Pindala saab kui kõikidest väikestest pindaladest võtta b b -a integraal rajades a-b ja valem on siis: f ( x)dx a 2n ( y0 + 2 y1 + 2 y2 + ... + 2 yn -1 + yn ) Pindala arvutamine ristkoordinaatides b [a;b] (joon) y=(x); y=g(x) ja (x)g(x) ning S = [ f ( x) - g ( x) ]dx Kui aga joon on antud parameetrilisel kujul: a b
Sellega oleme valemi tõestanud. Omadus 15.1. (15.2) Asendades siia valemist (15.3), saame valemi (15.2). Seega omadus 15.1 on tõestatud Omadus 15.4. Omadus 17.2. Sellega omadus on tõestatud Omadus 17.4. Omadus 18.3. Omadus 19.3. Sirge võrrandite tuletuskäigud (ruumis ja tasandil). Tasandi võrrandite tuletuskäigud. Tuletuskäik: punkti kaugus sirgeni ristkoordinaatides tasandil ja ruumis. Tuletuskäigud: punkti kaugus tasandini ristkoordinaatides, nurk kahe sirge, kahe tasandi, sirge ja tasandi vahel (ristkoordinaatides). Ellipsi kanoonilise võrrandi tuletuskäik lähtudes ellipsi definitsioonist. Hüperbooli kanoonilise võrrandi tuletuskäik lähtudes hüperbooli definitsioonist. Parabooli kanoonilise võrrandi tuletuskäik lähtudes parabooli definitsioonist. Teoreem 26.1.
Joone võrrand © T. Lepikult, 2010 Joone võrrand Joone C võrrandiks ristkoordinaatides nimetame niisugust seost F(x, y) = 0 kahe muutuja x ja y vahel, mida rahuldavad selle joone iga punkti ristkoordinaadid ja ainult need. Sirge, mille Parabool, mille võrrandiks on y võrrandiks on b d y + x -b = 0 y - 2 ( x - c) 2 = 0 c c d
3) kui tegu on integraaliga f(x) rajades [a;b], kuid leidub c (a
s = f (t ) Mis vahe on ristkoordinaatidel ja loomulikel koordinaatidel punkti kinemaatikas? Loomulikel koordinaatidel on trajektoori kujuline kõverjooneline koordinaattelg. t s x 2 y 2 z 2 dt 0 Neid seob valem: Kirjutada punkti liikumise seadus trajektooril loomuliku koordinaadi kaudu. s f (t ) Kirjutada punkti liikumise seadus ristkoordinaatides. x f1 (t ) y f 2 (t ) z f 3 (t ) Defineerida punkti liikumise kiirus. Kirjutada ka valem. Punkti liikumise kiirus on selle punkti kohavektori tuletis aja järgi. ds v s dt Milline on punkti kiirusvektori moodul, siht ja suund? Kirjutada ka kiirusvektori vektorvalem. Punkti kiirusvektori moodul on võrdne kaarepikkuse tuletisega aja järgi. Kiirusvektor on trajektoori sihis ja on suunatud mööda trajektoori puutujat liikumise suunas.
Kahemõõtmelises hulgas DR2 määratud funktsiooni f(x,y) integraalsummaks antud piirkonnas D nimetatakse summat D D 4. Kahekordse integraali arvutamine ristkoordinaatides n Vn = f ( Pi )Si ristkülikukujulise piirkonna korral. Tuletada vastav valem , Olgu ristkülikukujuline piirkond D antud võrratustega axb ja cyd.
samuti programm ise). Programmi jooksutamiseks tuleb anda järgmine käsklus: Tulemuseks annab tekitab programm 9 faili. Mõõtmisandmete kvaliteedi hindamiseks on meil vaja *.15S laiendiga faili (Lisa 1). Failist saame teada, et mõõtmiste alguseks oli 21.03.15 kell 14.32 ning kestis ca 19 minutit. Andmed salvestati 30 sekundilise intervalliga ning salvestati 11 satelliidi andmeid. Samuti on failis toodud vastuvõtja asukoht WGS84 ruumilistes ristkoordinaatides (X: 2993940.2041 m Y: 1505564.4565 m Z: 5408722.9982 m). Lisaks näeme veel, et nt satelliidi nr 30 puhul koguti mõnda aega ainult osalisi andmeid, sest satelliit asus allpool määratud lõikenurka. Failis näidatakse, et mõõtmiste ajal asus see horisondi ja määratud lõikenurga vahel ning vastuvõtja andmeid ei kogunud. Teiste satelliitide puhul mingisuguseid häireid faili põhjal ei tähelda. Kokku sooritati 228 mõõtmist ning 154 mõõtmist kustutati.
Silinderhülss Allikas: Allikas: radialdrillingmachine.net german-traders.com / Suurte täpsuste saamiseks kasutatakse koordinaatsisetreipinke. Koorrdinaatsisetreipinki kasutatakse väikeste ja keskmiste baasdetailide ja kere avade töötlemiseks. Töölaud ja spindelkast, mis on ühtlasi pingi põhisõlmedeks, positsioneeritakse ristkoordinaatides, töörikut positsioneeritakse polaarkoordinaatides pöördlaud. Pöördlaud võimaldab toorikut pöörata rõhtasendis 0-360°. Universaalse pöördlaua kasutamine võimaldab toorikut pöörata ka 0-90° püstasendis. Koorrdinaatsisetreipingid paigutatakse püsiva temperatuuriga ruumidesse eraldi vundamendile. Tigureduktor. Reduktoriks nimetatakse tavaliselt kinnist hammas- või tiguülekannet, mis on projekteeritud kas iseseisva agregaadina või siis ehitatud masinasse sisse. Sisukord
vältel s=f(t) · Mis vahe on Descartes'i ristkoordinaatidel ja loomulikel koordinaatidel punkti kinemaatikas? Loomulike koordinaatide puhul asub alguspunkt punkti trajektooril, kuid Descartes'i ristkoordinaatide puhul vaadeldakse liikumist paigalseisvate telgede suhtes. · Kirjutada punkti liikumise seadus trajektooril loomuliku koordinaadi kaudu. S=f(t) · Kirjutada punkti liikumise seadus Descartes'i ristkoordinaatides. x=f1(t) y=f2(t) z=f3(t) · Defineerida punkti liikumise kiirus. Kirjutada ka valem. Punkti kiirus näitab punkti kohavektori muutust mingis ajaühikus. v=ds/dt · Milline on punkti kiirusvektori moodul, siht ja suund? Kirjutada ka kiirusvektori vektorvalem. Kiirusvektoriks nimetatakse sellist vektorit, mis on rakendatud trajektoori vaadeldavasse punkti, mis on suunatud mööda trajektoori puutujat liikumise suunas ja mille moodul on võrdne absoluutväärtusega
D D D
6) Keskväärtusteoreem. Leidub punkt A hulgas B nii, et kehtib võrdus
f ( P)dS = f ( A) dS
D D
17. Kahekordse integraali geomeetriline tähendus
Pinnaga z=f(x,y), tasandiga z=0 ja silindriga, mille z-teljega paralleelsete moodustajate juhtjooneks on piirkonna D rajajoon, piiratud keha Q
ruumala
VQ = limVn = f ( P ) dS
n 0
D
18. kahekordse integraali arvutamine ristkoordinaatides
ristkülikukujulise piirkonna korral. Tuletatud vastav valem
Olgu ristkülikukujuline piirkond D antud võrratustega axb ja cyd. jaotame lõigu
[a,b] osalõikudeks punktidega a=x0
Puutujatasandi võrrand Fx( x x0 ) + Fy ( y y 0 ) + Fz( z z 0 ) = 0 x x0 y y 0 z z 0 Normaali võrrand = = Fx Fy Fz 1 Joone kõverus Kõverusraadius R= k ristkoordinaatides parameetrilises kujus polaarkoordinaatides, kus x = cos y =sin 5 DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID y 2 + 2( ) 2
Puutujatasandi võrrand Fx( x x0 ) + Fy ( y y 0 ) + Fz( z z 0 ) = 0 x x0 y y 0 z z 0 Normaali võrrand = = Fx Fy Fz 1 Joone kõverus Kõverusraadius R= k ristkoordinaatides parameetrilises kujus polaarkoordinaatides, kus x = cos y =sin 5 DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID y 2 + 2( ) 2
0 0 a2 x2 0 a2 x2 0 a a 8a dx 8ax 0 8a 2 . 0 Näiteks kui a 2, siis S 32. 1.7 Kahekordne integraal polaarkoordinaatides. Kui piirkond D on ring või selle osa, siis kahekordset integraali on lihtsam arvutada polaarkoordinaatides kui ristkoordinaatides. Samuti on teatud joonte esitus lihtne polaarkoordinaatides, samas kui see ristkoordinaatides on üpris keeruline. Tuletame meelde polaarkoordinaadistiku mõistet. Valime tasapinnal mingi punkti O, mida nimetatakse pooluseks ja sellest punktist väljuva kiire, mida nimetame polaarteljeks p. Punkti M asukohta tasapinnal saab määrata kahe arvuga: polaarkaugusega , mis väljendab punkti M kaugust poolusest O ja polaarnurgaga , mis näitab polaartelje ja lõigu OM vahelist nurka ( p, OM )
Olgu A=(a;b) fikseeritud punkt xy-tasandil. Punkti P=(x;y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nim arvupaari ja , kus on P ja A vaheline kaugus ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. polaarkaugus ja -polaarnurk. Ristkoordinaadid avalduvad polaarkoordinaatide kaudu järgmiste seostega: x=a + cos , y=b + sin Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse: Vaatleme ristkoordinaatides x ja y antud kahekordse integraali D (x,y)dxdy teisendamist polaarkoordinaatidesse ja . Olgu hulgas D paiknevatele punktidele (x,y) vastavate polaarkoodniaatide (,) hulk D`. Muutuja vahetuse teostamiseks peame arvutama jakobiaani J(, ). Kasutades ülaltooduid avaldisi x ja y jaoks saame: J(,)= x '(, ) x '(, ) = cos - sin = cos2 + sin2 = y '(, ) y '(, ) sin cos
- Ujukomaarv on reaalarv, mis on esitatud üldjuhul 10-nd süsteemi kujul, nt. 6,5346325 * 4 10 . - Ujukomaarve kasutatakse hästi suurte või hästi väikeste suuruste iseloomustamiseks, kui ümardamisel on otstarbekas kas arvu alguse nullide või arvu lõpu kirjutamata jätmine. Omavahel on püsikoma- ja ujukomaarv seotud järgnevalt: 6,5346324 * 104 = 6*104 + 5*103 + 3*102 + 4*101 + 6*100 + 3*10-1 + 2*10-2 + 4*10-3 = 65346,324 Vektor ristkoordinaatides: moodul, nurgad telgedega Loeng 2 - Pikkus füüsikaline suurus, mis kirjeldab keha lineaarseid mõõtmeid. Tähis l ja ühik 1 meeter. - Aeg aegruumis osa, millel on mitmeid ruumimõõtmetega ühiseid omadusi. Absoluutset aega ei ole olemas, aeg on relatiivne suurus, mis sõltub vaatleja liikumiskiirusest ja teda ümbritsevast gravitatsiooniväljast. Aeg on pidevalt kulgev ning iga ajavahemiku saab jagada väiksemateks osadeks.
ja z, kus ja r on punkti P projektsiooni polaarkoordinaadid xy-tasandil ning z on punkti P aplikaat, s.o. punkti ja xy- tasandi vaheline kaugus, mis on võetud märgiga +, kui punkt on xy-tasandist kõrgemal, ja märgiga -, kui ta on sellest allpool. Funktsiooni z=f(x,y,z) kolmekordset integraali, mis on antud ristkoordinaatides, saab kergest teisendada kolmekordseks integraaliks silinderkoordinaatides. Võttes arvesse, et , saame: Kolmekordne integraal sfäärkoordinaatides. Sfäärkoordinaatides määratakse punkti P asukoht ruumis kolme arvuga , r ja , kus r on punkti kaugus koordinaatide alguspunktist ehk punkti raadiusvektori pikkus, on nurk raadiusvektori ja z-telje vahel ning on nurk raadiusvektori
graafikuga, alt selle piirkonnaga D ja silindriga, mille moodustajad on paral w teljega ja
juhtjooneks on piikonna D rajajoon, niisugust keha nim. kõversilindriks.
Kui jaotame piirkonna D n osaks ja mõõdame pindala Si ning valime punkti Pi ja arvutame fun.
väärtuse selles punktis Pi, siis Vi=f(Pi)Si
Vk = lim Vi = lim f ( Pi )S i = f ( x, y )dxdy
n n
D
Kahekordse integraali arvutamine ristkoordinaatides
Def: olgu tasandilise piirkonna D jaoks teada, et D x = [a,b]. Öeldakse, et D on regulaarne y-telje
sihis, kui iga sirge x=x0, a
85. Kirjutada valemid raskuskeskme leidmiseks homogeense varraskonstruktsiooni korral. 86. Kus asub homogeense kolmnurga raskuskese? Kolmnurga pindala raskuskese asub tema mediaanide lõikepunktis. --------------------------------- 87. Mis on punkti trajektoor? Trajektoor on joon, mille punkt tekitab oma liikumisel. 88. Mis on punkti liikumise trajektoor ja kuidas seda leida juhul, kui liikumise seadus on antud Descartes'i ristkoordinaatides? Trajektoor on joon, mille punkt tekitab oma liikumisel. Descartes'i ristkoordinaadid x =f1(t) ; y =f2(t) ; z = f3(t) Võrrandid kujutavad endist samaaegselt punkti trajektoori võrrandeid parameetrilisel kujul, kus parameetri osa etendab aeg t. Elimineerides liikumisvõrranditest aja t, saab leida trajektoori võrrandi tavalises vormis, st kujul, mis annab sõltuvuse ka koordinaatide vahel. 89. Milline on punkti liikumise seadus vektorkujul?
85. Kirjutada valemid raskuskeskme leidmiseks homogeense varraskonstruktsiooni korral. 86. Kus asub homogeense kolmnurga raskuskese? Kolmnurga pindala raskuskese asub tema mediaanide lõikepunktis. --------------------------------- 87. Mis on punkti trajektoor? Trajektoor on joon, mille punkt tekitab oma liikumisel. 88. Mis on punkti liikumise trajektoor ja kuidas seda leida juhul, kui liikumise seadus on antud Descartes'i ristkoordinaatides? Trajektoor on joon, mille punkt tekitab oma liikumisel. Descartes'i ristkoordinaadid x =f1(t) ; y =f2(t) ; z = f3(t) Võrrandid kujutavad endist samaaegselt punkti trajektoori võrrandeid parameetrilisel kujul, kus parameetri osa etendab aeg t. Elimineerides liikumisvõrranditest aja t, saab leida trajektoori võrrandi tavalises vormis, st kujul, mis annab sõltuvuse ka koordinaatide vahel. 89. Milline on punkti liikumise seadus vektorkujul?
osal; x = -|OA|, kui A asub neg. osal.) 2) Tasandil (punkti koordinaatide saamiseks vôtame ristprojektsioonid vastavatele telgedele): M Mx, My; Mx(x), My(y) => M(x;y). 10. Lõigu keskpunkti koordinaadid. Kahe punkti vahelise kauguse avaldis. Lôigu keskkpunkti koordinaadid lôigu otspunktide vastavate koordinaatide aritmeetilised keskmised. C(c1;c2;c3) cI = (ai+bi) / 2, kus i = 1,2,3. a alguspunkti koord., b lôpp-punkti koord. Kahe punkti vahelise kauguse avaldis ristkoordinaatides: A(a1;a2;a3); B(b1;b2;b3) |AB| = [(b1-a1)2 + (b2-a2)2 + (b3-a3)2]-1/2 = (3i=1 (bi-ai)2)-1/2. 11. Ristkoordinaadistik ruumis. Punkti ristkoordinaadid ruumis. Punkti sfäärilised koordinaadid. Seosed punkti rist- ja sfäärkoordinaatide vahel. Ristkoordinaadistik ruumis: 1) Kolm ristuvat suunaga arvsirget; 2) Alguspuntkid ühtivad; 3) Ühikud on vôrdsed. Punkti ristkoordinaadid ruumis - (punkti koordinaatide saamiseks vôtame ristprojektsioonid vastavatele
xc = l x l yc = l y l zc = l z l 91.Kus asub homogeense kolmnurga raskuskese? Kolmnurga raskuskese asub mediaanide lõikepunktis, mis jaotab mediaanid osadeks vahekorras 1/3 ja 2/3. 92.Mis on punkti trajektoor? Trajektoor on pidev joon, mille joonistab liikuv punkt antud taustsüsteemi suhtes. 93. Mis on punkti liikumise trajektoor ja kuidas seda leida juhul, kui liikumise seadus on antud Descartes'i ristkoordinaatides? Punkti liikumise trajektoor on pidev joon, mille liikuv punkt joonistab antud taustsüsteemi suhtes. Descartes'i ristkoordinaatide korral: x = f 1 (t ) y = f 2 (t ) z = f 3 (t ) 94.Milline on punkti liikumise seadus vektorkujul? r = r (t ) 95. Mida nimetatakse loomulikuks koordinaadiks punkti liikumise korral trajektooril? Loomulik koordinaat punkti liikumisel on kõverjooneline koordinaat s. s = f (t ) 96
47. Irratsionaalavaldiste integreerimine 48. M¨aa¨ratud integraali m~oiste 49. M¨aa¨ratud integraali omadused 50. M¨aa¨ratud integraali arvutamine. Newton-Leibnizi valem 51. Muutuja vahetus m¨aa¨ratud integraalis 52. Ositi integreerimine (m¨aa¨ratud integraali korral) 53. L~opmatute rajadega p¨aratud integraalid 54. P¨aratud integraalid t~okestamata funktsioonidest 55. M¨aa¨ratud integraali ligikaudne arvutamine. Trapetsvalem 56. Pindala arvutamine ristkoordinaatides 57. Polaarkoordinaadistik. K~oversektori pindala polaarkoordinaatides 58. K~overjoone kaare pikkus Kirjandus 1. N. S. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus, I, II, Tallinn 1983. 2. A. L~ohmus, I. Petersen, H. Roos, K~orgema matemaatika u ¨lesannete kogu. Tallinn, 1982. 3. L. Pallas, M¨aa¨ramata integraal. Tallinn, 2005 4. I. Tammeraid, Matemaatiline anal¨ uu¨s I
annaabi.ee 
