus f (v ) on Maxwelli jaotusfunktsioon., selle v1 m 0gh - jaotuse tõenäoseim kiirus on vt = 2kT m 0 .Baromeetriline valem p = p 0e kT , kus p 0 on rõhk nullnivool ja p rõhk kõrgusel h . Ideaalse gaasi siseenergia U = iRT / 2 V2 sõltub ainult temperatuurist. Ideaalse gaasi töö A12 = pdV , mis isotermilise protsessi V1 V2
4. Bernoulli valem. - Bernoulli valemit kasutatakse juhul, kui sooritatakse n sõltumatut katset ja igal katsel on sündmuse toimumise tõenäosus sama p. Meid huvitab tõenäosus, et sündmus toimub n katse jooksul k korda. P( n katsel k korda ) = C kombinatsioonide arv pk k korda juhtub, et sündmus toimub. qn-k n-k korda juhtub, et sündmust ei toimu. Sündmuse mittetoimumise tõenäosus q = 1 p. Sündmuse toimumise tõenäoseim arv. - Ilma tõenäosusi endid leidmata saab leida kõige tõenäolisema sündmuse toimumiste arvu k0. 5. Tinglik tõenäosus. - Sündmuse A tinglikuks tõenäosuseks tingimusel B nimetame sündmuse A tõenäosust eeldusel, et sündmus B toimub. Täistõenäosus. - Olgu {A1,A2,..Ak} sündmuste täissüsteem ja saagu sündmus B toimuda ainult koos ühega sündmustest Ai, siis täistõenäosust arvutatakse valemiga: Bayes'i valem
a. Molekulaarfüüsika uurib aine ehitust lähtudes molekulaarkineetilisest vaatepunktist. Kõik ained 91. Lähtudes Maxwelli jaotusseadusest, leidke tõenäoseim Eesmärk on saada relativistlikud teisendused kasutades lähteallikana Galilei teisendusi, neid vastavalt muutes
protsessi oleku kirjeldamiseks. Tehke graafik. 1) Isotermiline protsess. T=const, m=const 88. Lähtudes ideaalse gaasi olekuvõrrandist, leidke seos isohoorilise protsessi oleku kirjeldamiseks. Tehke graafik. 89. Lähtudes ideaalse gaasi olekuvõrrandist, leidke seos isobaarilise protsessi oleku kirjeldamiseks. Tehke graafik. 90. Lähtudes joonisest, tuletage molekulaarkineetilise teoooria põhivõrrand. 91. Lähtudes Maxwelli jaotusseadusest, leidke tõenäoseim kiirus. 92. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage baromeetriline valem. 93. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage Boltzmanni jaotusseadus. Ellimineerige ka gaasi universaalkonstant. 94. Mis võrrandiga on tegemist? Seletage tähised. See on Fick'i seadus. D on difusioonikoefitsient. D on võrdne massiga, mis kantakse üle ajaühikus läbi ühikulise pinna ühikulise tiheduse gradiendi korral gradientvektori sihis. Massikradient
Teises grupis on vastavad arvud 4 ja 4. Esimesest grupist saadeti üks turist teise gruppi. Leida tõenäosus, et seejärel teisest grupist väljakutsutud turist on võõrkeeleoskaja. Vastus: 23/45 9. Telestuudios on 5 kaamerat. Tõenäosus, et kaamera on vaadeldaval hetkel sisse lülitatud, on 0,65. Kui suur on tõenäosus, et antud hetkel ei ole sisselülitatud rohkem kui kolm kaamerat? Vastus: 0,33642 10. Märgi tabamise tõenäosus on 0,25. Tulistati 21 lasku. Leida tõenäoseim tabamuste arv ja vastav tõenäosus. Vastus: 0,199 11. 36-st kaardist koosnevast pakist võetakse juhuslikult üks kaart. Kui suur on tõenäosus, et see on poti mastist? Vastus: 0,25 12. Üliõpilane oli eksamile minnes õppinud selgeks 25-st küsimusest 20. Talle esitati 3 küsimust. Millise tõenäosusega oskas ta vastata kõigile küsimustele? Millise tõenäosusega ta ei osanud vastata ühelegi küsimusele? Vastus: 54/115;1/230 13
Tehke graafik. T=const, m=const 83) Lähtudes ideaalse gaasi olekuvõrrandist, leidke seos isohoorilise protsessi oleku kirjeldamiseks. Tehke graafik. V = const, m = const 84) Lähtudes ideaalse gaasi olekuvõrrandist, leidke seos isobaarilise protsessi oleku kirjeldamiseks. Tehke graafik. P = const, m = const 85) Lähtudes joonisest, tuletage molekulaarkineetilise teoooria põhivõrrand 86) Lähtudes Maxwelli jaotusseadusest, leidke tõenäoseim kiirus. 87) Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage baromeetriline valem. h dh p dp p V m R T m p V R T
lihtsustub kujule P( A | H i ) P( H i | A ) = k P( A | H j =1 j ) kuna hüpoteesi tõenäosust väljendava teguri saame võtta summa märgi ette ja taandada. 6 3. Bernoull'i valem n sõltumatut katset, igal katsel on sündmuse A toimumise tõenäosus P(A)=p. Tõenäosus, et sündmus toimub m korda on: Pm ,n = C nm p m (1 - p ) n-m Sündmuse tõenäoseim toimumiste arv m0: (n + 1) p - 1 m0 (n + 1) p Väga paljudes protsessides rakendatav valem aga probleem, et suurte m ja n korral arvutada kas tülikas või pole üldse võimalik (proovige taskuarvutil leida 100!). Kui n on kombinatsioonide arvutamiseks väga suur on hiljem näidatud viisid, kuidas taandada teistele valemitele (jaotustele). Ülesanne: Kuuseistiku kasvamaminemise tõenäosus on 0.8. Kui suur on tõenäosus, et 10 -st istikust läheb kasvama
ϰ- kapa ϰ= c v = i 29.Maxwell’i jaotus. Maxwelli jaotus on diferentsiaalne jaotusfunktsioon, mis väljendab mingi kiirusega osakeste suhtelist hulka. (Maxwelli jaotus pole leitud katsest, vaid tuletatud matemaatiliselt) f(v,T) näitab, missugune osa kõigist molekulidest liigub antud kiiruse v juures võetud ühikvahemikus.vk-keskmine kiirus, vt- tõenäoseim kiirus, vrk- ruutkeskmine kiirus. 2 −m v 2 f =A v * e 2 kT ∫fdv 30.Baromeetriline valem. mgh p p0 e RT Baromeetriline valem , p - rõhk mv 2
pinnale Maa ja Päikese keskmisel kaugusel. Solar constant the quantity of solar energy (W/m²) at normal incidence outside the atmosphere at the mean sun- earth distance. , (2530 ). Solaarkonstant Kuna Maa ja Päikese vaheline kaugus muutub tsükliliselt aasta jooksul Maa elliptilise orbiidi tõttu vahemikus 147 milj. km kuni 152 milj. km, kõigub ka solaarkonstandi väärtus. Solaarkonstandi keskmine väärtus on 1365 W/m². Solaarkonstant Tõenäoseim väärtus jääb vahemikku 1368 1377 W/m². Suurimad piirid 1322 1428 W/m². Atmosfääri energeetika Läbi atmosfääri tulles nõrgendavad kiirgusvoogu hajumine ja neeldumine. Hajumine tähendab, et kokkupõrgetel molekulidega või õhus leiduvate aerosoolidega kalduvad päikesekiirguse kvandid oma esialgsest suunast kõrvale. Osa neist jõuab maapinnani hajuskiirgusena, osa peegeldatakse tagasi. Scattering the process in which a beam of particles or of
P(Hi) =3/36*1/4/ P(B/H0)=0, i>=6 P(H1)=0 /1/2*1/6+3/36*1/4+3/6*36**1/8+1/36*36**1/16=29 P(H2)=1/36 6/6591 P(H3)=2/36 Märgi tabamise tõenäosus ühe lasuga on 0,7. Kui P(H4)=3/36 mitme lasu puhul on tõenäoseim märgi tabamiste P(H5)=4/36 arv 10? Lahendus: Bernoulli p=P(A)=0,7 P(¿ B / Hi) P(Hi) P10,nmax 5 P(B)= ∑ ¿ =4/6*1/36+3/6*2/36+2/6*3 10 kuulub hulka[n0,7-0,3;n0,7+0,7] {10>=0,7n-0.3 i=1
Tehke graafik. 88. Lähtudes ideaalse gaasi olekuvõrrandist, leidke seos isohoorilise protsessi oleku kirjeldamiseks. Tehke graafik. 89. Lähtudes ideaalse gaasi olekuvõrrandist, leidke seos isobaarilise protsessi oleku kirjeldamiseks. Tehke graafik. 90. Lähtudes joonisest, tuletage molekulaarkineetilise teooria põhivõrrand. n ruumalaühikus olevate gaasimolekulide arv 91. Lähtudes Maxwelli jaotusseadusest, leidke tõenäoseim kiirus. 92. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage baromeetriline valem. Rõhk kõrgusel h + dh on p + dp. Rõhkude p ja dp vahe on võrdne ühikulise põhjapindalaga silindris kõrgusega dh sisalduva gaasi rõhuga. Rõhk langeb kõrgusega seda kiiremini, mida raskem on gaas ja mida madalam on temperatuur. 93. Lähtudes alljärgnevatest seostest, tuletage Boltzmanni jaotusseadus. Ellimineerige ka gaasi universaalkonstant?
numbrist ja jääb kogu katseseeria jooksul muutumatuks. Selliseid sõltumatuid katseid, millel on ainult 2 võimalust nimetatakse Bernoulli katseks. Bernoulli katsete korral tõenäosus täh P ja vastandsünsmuse tõen q. P+q=1. Tõenäosuste binomiaalne valem – sõltumatute katsete korral pakub meile huvi järgmine sündmus, et ’’n katsel meid huvitav sündmus (sündmus A) toimub täpselt m korda’’. Pn(m)=n!/M!*(n-m)!*p astmel m*q astmel(n-m). 27. Tõenäoseim sagedus sõltumatutel katsetel – m*=täisosa(n*p- q+1) juhul kui valemis sulgudes oleva avaldise väärtus on täisarv, siis tõenäoseima sageduse väärtusi on kaks, avaldise väärtus ja temale eelnev täisarv. 28. Binoomjaotus – tekib sõltumatute katsete korral. Juhuslikuks suuruseks on meid huvitava sündmuse A toimumiste arv. Binoomjaotusega juhuslik suurus saab omada ainult täisarvulisi väärtusi, sest sündmuste toimumiste arv saab olla ainult täisarv
siseenergia mõõt 28, Maxwelli ja Boltzmanni jaotus Maxwell’i jaotus. Maxwelli jaotus on diferentsiaalne jaotusfunktsioon, mis väljendab mingi kiirusega osakeste suhtelist hulka. Graafik näitab, missuguse osa molekulidest liigub antud kiiruse juures. (Maxwelli jaotus pole leitud katsest, vaid tuletatud matemaatiliselt) f(v,T) näitab, missugune osa kõigist molekulidest liigub antud kiiruse v juures võetud ühikvahemikus. vk-keskmine kiirus, vt- tõenäoseim kiirus, 2 −m v 2 vrk- ruutkeskmine kiirus. f =A v * e 2 kT ∫fdv Baromeetriline valem. mgh p p0 e RT ᵨ
Jagades selle -ga läbi, avaldub jõud seinale (sest ), millest saab avaldada rõhu: See ongi molekulaarkineetilise teooria põhivõrrand. 91. Lähtudes Maxwelli jaotusseadusest, leidke tõenäoseim kiirus. ( ) molekulide hulk ruumiühikus, mille kiirused on vahemikus , molekulide hulk ruumiühikus, ühe mo- lekuli mass. Temperatuuri tõenäoseima kiiruse (Maxwelli jaotusseaduse maksimumi) saab leida suhte tuletise kaudu kii- ruse järgi, võrdsustades selle nulliga: ( ) ( ) ,*( ) + -
Need molekulid moodustavad vedeliku pinna kohal gaasilise keskkonna, mida nimetatakse auruks. Auru tekkimise eelduseks on vedela faasi olemasolu 26. Mis on auru kriitiline rõhk? -Kriitilise rõhu juures on aine samaaegselt nii vedelas faasis (vesi) kui ka gaasina (aur) 27. Millal kaob vedeliku piirpind selle kuumutamisel? -Kui jõuame kuumutamisel kriitilise temperatuurini (rõhul 218 atmosfääri ja temperatuuril 374oC), kus kaob erinevus vedela ja gaasilise faasi vahel. S.t et molekulide tõenäoseim kineetiline energia ületab molekulaarjõudude poolt määratud väljumistöö vedeliku pinda määravate jõudude mõju kaob ja koos sellega ka pind ise. Ehitusmaterjalid ja vesi 1.Milline tähtsus on niiskusel ehituses? -Niiskus on ehituses üks põhilisi probleemide allikaid (puidu biolagundamine, hallituskahjustusest põhjustatud terviseprobleemid, korrosioon, külmumis - sulamisest põhjustatud struktuursed kahjustused, siseviimistlusmaterjalide niiskuskahjustused)
tõenäosus, et 100 korda metsas käinut pole kordagi nõelatud; on nõelatud 2 korda; nõelati iga kord ? 1. P100,0 = C100 0,995 0,0050 0,606 0 100 2. P100,2 = C100 0,995 0,0052 0,076 2 98 3. P100,100 = C100 0,995 0,005 100 0 100 7,9 10231 Kui sündmuse toimumise tõenäosus on igal katsel p, siis tõenäoseim sündmuse esinemiste arv n katse korral rahuldab võrratust np – q n* np + p p Valem ! Jussike hilineb igasse matemaatika tundi tõenäosusega 0,15. Leiame tõenäoseima hilinemiste arvu õppeaasta jooksul (matemaatikat on 4 tundi nädalas). Õppeaastas on 35 õppenädalat, seega tunde n = 140. 140·0,15 – 0,85 n* 140·0,15 + 0,15 21 – 0,85 n* 21 + 0,15 Tõenäoseim hilinemiste arv on 21.
leige vesi, siis selle protsessi käigus energia kvaliteet langeb ja entroopia kasvab. Suletud süsteemis soojusliku protsessi tulemusena entroopia kasvab. Mida ühtlasemalt osakesed paiknevad, seda suurem on entroopia. Seos: Seega loodus sunnib meid tegema tööd entroopia suurenemise vastu ehk tegema tööd, et tõsta energia kvaliteeti, ehk et saada uuesti kuuma vett, peame seda kuumutama. Tõenäoseim jaotus" ja entroopia. Kujutame kahest võrdsest poolest koosnevat anumat, milles asub osakest. Tõenäosus, et mingi osake asub näiteks vasakpoolses ruumiosas, on 1/2. Sarnaste osakeste korral saame tõenäosuse, et vasakus pooles asub osakest, arvutada binoomjaotuse abil (nagu "kulli-kirja" probleemi puhul). Tõenäosus, et mõlemas pooles on ühepalju osakesi, on alati suurim ja mida rohkem on osakesi, seda väiksemaks jääb ebavõrdsete jaotuste tõenäosus. L
vaja väljaspoolt tulevat mõjutust Tänapäeval on termodünaamika suuresti ajalugu; (gaas tuleb tagasi pumbata). teoreetilistes uuringutes toetutakse rohkem molekulaarfüüsikale koos kvantteooria elementidega. Et aga termodünaamika lubab lihtsate teisenduste abil arvestada ka keemilist energiat, on paljud siinsed meetodid leidnudki tee keemiasse. Aga see on juba rohkem, kui üldfüüsikale kohane. "Tõenäoseim jaotus" ja entroopia. Kujutame kahest võrdsest poolest koosnevat anumat, milles asub osakest. Tõenäosus, et mingi osake asub näiteks vasakpoolses ruumiosas, on 1/2. Sarnaste osakeste korral saame tõenäosuse, et vasakus pooles asub osakest, arvutada binoomjaotuse abil (nagu "kulli-kirja" probleemi puhul. Arvutame näiteks tõenäosused mõnede väikeste -ide puhul: Tõenäosus, et mõlemas pooles on ühepalju osakesi, on alati suurim ja mida rohkem on osakesi, seda
annaabi.ee 
