Siinusfunktsioon on paaritu funktsioon. Siinusfunktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Siinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2(pii). Funktsiooni y=cosx määramispiirkonnaks on kogu reaalarvude hulk R. Koosinusfunktsioon on paarisfunktsioon, graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Koosinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2(pii). Tangensfunktsioon on paaritu funktsioon. Tangensfunktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Tangensfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga (pii). Arvu m arkussiinuseks nimetatakse vähimat nurka, mille siinus on m.
9. VÕNKUMISE LIIGID: vabavõnkumine (toimub süsteemiliste jõudude mõjul) ja sundvõnkumine (toimub välise perioodilise jõu mõjul). 10. VÕNKUMISI ISELOOMUSTAVAD SUURUSED võnkeperiood (1 täisvõnke kestvus), hälve (võnkuva keha kaugust tasakaaluasendist), võnkeamplituud ( maksimaalne hälve). 11. RESONANS omavõnkesagedus ja välisvõnkesagedus ühtivad, amplituud suureneb. (kiik) 12. HARMOONILINE VÕNKUMINE võnkumisi, mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni abil. 13. LAINED võnkumise edasikandumine ruumis. 14. RISTLAINE võnkumine toimub levimissihiga risti. (meri) 15. PIKILAINE - võnkumine toimub piki levimissihti. (heli) 16. INTERFERENS lainete liitumine. 17. DIFRAKTSIOON paindumine tõkke taha. (laev, vaal, kai)
HARMOONILINE VÕNKUMINE Harmooniline võnkumine ja võnkumise võrrand ◦ Võnkuvat liikumist esineb looduses kõikjal meie ümber ◦ Selleks et jõuda võnkumise võrrandini, vaatleme ringliikumist ◦ Kõiki selliseid võnkumisi, mida saab kirjeldada siinus- või koosinusfunktsiooni abil, nimetatakse harmoonilisteks võnkumisteks ◦ Siinusfunktsiooni argumendiks olevat suurust nimetatakse võnkumise faasiks (rad) ◦ Suurust ω, mis tiirlemise jaoks on nurkkiirus, nimetatakse võnkumise korral ring- ehk nurksageduseks ◦ Ringsageduse mõõtühik on 1 rad/s Võnkumise graafik ◦ võnkumise graafik näitab keha koordinaadi sõltuvust ajast ◦ Püstteljele kantakse koordinaat ehk võnkumise hälve ja horisontaalteljele aeg ◦ Võnkumise graafik annab liikumise kohta teavet Võnkumise energia
1.Mis toimub võnkumisel.Too näide. Võnkumisel kordub perioodiliselt liikumine. Näiteks kellapendli liikumine. 2.Võnkumise liigid.Näide. Vabavõnkumine, harmooniline võnkumine ja sundvõnkumine 3.Mis on vabavõnkumine.Näide. Sisejõudude mõjul toimuv võnkumine, pendli võnkumine niidi või vedru otsas 4.Mis tekitab sundvõnkumise. Perioodiliselt muutuv välisjõud, õmblusmasina nõel liigub üles-alla. 5.Võnkumist iseloomustavad suurused. Aeg, periood, võngete koguarv, sagedus, hälve, amplituut. 6.Lainepikkus def.tähis,ühik Kaugus kahe teineteisele lähima samas faasis võnkuva keha vahel. Tähis: . Ühik: m 7.Sagedus def.tähis,ühik Ajaühikus sooritatud täisvõngete arv. Tähis: f. Ühik: Hz 8.Periood def.tähis,ühik Ühe täisvõnke kestvus. Tähis: T. Ühik: s 9.Resonants mõiste sisu,näide Võnkeamplituudi saavutatud maksimaalseväärtus teatud sagedusel. Nt raadiosignaalide vastuvõtmine. 10.Mis on difraktsioon. Näide Nähtus, kus lained painduvad tõkete taha. Nt...
mootor vänta ringi ajab. Sumbumatu võnkumine Sumbumatu võnkumine on võnkumine, kus hõõrdumisel tehtavat tööd tuleb millegagi kompenseerida. Nt: · Kellapendlile annavad lisaenergiat vedru või pommid. Harmooniline võnkumine Harmoonilist võnkumist kirjeldab valem: x=r sin t Et võnkumise amplituud on võrdne ketta raadiusega ehk r=x0, saame valemi: x=x0 sin t Kõiki võnkumisi, mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni abil, nimetatakse harmoonilisteks võnkumisteks. Harmooniline võnkumine Võnkumisi iseloomustavad suurused · Ühe täisvõnke kestust nimetatakse võnkeperioodiks. · Võnkeperioodi tähis on T ja ühik sekund T=t/N T võnkeperiood sekund (s) t võngete koguaeg sekund (s) N võngete arv Võnkumisi iseloomustavad suurused · Ajaühikus sooritavate täisvõngete arv on võnkesagedus. f=1/T=N/t f sagedus herts (Hz)
vastupidises suunas. Voolutugevuse amplituudväärtuseks nimetatakse voolutugevuse maksimaalselt võimalikku väärtust. Tähis Im. Ka vahelduvvoolu puhul saab pendli võnkumist kirjeldada harmoonilise funktsiooniga. Kasutades koosinusfunktsiooni, alustatakse aja mõõtmist hetkel, mil voolutugevus on maksimaalne ( i=lm ). Sel juhul sõltub voolutugevuse hetkväärtus ajast kujul i= lm cos t, kuna alghetkel t=0 ja cos0 =1, siis i= lm . Siinusfunktsiooni korral algab mõõtmine hetkel, mil i=0. Voolutugevuse hetkväärtus avaldub siis kujul i=lm sin t ja t=0 korral (sin0 =0) same, et i=0. i= hetkväärtus lm = amplituudväärtus = ringsagedus t= faas Perioodilisest välisjõust tingitud võnkumisi nimetatakse sundvõnkumiseteks. Need võnkumised toimuvad välisjõu sagedusel. Faas näitab, millises seisundis võnkuv süsteem parajasti on. Ringsagedus näitab ajaühikus läbitavat faasnurka radiaanides.
Lainepikkus-lähim teekond samas võnkefaasis oleva kahe punkti vahel Monokromaatne valgus-sama lainepikkusega valguslainetest Laine periood T-aeg, mille jooksul valguse läbib ühe lainepikkuse Laine sagedus f-valguslaine täisvõngete arv ajaühikus Laine faas-määrab laine võnkeseisundi antud ajahetkel(siinusfunktsiooni argument) Lainefront-pind või joon, mis eraldab keskkonna, kuhu laine pole veel sattunud, keskkonnast, mille laine on läbinud Difraktsioon-lainete paindumine tõkete taha Interferents-lainete liitumine, mille tulemusel lained kas nõrgendavad või tugevdavad teineteist Koherentsed valgusallikad-valgusallikad, mille võnkesagedused on võrdsed ja faaside vahe jääv. Koherentsed lained-lained, mille võnkesagedus on võrdne ja faaside vahe jääv
16.Sundvõnkumine kui võnkumine toimub mingi välise perjoodilise jõu mõjul. 17. Hälve - võnkuva keha kaugus tasakaaluasendist. 18. Võnke amplituut suurim kaugus tasakaalu asendist ehk suurim hälve. 19. Resonants võnkeamplituudi järsku kasvamist perioodilise välismõju sageduse kokkulangemisel süsteemi vabavõnkumise sagedusega nimetatakse resonantsiks. 20. Harmooniline võnkumine kõik samasugused võnkumised, mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni abl. 21. Faas see nurk millest võnkumise võrandis võetakse siinus. 22. Ring ehk nurksagedus võnkesagetusega määratud suurus =2f 23. Laine front piir, kuhu veepinna häiritus esimese laine näol jõudnud on. 24. Ristlaine toimub võnkumine levimissihiga risti. 25. Pikkilaine toimub liikumine piki levimissihti. 26.Laine pikkus piki levimissihti mõõdetud lähimat vahekaugust kahe samas taktis võnkuva punkti vahel. 27
ax2 + bx + c = y ax2-kui kiirelt mingi muutus toimub (kuidas toimub) bx-protsessi algkiirus c-algkiirus y-lõppkiirus Minu ratta algkiirus+ ma sõidan ehk mu kiirus muutub + minu lõppvoorus kuhu ma valija jõudsin Kui kiirelt see muutus toimub + mitu marja sekundis muutub + algkogus marju korvis = saan lõppkoguse marju korvis Võnkumiste kirjeldamine matemaatiliselt: Harmooniliseks võnkumiseks ehk siinusvõnkumiseks nimetatakse mis tahes võnkumist, mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni või koosinusfunktsiooni abil ja sellise võnkumise võrrandit nimetatakse harmoonilise võnkumise võrrandiks. x = A sin x - hälve tasakaaluasendist A - maksimaalne hälve ehk võnkumise amplituud - võnkumise faas ( = t) kus x on hälve tasakaaluasendist, on nurkkiirus, t on aeg ning f on sagedus. Siinuse all paiknevat avaldist ( t) või (2 f t)-d nimetatakse faasiks.
Võnkeperiood on avaldatav valemiga: . Pendli võnkeperioodi sõltuvust vaba langemise kiirendusest kasutatakse vaba langemise kiirenduse täpseks mõõtmiseks erinevates kohtades Maa pinnal. Mõõtmistulemuste põhjal võib avastada ka rauamaagi, nafta, gaasi jt. maavarade leiukohti. Harmooniliseks võnkumiseks ehk siinusvõnkumiseks nimetatakse mis tahes võnkumist, mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni või koosinusfunktsiooni abil ja sellise võnkumise võrrandit nimetatakse harmoonilise võnkumise võrrandiks: x = A sin · x - hälve tasakaaluasendist · A - maksimaalne hälve ehk võnkumise amplituud · - võnkumise faas ( = t) kus x on hälve tasakaaluasendist, on nurkkiirus, t on aeg ning f on sagedus. Siinuse all paiknevat avaldist ( t) või (2 f t)-d nimetatakse faasiks.
A elemendid on ühtlasi hulga B elemendid. Seda asjaolu tähistatakse A B või A B. Alamhulgaks olemist nimetatakse sisalduvuseks ja asjaolu A B kohta öeldakse ka, et hulk A sisaldub hulgas B. Hulkade vahelist binaarset seost nimetatakse seetõttu sisalduvusseoseks. · Harmooniline võnkumine- Harmooniliseks võnkumiseks ehk siinusvõnkumiseks nimetatakse mis tahes võnkumist, mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni või koosinusfunktsiooni abil ja sellise võnkumise võrrandit nimetatakse harmoonilise võnkumise võrrandiks: x = A sin · Lõik- Lõik ehk sirglõik on sirge kaht punkti A ja B ühendav osa, punktid A ja B kaasa arvatud. Seda lõiku tähistatakse AB.[1] Punkte A ja B nimetatakse lõigu otspunktideks. Jordani maatriks- Jordani maatriksiks nimetatakse blokk- diagonaalset maatriksit, mis koosneb Jordani kastidest. Jordani
lainefront - piir, kuhu lainetus esimese laine nol judnud on. ringjooneline liikumine - liikumine, mis toimub ringjooneliselt. hlve - vnkuva keha kaugus tasakaaluasendist tisvnge - vnkuva keha liikumine hest amplituud asendist teise ja tagasi. periood - tisvnkeks kulunud aeg vaba vnkumine - vnkumine, mis toimub ilma vlise ju mjuta. laine pikkus - piki levimissihti mdetud vhim vahekaugus kahe samas taktis vnkuva punkti vahel. harmooniline vnkumine - kik vnkumised mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni abil. 2) nurkkiirus - kiirus, mis nitab nurga muutumist mingi aja jooksul. w=f/t w - nurkkiirus | f - prdenurk.| t -. aeg joonekiirus - on ringiliikumisel lbitud teepikkuse ja liikumisaja suhe. V=l/t | v- joonkiirus|l-teepikkus|t-aeg radiaan - on selline kesknurk, mis vastab ringjoone kaarele, mille pikkus on vrdne selle ringjoone raadiusega. sagedus - sageduseks nim vnkeperioodi prdvrtus, nitab hes sekundis tehtud tisvngete arvu. f=1/T f=sagedus ja T-tisvnge
Tähis:N ,ühik:t .T= .Võnkeamplituut- Suurim kaugus tasakaaluasendist ehk maksimaalne hälve.Tähis.x0 , ühik:m. Resorants- Võnkeamplituudi järsku kasvamist perioodilise välismõju sageduse kokkulangemisel süsteemi vabavõnkumise sagedus. Nähtuse tekkimise tingimuseks on sageduste võrdsust.N: bussis . Kui hirmsasti ,,miski" plärisema hakkab,Siis ongi tegemist resonantsiga. Harmooniline võnkumine-Kõiki samasuguseid võnkumisi, mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni abil. Lainefront-Piiri , kuhu veepinna häiritus esimese laine näol jõudnud on.Lainepikkus- Piki levimissihti mõõdetud vähim kaugus , kahe samas taktis võnkuva punkti vahel.Tähis: lambda. Interferents-Mitmete lainete liikumine.Difraktsioon-Nähtus, kus lained painduvad tõkete taha. N:Ekraani taga , levivad lained. Huygensi printsiip-seisneb järgmises: kk. iga punkt , milleni laine on jõudnud, on ise uue elementaarlaine allikaks.
Periood T ja sagedus f on pöördväärtused: T=1/f ehk f=1/T. Ring- e nurksagedus on võrdne täisvõngete arvuga 2 sekundi jooksul (). Kehtib seos = 2f. Hälve on võnkuva keha kaugus tasakaaluasendist (x). Võnkeamplituut-suurim kaugus tasakaaluasendist e. max hälve. Reasonants-kui perioodilise välismõju ja süsteemi vabade võnkumiste sageduse kokkilangemisel kasvab võnkeamplituud järsult. Harmooniline võnkumine- võnkumine, mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni abil x=x0sint Võnkefaas on suurus, mis määrab keha võnkeoleku (kauguse ajaühikust) mistahes ajamomendil. Ringsagedus-Võnkesagedusega määratud suurus =2f on võnkumise ring-e nurksagedus. Faas- rad ringsagedus rad/s. Mehaaniliseks laineks nim võnkumiste levimist elastses keskkonnas. Laine levimisel ei kandu keskkonna osakesed lainega kaasa, vaid ainult võnguvad oma tasakaaluasendi ümber. Lainefront-piir, kuhu veepinna häiritus esimese laine näol jõudnud on.
suhe. Nurga veerand võetakse lõpphaara asukoha järgi ning on vastupäeva positiivne, päripäeva negatiivne. Taandamisvalemid võimaldavad taandada mistahes nurga radiaanideks. ja on teineteise täiendusnurgad 90°-ni, kui + = 90°. Siinusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=sinx. Tegu on paarisfunktsiooniga, periood on 2. Arkussiinuseks nimetatakse funktsiooni y=arcsinx. Tegu on siinusfunktsiooni pöördväärtusega, absoluutväärtuselt vähim nurk, mille sin on x, paarisfunktsioon. Koosinusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=cosx. Tegu on paarisfunktsiooniga (sümmeetriline y telje suhtes), perioodiks 2. Arkuskoosinuseks nimetatakse funktsiooni y=arccosx. Tegu on koosinusfunktsiooni pöördväärtusega, vähim positiivne nurk, mille cos on x. Tangensfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=tanx. Arkustangensiks nimetatakse funktsiooni y=arctanx
Kontrolltöö 1.Mis on vahelduvvool? Vahelduvvooluks nimetatakse voolu, mille suund ja tugevus ajas perioodiliselt muutub. Kõige laiemalt on kasutusel siinusfunktsiooni kohaselt muutuv vahelduvvool ‒ siinusvool. periood T ‒ ajavahemik, mille jooksul vool läbib ühekordselt kõik väärtused sagedus f ‒ perioodide arv sekundis, mõõtühik herts tippväärtus Im ‒ kummagi poolperioodi amplituudväärtus efektiivväärtus I ‒ vool, mis on efektiivsuselt, nt soojustoimelt samaväärne niisama tugeva alalisvooluga 2. Mis on voolutugevuse hetkväärtus? Vahelduvvoolu hetkväärtus on voolu väärtus suvalisel ajahetkel
1. Mehaaniline võnkumine on liikumine mis kordub võrtsete ajavahemike järel mööda sama teed edasi-tagasi 2. Vaba võnkumine toimub süsteemi siseste jõudude mõjul pärast keha välja viimist tasakaaluasendist. (pendel) 3. Sundvõnkumine toimub väliste jõudude mõjul. (õmblusmasin) 4. Harmooniliseks nim. Võnkumist, mille korral hälve sõltub ajast siinusfunktsiooni järgi (sinusoidaalselt) 5. Vabavõnkumine on sumbvõnkumine võnke amplituud aja jooksul väheneb. Hõõrdumise kiirus väheneb. 6. Hälve on võnkuva keha kaugus tasakaaluasendist. Tähis : x Ühik : meeter 7. Võnkeamplituud on suurim kaugus tasakaaluasendist. Tähis x0 Ühkik : meeter 8. Võnkeperiood ühe täisvõnke kestvus. Tähis : T Ühik : s Valem T=t/n 9. Võnkesagedus on sekundis tehtud täisvõngete arv. Tähis : f Ühik : Hz 10
kasutatakse võnkeamplituudi ja võnkeperioodi mõisted. Võnkeamplituud on keha äärmise asendi kaugus võnkumistee ja keskpunktist. Võnkeperiood on aeg, mille jooksul võnkuv keha liigub ühest äärmisest asendist teise ja sealt tagasi. Võnkeperioodi tähiseks on harilikult T. Võnkeperioodi pöördväärtust nimetatakse võnkesageduseks ja seda tähistatakse Harmooniliseks võnkumiseks ehk siinusvõnkumiseks nimetatakse mis tahes võnkumist, mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni või koosinusfunktsiooni abil ja sellise võnkumise võrrandit nimetatakse harmoonilise võnkumise võrrandiks: x = A sin · x - hälve tasakaaluasendist · A - maksimaalne hälve ehk võnkumise amplituud · - võnkumise faas ( = t) 5 kus x on hälve tasakaaluasendist, on nurkkiirus, t on aeg ning f on sagedus. Siinuse all
amper sekundis võrra tekitab läbi tema kontuuri endainduktsiooni elektromotoorjõu üks volt. 1H= = = Defineeritakse valemist L= 7. Vahelduvvooluks nimetatakse elektrivoolu, mille suund ja tugevus perioodiliselt muutuvad. f- sagedus (Euroopa riikides määratud 50 hertsi) ; T-periood (20 millisekundit); U- pinge (220V). Reeglina muutub ka voolusuund. Vahelduvvoolu tekkeks on vaja vahelduvvoolu generaatorit ning graafikuks on siinusfunktsiooni graafik. Nt. T= (voolutugevuse mistahes väärtus kordub iga 0,02 s ehk 20ms järel) 8. 9. Elektromagneetiline võnkumine on laengu, voolutugevuse ja pinge perioodiline muutumine. Kui elektriväli ja magnetväli samaaegselt perioodiliselt muutuvad nimetatakse seda elektromagnetvõnkumiseks ning seda tekitab võnkering. 10. Võnkering on kondensaatorit (C) ja induktiivpooli (L) sisaldav vooluring, kus tekitatakse elektromagnetvõnkumine. (kasut
0,766044 0,173648 -0,93969262 1,532089 -2 0,5 -0,5 -0,8660254 1 -2,5 0,173648 -0,93969 -0,76604444 0,347296 -0,17365 -0,93969 -0,64278761 -0,3473 -0,5 -0,5 -0,5 -1 -0,76604 0,173648 -0,34202014 -1,53209 -0,93969 0,766044 -0,17364818 -1,87939 OMADUSED KOOSINUSFUNKTSIOONI y=cos x GRAAFIKUKS ON sinusoid, MIS SAADAKSE SIINUSFUNKTSIOONI y=sin x GRAAFIKUST LÜKKEL PIKI x-telge SUURUSE :2 VÕRRA VASAKULE. OMADUSED KOOSINUSFUNKTSIOONI y=cos x graafik saavutab maksimaalse väärtuse 1 punktides, kus x koordinaat on ...,-2, 0, 2, 4,... NEED ON SELLE FUNKTSIOONI MAKSIMUMKOHAD. OMADUSED KOOSINUSFUNKTSIOONI y=cos x graafik saavutab minimaalse väärtuse -1 punktides, kus x koordinaat on ..., -, , 3, 5... NEED ON SELLE FUNKTSIOONI MIINIMUMKOHAD. OMADUSED KOOSINUSFUNKTSIOON y=cos x ON TÕKESTATUD FUNKTSIOON.
2) Võnkesagedus ajaühikus sooritatav täisvõngete arv 1 N f- võnkesagedus f= = T t 3) Hälve võnkuva keha kaugus tasakaaluasendist (m) (tähis- x) 4) Võnkeamplituud maksimaalne hälve eks suurim kaugus tasakaaluasendist (m) (tähis- x0) Harmooniline võnkumine Harmooniline võnkumine võnkumine, mida saab kirjeldada siinus- või koosiinusfunktsiooni abil Faas siinusfunktsiooni arguendiks olev suurus (tähis- ) (ühik- rad) =t rad w- nurksagedus ( ¿ s Võnkumise graafik näitab keha koordinaadi sõltuvust ajast; annab infot keha kiiruse muutumise kohta (liikumisgraafiku tõus) Võnkumise käigus toimub pidev energia muundumine. Võnkumised looduses ja tehnikas Võnkumised meie ümber Haavalehtede värisemine on puule kasulik
Kirendus-tuleb võtta kiiruse esimene tuletis aja järgi a=-A*w ²*sin(wt+e) a(max)=-A*w ² · Sinusoidaalne võnkumine- punkt P asub ringjoonel, hakkab liikuma vastu kellaosuti suunda, liigub alla poole, sellega muutub ka tema projektsioon ekraanil bb, kui punkt P on läbinud pool ringjoont, siis on ta tagasi tasakaaluaasendis, edasi liigub allapoole ning jätkab niimoodi liikumist. Ühtlaselt mööda ringjoont tiirleva punkti projektsiooni koordinaadi sõltuvis ajast on väljendatav siinusfunktsiooni abil. X=A*sin*w*t faas - nurk, mis esineb argumendina võnkliikumise võrrandis ja mis määrab siinuseliselt muutuva suuruse väärtuse mistahes ajahetkel ringsagedus sagedus- on ajaühikus sooritatud täisvõngete arv periood - lühim ajavahemik, mille möödudes liikuv keha pöördub tagasi algolekusse(1 täisvõnke kestvus) Hälve-Võnkuva keha kaugus tasakaaluasendist Ringsagedus ehk nurksagedus (tähis ) on võnkuva keha 2 sekundi jooksul sooritatud võngete arvu. Ühikuks on herts.
Füüsika KT kordamine 1.Mis on vahelduvvool? Mida näitab selle periood? Vahelduvvool on elektrivool, mille korral voolutugevus ja -suund perioodiliselt muutuvad. Periood T on 20 ms, st et voolutugevuse mistahes väärtus kordub iga 20ms tagant. 2.Mis on vahelduvvoolu hetkväärtus? Kuidas see sõltub ajast? +valem Vahelduvvoolu hetkväärtus näitab voolutugevust mingil kindlal aja hetkel. Voolutugevuse suurus muutub perioodiliselt. i=im*sin*t siinusfunktsiooni korral algab aja mõõtmine hetkel mil i=0 (i hetkväärtus ; Im amplituudväärtus ; t faas ; - 2f (ringsagedus) 3.Mis on faasijuhe ja nulljuhe? Faasijuhe on vahelduvvooluvõrgu juhe, kus on perioodiliselt muutuv pinge maandatud eseme suhtes. Nulljuhe ei oma pinget maandatud eseme suhtes. 4.Mis on kaitse? Kuhu ja kuidas ühendadakse? Kaitsmed katkestavad vooluringi kui voolutugevus ületab etteantud piiri. Kaitsmed paigaldatakse faasijuhtmetele. 5.Mis on kaitsejuhe
raadius, nimetatakse pöördenurgaks . =l/r l-kaarepikkus Joonkiirus on ringliikumisel läbitud teeikkuse ja liikumisaja suhe. Nurkkiirus: =/t =/t=l/tr =v/r Periood: T=2/ T=t/N Sagedus: 1/T Ühte osa perioodiliselt korduvast liikumist nimetatakse võnkeks. Võnkeamplituudi järsku kasvamist perioodilise välismõju sageduse kokkulangemisel süsteemi vabavõnkumise sagedusega nimetatakse resonantsiks. Samasuguseid võnkumisi, mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni abil, nimetatakse harmoonilisteks võnkumisteks. Suunamuutusest tulenev kiirendus on suunatud alati keha trajektori kõveruspunkti poole, seega kiirusvektoriga risti. Seda nim kesktõmbekiirenduseks. ak=v2/r ak=2r Jõumomendiks nimetatakse jõu ja jõu õla korrutist M=F*l Välise jõumomendi puudumisel, suletud süsteemis, on impulsimoment jääv . Kui jõumoment puudub, siis impulsimoment ei muutu. Laine on võnkumise edasikandumine ruumis. Lainefront on piir, kuhu esimene laine ulatub.
on võrdeline nemde kehade massidega ja pöördvõrdeline nende kauguse ruuduga HÕÕRDEJÕUD-tekib kehade kokkupuutel või osade libisemisel üksteise suhtes(välis-,sise -,liuge)F=kn ELASTSUSJÕUD-tekkib keha deformatsioonil ja püüab esialgset kuju ja ruumala taastada suund on vastupidine deformeeriva keha osakeste nihke suunale F=-kx HARMOONILINEVÕNKUMINE-nim võnkumist mida saab kirjrldada siinusfunktsiooni või koosinusfunktiooni graafiku järgi x=Asin(wt+f0(fii null)) MATEMAATILINE PENDEL –nimetakse väikese te mõõtmetega keha mis on riputatud venimatu ja väikese massiga niidi otsa T=2*3.14*ruutjuur(l/g) FÜÜSIKALINE PENDEL-tahket keha mis on kinnitatud raskuskeskmest kõrgema nig võib vabalt raskusjõu mõjul võnkuda T=2*3.14*ruutjuur(I/mga) VEDRUPENDEL –T=2*3.14*ruutjuur(m/k) SUMBUVADVÕNKUMISED-energia kadude puudumisel kestab võnkumine
normaali tasandist väljapoole 19. Coulomb'i seadus - seadus ehk elektrostaatilise vastasmõju kvantitatiivne seadus on füüsika seadus, mis ütleb, et kaks punktlaengut mõjutavad teineteist jõuga, mille moodul on võrdeline nende laengute absoluutväärtuste korrutisega ja pöördvõrdeline nendevahelise kauguse ruuduga 20. Harmoonilised võnkumised - ehk siinusvõnkumiseks nimetatakse mis tahes võnkumist, mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni või koosinusfunktsiooni abil. 21. Laine võrrand 22. Doppleri efekt - Doppleri efekt seisneb selles, et lainepikkuse muutus on võrdeline laineallika kiirusega vaatleja suhtes. Doppleri efekt on laialt kasutusel astronoomias. Selle järgi on hinnatud tähtede liikumiskiirusi ja Universumi paisumiskiirust. 23. Valguse interferents - Lainete liitumine, mille tulemusena lained tugevdavad või nõrgendavad üksteist. Selle tulemus on määratud käiguvahega, mis on võrdne algselt
taustsüsteemid liiguvad antud taustsüsteemi suhtes. Sellest järeldub ka pikkuse suhtelisus. Antud taustsüsteemis erineb liikumatu varda pikkus sama varda pikkusest liikuvas taustsüsteemis. Keha on kõige pikem selles taustsüsteemis, milles ta on paigal. Lorentzi teisendused: y'=y z'=z =u/c 17)Harmooniline võnkumine Harmooniline võnkumine on võnkumine, mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni või koosinusfunktsiooni abil. x = A sin(t+0), kus xhälve tasakaaluasendist, Avõnkeamplituud, tvõnkumise faas, 0algfaas. Siinusfunktsiooni periood on 2. 18)Pendlid Vedrupendel: F=kx Matemaatiline pendel: Füüsikaline pendel: 19)Hääl.Heli.Lained Hääl on kõris tekitatav ja suus kuuldele toodav heli. Heliks nimetatakse elastses keskkonnas levivat mehhaanilist võnkumist, mille sagedus asub vahemikus 16... 20 000Hz
..760 nm. Lühemaid ja pikemaid laineid inimsilm ei näe. Laineperiood, mille tähiseks on T, näitab aega, mis kulub E-vektoril ühe täisvõnke tegemiseks. Ühe perioodi kestel läbib laine teepikkuse, mis on võrdne lainepikkusega. Lainepikkusest ning laineperioodist vähemtähtsamad pole ka laine sagedus ja faas. Laine sagedus f näitab, mitu täisvõnget teeb laine ühes ajaühikus ning faas määrab muutuva suuruse väärtuse antud ajahetkel. Valguslaine faasiks on siinusfunktsiooni argument. Meie silmale nähtav valgus on elektromagnetlaine. Elektromagnetlained on näiteks gammakiirgus, röntgenkiirgus, ultraviolettkiirgus, infrapunakiirgus, mikrolained ja raadiolained. On kindlaks tehtud, et erineva lainepikkusega valguslained põhjustavad erinevaid värvusaistinguid. Näiteks kui inimese silma sattuva valguse lainepikkus on 650nm, tekib punase värvuse aisting. Silmale nähtavad elektromagnetlaineid on elektromagnetlainete
M=0 pr=L=const Võnkumine- Liikumine kordub võrdsete ajavahemike tagant. Liikumine toimub edasi- tagasi sama trajektoori mööda. Vabavõnkumine- Võnkumised, mis tekivad süsteemis pärast selle tasakaaluolekust välja viimist sisejõudude toimel. Sundvõnkumine- Võnkumine, mis toimub mingi välise perioodilise jõu mõjul. Hälve- Keha kaugus tasakaaluasendist. Võnkeamplituud- Suurim kaugus tasakaaluasendist. Harmooniline võnkumine- Võnkumine, mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni abil. Resonants- Võnkeamplituudi järsk kasvamine perioodilise välismõju sageduse kokkulangemisel süsteemi vabavõnkumise sagedusega. Laine- Võnkumise edasikandumine ruumis. Laines toimub energia edasikandumine, kuid ei toimu võnkuva keskkonna edasikandumist. Ristlaine- Laine, kus võnkumine toimub levimissihiga risti. Pikilaine- Laine, kus võnkumine toimub piki levimissihti. Lainepikkus- Vähim kaugus kahe sünkroonselt võnkuva punkti vahel.
LAINEOPTIKA Valgus kui elektromagnetlaine Elektromagnetlainete skaala Lainefront Lainepikkus - ; võrdub valguslaine kahe samas võnkefaasis oleva lähima punkti vahelise kaugusega. Sagedus f; võrdub valguslaine täisvõngete arvuga ajaühikus. Periood T; võrdub ajaga, mis kulub valguslainel ühe lainepikkuse läbimiseks. Faas määrab valguslaine võnkeseisundi (E-vektori väärtuse) antud ajahetkel. Valguslaines muutub E-vektor siinusfunktsiooni kohaselt. Valguse interferents lainete liitumine, mille tulemusena lained tugevdavad või nõrgendavad üksteist. Lainete liitumise tulemus on määratud käiguvahega . Käiguvahe onvõrdne algselt samas faasis olnud lainete poolt liitumispunkti jõudmiseks läbitud teepikkuste vahega. Koherentsus lained, mille faasivahe ajas ja ruumis ei muutu, nimetatakse koherentseteks. Valguse difraktsioon nähtus, kus lained painduvad tõkete taha.
-1 -1,5 pöördfunktsioon puudub, kuna igale muutuja y väärtusele funktsiooni muutumispiirkonnast vastab lõpmata palju argumendi x väärtusi. Küll aga võime leida selle funktsiooni pöördfunktsiooni sel juhul, kui ahendame tema määramispiirkonna lõiguks X = [- / 2; / 2] 10 Näide 1 Kui X = [- / 2 ; / 2] on siinusfunktsiooni pöördfunktsiooniks vastav arkusfunktsioon: x = arcsin y, Y [-1; 1] y 2 NB! Esialgse funktsiooni y = arcsin x muutumispiirkonnast saab 1,5 y= x pöördfunktsiooni 1
Impulsimomendi jäävuse seadus väidab, et suletud kehade süsteemi impulsimoment on jääv suurus 15. Töö ja kin energia. dA=Mdt, Jõu poolt sooritatud töö mõõdab kineetilise energia muutust. 16. Harmooniline võnkumine. x=Asin(wt+fiinull), w=2piiϑ. X(teine tuletis)+w(ruut)x=0 ostrill Harmooniline võnkumine on võnkumine, milles võnkuv suurus muutub ajas sinusoidaalse seaduspärasuse järgi (mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni või koosinusfunktsiooni abil). x = A sin(ωt+φ0), kus x-hälve tasakaaluasendist, A-võnkeamplituud, ωt-võnkumise faas, φ0-algfaas. Siinusfunktsiooni periood on 2π. 17. Pendlid. Vedru, mat ja füs. Valemid iga asja kohta. Vedrupendel Vedrupendli periood T sõltub pendlikeha massist m ja vedru jäikusest k. Mat. pendel – kaalutu ja venimatu niidi otsa on riputatud ainepunkt(pendli võnkeamplituudi muutmisel jääb pendli
0 x -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 -0,5 -1 Küll aga võime leida selle funktsiooni pöördfunktsiooni sel juhul, kui -1,5 ahendame tema määramispiirkonna lõiguks X = [ - / 2 ; / 2] ; sel korral on siinusfunktsiooni pöördfunktsiooniks vastav arkusfunktsioon: x = arcsin y, y [-1; 1] Pöördfunktsiooni näited (2) Näide Galilei seadus ütleb, et kõrguselt h vabalt langeva keha kiiruse v määrab valem v 2 = 2 gh. Siit saame v2 kas v = 2 gh või h= . 2g
6variant 1.Ühtlaselt muutuv ringliikumine- Nurkkiirus pole konstantne sellepärast et on olemas nurkkiirendus ,mille vektor on nurkkiiruse vektoriga samasuunaline e aksiaalvektor. 2.Harmooniline võnkumine- nimetatakse mis tahes võnkumist, mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni või koosinusfunktsiooni abil. x=A*sin(fi); x-hälve tasakaaluasendist;A-max hälve(võnkumise amplituud);fii-vnkumise faas(fii= t);wnurkkiirus 4variant 1.Mitteühtlaselt muutuv sirgliikumine- See on niisugune liikumine, kus kiirendus ka muutub. Võnkumiseks nim protsesse,milledel on iseloomulik teatud korduvus .Siinuseliselt v 2
suhtes Siinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2=360° koosinusfunktsioon y=cos X=R Y=[-1;1] -1cosx1 cos(-x)=cosx paarisfunktsioon-graafik on sümmeetriline y-telje suhtes koosinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2 Tangensfunktsioon y=tan x ei tohi võrduda 90°, 270°, -90°, -270° tan(-x)=-tanx paaritufunktsioon Tangensfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga Arkusfunktsioon Siinusfunktsiooni pöördfunktsioon y=arcsinx Arkussiinus x on nurk, mille siinus on x y=arcsin(-x)=-arcsin n X=(-1)arcsinm+n Koosinusfunktsiooni pöördfunktsioon y=arccosx Arkuskoosinus x on nurk, mille koosinus on x arccos(-x)=-arccosx x=±arccosm+2 Tangensfunktsiooni pöördfunktsioon y=arctanx Arkustangens on nurk, mille tangens on x arctan(-x)=-arctanx x=arctanm+n Homogeenne trigonomeetriline võrrand võib olla järgmisel kujul: 2 2
b) kui võnked on sama sagedusega, kuid faasis aksiaalvektor. nihutatud, siis toimub liikumine mööda ellipsit. c) kui sagedused on erinevad, siis 2.Harmooniline võnkumine- nimetatakse mis tahes võnkumist, mida saab täisarvkordsete sageduste suhete puhul kirjeldavad liitvõnkeid nn Lissajous` kirjeldada siinusfunktsiooni või koosinusfunktsiooni abil. x=A*sin(fi); x-hälve kujundid. tasakaaluasendist;A-max hälve(võnkumise amplituud);fii-vnkumise faas(fii= 4.Isotermiline protsess- on protsess kus konstantsel temperatuuril(t 0) on antud ωt);wnurkkiirus gaasihulga ruumala(V) pöördvõrdeline rõhuga(p) 5
b) kui võnked on sama sagedusega, kuid faasis aksiaalvektor. nihutatud, siis toimub liikumine mööda ellipsit. c) kui sagedused on erinevad, siis 2.Harmooniline võnkumine- nimetatakse mis tahes võnkumist, mida saab täisarvkordsete sageduste suhete puhul kirjeldavad liitvõnkeid nn Lissajous` kirjeldada siinusfunktsiooni või koosinusfunktsiooni abil. x=A*sin(fi); x-hälve kujundid. tasakaaluasendist;A-max hälve(võnkumise amplituud);fii-vnkumise faas(fii= 4.Isotermiline protsess- on protsess kus konstantsel temperatuuril(t 0) on antud ωt);wnurkkiirus gaasihulga ruumala(V) pöördvõrdeline rõhuga(p) 5
mikku. Veelgi enam, vahepeal tahaksime kõiki vastuseid korraga esitada. Siis kirju- tame umbes nii: 218 proportsioonid ja kolmnurgad Sel juhul ei ole meil küll rangelt enam funktsioon, vaid loetleme lihtsalt kõik sirge ning siinusfunktsiooni lõikepunktid ja neid on palju! Arkustangens Tangensiga on selles suhtes lihtsam lugu, et ta võib võtta kõiki reaalarvulisi väär- tusi. Seega on tangensi pöördfunktsiooni ehk arkustangensi määramispiirkonnaks kogu reaaltelg. Probleem, et tangensfunktsioon on mitmes kohas sama väärtusega, muidugi säi- lib. Seega tuleb ka arkustangensi kui funktsiooni määramiseks välja valida üks kin- del piirkond
süsteemi impulsimoment on ajas muutumatu suurus o Kolm inertsijõud pöörlevas süsteemis 8) Perioodiline liikumine o VõnkesüsteemVõnkesüsteem on vastastikmõjus olevatest kehadest koosnev süsteem, milles võib esineda võnkumine. o Harmooniline võnkumine, seos ringliikumisega (+ joonis) Harmooniliseks võnkumiseks ehk siinusvõnkumiseks nimetatakse mis tahes võnkumist, mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni või koosinusfunktsiooni abil ja sellise võnkumise võrrandit nimetatakse harmoonilise võnkumise võrrandiks, Harmoonilise võnkumise saame, kui projitseerime ühtlase ringliikumise diameetrile o Liikumisvõrrand suuruste lahtiseletamisega (faas, algfaas, ringsagedus, amplituud, periood) Liikumisvõrrandiks nimetatakse matemaatilist avaldist, mis näitab keha koordinaatide sõltuvust ajast,
Newtoni seadused - 1) iga keha seisab paigal või liigub ühtlaselt seni, kuni välisjõud seda olekut ei muuda. 2) keha kiirendus on võrdelises seoses sellele kehale mõjuva jõuga ja pöördvõrdeline selle keha massiga a= F/m 3) kaks keha mõjutavad teinetest suuruselt võrdsete ja suunalt vastupidiste jõududega F=-F (F-resulteeriv jõud, mis on samasuunalise kiirendusega). Harmoonilline võnkumine nimetatakse mistahes võnkumist, mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni ja koosinusfunktsiooni abil. x=A*sin ; x-hälve tasakaaluasendist; A-maksimum hälve(võnkumise amplituud); -võnkumise faas (=t); -nurkkiirus. Võnkumiseks nimetatakse protsesse, milledel on iseloomulik tetud korduvus. Siinuseliselt või koosinuseliselt toimuvaid füüsikalisi suuruse muutusi ajas nim harmooniliseks võnkumiseks. Harmoonilise võnkumise amplituudiks nim keha maksimum hälvet tasakaaluasendist.
Pildi võnkeperiood sõltub: 1)pildi massist; 2) pildi kinnituskoha kaugusest pildi raskuskeskmest; 3) gravitatsioonikonstandist. 7. Lained, harmoonilised lained, lainepikkus ja laineperiood harmooniliste lainetel. Lained on võnkuva keha energia levimise protsess. Ristilaine - võnkumine levimissihiga risti. Pikilained- piki levimissihti.(heli). Harmooniliseks võnkumiseks ehk siinusvõnkumiseks nimetatakse mis tahes võnkumist, mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni või koosinusfunktsiooni abil ja sellise võnkumise võrrandit nimetatakse X w P harmoonilise võnkumise võrrandiks (X= 0 sin( 0 t+ 0 )). Lainepikkus λ on vähim kaugus kahe sama faasis võnkuva faasipunkti vahel. Laineperiood T on aeg, mille jooksul keskkonnaosake sooritab täisvõnke. 8. Lainete superpositsiooniprintsiip, lainete interferents.
Näited- Võnkumine on liikumine, kus liikumine toimub võrdsete ajavahemike tagant, kusjuures esialgsesse asendisse läheb keha sama teed mööda tagasi. N: mootorikolvi üles-alla liikumine. 4. Võnkumise liigitus, iseloomustus, näited- *vabavõnkumine toimub süsteemsete jõudude mõjul, n: niidi otsa riputatud kivi; *sundvõnkumine toimub mingi välise perioodilise jõu mõjul, n: õmblusmasina nõel 5. Mis on harmooniline võnkumine? - kõik võnkumised mida saab kirjeldada siinusfunktsiooni abil 6. Mis on laine? - võnkumiste edasikandmised ruumis, tunnused: *liikumine või muutmine; *millegi tasakaalu häirimine; *kannab edasi energiat mitte ainet 7.Mis võib olla laineallikas? Mis tingimustel laine levib? - Laineallikaks võib olla igasugune võnkuv keha. Võnkumised saavad tekkida ja edasi kanduda vaid keskkonnas, kus tasakaalu häirimisel tekivad jõud, mis taastavad tasakaalu (elastsed keskkonnad) 8. Lainete liigitus ja nende iseloomustus. - Levimissuuna järgi:
I ja temas indutseeritav elektromotoorne jõud on dI EMJ ei L dt kus on voolutugevuse I poolt tekitatud magnetvoog. 9. Perioodilised pinged, voolud ja elektromotoorjõud Vahelduvpinge on perioodiliselt muutuva polaarsusega pinge. Kõige laiemalt on kasutusel siinusfunktsiooni kohaselt muutuv vahelduvpinge siinuspinge. Vahelduvpinget iseloomustavateks põhisuurusteks on hetkväärtus u, efektiivväärtus U ja amplituudväärtus Um. Siinuspinge efektiivväärtus: U = . Muutuva suuruse väärtus mingil hetkel kannab nimetust hetkväärtus ja seda tähistatakse väiketähega. Seega on i voolu hetkväärtuse tähis, u pinge hetkväärtuse tähis jne. Perioodiliselt muutuva suuruse suurimat hetkväärtust nimetatakse maksimaalväärtuseks ehk
1 0,5 0 -360 -300 - -0,5 7 Koosta siinusfunktsiooni graafik -1 kraadid radiaanid -360 -6,2831853072 2,44929359829E-016 -1,5 -340 -5,9341194568 0,3420201433 -320 -5,5850536064 0,6427876097 -300 -5,235987756 0,8660254038 -280 -4,8869219056 0,984807753 -260 -4,5378560552 0,984807753 -240 -4,1887902048 0,8660254038
parameetrid: omasagedus ja sumbuvustegur Süsteemi parameetriteks on omasagedus ja sumbuvustegur; need leitakse vabavõngete võrrandist sundiva jõu puudumisel. Püüame leida konstandid ja . Teeme seda vanaviisi: võtame tuletised saame Grupeerime vasaku poole liikmeti: Joonistame nüüd sellele vastava faasidiagrammi ning kasutades Pythagorase teoreemi saame millest leiame sundvõngete amplituudi Sundvõngete faasidiagramm: siinusfunktsiooni kordaja on y -teljel, koosinusliikme oma x -teljel. Et lahend vastaks lähtevõrrandile, peab nende summa olema võrdne sundiva jõuga. Faasinihke sundiva jõu f suhtes leiame tangensist Näeme, et nii faasinihe kui amplituud sõltuvad sundiva jõu sageduse ning süsteemi omasageduse vahest. Kui see on null, on faasinihe ning amplituud maksimaalne: Väikese sumbuvusteguri korral võib omandada küllalt suure väärtuse. Seda olekut nimetatakse resonantsiks.
Impulsimomendi jäävuse seadus väidab, et suletud kehade süsteemi impulsimoment on jääv suurus 15.Harmooniline võnkumine., ω=2 π/T ´x +ω2x=0 harmooniline ostsillaator Harmooniline võnkumine on võnkumine, milles võnkuv suurus muutub ajas sinusoidaalse seaduspärasuse järgi (saab kirjeldada sin-funktsiooni või cos- f-i abil). x = A sin(ωt+ϕ0), kus x-hälve tasakaaluasendist, A-võnkeamplituud, ωt- võnkumise faas, φ0-algfaas. Siinusfunktsiooni periood on 2π. 16.Pendlid. Vedrupendel Vedrupendli periood T sõltub pendlikeha massist m ja vedru jäikusest k. Mat. pendel – idealiseeritud süsteem, kus kaalutu ja venimatu niidi otsa on riputatud ainepunkt(pendli võnkeamplituudi muutmisel jääb pendli võnkeperiood samaks) Matemaatilise pendli periood ei sõltu pendlikeha massist, vaid ainult pendli pikkusest l ja raskuskiirendusest g.
y = ( )x
· y=2
x
2
12. Logaritmfunktsiooni graafik, omadused-
· Määramispiirkond: positiivsed reaalarvud
· Muutumispiirkond: kõik reaalarvud
· Graafik läbib punkti (1;0)
· Funktsioon kasvav, kui a>1 ja kahanev kui 0
r, - - =lr.'k, l . a l ) ' - r 1 L L'^rl - / kus kr [ fr', : -!-= kujutegur siinusfunktsiooni 1,1 I l. 2.42 ) perioodilistek6veratekorralon neidiseloomustavad Mittesiinuseliste tegurid ka =lm/l (amplituuditegur) ia kr=l/ ln (kujutegur) midateravamakujugaon vaadeldav sedasuuremaarvvadrtusega, k6ver.
r, - - =lr.'k, l . a l ) ' - r 1 L L'^rl - / kus kr [ fr', : -!-= kujutegur siinusfunktsiooni 1,1 I l. 2.42 ) perioodilistek6veratekorralon neidiseloomustavad Mittesiinuseliste tegurid ka =lm/l (amplituuditegur) ia kr=l/ ln (kujutegur) midateravamakujugaon vaadeldav sedasuuremaarvvadrtusega, k6ver.
Ek= mv2/2, E=Ek+Ep, isoleeritud ja ainult pot jõud, Summa Ei=consT 17, Harmooniline võnkumine x=r*cos x, ᵨ=w*t, ω=2 π/T x=r*cos(wt+ Fi0) Hälve ja faas ´x +ω2x=0 harmooniline ostsillaator Harmooniline võnkumine on võnkumine, milles võnkuv suurus muutub ajas sinusoidaalse seaduspärasuse järgi (saab kirjeldada sin-funktsiooni või cos-f-i abil). x = A sin(ωt+ϕ0), kus x-hälve tasakaaluasendist, A-võnkeamplituud, ωt- võnkumise faas, φ0-algfaas. Siinusfunktsiooni periood on 2π. 18, Pendlid M= I*E, kus m on jõumoment, I on inertsmoment ja E on nurkkiirendus Vedrupendel Vedrupendli periood T sõltub pendlikeha massist m ja vedru jäikusest k. Mat. pendel – idealiseeritud süsteem, kus kaalutu ja venimatu niidi otsa on riputatud ainepunkt(pendli võnkeamplituudi muutmisel jääb pendli võnkeperiood samaks) Matemaatilise pendli periood ei sõltu pendlikeha massist, vaid ainult pendli pikkusest l ja raskuskiirendusest g.
annaabi.ee 
