Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Sirged ja tasandid ruumis Sin on vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe, tan vastaskaateti ja lähiskaateti suhe ning cos lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. Paralleelseteks sirgeteks nimetatakse kaht üht tasandil asuvat sirget, millel ei ole ühtki ühist punkti. Lõikuvateks sirgeteks nimetatakse kaht sirget, millel on üks ühine punkt. Kiivsirgeteks nimetatakse kaht mitteparalleelset sirget ruumis, mis ei oma ühiseid punkte (s t)
Kujutava geomeetria kordamisküsimused 1. Mis vahe on paralleel- ja tsentraalprojekteerimisel? Tsentraalprojekteerimisel lähtuvad kujutamiskiired kõik ühest punktist, paralleelprojekteerimisel on kujutamiskiired paralleelsed ja neil on ühine siht. 2. Kuidas jaguneb paralleelprojektsioon ja mille poolest need alaliigid üksteisest erinevad? Paralleel projektsioon jaguneb kaldprojektsiooniks ja ristprojektsiooniks. Kaldprojektsiooni puhul langevad projekteerimiskiired tasapinnale kaldu, ristprojekteerimisel langevad projekteerimiskiired ekraanile risti. 3. Mis juhtumitel sirgjoone projektsiooniks on punkt? Kui sirgjoon ühtib projekteeritavate kiirtega (kujutamiskiirtega). 4. Mis juhtumil tasandilise kujundi projektsiooniks tuleb sirglõik? Kui tasandilist kujundit projekteerivad kiired asetsevad kõik kujundi tasandis. 5
Kujutava geomeetria kordamisküsimused: 1. Mis vahe on paralleel- ja tsentraalprojekteerimisel? Tsentraalprojekteerimisel lähtuvad kujutamiskiired kõik ühest punktist, paralleelprojekteerimisel on kujutamiskiired paralleelsed ja neil on ühine siht. 2. Kuidas jaguneb paralleelprojektsioon ja mille poolest need alaliigid üksteisest erinevad? Paralleel projektsioon jaguneb kaldprojektsiooniks ja ristprojektsiooniks. Kaldprojektsiooni puhul langevad projekteerimiskiired tasapinnale kaldu, ristprojekteerimisel langevad projekteerimiskiired ekraanile risti. 3. Mis juhtumitel sirgjoone projektsiooniks on punkt? Kui sirgjoon ühtib projekteeritavate kiirtega (kujutamiskiirtega). 4. Mis juhtumil tasandilise kujundi projektsiooniks tuleb sirglõik? Kui tasandilist kujundit projekteerivad kiired asetsevad kõik kujundi tasandis. 5
kas kiired langevad ekraanile kaldu või risti.
3. Mis juhtumil sirgjoone projektsiooniks tuleb punkt?
Siis kui ta ühtib kujutamiskiirega
4. Mis juhtumil tasapinnalise kujundi paralleelprojektsiooniks tuleb sirglõik?
Kui tasandilist kujundit projekteerivad kiired asetsevad kõik kujundi tasandis , siis see kujund
projekteerub sirglõiguks.
5. Mis on sirglõigu moondetegur?
Sirglõigu moondetegur näitab, mitu korda on lõigu projektsiooni pikkus tegelikust pikkusest
väiksem.
6. Millistes piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur:
a)ristprojekteerimisel
b)paralleelprojekteerimisel
1)Ristprojekteerimisel
0→1
2)Paralleelprojekteerimisel
0->∞ olenevalt kujutamiskiirte, ekraani ja lõigu vastastikustest asenditest.
7. Mis on sirglõigu põhikaldenurk (esikaldenurk) ja kuidas selle suurust
määratakse?
Sirglõigu kaldenurgaks ekraani suhtes nimetatakse teravnurka (0
pealtvaate pikkus ja lõigu otspunktide põhikvootide vahe või lõigu eestvaate pikkus ja lõigu otspunktide esikvootide vahe. 9. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja tõelise pikkuse kaudu? Sirglõigu ristprojektsiooni pikkus võrdub lõigu enda pikkuse ja kaldenurga koosinuse korrutisega. 10. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub ristprojekteerimisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne, teine haar pole aga ekraaniga risti. 11. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? 0180° 12. Mis kujundiks projekteerub ring paralleelprojekteerimisel, kui ta on paralleelne kiirtega (paralleelne ekraaniga)? Ring projekteerub paralleelprojekteerimisel sirglõiguks, kui ta on paralleelne kiirtega (ringiks, ellipsiks, kui ta on paralleelne ekraaniga) 13. Nimetage objekti määravate jooniste saamise põhilised meetodid.
Kaks tasandit ruumis Kaks tasandit ruumis võivad olla paralleelsed või mitteparalleelsed. Kaht tasandit ja nimetatakse paralleelseteks ja tähistatakse sümboliga ||, kui neil ei ole ühtegi ühist punkti. Tasandite lõikesirge: kui kaks tasandit omavad ühiseid punkte, siis on neid lõpmatult palju ja nad kuuluvad kõik ühisele sirgele. Mitteparalleelseid tasandeid nimetatakse lõikuvateks. Seda, et tasandid ja lõikuvad mööda sirget s, tähistatakse sümboliga =s. Tasandite paralleelsuse tunnus: kui ühe tasandi kaks lõikuvat sirget on paralleelsed teise tasandiga, siis on need tasandid paralleelsed. Kahe paralleelse tasandi vaheliseks kauguseks on nende ühisel normaalil asuva tasandite vahelise lõigu pikkus. Kahe tasandi vaheliseks nurgaks nimetatakse nende tasandite lõikesirgele joonestatud selliste lõikesirgega ristuvate sirgete vahelist nurka, millest üks asub ühel, teine teasel
a) paralleelne kiirtega projekteerub sirglõiguks b) paralleelne ekraaniga kaldprojektsioonis projekteerub ellipsiks ja ristprojektsioonis ringiks 10) Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse kaudu? Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena. 11) Mis on sirglõigu kaldenurk? Nurk lõigu tegeliku pikkuse ja lõigu projektsiooni pikkuse vahel. 12) Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? 0 180. 13) Avaldada sirglõigu pikkus a, kui on teada tema paralleelprojektsiooni pikkus a' ja moondetegur m. 14) Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub ristprojektsioonis täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne, ja teine haar ei ole ekraaniga risti. 15) Missugustele nõuetele peavad joonised vastama?
Mteülesanded on geomeetriliste kujundite kauguste ja nende telise suuruse leidmine. Konstruktiivsete ülesannete sisuks on etteantud tingimustele vastavate geomeetriliste kujundite (nende kujutised joonisel) loomine. Kasutatud on järgmisi tähiseid: A,B,C,....; 1,2,3,... - ruumipunktid; a,b,c,.... - jooned; ,,,....,,,.... - nurgad; pinnad; a || b - paralleelsus (sirge a on paralleelne sirgega b); a×b - likumine ( sirge a likub sirgega b); cd - ristseis (sirge c on risti sirgega d); Aa - kuuluvus (joon a läbib punkti A); a - - - ( joon a asub pinnal ); - identsus; ühtimine; - järeldus; - täisnurk. 1 PROJEKTEERIMINE
1. Mis vahe on paralleel ja tsentraal ristprojektsioonis täisnurgaks, kui tema üks projekteerimisel? Tsentraal projekteerimisel haar asetseb tasandil või on sellega lähtuvad kujutamiskiired kõik ühest paralleelne ja teine haar ei ole ekraaniga punktist, paralleel projekteerimisel on risti. kujutamiskiired paralleelsed ja neil on ühine 11. Millistes piirides võib muutuda teravnurga siht. ristprojektsiooni suurus? 0<<180. 2. Kuidas jaguneb paralleel projektsioon ja 12. Mis kujundiks projekteerub ring paralleel mille poolest need alaliigid üksteisest projekteerimisel, kui ta on paralleelne erinevad
40. Kas kahe paralleelse sirge paralleelprojektsioonid võivad olla lõikuvad? * Ei, sest paralleelsete sirgete paralleelprojektsioonid on üldjuhul jälle paralleelsed sirged; erijuhtudel punktikujulised või ühine joonkujutis 41. Nimetage kõik tasapinna määramisvõimalused. * 1) kolme punktiga, mis ei asetse sirgel, * 2) punkti ja sirgega, kui sirge ei läbi seda punkti, * 3) kahe lõikuva sirgega, * 4) kahe paralleelse sirgega. 42. Missugust tasapinda nimetatakse üldasendiliseks (eriasendiliseks)? * 1)Üldasendiline tasapind ei ole paralleelne mitte ühegi ekraaniga * 2) Eriasendiline tasapind on risti vähemalt ühe ekraaniga 43. Mis on tasapinna jälgjoon? * Tasandi ja ekraani lõikejoon 44. Joonestada lõik AB, mis asub tasapinnal (p; e). * B'' e x A''
12. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? võib olla nurga asendist tingitult vahemikus 0180. 13. Avaldada sirglõigu pikkus a, kui on teada tema paralleelprojektsiooni pikkus a' ja moondetegur m. a = a´/m 14. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub ristprojekteerimisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne, teine haar aga pole ekraaniga risti. 15. Missugustele nõuetele peavad joonised vastama? Joonised peavad olema objekti määravad. ST et peavad määrama üheselt objekti kõik omadused (lihtsus, mõõdetavus, piltlikus) 16. Nimetage objekti määravate jooniste saamise põhilised meetodid. Monge`i meetod (kaksvaadeobj. Määramiseks kasutatakse selle obj. 2 ristprojektsiooni teineteisega ristuvaltel ekraanidel. kvooditud ristprojektsiooni meetod (antakse obj
Tasandi normaalvektoriks nim iga vektorit, mis on risti tasandiga. Tasand on I järku algebraline pind. Kui tasandi võrrandis A=0, siis tasand on risti y-z tasandiga. Kui B=0, siis risti x-z tasandiga. Kui C=0, siis risti x-y tasandiga. Kui D=0, siis tasand läbib koordinaatide alguspunkti. Kui A=B=0, siis tasand on paralleelne x-y tasandiga. Kui A=D=0, siis tasand läbib x-telge. Tasandi võrrand telglõikudes Punkti Po(xo; yo; zo) kaugus tasandist Ax+By+Cz+D=0 Kahe tasandi vastastikused asendid Olgu 2 tasandit : A1x+B1y+C1z+D1=0; ja tema normaalvektor : A2x+B2y+C2z+D2=0; ja tema normaalvektor Ühtivad tasandid = Paralleelsed tasandid || Lõikuvad tasandid =l Tasandid on risti kui Nurk tasandite vahel Sirge ruumis Sirge sihivektoriks nim iga vektorit, mis on paralleelne sirgega. Sirge kanooniline võrrand Vaatleme sirget, mis läbib punkti Mo(xo;yo;zo) ja sihivektor on . Valime sirgel
1. Mis vahe on tsentraal- ja paralleelprojekteerimise vahel? Tsentraalprojekteerimisel lähtuvad kujutamiskiired kõik ühest punktist (tsentrist S). Paralleelprojekteerimisel on kujutamiskiired omavahel paralleelsed. Silmapunkt on viidud lõpmata kaugele ja selle asemel antakse paralleelprojekteerimisel ette kujutamiskiirte siht k, mis ei tohi olla paralleelne ekraaniga. 2. Kuidas jaguneb paralleelprojektsioon ja mille poolest need projektsioonid üksiteisest erinevad? Paralleel projektsioon jaguneb kaldprojektsiooniks ja ristprojektsiooniks. Kaldprojektsiooni puhul langevad projekteerimis kiired tasapinnale kaldu. Ristprojekteerimisel langevad projekteerimiskiired ekraanile risti. 3. Mis juhtumil sirgjoone projektsiooniks tuleb punkt? Erijuhul, kui sirgjoon ühtib projekteeritavate kiirtega. (x s) 4. Mis juhtumil tasapinnalise kujundi paralleelprojektsiooniks tuleb sirglõik? Kui tasandilist kujundit projekteerivad kiired asetsevad kõik kujundi tasandis. 5
1. Mis vahe on tsentraal- ja paralleelprojekteerimise vahel? Tsentraalprojekteerimisel lähtuvad kujutamiskiired kõik ühest punktist (tsentrist S). Paralleelprojekteerimisel on kujutamiskiired omavahel paralleelsed. Silmapunkt on viidud lõpmata kaugele ja selle asemel antakse paralleelprojekteerimisel ette kujutamiskiirte siht k, mis ei tohi olla paralleelne ekraaniga. 2. Kuidas jaguneb paralleelprojektsioon ja mille poolest need projektsioonid üksiteisest erinevad? Paralleel projektsioon jaguneb kaldprojektsiooniks ja ristprojektsiooniks. Kaldprojektsiooni puhul langevad projekteerimis kiired tasapinnale kaldu. Ristprojekteerimisel langevad projekteerimiskiired ekraanile risti. 3. Mis juhtumil sirgjoone projektsiooniks tuleb punkt? Erijuhul, kui sirgjoon ühtib projekteeritavate kiirtega. (x s) 4. Mis juhtumil tasapinnalise kujundi paralleelprojektsiooniks tuleb sirglõik? Kui tasandilist kujundit projekteerivad kiired asetsevad kõik kujundi tasandis. 5
pikkuse kaudu? Lõigu tõelise pikkuse ja tema kaldenurga koosinuse korrutisena 9. Mis on sirglõigu kaldenurk? Sirglõigu kaldenurk on teravnurk ekraani (sirge projektsiooni) ja sirge vahel 10. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? Vahemikus 0 180 11. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub ristprojektsioonis täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb tasandil või on sellega paralleelne ja teine haar ei ole ekraaniga risti. 12. Missugustele nõuetele peavad joonised vastama? Jooniselt nõutakse kolme omadust: lihtsust, mõõdetavust ja piltlikkust. 1) Kujutis on seda lihtsam, mida vähem jooni ta sisaldab ja mida lihtsamad need jooned on. 2) Kujutis on seda piltlikum, mida hõlpsamalt me tema järgi objekti ära tunneme.
2) leiame sellise punkti C E, et BC y; 3) + y = z :=AC. Vektori pikkus Tähistame | | ning nimetatakse suvalise seotud vektori pikkust. Kollineaarsed(1), samasuunalised(2) ja vastassuunalised vektorid(3) 1) 2) 3) Reaalarvu ja vektori korrutis - Reaalarvu ja vektori korrutiseks nimetatakse vektorit, mis määratakse tingimustega 1. | | = | || |, 2. ( ) , kui > 0, ( ) , kui < 0. Punkti projektsioon sirgel s paralleelselt sirgega l või tasandiga Punkti X' nimetame punkti X projektsiooniks sirgel s paralleelselt sirgega l (tasandiga ). Vektori projektsioonivektor teise vektori sihile paralleelselt sirgega l või (tasandiga ) Vektori x = XY projektsioonivektoriks vektori a sihile paralleelselt sirgega l (tasandiga ) nim. vektorit Pra x (|| l ) = X Y ( Pra x (|| ) = X Y ), kus X (Y ) on punkti X (Y) projektsioon
omavahel paralleelsed. Silmapunkt lõpmata kaugel. 2. Paralleelprojektsioon jaguneb kald- ja ristprojektsiooniks. Need erinevad üksteisest kujutamiskiirte ekraanile langemise nurga poolest. 3. Sirgjoone projektsiooniks tuleb erijuhul punkt, siis kui sirge ühtib kujutamiskiirega. 4. Tasapinnalise kujundi paralleelprojektsiooniks tuleb sirglõik juhul, kui teda projekteerivad kiired asetsevad kõik kujundi tasapinnas. 5. Sirglõigu moondetegur näitab mitu korda on lõigu projektsiooni pikkus lõigu tegelikust pikkusest väiksem. Sirgjoone paralleelprojektsiooni pikkus Sirglõigu tegelik pikkus 6. Ristprojekteerimisel loetakse moondetegur üheks, täpne suurus 0,82. Paralleelprojekteerimisel üldiselt võib moondetegur muutuda vahemikus (0; ) 7. Kui ring on paralleelne kiirtega, projekteerub ta sirgeks.Kui ring on paralleelne ekraaniga, prjekteerub ta ringiks. 8
Moodul: a a . 1 Lineaartehete omadused: a b b a , kommutatiivsus a b c a b c , assotsiatiivsus k1 k2 a k1k2 a , k1 k2 a k1a k2a , k a b ka kb . VEKTORI PROJEKTSIOON TELJEL Definitsioon. Punkti A projektsiooniks sirgele l nimetatakse punkti A1, milles sirge l lõikub tasandiga, mis läbib punkti A ja on risti sirgega l. Olgu AB a suvaline vektor. Tähistame A1 -ga vektori AB alguspunkti A projektsiooni teljel l . Tähistame B1 -ga vektori AB lõpp-punkti B projektsiooni teljel l .
omadused. 17. Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Sirge üldvõrrand ja normaalvektor, normaalvektori koordinaadid üldvõrrandist. Punkti kaugus sirgeni, selle leidmise valem tasandilise sirge korral. Tasandi vektorvõrrand ja parameetrilised võrrandid, tasandi üldvõrrand, tasandi normaalvektor, tema seos tasandi üldvõrrandiga, tasandi normaalvõrrand ja selle kordajate ja vabaliikme geomeetriline tõlgendus. Punkti kauguse arvutamine tasandist. Nurg kahe sirge vahel. Tema arvutamisvalem taandatud kujul antud sirgete jaoks. Nurk kahe tasandi vahel. Nurk sirge ja tasandi vahel. 18. Ringjoone definitsioon ja võrrand. Ellipsi definitsioon ja kanooniline võrrand. Ellipsi fookused. Ellipsi ekstsentrilisus ja juhtjooned. Ellipsi optiline omadus. Hüperbooli definitsioon ja kanooniline võrrand. Hüperbooli fookused, harud, ekstsentrilisus. Hüperbooli kaldasümptoodid ja juhtjooned. Hüperbooli alternatiivne definitsioon
Joonestamise kordamisküsimused 30-79 30. Mis on tasapinna jälgjoon? Tasandi ja ekraani lõikejoon 31. Sõnastage sirge tasapinnal asetsemise tingimused. · Sirge on tasandil, kui tema kaks punkti on sellel tasandil. · Kui ta läbib tasandi punkti ning on paralleelne tasandil asetseva sirgega. 32. Mis on tasapinna horisontaal (frontaal) ja mis on tema tunnus kaksvaatel? Tasandi horisontaaliks nim sirget, mis asetseb sellel tasandil ning on paralleelne põhiekraaniga, tunnus: h''||x ja h'||p. Tasandi frontaaliks nim sirget, mis asetseb sellel tasandil ja on paralleelne esiekraaniga, tunnus: f'||x ja f''||e. 33. Mis on originaalvorm? Originaalvorm on objekti kujutis tegelike mõõtmetega. 34. Mis on tasapinna põhilangusjoon (esilangusjoon) ja mis on tema tunnus kaksvaatel?
KORDAMISKÜSIMUSED 1. Mis on kujutava geomeetria esimeseks ja olulisimaks eesmärgiks? Kujutava geomeetria esimeseks ja olulisemaks eesmärgiks on teoreetiliste aluste andmine jooniste valmistamiseks ja lugemiseks. 2. Mis vahe on tsentraal- ja paralleelprojekteerimise vahel? Tsentraal projektsiooni puhul on silmapunkt lähedal. Ning kujutamiskiired lähtuvad kõik ühest punktist S. Paralleelprojektsiooni (on tsentraalprojektsiooni eriliik) korral on silmapunkt lõpmata kaugel. Ja kujutamiskiired on omavahel paralleelsed. 3. Kuidas jaguneb paralleelprojektsioon ja mille poolest need projektsioonid üksteisest erinevad? Paralleelprojektsioon jaguneb: Ristprojektsioon ja Kaldprojektsioon. Ristprojektsiooni korral on kujutamiskiired risti ekraaniga,
8. Kuidas avaldub sirglõigu ristprojektsiooni pikkus selle lõigu kaldenurga ja pikkuse vahel? Ristlõigu ristprojektsiooni pikkus= enda pikkus korrutada kaldenurga koosinusega. 9. Mis on sirglõigu kaldenurk? Terav nurk sirglõigu ja tema ristprojektsiooni vahel. 10. Millistes piirides võib muutuda tervanurga ristprojektsiooni suurus? 0 kraadi kuni 180. 11. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub ristprojekteerimisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne teine haar aga pole ekraaniga risti. 12. Missugustele nõuetele peavad joonised vastama? Joonis peab olema võimalikult lihtne, mõõdetav ja piltlik. 13.Nimetage objekti määravate jooniste saamise põhilised meetodid. Monge´i meetod, aksonomeetria, kvooditud ristprojektsioon. 14. Missugustele koordinaatlõikudele vastavad põhi-, esi- ja külgkvoot? Põhikvoot z-koordinaatlõik, esikvoot y-koordinaatlõik, külgkvoot x-koordinaatlõik. 15
punkt. Niisuguse ringjoone võrrand on (x-a)² + (y-b)² = r² Joonte parameetrilised võrrandid Joone parameetrilisteks võrranditeks ruumis nim võrandeid kujul x=x(t) y=y(t) z=z(t) kui esimene võrrand esitab x-i t-funktsioonina, teine võrrand esitab y-i ja kolmas z-i muutuja funktsioonina. Muutujat t nim parametriks. Tasandil nim joone parameetrilisteks võrranditeks võrrandeid x=x(t) y=y(t) Sirge parameetrilised võrrandid Sirge on täielikult määratud kui on teada nullist erinev sirgega paralleelne vektor, nn sirge sihivektor s ja üks punkt M1 sirgel. M on meelevaldne punkt sirgel, siis OM1=r1 ja OM=r. Punktid M1 ja M määravad vektori M1M=r-r1. See vektor on paralleelne sihivektoriga. Võrrand r-r1=st on sirge parameetriline võrrand vektorkujul. Võrrandit y= kx+b nim sirge võrrandiks tõusu ja algordinaadi järgi. Siin arv k on sirge tõus ehk x-telje positiivse suuna ja sirge vahelise nurga tangens. Arvu b nim sirge algordinaadiks
b) Kui paralleelsedsirged l6ikavad nurga m6isteteselgitamisekdigus. haarasid,siis l6igud, milleksparalleelid jaotavadnurga 0he haara,on v6rdelised l6ikudega, milleks nad jaotavad nurga teisehaara. c) Sirgjoonja tasand on paralleelsed,kui {. PROJEKTEERIMINE tasandilleidub antud sirgegaparalleelne sirge. 1.1 Projekteerimiseolemus.Projektsiooni d) Kaks tasandit on paralleelsed,kui tihe m6iste tasandikahel l6ikuvalsirgelon kummalgi oma paralleelteiseltasandil. Projekteerimineon geomeetriline toiming, e) Sirgjoonja tasandon teineteisega risti,kui millesosalevad tasandilleidubkaksl6ikuvatsirget,mis on - kujutatavese ehk obiekt; ristiantudsirgega. - projekteerivad kiiredehk kuiutamiskiired; 0 lga punktildbibUksainusantudtasapinna
kas kiired langevad ekraanile kaldu või risti. 3. Mis juhtumil sirgjoone projektsiooniks tuleb punkt? Sirge projekteerub punktiks, kui ta ühtib kujutamiskiirega. 4. Mis juhtumil tasapinnalise kujundi paralleelprojektsiooniks tuleb sirglõik? Kui tasandilist kujundit projekteerivad kiired asetsevad kõik kujundi tasandis, siis see kujund projekteerub sirglõiguks. 5. Mis on sirglõigu moondetegur? Sirglõigu moondetegur näitab, mitu korda on lõigu projektsiooni pikkus tegelikust pikkusest väiksem. 6. Millistes piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur 1) ristprojekteerimisel? ei saa olla lõigust enesest pikem seega 0->1. 2) paralleelprojekteerimisel? 0-> olenevalt kujutamiskiirte, ekraani ja lõigu vastastikustest asenditest. 7. Mis kujundiks projekteerub paralleelprojekteerimisel ring, kui ta on: 1) paralleelne kiirtega? kahekordseks sirglõiguks. 2) paralleelne ekraaniga? ringiks. 8
kaudu? Avaldub kaldenurga cos ja lõigu tegeliku pikkuse korrutisena 9. Mis on sirglõigu kaldenurk? Ekraani suhtes on teravnurk ( ka O ja 90) selle sirgjoone ja tema ristprojektsiooni vahel 10. Millistes piirides võib muutuda teravnurga ristprojektsiooni suurus? Võib olla nurga asendist tingitult vahemikus 0-180 11. Sõnastage lause täisnurga ristprojektsiooni kohta. Täisnurk projekteerub ristprojekteerimisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne, teine haar aga pole ekraaniga risti. 12. Missugustel nõuetel peavad jooniseid vastama? Joonised peavad olema objekti määravad. ST et peavad määrama üheselt objekti kõik omadused(lihtsus, mõõdetavus, piltlikus) 13. Nimetage objekti määravate jooniste saamise põhilised meetodid. Monge'i meetod- kaksvaate objekti määramiseks kasutatakse selle objekti 2 ristprojektsiooni teineteisega ristuvatel ekraanidel
Üldasendilisel sirgel on kolm jälge: *lõikepunkt põhiekraaniga -põhijälgpunkt *esiekraaniga- esijälgpunkt *külgjälg- külgjälgpunkt Põhijälg ja tema pealtvaade asetsevad põhiekraanil ja sirge pealtvaatel, põhijälje eestvaade aga x-teljel ja sirge eestvaatel. Esijälg ja tema eestvaade asetsevad esiekraanil ja sirge eestvaatel, esijälje pealtvaade aga x-teljel ja sirge pealtvaatel. Üldasendiline sirge Üldasendiline sirge ei ole paralleelne ühegi ekraaniga ega asetse sellel. Tunnus: kõik 3 sirge projektsiooni on kaldu ekraanide suhtes. Sirglõigu ristprojektsioonid on sirglõigust enesest lühemad. Sirgjoone kaldenurgad ei esine üheski vaates õiges suunas. Eriasendiline sirge Eriasendiline sirge on paralleelne ühe (või kahe) ekraaniga või asetseb mõnel neist. Tunnus: sirge kolmest kporjektsioonist on kaks paralleelsed mõne teiljega või ühtivad sellega. Sirglõigu pikkus ja kaldenurgad esinevad mõnes vaates oma tegelikus suuruses.
Üldasendilisel sirgel on kolm jälge: *lõikepunkt põhiekraaniga -põhijälgpunkt *esiekraaniga- esijälgpunkt *külgjälg- külgjälgpunkt Põhijälg ja tema pealtvaade asetsevad põhiekraanil ja sirge pealtvaatel, põhijälje eestvaade aga x-teljel ja sirge eestvaatel. Esijälg ja tema eestvaade asetsevad esiekraanil ja sirge eestvaatel, esijälje pealtvaade aga x-teljel ja sirge pealtvaatel. Üldasendiline sirge Üldasendiline sirge ei ole paralleelne ühegi ekraaniga ega asetse sellel. Tunnus: kõik 3 sirge projektsiooni on kaldu ekraanide suhtes. Sirglõigu ristprojektsioonid on sirglõigust enesest lühemad. Sirgjoone kaldenurgad ei esine üheski vaates õiges suunas. Eriasendiline sirge Eriasendiline sirge on paralleelne ühe (või kahe) ekraaniga või asetseb mõnel neist. Tunnus: sirge kolmest kporjektsioonist on kaks paralleelsed mõne teiljega või ühtivad sellega. Sirglõigu pikkus ja kaldenurgad esinevad mõnes vaates oma tegelikus suuruses.
Kui A2=0, siis sirge s on paralleelne või ühtub y-teljega. Paralleelsus realiseerub A3 ≠ 0 korral ja ühtumine 0 ∈ s ehk A3=0 korral Kui A1=0, siis sirge s on paralleelne või ühtub x-teljega 86.Tasandi võrrandid – Kolmemõõtmelises eukleidililses ruumis R3 on tasandi võrrand viidav alati kujule ax+ by+ cz+ d =0, kus D= - Ax0- By0 – Cz0 87.Tasandi riht- Riht on eukleidilises ja afiinses geomeetrias tasandite paralleelsust iseloomustav mõiste: kahel tasandil on sama riht, kui nad on paralleelsed 88.Normaalvektor - Tasandi võrrand on normaalvektori abil esitatav r⃗ −⃗ r0 kujul, ⃗n ∙¿ )=0, kus on tasandil asetseva punkti kohavektor. See võrrand kehtib iga tasandi punkti jaoks. Seega, kui teame, et on mingi punkt tasandil, siis peab kehtima
Näiteks: a) antud on kaks punkti A(-4;3) ja B(2;-4); b) antud on punkt C(3;4) ja sirge tõus 1; c) antud on punkt D(2;-3) ja sirge tõusunurk 60 o ; r d) antud on punkt E(-4;-2) ja sihivektor s = (3;1) ; e) antud on punkt F(5;2) ja on teada, et sirge on paralleelne y-teljega; f) antud on punkt G(0;-4) ja on teada, et sirge on paralleelne x-teljega; g) sirge läbib punkti H(5;-4) ja on paralleelne sirgega y1 = 2 x - 3 ; h) sirge poolitab koordinaattasandi II ja IV veerandi; i) sirge poolitab koordinaattasandi I ja III veerandi. Saame järgmise joonise (vt joonis 5): Joonis 5 Märkame, et suudame sirgeid joonistada erinevate andmete järgi. Kas me suudame ka sirgete järgi võrrandid välja mõelda? Vaatleme saadud jooniseid ja püüame leida nende tõusud ning algordinaadid. Mõnel juhul see õnnestub hästi, mõnel juhul peame vastuse andma väga ligikaudselt
* Ei, sest paralleelseteslrgete paralleelprojektsloonldon Oldjuhulj~lIe paralleelsedsirged; erljuhtudel punktikujulised vol Ohlnejoonkujutls 41. Nlmetage Nlmetagekolk kolktasapinna tasapinnamaaramlsvolmalused, maaramlsvolmalused. * 1) kolme punktiga, mls el asetsesirgel, 2) punktl ja slrgega, kui sirge el labi seda punktf, 3) kahe loikuva sirgega, 4) kahe paralleelseslrgega, 42. Missugusttasapinda nlmetatakseOldasendillseks(erlasendiliseks)? * 1)Oldasendllinetasaplnd el ole paralleelnemltte Oheglekraanlga 2) Eriasendllinetasaplnd on rlstl vahemalt Oheekraaniga 43. Mis on tasaplnnajalgjoon? * Tasandlja ekraanl lolkejoon 44. Joonestada Joonestadaloik 16ikAB, AB,mls mlsasub asubtasaplnnal
tõestamisel vastab üks kindel positiivne arv-punktide A ja B vaheline kaugus AB 5)iga kahe punkti A ja B korral AB=BA 6)väljaspool sirget olevat punkti läbib ainult üks sirge, mis on paralleelne antud sirgega (paralleelide aksioom) 9.Teoreem - lause, mille tõesust saab Ül.596 põhjendada varem teada olevate tõdede Teoreem (kõrvunurkade omadus). abil Kõrvunurkade summa on 180°. Teoreem (tippnurkade omadus). NB kasutatakse teiste teoreemide Tippnurgad on võrdsed. tõestamisel Teoreem (3-ga jaguvuse tunnus).
määratakse. 23. Kolmnurga kõrgus - Kolmnurga kõrgus on alusele selle vastastipust joonestatud ristlõik ning ka selle ristlõigu pikkus. 24. Pythagorase teoreem - täisnurkses kolmnurgas kaatetite (a ja b) ruutude summa võrdub hüpotenuusi (c) ruuduga. Sellel teoreemil on kõige rohkem tõestusi maailmas (370). 25. Eukleidese teoreem - Teoreem väidab, et täisnurkse kolmnurga kaatet on hüpotenuusi ja hüpotenuusil võetud selle kaateti projektsiooni keskmine võrdeline. Tähistame täisnurkse kolmnurga kaatetid tähtedega a ja b ning hüpotenuusi tähega c. Hüpotenuusi aluseks võttes tõmbame kolmnurgale kõrguse. Kõrgusest ühele poole jääb nüüd kaateti a projektsioon mille tähistame a'. Kõrgusest teisele poole jääb kaateti b projektsioon, mille tähiseks võtame b'. Kehtivad seosed a2=ca' ; b2=cb'. 26. Tunnus KKK - Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
